energiapotenziale
Impulso di un forza  -  Esempio numerico

Una palla di massa, M=133g, viene lasciata cadere da un’altezza di 22m con velocità nulla. Urta il suolo e risale sino all’altezza di 7m. Se l’urto dura 2ms qual è il modulo della forza media esercitata dal suolo sulla palla?

L’impulso  della forza è definito come

I  =   F x (Delta t)

L’impulso si misura in Ns o kgm/s

A (infiniti N)
B (0 N)
C (-601,97 N)
D (1380,9 N)
E (16,239)
F (2159,8)
G (1295,9 N)
H (nessuna)

Si chiama quantità di moto di un corpo di massa m,  il prodotto massa x velocità   Q = m x v

Teorema dell’impulso:

F x (delta t) = mV2 – m V1
V1 è la velocità con cui arriva a terra, negativa perchè verso il basso:
V1 = radquad( 2 x 9,8 x 22) = – 20,77 m/s
V2 è la velocità con cui riparte, positiva, verso l’alto, sarà minore perchè arriva a 7 m di altezza:
V2 = radquad(2 x 9,8 x 7) = + 11,71 m/s
F x 2 x 10^-3 = 0,133 x 11,71 – 0,133 x (- 20,77)
F x 2 x 10^-3 = 4,32 Ns
F = 4,32 / 2 x 10^-3 = 2160 N circa
risposta F

esercizio
Utilizzando il teorema dell’impulso calcola quanto tempo impiega a fermarsi un corpo di massa 2 kg che affronta un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale con una velocità iniziale di 16 m/s.

F x t = m x Vfin – m x Vo;    (V fin = 0 m/s perchè si ferma)

F è la forza che agisce: è la forza di gravità parallela al piano di 30°

F// = – mg sen30° =- 2 x 9,8 x 0,5 = – 9,8 N (questa forza è frenante, verso il basso)

- 9,8 x t = 0 – 2 x 16

t = – 32/ (- 9,8) = 3,27 secondi

Momento di una forza

Il momento è una grandezza vettoriale derivata da: massa, tempo, lunghezza.

Esso si indica analiticamente

M = F \cdot b                     rotazioni
dove F è la forza applicata al corpo rigido e b è il braccio, ossia la distanza tra la forza e il vincolo O: quindi: Newton per metro.
La sua unità di misura è N \cdot m.

La direzione è perpendicolare al piano in cui è collocato il braccio.

Il verso del momento M è verso l’alto, se la rotazione è antioraria, verso il basso se la rotazione è oraria.

Rotazione antioraria delle dita della mano destra che si chiudono sul palmo, pollice verso l’alto: il verso del pollice definisce il verso del momento: M positivo verso l’alto.
Rotazione oraria delle dita della mano destra, pollice verso il basso: Momento negativo verso il basso.

Il momento di una forza  misura la capacità della forza di mettere in rotazione un oggetto rispetto ad un punto. Il concetto di momento di un forza  è facile: facciamo riferimento ad una leva che ruota attorno ad un punto C, definito punto di rotazione (vincolo o fulcro).                                          
 Posto che A e B siano i punti ai quali vengono applicate le forze F1 ed F2, le distanze AC e BC siano i corrispondenti bracci, il momento della forza (o momento torcente) può esser definito come il prodotto tra una forza ed il corrispondente braccio. 

  M1 = F1´ b1

M2 = F2 x b2

L’effetto del momento è di produrre una rotazione attorno al punto di riferimento. Per convenzione, il momento si definisce positivo se la rotazione si compie in senso antiorario; negativo se la rotazione si compie in senso orario.  

M1 provoca una rotazione antioraria, quindi M1 è positivo.
M2 provoca una rotazione oraria, quindi M2 è negativo.

Se la somma vettoriale dei momenti è 0, cioè il momento risultante Mr =  0, allora  il sistema è in equilibrio.

Esempio: Un’asta lunga 1 m e del peso di 100 N è appoggiata su due sostegni posti alle sue estremità.  A 25 cm di distanza dall’estremo sinistro dell’asta è posto un peso P = 60N. Determina la forza che ognuno dei due sostegni esercita sull’asta.

F1 + F2 = 100 + 60 = 160 N
Momento risultante rispetto all’estremo sinistro:
F1 x 0 – 60 x 0,25 – 100 x 0,5 + F2 x 1 = 0 ( la somma dei momenti rispetto ad un punto scelto a piacere, deve fare 0 Nm: le forze verso il basso hanno momento negativo, le forze dei sostegni verso l’alto, positivi)

- 15 – 50 + F2 = 0

F2 = 65 N

F1 = 160 – 65 = 95 N

Possiamo spiegare il concetto di momento torcente con un semplice esempio: aprire una porta. Se pensiamo a quest’ultima e al gesto che compiamo più volte al giorno per aprirla, possiamo considerare il luogo dove sono posizionati i cardini come nostro asse di rotazione (A); la distanza tra questo e la maniglia come braccio (b); la maniglia come punto d’applicazione (P) e lo sforzo che eseguiamo per tirare la porta verso di noi come forza (F).

 

                                                  

 Forza e braccio sono inversamente proporzionali, perciò più lungo è il braccio meno intensa    sarà la forza da applicare per avere lo stesso momento.

L’unità di misura del momento è il Newton per metro (Nm), essendo il prodotto di una forza per una distanza.

 
Momento di una coppia di forze
Un sistema di forze formato da due forze di uguale intensità ma di verso contrario, costituisce una coppia    di forze. Il braccio di una coppia di forze corrisponde alla distanza fra le linee di azione delle forze
.
Il momento di una coppia di forze, è il prodotto dell’intensità di una delle due forze per il braccio ( distanza  d fra le due forze). 

M =F x d

Per visualizzare la coppia, basta ricordare l’azione in curva delle mani sul volante dell’automobile.

Rotazione oraria, momento M verso il basso.

Un corpo soggetto alla applicazione di due forze uguali e contrarie, aventi differenti rette d’azione,  per raggiungere una posizione di equilibrio tenderà a ruotare fino a che le due forze non avranno la stessa retta d’azione. 
                        
Se il corpo è in equilibrio, la somma vettoriale dei momenti delle forze ad esso applicate è uguale a zero. Man mano che il corpo ruota, diminuisce la lunghezza dei bracci fino a diventare uguale  a zero.
b1 = 0   F1´  b1 = 0.

Le leve

Le leve sono classificate in base alla posizione relativa di resistenza, potenza e fulcro.

leve1.gif (5209 byte)esempio1.gif (5151 byte)
Nelle leve di primo genere (le pinze) il fulcro sta tra resistenza e potenza.

leve2.gif (5042 byte)esempio2.gif (4392 byte)
Nelle leve di secondo genere (lo schiaccianoci) la resistenza sta tra potenza e fulcro.

leve3.gif (4798 byte)esempio3.gif (2847 byte)
In quelle di terzo genere (la molletta per lo zucchero) la potenza viene applicata tra fulcro resistenza. E’ una leva che non amplifica la potenza, ma il movimento.

Momento d’inerzia I
E’ un numero che esprime la maggiore o minore facilità di far ruotare una massa.
L’inerzia è la forza che si oppone al cambiamento di stato di quiete o di moto; esempi: a) un’automobile in moto continuerebbe a muoversi di moto uniforme  per inerzia, se non ci fosse la resistenza dell’aria e l’attrito con il suolo; b) se siamo in auto e questa accelera in avanti, siamo spinti all’indietro, cioè tendiamo a rimanere fermi nel nostro stato; c) siamo spinti in avanti, cioè tendiamo a continuare il moto, quando l’automobile decelera.
Le masse in rotazione hanno una inerzia poichè, per seguire una traiettoria curva, devono continuamente cambiare direzione, sono cioè sottoposte ad accelerazione.

Se una massa puntiforme ha moto rotatorio (di velocità v = w * r) dovuto ad un momento risultante M = Forza * braccio:

M = F * r = m * a * r ; poichè a = v/t,   v = w * r , sostituiamo all’accelerazione:
M = m * (v / t) * r = m * (w * r / t) * r

Essendo I = m * r^2,

M = I *w / t = I * a;  

dove a è l’accelerazione angolare, cioè il modo di variare della velocità di rotazione w.

Quindi l’equazione F = m * a, nel moto rotatorio diventa:

M = I * a

Energia cinetica rotazionale (un corpo che rotola senza strisciare) ha energia cinetica + energia cinetica rotazionale che assume questa espressione finale:Ecr = 1/2 I w^2.

1/2 m V^2 = 1/2 m w^2 r^2 ; poichè I = m r^2

Ecr = 1/2 I w^2;

Alcuni momenti d’inerzia:

Cilindro.svg \frac {1}{2}M r^2 Cilindro orizzontale.svg \frac {1}{12}M l^2
Parallelepipedo.svg \frac {1}{12}M (a^2 + b^2) Sfera.svg \frac {2}{5}M r^2

Toro quadrato.svg\frac {1}{2}M ({r_1}^2 + {r_2}^2)

CM = passante per il centro di massa

Corpo Asse di rotazione Momento d’inerzia
Punto distanza R dall’asse mR2
Cilindro cavo asse del cilindro, raggio R mR2
Cilindro pieno asse del cilindro (1/2)mR2
  rotola (teo trasporto) (1/2)mR2+mR2 =(3/2)mR2
Segmento, lung L perpendicolare, CM (1/12)*m*L2
  perpendicolare, passante per l’estremo (1/3)*m*L2
  perpendicolare, distante D (1/3)m( (D+L)2 + (D+L)*D + D2 )
Rettangolo A*B perpendicolare alla superficie, CM (1/12)m(A2 + B2)
  parallelo B,  CM m*A2
Sfera cava CM (2/3)mR2
Sfera piena CM (2/5)mR2
  tangente, es: rotola (2/5)mR2+mR2 = (7/5)mR2

 Momento angolare L

Si tratta di una grandezza vettoriale che ha direzione coincidente con l’asse di rotazione, verso definito
dall’avanzamento di una vita destrorsa che segue la rotazione e intensità pari al valore indicato dalla formula:

L = r x mv

Filmati sulla conservazione del momento angolare  ( o anche chjiamato impulso angolare):

studenti con ruota e seggiolino girevole
http://www.youtube.com/watch?v=-6OvBFu_YRc&feature=related
PSSC09

(filmato in bianco e nero con professore che spiega il momento angolare)http://www.youtube.com/watch?v=ckyBUzbxrRE&feature=related

giroscopio: resta in equilibrio per la conservazione del momento angolare I x w

 Legge di conservazione del momento angolare 
è un importante
principio fisico, che afferma che il momento angolare \vec L di un sistema è costante nel tempo  se è nullo il

momento delle forze esterne che agiscono su di esso.
Tale legge è una conseguenza della seconda equazione cardinale,

\frac {\operatorname d \vec {L}}{\operatorname d t} = \vec {M}_{tot};

in questa formula

  • \vec L rappresenta il momento angolare del sistema
\vec L = \vec r \times \vec P
dove \vec P è la quantità di moto del sistema, applicata al centro di massa ed \vec r è il vettore posizione del centro di massa rispetto all’asse di rotazione;
  • \vec {M}_{tot} rappresenta il momento meccanico  delle forze esterne \vec {F}_{tot} (anch’esse applicate al baricentro),
\vec {M}_{tot} = \vec r \times \vec {F}_{tot}.

Se tale momento è nullo, Mtot = 0, risulta

\frac {\operatorname d \vec {L}}{\operatorname d t} = 0.     Allora  L = costante

Se la derivata di \vec {L} rispetto al tempo è nulla, questo significa che \vec {L} è una costante del moto, ovvero che si conserva. Il momento delle forze esterne può essere nullo in questi tre casi:

  • la forza esterna è nulla (il sistema è meccanicamente isolato)
  • la forza è applicata in un punto dell’asse di rotazione (per cui r = 0 m)
  • la forza è diretta verso l’asse di rotazione, per cui se \vec {F} è parallelo ad \vec {r}, il loro prodotto vettoriale è nullo.

 la ruota di bicicletta : perché andando in bicicletta, a velocità piccole è più difficile stare in equilibrio ? A velocità piccole, il momento angolare delle ruote è piccolo (esso è proporzionale alla velocità angolare) per cui  piccole sollecitazioni esterne fanno sì che l’equilibrio si rompa. A grandi velocità, invece, il momento angolare è grande per cui dette sollecitazioni non riescono a disturbare l’equilibrio. Questo si dimostra facilmente tenendo in mano un asse su cui ruota una stessa ruota di bicicletta. Se la velocità della ruota è grande si fa molta fatica a modificare l’orientazione dell’asse.
La conservazione del momento angolare è  utile  per analizzare quello che è chiamato moto di forza centrale.

Se un corpo è soggetto a forze il cui vettore giace sulla retta passante per il proprio centro, il moto risultante è detto “di forza centrale”. In questi casi non si hanno coppie di forza rispetto al centro, di conseguenza il momento angolare del corpo relativamente al centro è costante.

La costanza del momento angolare è estremamente utile per l’analisi delle orbite di pianeti e satelliti, e per lo studio dei modelli atomici come quello di Bohr.

La conservazione del momento angolare spiega diversi altri fenomeni fisici, come l’accelerazione angolare di un pattinatore su ghiaccio che porta le proprie braccia e gambe vicine all’asse verticale di rotazione. Portando una parte della massa del proprio corpo più vicino all’asse, decresce il momento di inerzia del proprio corpo. Poiché il momento angolare è costante in assenza di coppie di forze esterne, la velocità angolare (velocità rotazionale) del pattinatore deve aumentare.

Lo stesso fenomeno dà luogo alla rotazione estremamente veloce delle stelle compatte (come le nane bianche, le stelle di neutroni e i buchi neri) quando si formano a partire da stelle di dimensioni enormemente più grandi, ma con velocità di rotazione più lente.

 Il momento angolare della Terra che gira intorno al Sole rimane costante.

Seconda legge di Keplero: il raggio vettore che congiunge sole e pianeta,  copre aree uguali in tempi uguali.

Si mantiene costante il momento angolare L = R x MV;  se la distanza R aumenta, la velocità V del pianeta diminuisce.

Esercizio:

Una sfera piena rotola su una superficie senza strisciare.Quale frazione della sua energia cinetica  totale è energia cinetica di rotazione attorno al suo centro?

Energia totale = 1/2 M V^2 + 1/2 I (omega)^2 ;
I = momento d’inerza sfera = 2/5 M R^2
omega = V/R

Energia totale = 1/2 M V^2 + 1/2 x (2/5 M R^2) V^2/R^2

Etotale = 1/2 MV^2 + 1/5 MV^2 = 7/10 MV^2

(Energia di rotazione) / (Energia totale) = 1/5 M V^2 / ( 7/10 MV^2) = 2/7

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