Urti

impulso

In qualsiasi urto si conserva la quantità di moto per il terzo principio della dinamica.

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ; la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto.

Urto anelastico

Un proiettile di massa 30 g è sparato in un blocco di massa 4.0 Kg inizialmente in quiete su un piano scabro (coefficiente d’attrito dinamico: 0,5). Dopo l’impatto, l’insieme blocco-proiettile scivola per 7.0 m sul piano prima di arrestarsi.
Si determini l’energia cinetica del proiettile prima dell’urto e l’energia dissipata nell’urto.

Soluzione

Nell’urto anelastico si conserva la quantità di moto.

Qfin = Qiniz

(M + m) x Vfin = m x Vproiettile

Dopo l’urto viaggino insieme e la forza di attrito li ferma in S = 7 m

Fatt x S = 0 – 1/2 (M + m) x Vfin^2 ; teorema energia cinetica.

Fattr = – 0,5 x 4,030 x 9,8 = – 19,75 N (negativa perchè contraria al moto)

- 19,75 x 7 = – 1/2 x 4,030 x Vfin^2

Vfin = radquad(2 x 138,25/4,030) = 8,28 m/s ; (velocità del blocco+proiettile)

0,030 x Vproiettile = 4,030 x 8,28

Vproiettile = 1112,28 m/s

Energia cinetica prima dell’urto = 1/2 x 0,030 x 1112,28^2 = 18558 J

Energia dopo l’urto = 1/2 x 4,030 x 8,28^2 = 138 J

Energia dissipata = 138 – 18558 = – 18420 J (persa nell’urto)

Urto elastico: Si conservano quantità di moto ed energia cinetica

F1 x (delta t) = – F2 x ( delta t) i corpi si scambiano impulsi uguali e contrari.

Delta P1 = – DeltaP2
m1 (V1′ – V1) =  – m2 (V2′ –  V2)
                                      
m1 (V1′ – V1) =   m2 (V2 –  V2′)  

la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto. Mettendo i termini con indice uguale allo stesso membro, diventa:

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ;

Se l’urto è elastico si deve conservare l’energia cinetica.

1/2 m1 V1^2 + 1/2 m2 V2^2 = 1/2 m1 V1’^2 + 1/2 m2 V2’^2;

semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

m1 (V1’^2 – V1^2) = m2 (V2^2 – V2’^2);

svolgendo le differenze di quadrati, diventa:

m1 (V1′ – V1) (V1′ + V1) = m2 (V2 – V2′) (V2 + V2′)

m1 (V1′ – V1) = m2 ( V2 – V2′);    dividendo a membro a membro, otteniamo

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′) ;
questa è la condizione di conservazione dell’energia cinetica per un urto elastico, insieme alla conservazione della quantità di moto:

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′)

Esempio :
Una sfera di massa m1 = 1,50 kg parte da un’altezza ho = 0,30 m con una velocità di  Vo = 5,00 m/s, si muove verso il basso e colpisce una sfera ferma di massa                  m2 =  4,60 kg.
Usando la conservazione dell’energia meccanica, calcola la velocità della sfera m1 subito prima dell’impatto.
Supponendo che l’urto sia elastico, determina modulo, direzione e verso delle velocità delle sfere subito dopo l’urto.
Calcola l’altezza raggiunta da ciascuna sfera dopo l’urto
[5,56 m/s; 2,83 m/s verso opposto; 2,73 m/s, verso iniziale; 0,409 m; 0,380 m]

1/2 m Vo^2 + mgho = 1/2 m V1^2 ;

L’energia si conserva e alla fine della discesa diventa tutta energia cinetica.

(m si semplifica).

V1 = radquad(Vo^2 + 2gho) = radquad( 5^2 + 2 x 9,8 x 0,3) = radquad(30,88) = 5,56 m/s

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ; la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto.

m1 (V1′ – V1) = m2 ( V2 – V2′)
Se l’urto è elastico deve conservarsi anche l’energia cinetica.

1/2 m1 V1^2 + 1/2 m2 V2^2 = 1/2 m1 V1’^2 + 1/2 m2 V2’^2;
semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′) ; questa è la condizione di urto elastico, insieme alla prima equazione

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′

V1′ + 5,56 = V2′ + 0

1,5 x 5,56 + 0 = 1,5 x V1′ + 4,6 x V2′

V1′ = V2′ – 5,56

8,34 = 1,5 x ( V2′ – 5,56) + 4,6 x V2′

8,34 = 1,5 x V2′ – 8,34 + 4,6 x V2′

6,1 V2′ = 16,68

V2′ = 16,68/6,1= + 2,73 m/s ( la palla 2 parte in avanti)

V1′ = 2,73 – 5,56 = – 2,83 m/s ( la palla 1 parte all’indietro)

mgh1 = 1/2 m V1’^2
h1 = 2,83^2/ (2 x 9,8) = 0,409 m
h2 = 2,73^2/ (2 x 9,8) = 0,380 m

2)  Un proiettile, di massa m = 50 g, viene sparato con una velocità iniziale V0 che forma con
l’orizzontale un angolo di 30°. Nel punto più alto della sua traiettoria colpisce una massa M = 3 kg
sospesa ad un filo di lunghezza L e si conficca in essa. Se dopo l’urto si osserva il sistema sollevarsi
di h = 15 cm rispetto al livello iniziale, si determini la velocità iniziale Vo del proiettile.

(m + M)gh = (0,05 + 3) x 9,8 x 0,15 = 4,48 J ( energia potenziale finale di Massa e proiettile).

1/2 (m + M) x (Vx)^2 = 4,48 J (dopo l’urto anelastico, il sistema parte con velocità Vx)

Vx = radquad( 4,48 x 2/3,05) = 1,7 m/s ( velocità con cui parte la massa M)

Per la conservazione della quantità di moto:

m x Vox(proiettile) = (M+m) x 1,7

Vox(proiettile) = 3,05 x 1,7/0,05 = 103,7 m/s (questa è la velocità orizzontale Vox del proiettile prima di colpire la massa M).

Vox = Vo cos30°

Vo = Vox/cos30°

Vo = 103,7/0,866 = 120 m/s (velocità iniziale)

Pendolo balistico: urto anelastico:  m Vo  = (M + m) V

3) Una pallottola di 6 g viene sparata contro un blocco di 2 kg, inizialmente in quiete sul bordo di un tavolo alto 1 m. Il proiettile si conficca nel blocco e, dopo l’urto, il blocco cade a 2 m dal bordo del tavolo. Calcolare la velocità iniziale del proiettile.

In questo urto anelastico, si conserva la quantità di moto P prima e dopo l’urto.
P1 = m1 x v1
P1 = 0,006 x V1 ( del proiettile)

P2 = (m2 + m1) x V2 ( del blocco + proiettile, dopo l’urto)
P2 = 2,006 x V2; (V2 è la velocità orizzontale con cui parte il blocco)

Il blocco cade in verticale da Y = 1 metro di moto accelerato:

Y = 1/2 x g x t^2

t = radicequadr(2 x Y / g) = radicequadr(2 x 1/9,8) = 0,45 s (tempo di caduta e di volo).

in orizzontale viaggia per lo stesso tempo con velocità V2.

X = V2 x t

V2 = X/t = 2/0,45 = 4,44 m/s

Poniamo   P1 = P2

0,006 x V1 = 2,006 x V2

V1 = 2,006 x 4,44/ 0,006 = 1484 m/s (velocità del proiettile)

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