La Gravitazione Universale – Leggi di Keplero. Velocità cosmica. Velocità di fuga.

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Flares satelliti, legge di gravitazione, newton, satelliti Iridium

La legge di gravitazione universale.

Isaac Newton (1643 – 1727), fu il primo a capire che la forza che fa cadere i corpi sulla superficie terrestre è la stessa che fa  muovere la Luna sulla sua orbita intorno alla Terra: è la forza di attrazione che si esercita su corpi che possiedono massa.

Massa gravitazionale: capacità che ha un corpo  di attrarre altre massa.

Due masse M₁ ed M₂ poste a distanza r, interagiscono a distanza; queste si attraggono con una forza uguale ed opposta, che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra esse.

La costante di proporzionalità G si chiama costante di gravitazione universale, e vale G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²: fu misurata con precisione da Henry Kavendish nel 1798, ha un valore estremamente piccolo, è la forza con cui si attraggono due masse da un kg ciascuna poste a distanza di un metro.

 

 

 F =  G·M₁·M₂  / r²  ;   ( la forza si misura in Newton).

Bilancia di  torsione di Cavendish

L’apparato costruito da Henry Cavendish (1731, 1810), era una bilancia di torsione, cioè un’asta tenuta sospesa da un filo di torsione (il filo di torsione è un filo che quando viene avvolto su se stesso esercita una forza che si oppone all’ avvolgimento con un intensità direttamente proporzionale all’ampiezza dell’ angolo di torsione). Ai capi dell’asta erano appese due sfere uguali di massa minore (730 g); di fronte ad esse a circa 25 cm, , venivano appese altre due sfere di 157,8 kg ‘una. Le sferette di 730 g venivano appese all’interno di due cassettini di legno per evitare l influsso di eventuali correnti d aria. L esperimento era inteso per misurare la debolissima attrazione gravitazionale fra le sfera piccole e quelle grandi poste direttamente di fronte.

La mutua attrazione gravitazionale fra la sfera m e quella M (F) avvicinava le sfere facendo ruotare l’asta. In questo modo il filo di torsione veniva avvolto di un certo angolo. Più il filo si torceva maggiore era la forza che esso esercitava sull’asta che reggeva le sfere piccole finché la sua forza non equilibrava esattamente quella di attrazione gravitazionale. A questo punto l’asta smetteva di ruotare: misurando l’angolo di avvolgimento del filo si poté calcolare la forza di torsione esercitata e di conseguenza la forza di gravità F.       F = G M m/r^2 con M e m le masse delle due sfere e r la loro mutua distanza, che sono tutte grandezze note. Una volta che il valore di G è conosciuto, si può ricavare la massa della Terra.  Infatti, so che:      

 g = GMTerra/(RTerra)^2 = 9,81 m/s^2.

Conoscendo G (appena ricavato sopra) e sapendo il valore di RTerra=6340 km è possibile ricavare subito MTerra.

Campo gravitazionale

Si chiama campo gravitazionale la forza gravitazionale che agisce su una  massa unitaria (1 kg).

g = F /m  = G·M / r²  

 

Sulla superficie terrestre dove r = 6,38 · 10⁶ m, g vale 9,8 m/s², poi diminuisce con il quadrato della distanza r dal centro della Terra. Si misura in N/kg. ( Si chiama anche accelerazione di gravità).  Forza e campo gravitazionale sono solo attrattivi.

Anche il campo elettrico generato da una carica Q isolata nello spazio ha lo stesso andamento

 ( E = k·Q/r²),ed  è la forza  che agisce sull’unità di carica ( 1 Coulomb);  si misura in N/C.

Eclissi di Sole – Stati Uniti 2017. Foto spettacolare di Luna e  Sole.

La forza di gravità è una forza centrale, (centripeta).

F centripeta = m * v^2 / r;

F = G * M * m /r^2.

G = 6,67·10^-11 N*m²/kg² 

^Esempio.   

Un satellite è posto in orbita circolare attorno alla Terra ad un altezza h = 495 km. Il raggio della Terra è RT = 6,38 * 10^6 m e la sua massa è MT = 5,98 * 10^ 24 kg. Qual è la velocità v del satellite? [La distanza r tra il satellite e il centro della Terra è r = RT + h].

m v^2/(R + h) = G * Mterra * m / (R + h)^2;

R + h = 6,38 * 10^6 + 495000 m = 6,875 * 10^6 m.

v = radicequadrata[G * Mterra/(R + h) ] =

= radicequ[ 6,67 * 10^-11 * 5,98*10^24/(6,875 * 10^6) ] =

= radicequ [ 5,802 * 10^7] = 7617 m/s = 7,62 * 10^3 m/s;

v = 7,62 km/s;

v in km/h = 7,62 * 10^3 * 3,6 = 27432 km/h;

(circa 27400 km/h).

ciao

Velocità di fuga dalla Terra: L’energia totale del corpo che deve allontanarsi dalla Terra deve essere 0 J per poter percorrere un’orbita aperta ed allontanarsi fino all’infinito dove l’energia totale sia 0 J, cioè: l’energia potenziale U = – G M m/R = 0 J,  l’energia cinetica  1/2 m v^2 = 0 J. Uo + 1/2 m v^2 = 0; Uo = –  G * Mterra * m / Rterra; –  G * M * m / Rterra – 1/2 m * v^2 = 0; v fuga = √(2 * G * Mterra / Rterra) = 11200 m/s = 11,2 km/s. Esercizio1: Calcolare la velocità di fuga da un pianeta di massa 7,71*10^22 kg e raggio 1,65*10^6m . Esprimere la risposta in km/s. v fuga = radice( 2 * G * M / R); v fuga = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,71*10^22 / 1,65*10^6) = = radice(6,233 * 10^6) = 2497 m/s; circa 2500 m/s; v fuga in km /s = 2,500 km/s. E’ un pianeta piccolo come la Luna, la sua velocità di fuga è bassa. Sulla Terra è 11 km/s. Esercizio2: Immagina che un asteroide, partito con velocità nulla da distanza infinita, cada diritto verso la terra senza subire l’influenza gravitazionale di altri corpi celesti. Con quale velocità l’asteroide colpisce la superficie terrestre? Energia totale all’infinito (r = infinito) = 0 J: Ec = 1/2 m v^2 = 0; U = – G M m / r = 0. L’energia si conserva e resta 0 J quando l’asteroide arriva sulla superficie terrestre a distanza r = Raggio terrestre dal centro della Terra. 1/2 m v^2 + U = 0 1/2 m v^2 – G M m / R = 0 v = radice( 2 *G * M / R) = = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) = = 11182 m/s = 11200 m/s = 11,2 km/s; (uguale alla velocità di fuga dalla Terra). v = 11,2 * 3600 s = 40320 km/h.       Isaac Newton (1643-1727) La Luna e la mela sono soggette alla forza di gravitazione. La legge di gravitazione universale La Luna non cade sulla Terra perché la forza di gravità la mantiene su un’orbita approssimativamente circolare. Quanto vale g nel punto in cui si trova la Luna alla distanza r = 384000 km?                  mg =  m * v2 / R  ; m si semplifica  rimane    g =  v2 /  r  ;     v = 2πr/T ;   T luna = 28 giorni = 2,42 * 10^6 s;   (Ris:  g =  0,0026 m/s^2 )       g  = G * M / R^2  è il campo gravitazionale, diminuisce con il quadrato della distanza sulla superficie terrestre vale 9,8 m/s^2. Moltiplicando il campo per la massa m si ottiene la forza di gravità F = m * g.  m * g =   G *M * m / R2   . Esempio 1: Quanto peserà un corpo su un altro pianeta sapendo che sulla terra pesa 98 N e il raggio e la massa di quel pianeta sono la metà di quelli della Terra? g del pianeta = G * (M/2) / (r/2)^2 = G * M/2 / (r^2/4) G (M/2) * 4 / r^2 = 2 * G * M / r^2; g pianeta = 2 * (g terra); sul pianeta il corpo peserà il doppio. La massa non cambia, m = 98/9,8 = 10 kg. Fpeso = m * 2 g = 196 N. Cerere a confronto con la Luna                                                                                                                  Cerere, massa M = 7 * 10^20 kg.  Quale attrazione esercita su una persona di massa 80 kg posta a 10 000 km di distanza, supponendo il raggio di Cerere 500 km? F = 6,67*10-11 * 7*1020 * 80 / (1,05 *10^7)^2 F = 0,034 N Esempio 2: Un’astronave viaggia lungo una linea dell’equatore terrestre alla velocità di 10000 km/h. Sapendo che la massa della Terra è 5,976*10^24 kg e il raggio dell’equatore vale 6,378*10^6 m, calcolare a quale quota dalla superficie terrestre deve trovarsi l’astronave affinché gli astronauti si trovino in assenza di peso. La forza centripeta deve essere uguale alla forza di gravità. m V^2/ (R+h) = G M m /(R+h)^2; m è la massa dell’astronave, si semplifica. V^2 = G M /(R+h) R+h = G M / V^2 V = 10000 /3,6 = 2778 m/s R+h = 6,67 x 10^-11 x 5,976*10^24 / 27778^2 = 51,65 x 10^6 m h = 51,65 x 10^6 – R = 51,65 x 10^6 – 6,378*10^6 = 45,27 x 10^6 m ( circa 45000 km) Prima velocità cosmica. La prima velocità cosmica,  è quella velocità che un corpo deve possedere per entrare in orbita circolare attorno ad un corpo celeste, a distanza pari al raggio. Affinché ciò accada, la forza centripeta del corpo di massa m che si muove di moto circolare uniforme attorno al corpo celeste di massa M deve essere uguale alla forza di attrazione gravitazionale tra i due corpi (legge del moto circolare uniforme). Imponendo l’uguaglianza tra le due forze si ottiene v= prima  velocità cosmica. La forza di gravità è una forza centripeta: m * v^2/R = G * M * m / R^2; v = radicequadrata( G * M / R); Prima velocità cosmica sul pianeta TERRA: (7900 m/s). Con questa velocità un corpo compirebbe un giro completo intorno alla Terra se non ci fosse attrito e atmosfera. v = radice (6,67 *10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38*10^6) = radice(6,252 * 10^7) = 7907 m/s = 7,9 * 10^3 m/s = 7,9 km/s. Esempio 3: Un satellite di massa 50 kg orbita attorno al pianeta Crutone ogni 6 h. Il modulo della forza gravitazionale esercitata da Crutone sul satellite è di 80 N. Che raggio R ha l’orbita? Che energia cinetica possiede il satellite? Qual è la massa M di Crutone?G * M * m / R^2 = 80 N; (forza di gravità fra la massa M di Crutone e e la massa del satellite m = 50 kg) La forza di gravità è una forza centripeta: m * V^2/R = G * M * m / R^2; R è il raggio dell’orbita, distanza fra il satellite e il centro del pianeta. V ^2 = G * M / R; V = radice quadrata(G * M / R) T = 2 * pgreco * R / V T = 2 * pgreco * R /( radice quadrata(G * M / R) ) T^2 = 4 * pgreco^2 * R^2 / (G * M / R) T^2 / R^3 = 4 * pgreco^2 / (G * M) ; abbiamo ricavato la terza legge di Keplero. T = 6 h = 6 * 3600 s = 21600 s Abbiamo due equazioni: 1) G * M * m / R^2 = 80; 2) R^3 = T^2 * G * M / (4 * pgreco^2 ) ricaviamo M dalla prima: M = 80 * R^2 / (G * m ); sostituiamo nella seconda: R^3 = T^2 * G * (80 * R^2 / (G * m )) / (4 * pgreco^2 ) R = T^2 * 80 / (m * 4 * pgreco^2 ) R = 21600^2 * 80 / (50 * 4 * 3,14^2) R = 1,89 * 10^7 m ; ( R = 1,89 * 10^4 km = 18900 km); M = 80 * R^2 / (G * m ) = 80 * (1,89 * 10^7 )^2 / (6,67* 10^-11* 50) M = 8,58 * 10^24 kg è un pianeta piccolo e molto denso. V = 2 * 3,14 * R / T = 6,28 * (1,89 * 10^7) /21600 = 5500 m/s Ecinetica = 1/2 m V^2 = 1/2 * 50 * 5500^2 = 7,56 * 10^8 J   Esempio 4) Su un pianeta X viene sparato un proiettile con velocità iniziale pari a 45 m/s e con inclinazione di 30 ° rispetto all’orizzontale. Il proiettile tocca terra ad una distanza x = 490 m dal punto iniziale. Calcolare la massa M del pianeta sapendo che il suo raggio è pari a 4,45  *10^6 m. Tempo di volo del proiettile = 2 * voy / g; voy = vo * sen30° = 45 * 0,5 = 22,5 m/s; gittata: x = vox * (tempo di volo); vox = 45 * cos 30° = 38,97 m/s; (velocità orizzontale). x = 490 m; tempo di volo = 490 / 38,97 = 12,57 s; 2 * voy / g = 12,57 s; g = 2 * voy / 12,57 = 2 * 22,5/12,57 = 3,58 m/s^2 (gravità del pianeta). g = G * M / R^2 Massa del pianeta: M = g * R^2 / G = 3,58 * (4,45 *10^6)^2 / (6,67 * 10^-11) = = 10,6 * 10^23 kg. L’energia totale del corpo deve essere 0 J per poter percorrere un’orbita aperta ed allontanarsi fino all’infinito dove U = 0 J e 1/2 m v^2 = 0 J. Uo + 1/2 m v^2 = 0; Uo = –  G * Mterra * m / Rterra; –  G * M * m / Rterra – 1/2 m * v^2 = 0; v fuga = √(2 * G * Mterra / Rterra) = 11200 m/s = 11,2 km/s. Esercizio1: Calcolare la velocità di fuga da un pianeta di massa 7,71*10^22 kg e raggio 1,65*10^6m . Esprimere la risposta in km/s. v fuga = radice( 2 * G * M / R); v fuga = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,71*10^22 / 1,65*10^6) = radice(6,233 * 10^6) = 2497 m/s; circa 2500 m/s; v fuga in km /s = 2,500 km/s. E’ un pianeta piccolo come la Luna, la sua velocità di fuga è bassa. Sulla Terra è 11 km/s. Esercizio2: Immagina che un asteroide, partito con velocità nulla da distanza infinita, cada diritto verso la terra senza subire l’influenza gravitazionale di altri corpi celesti. Con quale velocità l’asteroide colpisce la superficie terrestre? Energia totale all’infinito (r =infinito) = 0 J: Ec = 1/2 m v^2 = 0; U = – G M m / r = 0. L’energia si conserva e resta 0 J quando l’asteroide arriva sulla superficie terrestre a distanza r = Raggio terrestre dal centro della Terra. 1/2 m v^2 + U = 0 1/2 m v^2 – G M m / R = 0 v = radice( 2 *G * M / R) = = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) = = 11182 m/s = 11200 m/s = 11,2 km/s; (uguale alla velocità di fuga dalla Terra). v = 11,2 * 3600 s = 40320 km/h. Velocità di fuga dalla Terra. v = radice quadrata( 2 * G * Mterra / Rterra); Un razzo di massa 510 kg poco dopo del lancio nello spazio ha un energia cinetica di 2,21 * 10^10 J. Riesce a sfuggire al campo terrestre? 1/2 * 510 * v^2 = 2,21 * 10^10 J v  = radice(2 * 2,21 * 10^10 /510) = 9309 m/s = 9,31 km/s(velocità del razzo). La velocità di fuga dalla gravità terrestre è: v = radice( 2 G Mterra / RTerra) = = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 *10^24 / 6,38 * 10^6) = = 11182 m/s = 11,2 km/s Per sfuggire all’attrazione della Terra occorre una velocità di fuga pari a 11200 m/s, quindi v =  9310 m/s non è una velocità sufficiente. Una spettacolare immagine inviata da Voyager 1. La Luna di Giove, Io proietta  la sua ombra perfetta sul grande pianeta. (Foto del 1979). Satelliti Iridium Iridium è un sistema di satelliti per telecomunicazioni il cui nome deriva dall’elemento iridio che nella tavola periodica degli elementi è il 77. Il progetto iniziale prevedeva la messa in orbita di 77 satelliti su orbite circolari a 500 km di altezza, fra loro sincronizzati in modo da creare una rete di satelliti che, in ogni punto, poteva mettere in contatto telefonico due punti qualsiasi sulla superficie terrestre. In realtà solo 66 satelliti sono stati resi operativi, il consorzio che gestiva questa rete satellitare ha attraversato momenti difficili in quanto il sistema ha dei costi elevati che non tutti i potenziali utenti possono sostenere. Ieri sera ho visto delle strane luci nel cielo e mi chiedevo cosa fossero? Flares: Potrebbero essere satelliti artificiali. Ce ne sono una marea. Se colpiti dal sole al tramonto brillano per qualche secondo come stelle, poi scompaiono. Un Iridium flare è un fenomeno ottico visibile ad occhio nudo sulla sfera celeste, causato da satelliti artificiali in orbita intorno alla terra, in particolar modo dai satelliti Iridium. Accade quando le loro antenne riflettono la luce del Sole direttamente verso la Terra, creando un fascio di luce in movimento veloce in grado di illuminare una striscia ampia di una decina di chilometri (e lunga centinaia) sulla superficie terrestre. Questi flash possono essere molto luminosi (facilmente di magnitudine -4, e fino alla magnitudine –8, ma eccezionalmente possono arrivare alla –9,5). Possono essere osservati persino di giorno, sapendo bene dove si verificheranno. Pianeti del sistema solare https://www.facebook.com/JustEatingRealFood/videos/710540989073338/?pnref=story

Legge delle orbite: Prima legge di KepleroLa legge di Newton sulla gravitazione universale è una legge dinamica; prima di Newton la cinematica del moto dei pianeti era stata descritta da Giovanni Keplero (1571-1630) che aveva sintetizzato le innumerevoli osservazioni sulla posizione dei pianeti fatte da molti astronomi , tra cui Tycho Brahe (1546-1601), in tre leggi empiriche.L’Universo di Keplero è eliocentrico, cioè considera il Sole immobile e i pianeti che ruotano intorno ad esso, ma la posizione del Sole non è più centrale e le orbite dei pianeti non sono perfettamente circolari.  La prima legge riguarda la forma dell’orbita descritta dai pianeti intorno al Sole: I pianeti si muovono intorno al Sole percorrendo orbite ellittiche. Il Sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse. Keplero è stato il primo a parlare di orbite ellittiche. Prima di lui non ci si era mai allontanati dal concetto di traiettoria circolare. La perfezione del moto dei corpi celesti era infatti simboleggiata dal cerchio. La prima legge di Keplero è dimostrabile, come le altre tre, a partiredalla legge di gravitazione universale: questa prevede, matematicamente, che la traiettoria di un corpo sottoposto ad una forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza sia una conica e l’ellisse è una conica.      Legge delle aree: seconda legge di Keplero  Il raggio vettore che collega un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. Questa legge dice che il moto del pianeta non è uniforme. La velocità del pianeta varia con la distanza dal Sole: essa aumenta quando il pianeta si avvicina al Sole e diminuisce quando se ne allontana.   La II legge di Keplero esprime, con altre parole, un’altra legge di conservazione, quella del momento angolare.  Si definisce momento angolare L il prodotto vettoriale del raggio vettore r per la quantità di moto mv del satellite. L = r x mv  La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.     Legge dei periodi: terza legge di Keplero    Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali. Per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della distanza media R del pianeta dal Sole.T2 / R3 = costante R è la distanza media dal Sole cioè (Rmax + Rmin) / 2 = semiasse maggiore ” a ” dell’ellisse.   La costante è :  =  4(pgreco)2 / GM Invertendo il rapporto:    R3 / T2   =  GM  / 4(pgreco)2  Velocità di fuga: E = 1/2 m V^2 – GMm/R ; L’energia totale di un corpo di massa m nelle vicinanze di un corpo più grande di massa M, deve essere < 0 se il corpo  m rimane nel campo gravitazionale della massa M: la sua orbita sarà circolare o ellittica. Se  E = 1/2 m v^2 – GMm/R = 0, oppure > 0 allora l’orbita sarà aperta, parabolica o iperbolica e il corpo m si allontanerà da M. Condizione per un’orbita aperta, si ricava v, che è la velocità di fuga del corpo: 1/2 m v^2 – GMm/R = 0 v = √(2 * GM/R);     Velocità di fuga. Per la Terra: Massa -Terra = 5,98 x 10^24 kg Raggio-Terra = 6,38 * 10^6 m v = radquad ( 2 * G * M / R ) v fuga = radquad(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) = radquad(1,25 * 10^8) = 11182 m/s = 11,18 km/s Per la Luna:  Massa-Luna = 7,4 * 10^22 kg ; Raggio-Luna = 1,738 * 10^6 m v fuga = radquad(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,4 * 10^22 / 1,738 * 10^6) = 2383 m/s = 2,38 km/s Esercizio 1   1. Quanto vale g su un pianeta di massa tripla di quella della terra, e di raggio pari a 1/3? 2- A che distanza dalla superficie terrestre deve orbitare un satellite affinché g si riduca ad un quinto? Quale sarà a quella quota il periodo di un pendolo lungo 1 metro? 1) g = G * M / R^2 = 9,8 m/s^2 ;  (Campo gravitazionale) g’ = G * 3M / (R/3)^3 = (G * M / R^2) * 3 / (1/9) = = (G * M / R^2) * 3 * 9 = 9,8 * 27= 264,6 m/s^2 è un pianeta molto massiccio, quindi attrae molto di più della Terra. g’ = 1/5 g = 1,96 m/s^2 g’ = G * M / (Rterra +h)^2 Rterra + h = radquad(G * M/(1/5g) ) Rterra + h = radquad( 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 1,96) = = 1,43 * 10^7 metri altezza dalla superficie: h = 1,43 * 10^7 – 6,38 * 10^6 = 7,89 * 10^6 m ; (7890 km) Periodo T = 2 * pgreco * radquad ( l/g) T = 2 * 3,14 * radquad ( 1/1,96) = 4,49 secondi Esercizio 2 Phobos, una delle lune di Marte orbita a una distanza di 9378 km, dal centro del pianeta rosso. Marte ha una massa di 6,42 * 10^23 kg. Qual è il periodo di Phobos? Terza legge di Keplero T^2 / R^3 = 4 * (pigreco)^2/ (GM) T = radicequadr((4 * (pigreco)^2/(GM))* R^3) T = 27 575 s ; (dividendo per 3600, otteniamo il periodo in ore) T = 27 575 / 3600 = 7,66 h = 7 h 39,6 minuti Deimos (Terrore) e Phobos (Paura) sono i due satelliti di Marte. Phobos è a 9380 km di distanza dal pianeta Marte, ha un periodo di 7 h e 39 minuti. Deimos (più piccolo)si trova a 23460 km di distanza e ha un periodo di 30 h e 18 minuti. Sembrano due patate. 3) Un satellite di massa 2*10^3 kg ruota intorno alla terra a quota h=110 km. Il raggio della terra è circa 6300km, la massa della terra circa 5,98*10^24kg : a) trova la forza di attrazione della terra sul satellite             (G=6.67*10^(-11)m2/(kg*s^2)) b)la velocità del satellite. c)il periodo dell’ orbita. d) l’ energia potenziale del satellite. e) l’ energia meccanica totale del satellite. soluzione: F = G x M x m / (R + h)^2 = = 6,67 x10^-11 x 5,98*10^24 x 2*10^3 / ( 6,3 x10^6 x 1,1 x 10^5)^2 = 1,94 x 10^4 N V = radquad(GM/(R+h) ) = 7888 m/s T = 2 x 3,14 x 6,41 x 10^6 / 7888 = 5103 s (/ 3600) = 1,42 ore U = – G M m/ (R + h) = – 12,44 x 10^10 J E totale = U + 1/2 m V^2 = – 12,44 x 10^10 + 1/2 x 2 x 10^3 x 7888^2 = – 6,22 x 10^10 J negativa perchè il sistema è legato. 4) A quale distanza della superficie della terra deve orbitare un satellite artificiale perché il suo peso sia 1/3 di quello sulla terra? Il raggio della terra è Rt = 6,38 x 10^6 m ( = 6380 km)  G x M x m / (Rt+ h)^2 = 1/3( G x M x m / (Rt)^2 ) semplificando 1 / (Rt+ h)^2 = 1/ (3 (Rt)^2) (Rt+ h)^2 = (3 (Rt)^2) Rt + h = Rt x radquad3 h = Rt x radquad(3) – Rt h = 6,38 x 10^6 x 1,732 – 6,38 x 10^6 = =  4,67 x 10^6 m ; ( = 4670 km dalla superficie) Esercizio su satellite artificiale terrestre: a) Calcolare il periodo di rotazione intorno alla terra di un satellite artificiale che si muove su un orbita circolare ad una quota di 900 km, noti il raggio terrestre Rt=6,37 *10^3 km e la massa della terra Mt=5,98*10^24 kg.  b) Determinare a quale altezza deve orbitare il satellite, affinché il suo periodo di rotazione sia di 24 ore, cioè sia geostazionario. Soluzione: m V^2 /(R+h) = GMm / (R+h)^2 ; Forza di gravitazione = Forza centripeta; V = 2pgreco * (R+h) / T;        T è il periodo; Sostituiamo nella prima equazione; m (massa satellite), si semplifica e otteniamo la terza Legge di Keplero: 4 * pgreco^2 / T^2 = GM (R+h)^3; T^2/ (R+h)^3 = (4pgreco^2)/GM ;       ( 3a legge di Keplero); raggio dell’orbita —–> R + h = 6,37 * 10^6 + 9 * 10^5 = 7,27 x 10^6 metri T^2 = (4pgreco^2) * (R+h)^3 /GM; T = radquad( 39,48 * (7,27 * 10^6)^3 / 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 ) = = 6,17 * 10^3 secondi =  6170 / (3600s/h) = 1,71 ore. Con la stessa formula , poniamo T = 24 * 3600 s = 86400 s; R+h = radcubica( T^2 * GM/(4pgreco^2) ) = = radcubica(7,54 * 10^22) = 4,23 * 10^7 metri = = 42300 km dal centro della Terra; h = 42300 – 6370 = 36 000 km (circa); altezza dalla superficie terrestre. Esercizio (famosissimo, ideale) sul moto di un grave all’interno di un tunnel che passa per il centro della Terra: Si immagini un tunnel rettilineo che passa per il centro della terra. Si lascia cadere una pallina dentro un tunnel. Di che moto si muove la pallina? La pallina si muove su e giù di moto armonico.Legge del moto armonico: a = – (costante) * r; la costante è la pulsazione omega al quadrato. a = – ω^2 * r; (l’accelerazione è proporzionale allo spostamento r e in verso contrario). a = F / m(pallina). m = massa terrestre che attrae la pallina che cade verso il centro della terra: m = densità * volume; densità terra = M(terra) / (4/3pgreco R^3); immaginiamo la densità costante, la Terra omogenea di raggio R. Volume della massa attraente = 4/3 pgreco r^3; solo la massa m che sta sotto la pallina la attrae verso il centro. densità Terra =  M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) m = (densità Terra) * Volume; m = (M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) ) * 4/3 pgreco r^3 = = M(terra) r^3/R^3; F = – G * m * [m(pallina)]/r^2; r è la distanza dal centro della terra, r  diminuisce fino a diventare 0. a = F / m(pallina); a = [- G * m * m(pallina)/r^2 ]/ [m(pallina)] = = G * m /r^2 ;   a = – G * M(terra) r^3/R^3 / r^2; a = – (G * M(terra) / R^3) * r; L’accelerazione di gravità cresce con r all’interno della Terra. a = – (costante) * r; (moto armonico). (l’accelerazione è proporzionale a r. Nel centro della terra (r = 0), l’accelerazione si annulla, ma la pallina ha velocità massima e continua a muoversi, passa dall’altra parte della terra, poi viene richiamata di nuovo verso il centro. Seconda legge di Keplero Cometa di Halley:  immagini della cometa nel tempo. Comete 2014 Power Point Una cometa durante la sua orbita intorno al Sole passa nel punto di afelio, che si trova a 36 UA dal Sole, con la velocità di 0,90km/s.  La massa della cometa è di 6,0 * 10^10 kg. – Calcolare l’area spazzata dal suo raggio vettore in un secondo. (1 UA = 1,5 * 10^11 m). – Quanto vale l’area spazzata al perielio sempre in 1 s? – Calcola il modulo del momento angolare della cometa rispetto al centro del Sole quando si trova nel punto di afelio. 1UA = 1,5 x 10^11 m. Area = arco * raggio /2 = v * t * raggio/ 2V = 900 m/s; t = 1 secondo; Area = 900 * 1 * 36 * 1,5 * 10^11 /2 = =  2,43 * 10^15 m^2. L’area sarà sempre la stessa   ( 2a legge di Keplero); momento angolare = R * m * V = = (36 * 1,5 * 10^11) * 6 * 10^10 * 900  = = 2,92 * 10^26 J s   F = G M m / R^2 Sistema solare sistema solare Calcolo della forza di attrazione fra alcuni pianeti e la Terra, fra il Sole e la Terra. Confronto fra le forze.  F Terra-Sole = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 * 1,99 * 10^30 / (1,5 * 10^11)^2 = =  3,53 x 10^22 N. F Venere-Terra = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 * 4,87 * 10^24/(4,2 * 10^10)^2 = = 1,1 x 10^18 N; FGiove-Terra = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 * 1,90 * 10^27 / (6,2 * 10^11)^2 = = 1,97 * 10^18 N; F Terra-Saturno = 6,67 * 10^-11 * 5,98 x 10^24 x 5,69 x 10^26 / (1,25 x 10^12)^2 = =1,52 x 10^17 N Sommando le tre forze fra Terra e pianeti, come se i pianeti fossero tutti allineati con la Terra, troviamo:Fris = (1,1 +1,97 + 0,152) x 10^18 = 3,22 x 10^18 N Rapporto F(Terra-Sole) / Fris = 3,53 x 10^22 / 3,22 x 10^18 = 1,1 x 10^4 La forza Terra-Sole è 11000 volte maggiore della forza congiunta dei tre pianeti allineati. Quindi la Terra  non sente questa forza su di sè. Interessante! I pianeti non hanno alcuna influenza sulla Terra. Anche se fossero tutti allineati, la loro forza attrattiva è minima, rispetto a quella del Sole.   La cometa di Halley, che passa intorno al sole ogni 76 anni ha un’orbita ellittica. Quando è nel suo punto più vicino al sole (perielio) ha una distanza r(perielio) di 8,823×10^10 m e si muove con una velocità di modulo V(perielio)= 54,6 Km/s. Nel punto di maggiore distanza tra la cometa e il sole (afelio) il raggio vettore ha modulo r(afelio)= 6,152×10^12 m. La massa è 9,8×10^14 Kg. Calcolare il modulo della velocità della cometa all’afelio: V(afelio)=? Calcolare il momento angolare della cometa all’afelio e al perielio. ris.:V(afelio)=783 m/s e L(afelio)= 4,7×10^30 kgm^2/s Momento angolare: L = mv x R = 9,8 x 10^14 x 54600 x 8,823 x 10^10 = 4,72 x 10^30 kg m^2/s ( in perielio) Il momento angolare si conserva, rimane sempre lo stesso in perielio ed in afelio. V in afelio: mV x R(afelio) = L = 4,72 x 10^30 V(afelio) = L/(m x R) = = 4,72 x 10^30 /(9,8 x 10^14 x 6,152×10^12 ) = 783 m/s  Comete 2014 Power Point              Un buco nero ha una massa tale che la velocità di fuga è maggiore della velocità della luce. Quindi da esso non sfugge nulla. Il buco nero attrae tutto ciò che gli gravita intorno  Giove e i suoi satelliti principali. I satelliti medicei sono Io, Europa, Ganimede, Callisto.           Anno 2036 l’asteroide Apophis in rotta di collisione con la Terra     L’Asteroide si  chiama Apophis, dal dio dell’antico Egitto Apofì “il distruttore”, è lungo 390 metri e potrebbe colpire la terra nel 2036. Apophis, l’asteroide “99.942 conosciuto come 2004 MN4“ è così che viene catalogato, era già stato individuato nel 2004, è una vecchia conoscenza. Ma nonostante tutto, non dobbiamo lasciarci prendere dal panico, anche perchè in altri casi altri asteroidi dati comunque in rotta verso la Terra, man mano che si sono avvicinati e si è potuto studiarne la traiettoria con più precisione non hanno rappresentato un pericolo ed è potuto rientrato l’allarme. Sarà così anche questa volta?       Sistema  copernicano   —    Sistema tolemaico: due modo diversi di vedere il moto dei pianeti.