Errori sulle misure

semidispersione  eta = (Xmax – Xmin) / 2
La semidispersione può essere l’errore assoluto (delta L), della misura.
Semidispersione come errore assoluto.  
Esempio:  Il valore medio di una lunghezza L ,  ottenuto da diverse misure ottenute è 3,271 cm. La misura più piccola è 3,1 cm mentre la più grande è 3,4 cm. Come deve essere scritto il risultato finale?
delta L = (3,4 – 3,1) / 2 = 0,15 cm = 0,2 cm
(con un decimale solo perché le misure sono state fatte con uno strumento che permette di leggere il mm; hanno una precisione fino al millimetro, quindi un solo decimale).
 Il risultato deve avere un solo decimale 3,271 = 3,3 cm.
L = ( 3,3 +- 0,2) cm

Bidone del latte

Volume del contenitore del latte

(capacità = 1 litro = 1 dm^3)

a = 70 mm,  b = 70 mm,  c = 196 mm ; le misure sono state fatte con un righello che ha la sensibilità di 1 mm, quindi l’errore assoluto sulle misure è di 1 mm.

Misure  in centimetri con errore      a = (7,0 +/- 0,1) cm ; b = (7,0 +/- 0,1) cm ; c = (19,6 +/- 0,1) cm

V = a x b x c  =  70 x 70 x 196 = 960 400 mm^3 = 960,4 cm^3 = 0,9604 dm^3 < 1 litro;
il risultato del prodotto deve avere il numero di cifre significative che compaiono nel fattore con il minore numero di queste cifre.
7,0 ha due cifre significative, quindi il risultato sarà                   V = 960 cm^3; le cifre significative sono 2; 9 e 6; 0 non è significativo.

Errore relativo sulla misura:   Er = (ΔV) / V

Er = (ΔV) / V = (Δa) / a + (Δb) / b + (Δc) / c

Errore rel. = 0,1/7,0  + 0,1/7,0 + 0,1 / 19,6 = 0,0337  ;  

Errore percentuale =  0,0337 x 100 / 100 = 3,4 %

Errore assoluto sul volume

0,034 x 960 cm^3 = 32,64 cm^3 = 33 cm^3  ;
V = ( 960 +- 33 ) cm^3  = (0,960 +- 0,033) dm^3

Volume di un contenitore cilindrico

Volume = (area_base)  x  altezza =  π  x R^2 x h

raggio = (2,6 +/- 0,1) cm ; 2 cifre significative
h = (13,4 +/-0,1) cm; 3 cifre significative

  V = (pgreco) x r ^2 x h = 3,14 x 2,6^2 x 13,4 = 284, 6 cm^3 con due cifre significative diventa: V = 280 cm^3

Errore relativo sulla misura:

 Er = (ΔV) / V = (ΔR) / R + (ΔR) / R + (Δh) / h

Errore rel. = 0,1/2,6  + 0,1/2,6 + 0,1 / 13,4 = 0,0843  ; 

  Errore percentuale =  0,0843 x 100 = 8,4 %

Errore assoluto sul volume

ΔV = (Errore relativo) x Volume

0.084 x 280 cm^3 = 24 cm^3

V = ( 280 +/- 24 ) cm^3  = (0,28 +/- 0,024) dm^3

Calcolo di volumi:
1 – All’interno di una fioriera di sezione rettangolare di lati 50 cm e 42 cm , cadono 6 mm di pioggia.
Calcola il volume di acqua raccolta, in metri e poi esprimilo in litri.

2- Un bambino mette una sferetta di raggio 3 cm dentro una scatola metallica di dimensioni (10 cm) x (10 cm) x ( 5,1 cm). Poi riempie la scatola di acqua.
Calcola il volume di acqua necessario a riempire la scatola.

1) Volume = 50 x 42 x 0,6 = 1260 cm^3

in m^3:   ci sono due posti fa cm^3 e m^3, bisogna dividere per 1000, (moltiplicare x 10^-3) per ogni salto di misura).

1260 cm^3 x 10^-6 = 1,26 x 10^-3 m^3

1litro = 1 dm^3;  da cm^3 a dm^3 c’è un posto, si moltiplica per 10^-3

1260 cm^3 x 10^-3 = 1,26 litri.

2) Volume scatola = 10 x 10 x 5,1 = 510 cm^3

volume sfera = 4/3 x (π) x R^3 = 113 cm^3

Volume acqua = 510 – 113 = 397 cm^3

Cilindro

Laboratorio   

Densità di un cilindro metallico

raggio = (2,3 +/- 0,1)cm;  h = ( 5,6 +/- 0,1) cm

Volume = (π) x r^2 x h = 93,07 cm^3 = 93 cm^3

massa = (241+/-1) g

densità = 241/93 = 2,6 g/cm^3 ( è alluminio)

Errore rel. (volume) = 0,1/2,3  + 0,1/2,3 + 0,1 / 5,6 = = 0,105  ;   Errore percentuale =  0,105 x 100 = 10,5 %

Errore relativo sulla densità

(si sommano gli errori relativi su massa e volume)

Errore rel. (densità) = 1/241  + 0,105 = 0,109

Errore assoluto sulla denstità = 0,109 x 2,59 = 0,28  g / cm^3   

densità cilindro = ( 2,6 +/- 0,3 ) g / cm^3 

La densità nel Sistema di misura internazionale si misura in kg/m^3.

L’alluminio ha una densità di 2700 kg/m^3

Misura sperimentale di volume:

Per determinare il volume di un corpo di forma irregolare lo si immerge in un recipiente cilindrico pieno di acqua avente la sezione di
(15, 6 +- 0,3) cm^2. Tenendo presente che il livello dell’acqua si innalza di (1, 4+- 0,1 ) cm, esprimere la misura del volume del corpo con l’indicazione dell’errore.

Volume del corpo = Area_base x dislivello

Volume = 15,6 x 1,4 = 21,8 cm^3 = 22 cm^3 (2 cifre significative)

Errore relativo = 0,3/15,6 + 0,1/1,4 = 0,09

Errore assoluto = (Errore relativo) x Volume

Errore assoluto = 0,09 x 22 = 1,98 cm^3—> si arrotonda a 2 cm^3

  V = ( 22 +- 2) cm^3  (risultato con 2 cifre significative, come il dato dell’innalzamento   h = 1,4 cm, che ha due sole cifre significative.

    DDurante il restauro di un mosaico, si procede alla catalogazione delle tessere distaccate dalla parete. La misura delle dimensioni di una tessera di mosaico ha dato  i seguenti risultati: 
    24,50 mm ± 0,05 mm,
12,70 mm ± 0,05 mm,
16,85 mm ± 0,05 mm.
Sapendo che la tessera è a forma di parallelepipedo rettangolo calcolare il volume con l’ errore assoluto.
[Ris.: V = (5,24  ±  0,05) cm^3]
 Volume = 12,70 x 16,85 x 24,50 = 5243 mm^3
Errore relativo = 0,05/12,70 + 0,05/16,85 + 0,05/24,50 = 0,00895
Errore assoluto = 0,00895 x 5243 = 46,90 mm^3
V = (5243 +- 47) mm^3
V = (5,243 +- 0,047) cm^3
–  Un cubetto di alluminio viene utilizzato per costruire un dado da incastro. La lunghezza del lato del dado è (3,05 ± 0,05) cm. La densità dell’ alluminio vale (2960 ± 60) kg/m³.  (I dati hanno tre cifre significative)
– Calcolare il valore della sua massa
– Calcolare la sua incertezza. 

Volume = 3,05^3 = 28,4 cm^3

densità = (2960 ± 60)kg/m³. = 2,960 +- 0,060 ) g/cm^3 ( conosciuta fino al grammo, quindi il risultato neo può essere più preciso del grammo).

massa = densità x volume

massa = 2,960 x 28,4 = 83,98 grammi = 84,1 grammi

errore relativo Er = Delta m / m
Er = 3 x (0,05/3,05) + 0,060/2,960) = 0,0694

errore assoluto

Delta m = Er x m = 0,0694 x 84,1 = 5,84 g = 58,4 grammi

massa in grammi = (84,1 +- 58,4) g

in kg = (84 x 10^-3 +- 6 x 10^-3 ) kg

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Cifre significative di un numero

  • Tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative.
  • gli zeri compresi tra digit non nulli sono cifre significative.
    esempio: gli zeri del numero seguente (tutti) sono significativi 4506002
  • gli zeri che precedono la prima cifra significativa (digit non nullo) non sono cifre significative.
    esempio: in 0,0012, gli zeri del numero non sono cifre significative (il numero in questione ha due sole cifre significative)
  • Gli zeri finali sono significativi solo se presente la virgola (o punto decimale in inglese).
    esempio: in 13900   gli zeri del numero non sono significativi, ma in 13900,0 tutti gli zeri (prima e dopo la virgola) sono significativi.
Regole per addizioni e sottrazioni

  • Il numero risultante ha lo stesso numero di cifre decimali del numero a minor numero di cifre decimali.
    esempio:

       5.36  
    + 99.124 
    ---------
     104.48 (2 cifre decimali)
 Regole per moltiplicazione e divisione

  • Il numero risultante (prodotto) ha lo stesso numero di cifre significative del fattore con il minor numero di citre significative.
    esempio:

     15.322 
    x 3.12 
    ---------
     47.8 (3 cifre significative)

     Regole per l’arrotondamento

    1. Per semplicità, nei calcoli intermedi mantenere tutti le cifre e arrotondare i valori finali al numero richiesto (corretto) di cifre significative.
    2. L’arrotondamento va effettuato, di norma, prendendo in considerazione solamente la prima cifra oltre l’ultima significativa (chiamiamola “extra”).
      • se tale cifra è minore o uguale a 4, il valore dell’ultima cifra significativa rimane inalterato.
      • se è maggiore o uguale a 5, il valore dell’ultima cifra significativa deve essere incrementato di una unità.

    esempi

    1. Arrotondare 12.5364 a 3 cifre significative
      12.5364
      Il risultato dell’arrotondamento: 12.5Arrotondare 12.5776 a 3 cifre significative
      12.5776
      Il risultato dell’arrotondamento: 12.6Arrotondare 1.5556 a 3 cifre significative
      1.5552
      Il risultato dell’arrotondamento:1.56

S.I.  Sistema Internazionale: le unità di misura fondamentali.

Il S.I. prevede 7 grandezze fondamentali e ne definisce le unità di misura:

 

Grandezza Unità
di misura
Simbolo
Intervallo di tempo secondo  s
Lunghezza metro  m
Massa chilogrammo  kg
Temperatura  kelvin   K
Quantità di sostanza mole  mol
Intensità di corrente elettrica ampere  A
Intensità luminosa candela  cd

Origine dei nomi delle unità di misura

 secondo

 Abbreviazione per minuto secondo.
Il minuto è un’unità di misura sessagesimale per gli angoli e per il tempo (unità non legalmente autorizzata dal S.I.). Dal latino minutum, participio passato di minuere = rendere più piccolo.
Si distinguono:

  • minuto primo = minuto = 1/60 di grado (angoli) opp. 1/60 di ora (tempo)
  • minuto secondo = secondo = 1/60 di minuto primo
metro Dal greco méetron, latino metrum = misura (in senso generale, non specificatamente di lunghezza). Il termine metro viene usato in varie accezioni nel Medio Evo e nel Rinascimento.
Il 26-5-1791 l’Accademia francese delle Scienze propone il termine metro per l’unità di lunghezza, definita come la frazione 1/10000000 dell’arco di meridiano dal polo all’equatore.
kilogrammo  Da kilo + grammo = 1000 grammi.
Il termine grammo (francese gramme) fu introdotto con il significato attuale dalla riforma metrica francese di fine 700. Deriva dal tardo latino gramma = 1/24 di oncia.
kelvin   Dal nome del fisico inglese William Thomson, lord Kelvin (Belfast 1824 – Neterhall 1907). Professore di fisica all’Università di Glasgow, presidente della Royal Society. Ha dato contributi fondamentali alla ricerca nel campo della termodinamica.
 ampère  Dal nome del fisico e matematico francese André-Marie Ampère (Lione 1775 – Marsiglia 1836). Professore di matematica all’Ecole Polytechnique e di fisica al Collège de France. Ha dato un contributo fondamentale alla comprensione e sistemazione teorica dell’elettrodinamica.

 

 

  

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