Tutti i corpi cadono di moto accelerato con accelerazione di gravità

g = – 9,8 m/s^2

(in assenza di attrito). La forza peso è: F = massa * g.

Sulla Luna Apollo 15 : https://www.youtube.com/watch?v=KIHsl5muVYM&t=5s
La piuma e il martello cadono nello stesso tempo in assenza di attrito.

piuma

Rudimentale misura di g:
Si vuole stimare il valore dell’accelerazione, di gravità. Lasciamo cadere da fermo un grave da un’altezza di 25,3 m. L’Incertezza sull’altezza 0,5 m. Si rileva poi con un cronometro il tempo di caduta: risultato della misura è 2,3 secondi con un’incertezza di 0,1 s

Calcolare la migliore stima di g  effettuata  utilizzando i dati e  l’incertezza assoluta associata a questo valore.

h = 1/2 g t^2;

g = 2 * h / t^2;

g = 2 * 25,3 / 2,3^2 = 9,57 m/s^2;

Errore relativo su g:

(Delta g) / g = 0,5 / 25,3 + 2 * 0,1 /2,3 = 0,107;
Delta g = 0,107 * 9,57 = 1,0 m/s^2;
g = (9,6 +- 1,0) m/s^2.

Con attrito che cosa succede al tempo? L’attrito è sempre contrario al verso del moto. Quando il corpo sale, l’attrito agisce verso il basso come la gravità. Quando il corpo scende, l’attrito agisce verso l’alto, frenando la caduta.

S = 1/2 a t^2;

t = radice(2 * S / a);

Una palla viene lanciata verticalmente in alto. Considerando la resistenza dell’aria, il tempo di salita è maggiore di quello di discesa?

Nella fase di salita la decelerazione è  a1 =  – 9,8 – ar,  dove “ar” è la decelerazione dovuta alla resistenza dell’aria.

Nella fase di discesa l’accelerazione vale a2 = – 9,8 + ar.

in valore assoluto |- 9,8 – ar| > |- 9,8 + ar |;
a1 > a2;

t salita = radice(2 * S / a1);

t discesa = radice(2 * S / a2);

t salita < t discesa.

In presenza di attrito, il corpo impiega più tempo a scendere.

Galileo comincia a studiare il moto di caduta dei corpi all’inizio della sua carriera, quando fra il 1589 e il 1592 tiene a Pisa la cattedra di matematica, e perfeziona la sua spiegazione del fenomeno durante il resto della sua vita, fino agli ultimi anni trascorsi in isolamento. L’episodio di Galileo che sperimenta le sue ipotesi lasciando cadere corpi diversi dalla cima della Torre di Pisa è riportato dal suo allievo Vincenzo Viviani, ma gli storici mettono in dubbio che sia realmente accaduto.

Da Aristotele in poi si riteneva che la velocità di caduta di un corpo dipendesse dal suo peso. In pratica si pensava che, lasciando cadere una biglia di piombo e una uguale di sughero, la prima sarebbe arrivata a terra prima. Se fate la prova, verificherete che succede proprio così! Galileo però si era accorto che nella realtà è determinante il mezzo in cui cadono i corpi, cioè che ad esempio in acqua il distacco fra le due biglie è maggiore che nell’aria. Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze concluderà che: “(…) se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie discenderebbero con eguali velocità”.

Per confutare la teoria aristotelica secondo cui la velocità di caduta di un corpo dipende dal suo peso, Galileo propone un ragionamento di questo tipo: “Se abbiamo due pesi, uno da 10 e uno da 5 chilogrammi, secondo Aristotele quello da 10 kg cadrà il doppio più veloce dell’altro. Ma sempre secondo Aristotele, se uniamo i due corpi, quello da 10 kg, dato che di natura va più veloce, tenderà a velocizzare quello da 5 kg; quest’ultimo, invece, farà rallentare quello da 10 kg, e si raggiungerà quindi una velocità intermedia. D’altra parte si può anche pensare che, se uniamo i due corpi, il peso totale sarà 15 kg e quindi di natura l’unione di questi corpi andrà ad una velocità superiore alla velocità del peso di 10 kg e non ad una velocità intermedia”. Le due conclusioni, logicamente corrette, portano a verità contrastanti. Se ne deve concludere che l’ipotesi iniziale è errata.

 

In ogni luogo della Terra l’accelerazione di gravità assume un valore preciso che dipende dalla latitudine, dall’altitudine, dal tipo di roccia sottostante…..

http://museo.liceofoscarini.it/virtuale/gravita.phtml

A San Marino :  Altezza h = 600 m; Latitudine φ = 40°

g = 9,7895 m/s^2

TUBO DI NEWTON

Strumento per dimostrare che nel vuoto corpi con peso e forma diversa cadono con la stessa accelerazione e velocità. Il vuoto viene ottenuto mediante macchina pneumatica.

Tubo di vetro lungo un metro circa, con una valvola, da cui si toglie l’aria con una pompa. Dentro al tubo c’è una piuma e un oggetto pesante.

Senza aria che produce attrito,  piuma e oggetto cadono insieme con la stessa accelerazione e arrivano simultaneamente a fine caduta dentro il tubo tenuto in posizione verticale.

Strumento antico del 1904.

 

La caduta dei corpi è stato un argomento molto discusso. Si deve a Galileo l’affermazione che tutti i corpi cadono nel vuoto con la stessa velocità, indipendentemente dalla loro massa, contraddicendo Aristotele. La cosa non è facile da accettare e sembra quasi un paradosso. Questo perché la nostra esperienza “pratica” ci porta ad affermare che le cose sono  diverse. Infatti un foglio di carta e una biglia lasciate cadere contemporaneamente non arrivano a terra nello stesso momento. Ci si dimentica dell’effetto frenante per niente trascurabile dell’aria atmosferica. Si dimostra che i corpi cadono con la stessa velocità ricorrendo ad un dispositivo noto come di Tubo di Newton. Esso rappresenta un “classico” ed è presente nei laboratori di fisica dei licei di tutto il mondo.

g = G * M Terra / (RTerra)^2;

G = 6,67 * 10^-11 N*m^2/kg^2; costante di gravitazione universale.

Sulla superficie terrestre:

g = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,38 * 10^6) = 9,8 m/s^2.

Esempio:

Un pianeta ha massa 1,0 * 10^26 kg. Sulla superficie g vale 15 m/s^2.

E’ più o meno grande della terra?

g = G * M / R^2;

raggio R = radicequadrata(G * M / g);

R =  radicequadrata(6,67 * 10^-11 * 1,0 * 10^26 / 15);

R =  radicequadrata(4,447 * 10^14) = 2,11 * 10^7 m;

è un pianeta più grande della Terra:

RTerra = 6,38 * 10^6 m;

facendo il rapporto fra i raggi si ottiene:

R / R Terra =  2,11 * 10^7 / (6,38 * 10^6) = 3,3.

R pianeta = 3,3 R Terra.

Il volume del pianeta è 3,3^3 = 36 volte più grande di quello della Terra.

Se un corpo viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale Vo, sale fino ad altezza massima in un tempo t e scende nello stesso tempo t. Si chiama tempo di volo il tempo di salita + il tempo di discesa. Nel punto più alto il corpo si ferma e inverte il moto, la velocità cresce verso il basso.

Esempio 1:
Un corpo viene lanciato verticalmente, da terra verso l’alto, con velocità Vo = 20 m/s. Trovare:
a)  il tempo per raggiungere la massima altezza h,
b) il tempo di volo per tornare al punto di partenza
c)  la velocità di impatto quando torna al punto di partenza.

Vo = + 20 m/s (verso l’alto)
Legge del moto accelerato:

V = – 9,8 * t + 20

S = 1/2 * (-9,8) * t^2 + 20 * t; queste sono le due equazioni che servono

Nel punto più alto V = 0 m/s. (Nel punto più alto il corpo si ferma e inverte il moto, la velocità cresce verso il basso).

g *t + Vo = 0

t = – Vo/g

hmax = 1/2 * g * t^2 + Vo * t;

hmax = 1/2 * g * (-Vo/g)^2 + Vo * (-Vo/g)

hmax = 1/2 * (-Vo)^2/g  – Vo^2 /g = + 1/2 Vo^2 /g – Vo^2 /g

h max = – Vo^2/2g

– 9,8 * t + 20 = 0

t = 20/9,8= 2,04 s ; ( tempo di salita)

h = – Vo^2/2g = 400/19,6 = 20,4 m )

tempo di volo: si trova ponendo S = 0 m

1/2 g t^2 + Vo t = 0

t * ( 1/2 g t + Vo) = 0

t1 = 0 s (quando è a terra, prima di partire)

t2 = – 2 Vo/g ;  ( tempo di volo, il doppio del tempo di salita).

t2 = – 2 * 20/(-9,8) = 4,08 s

Oppure possiamo fare così:

per tornare a terra  da quota hmax impiega lo stesso tempo che ha impiegato per salire.

t = radquad( 2 *hmax/9,8) = radquad( 2 * 20,4/9,8) = 2,04 s
tempo totale di volo = 2,04 + 2,04 = 4,08 s

Vfinale = – 9,8 * 4,08 + 20 = – 20 m/s
(stessa velocità di partenza, ma negativa, cioè verso il basso).

verticale

Esempio 2:
Un sasso è lanciato verso l’alto da una altezza ho = 2,0 m dal suolo. Sapendo che la velocità iniziale è verticale e diretta verso l’alto, di modulo vo = 14,4 km/h,

– calcolare il tempo totale in cui avviene il moto del grave e la altezza che raggiunge dal suolo.

– Calcolare inoltre la velocità massima e quella che assume in discesa alla distanza di 50 cm dal suolo.

vo = 14,4 km/h / 3,6 = 4 m/s (velocità iniziale).

agisce l’accelerazione g = – 9,8 m/s^2

v = g * t + vo

Sale verso l’alto, nel punto più alto si ferma e inverte il moto.

v = 0 m/s

– 9,8 * t + 4 = 0

t = – 4 / – 9,8 = 0,408 s  (tempo di salita).

Altezza dal suolo:

h = 1/2 g t^2 + vo * t + ho

h = 1/2 * (- 9,8) * 0,408^2 + 4 * 0,408 + 2 = 2,82 m (altezza dal suolo).

Tempo totale di volo:  h = 0 m (arriva a terra).

1/2 g t^2 + vo * t + ho = 0

– 4,9 * t^2 + 4 * t + 2 = 0

4,9 * t^2 – 4 * t – 2 = 0

t = [2 +-radice(4 + 2 * 4,9) ] / 4,9

t = [2 +- 3,71]/4,9 ; prendiamo la soluzione positiva:

t1 = 5,71 / 4,9 = 1,165 s

Velocità massima, verso il basso quando arriva a  terra:

v = – 9,8 * 1,165 + 4 = – 7,42 m/s  (verso il basso, prima di toccare terra).

Con l’energia, g = + 9,8 m/s^2, è positiva.

L’energia si conserva;
energia potenziale = m g h; energia cinetica = 1/2 m v^2.

Energia iniziale:

mgho + 1/2 m vo^2 ;  rimane costante.

per h = 50 cm = 0,5 m;  v = ?

mgh + 1/2 m v^2 = mgho + 1/2 m vo^2

v = radicequadrata( 2 * g * (ho – h) + vo^2) =

m g * 0,5 + 1/2 m v^2 = m g * 2 + 1/2 m * 4^2;  m si semplifica.

1/2 v^2 = g * 2 + 1/2 * 4^2 – g *  0,5

v^2 = 2 * g * (2 – 0,5) + 16

v = radicequadrata( 45,4) = 6,74 m/s (velocità a 50 cm da terra).

Esempio 3)

Da un palazzo alto So = 16 metri lascio cadere un oggetto nello stesso istante in cui parte dal suolo un altro oggetto con velocità di 10 m/s . I due moti sono rettilinei e non c’è attrito.

gravi

  • Determinare in quale istante i due oggetti si incontrano ;
  • in quale istante hanno la stessa velocità.

S = 1/2 g t^2 + So; primo moto di caduta, parte da So =16 m e arriva a terra, S = 0 m alla fine del moto.

1/2 * (-9,8 ) * t^2 + 16 = S

– 4,9 * t^2 + 16 = S;

Secondo moto:

S = 1/2 g t^2 + vo * t ;

moto in salita parte da terra con vo = 10 m/s.

S = 1/2 * (-9,8) * t^2 + 10 * t;

Le due equazioni diventano:

– 4,9 * t^2 + 16 = S;

– 4,9 * t^2 + 10 *t = S;

Poniamo S = S.

– 4,9 * t^2 + 16  = – 4,9 * t^2 + 10 *t;

Rimane: 10 * t = 16;

t = 16/10 = 1,6 s, (tempo di incontro).

S = – 4,9 * 1,6^2 + 10 * 1,6 = 3,46 metri, (punto di incontro).

v = + 9,8 * t; moto di caduta partendo da fermo verso il basso accelera.

v = – 9,8 * t + 10; decelera verso l’alto.

v = v;   (stessa velocità in modulo).

9,8 * t = – 9,8 * t + 10;

19,6 * t = 10

t = 0,51 s (tempo in cui hanno la stessa velocità, però con verso diverso).

v1 = 9,8 * 0,51 = 5 m/s (verso il basso);
v2 = – 9,8 * 0,51 + 10 = 5 m/s (verso l’alto).

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CADUTA GRAVI DALLA FINESTRA DEL LABORATORIO DI FISICA

6 novembre 2009 Classe  4 classico-linguistico

g = 2 * h /t^2;  h = 5,60 m;  t = 1,07 s.

Risultati dell’esperienza

Apri il file per vedere i risultati della prova

Foglio elettronico excel

istogramma novembre 13

Galileo provò che corpi di massa diversa arrivano a terra nello

stesso tempo.

Il moto di caduta è uniformemente accelerato.
Esperienza caduta di gravi da un’altezza h.

h = (20,00+/- 0,01) m, per ottenere il valore della accelerazione di gravità g.

(h = 1/2 g t^2;   g = 9,8 m/s^2)

Valore ottenuto dalla  classe 3 scientifico A  della Scuola Superiore di San Marino,

il giorno 19 settembre 2009

Apri il file per vedere i dati e i risultati dell’esperienza.

In assenza di attrito, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione che vale  g = 9,8 m/s^2, nello stesso tempo t e arrivano a terra con la stessa velocità finale.

Raccolta dati: tempo di caduta in secondi.

frequenza 4 11 33 5 2 1 1 2
tempo(s) 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,5 2,6 2,8
Totale numero dati 59

Tempo medio di caduta =   119,7/59  =  2,023 = 2,0 s

g = 2 * h / t^2 ; g = 2 * 20 / 2,0 = 10,0 m/s^2

errore relativo sulla misura

0,01 /20,00 + 0,1/ 2,0 + 0,1/ 2,0 = 0,1005

errore assoluto = 0,1005 * 10,0 =1,0 m/s^2

g = (10,0 +/- 1,0) m/s^2.