Lavoro della forza peso ed energia potenziale.

La forza di gravità ( peso) è una forza conservativa:

il lavoro che essa compie dipende solo dalla posizione iniziale e finale di un corpo che si sposta sotto l’azione della forza e non dallo spostamento effettuato. In ogni punto si definisce l’energia potenziale del corpo, quindi il lavoro si ottiene  facendo la differenza fra i due valori di energia potenziale (iniziale meno finale).
energiapotenziale

Il lavoro della forza peso è indipendente
dallo spostamento
( se non agiscono forze d’attrito).

  L = F ·S · cos a;  L = – mg · (h1 – h0 

   (F =  ─ mg è la forza peso negativa
perché verso il basso,
S = h1 – h0, verticale, a = 0°,    cos a = 1).      

Moltiplicando, si ottiene:

  L = mgh0 – mgh1, cioè    L = U0 -U1

           U = mgh      è l’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa m, posto ad una altezza h, in prossimità della   superficie terrestre.

 Potenza = Lavoro / tempo; è il lavoro fatto in un secondo di tempo.
Si misura in Watt (W)

 

L’energia elastica è l’energia interna, potenziale (U) che può essere convertita in energia meccanica (lavoro).

Una molla non deformata (x = 0) si dice in posizione di equilibrio. La forza elastica di richiamo è sempre diretta verso la posizione di equilibrio (è quindi una forza centripeta) ed è uguale e contraria alla forza impiegata per la deformazione (determinata dalla legge di Hooke)

Forza per deformare una molla  F = K X

Forza di richiamo della molla   F = – K X

Il segno –  non significa che la forza di richiamo è sempre negativa, ma che è opposta alla deformazione X.

lavoro_molla (18K)

.
Osservando il grafico, si può determinare il valore della costante elastica K e calcolare il lavoro impiegato per allungare la molla da 0 a 8 mm. Il lavoro è rappresentato dall’area sottostante il grafico, mandando la perpendicolare dal punto (8;8) fino all’asse delle ascisse. Si ottiene un triangolo rettangolo.  Il lavoro della forza è l’area del triangolo rettangolo.Area = base x altezza /2 =  Spostamento x forza / 2Lavoro =   X * K X / 2 = 1/2 K X^2
– Calcolare il lavoro corrispondente della forza di richiamo. Il lavoro fatto per deformare una molla si può determinare in modo grafico. Osservando la scala del grafico si può constatare che la costante elastica della molla vale:k = 1 N /mm = 1000 N/m

Il lavoro si calcola dall’area sotto il grafico oppure dalla relazione: 

L = 1/2 k x2

Chi deforma la molla fa un lavoro positivo di 32 mJ, la forza di richiamo della molla compie invece un lavoro resistente opposto di – 32 mJ. Il lavoro totale è nullo.

molla (37K)

Immaginiamo che alla molla sia collegata una massa m. Dopo aver deformato la molla, lasciamo libera la massa di oscillare su un piano orizzontale liscio. Che lavoro farà ora la forza di richiamo?

Se la molla è lasciata libera, l’unica forza sarà quella di richiamo (supponendo trascurabili le forze d’attrito non conservative). Poichè la forza di richiamo è sempre diretta verso il centro di equilibrio, quando la massa si avvicina ad esso, il lavoro della forza di richiamo è positivo, quando se ne allontana il lavoro è negativo.

Nel caso di una molla allora l’energia potenziale elastica immagazzinata nella molla è:

    E = \frac{1}{2} k x^2

dove K ( in N/m), è la costante elastica della molla (che compare nella legge di Hooke) e X in metri, è l’allungamento della molla.

La forza elastica è una forza conservativa. Il lavoro dipende dallo spostamento X e si calcola:

   L = Uo – U1 

             (energia potenziale iniziale) – (energia potenziale finale)

Esercizio 1:  Su un piano orizzontale privo di attrito un corpo di massa m = 3kg si muove con velocità v= 8 m/s. Ad un certo istante il corpo urta contro  una molla di costante elastica k=2 x 10^3 N/m che si trova inizialmente a riposo e la contrae fino a fermarsi. Calcolare la massima variazione di lunghezza X subita dalla molla per effetto del contatto con il corpo.

L’energia cinetica diventa energia elastica della molla.

1/2 K X^2 = 1/2 m V^2

X^2 = m V^2/ K = 3 x 8^2/2 x 10^3 = 9,6 x 10^-2

X = rdaquad(9,6 x 10^-2) = 0,31 metri = 31 cm

Esercizio 2:  Un fucile a molla è caricato e puntato verso l’alto. La molla, di costante elastica 20 N/m, è compressa di 20 cm e spara una pallina di massa 25 g. Supponiamo che gli attriti siano trascurabili.
A che altezza dal punto di partenza arriva la pallina quando viene sparata?

1/2 K X^2 = mgh     l’energia potenziale elastica (1/2 K X^2), si trasforma in energia potenziale gravitazionale (mgh)X è la compressione in metri :                       20 cm = 0,2 m
1/2 x 20 x 0,2^2 = 0,4 J

mgh = 0,4 J ; (l’energia si conserva)

la massa deve essere in kg. m = 0,025 kg

h = 0,4/mg = 0,4 / (0,025 x 9,8) = 1,63 m

3) Un blocco di massa m=500g premuto contro una molla con costante elastica K=450N/m, parte quando la molla si scarica. Il corpo si muove sul piano senza attrito fino al punto B con velocità 12m/s, dopo il punto B il blocco sale su una curva di raggio r = 1 m con attrito; la forza d’attrito vale in media Fd = 7N.
1)  Determinare la compressione iniziale della molla;
2) determinare la velocità del blocco alla sommità della curva (punto c);
3) dire se il blocco riuscirà a raggiungere il punto più alto o cadrà prima.

1/2 K X^2 = 1/2 m V^2 = 36 J

X = radquad(mV^2/K)

X = radquad(0,5 x 12^2/450) = 0,4 m (compressione)
energia potenziale finale = U1 = mgh = mg x (2R) = 0,5 x 9,8 x 2 = 9,8 J
Lavoro forza peso = Uo – U1 =0 – 9,8 = – 9,8 J
Lavoro forza d’attrito = F x S = 7 x (2 pgreco x R /2)
Lattrito = 7 x 3,14 x 1 = 21,98 J (lavoro resistente, frenante)
Lavoro delle forze = – 9,8 – 21,98 = -31,78 J
Teorema energia cinetica: L = 1/2 m Va^2 – 1/2 m Vo^2

1/2 m Va^2 = L + 1/2 m Vo^2

1/2 m Va^2 = – 31,78 + 36 = 4,22 J (energia cinetica rimanente in A, nel punto in alto)

Va = radquad(4,22 x 2/0,5) = 4,11 m/s
Per non cadere il corpo deve avere una velocità tale che la forza centripeta sia maggiore o uguale al peso
m V^2 / R = mg
V = radquad(gR) = radquad(9,8 x 1) = 3,13 m/s
Va > 3,13 m/s , quindi riesce a raggiungere il punto in alto e non cade.

Esercizi sulla potenza e costi dell’energia elettrica:
Potenza erogata da una cascata

1) Un letto di un fiumiciattolo è largo 3m e alto 0,5 m, la velocità dell’acqua a ridosso della cascata è 1,2 m/s. la cascata è alta 5 m.
Se ho un impianto domestico che produce energia con l’efficienza del 25%: trovare la potenza erogata.

soluzione:

Portata Q = Area x velocità = 3 x 0,5 x 1,2 = 1,8 m^3 / s = 1800 litri/s = 1800 kg/s
Potenza =Energia/s = mgh/t = 1800 x 9,8 x 5 = 88200 Watt
rendimento = 25% = 25/100
Potenza erogata = 88200 x25/100 = 22050 W = 22,05 kW

 

2) Gli apparecchi elettronici domestici dotati di funzione standby, consumano una potenza elettrica dell’ordine di 5W anche quando apparentemente spenti. Supponendo che l’apparecchio rimanga spento in media per 10 h al giorno, e che l’energia elettrica costi 0,20 euro/kWh, determinare: 

a) la spesa annuale aggiuntiva derivante dalla potenza impiegata dalla funzione standby 
b) Calcolare la spesa complessiva in Italia ipotizzando la presenza di un solo apparecchio in ognuna delle 25 milioni di famiglie. 

Se un apparecchio resta acceso per 14 h in standby ogni giorno, consuma:

Energia = 5 W x 14 h = 70 Wh = 0,07 kWh al giorno

per 365 giorni: 0,07 x 365 = 25,55 kWh

spesa annuale = 25,55 x 0,20 = 5,11 Euro

5,11 x 25 x 10^6 = 1,28 x 10^8 Euro = 128 milioni di Euro

Energia = 5 W x 14 h = 70 Wh = 0,07 kWh al giorno

per 365 giorni: 0,07 x 365 = 25,55 kWh

spesa annuale = 25,55 x 0,20 = 5,11 Euro

5,11 x 25 x 10^6 = 1,28 x 10^8 Euro = 128 milioni di Euro

 

immagini di esempi di eventi fisici

immagini di esempi di eventi fisici

 

 

 

 

 

 

 

 



 

Trasformazione di energia (vedi es. 9). Conservazione di energia in assenza di attrito.

La pallina rossa in figura 9 ha massa m = 50 g e raggio trascurabile. Essa è poggiata ad una molla di costante elastica 500 N/m nel punto A di una guida priva d’attrito.
Sapendo che la pallina nel punto A parte da ferma, che la molla è compressa di 10 cm e che il raggio del giro della morte è di 24 cm, determinare:

(a) L’energia potenziale nel punto A in cui la molla è compressa di 10cm
(b) L’energia meccanica della pallina nel punto B
(c) L’altezza massima h raggiunta sulla guida dalla pallina

1/2 K X^2 = 1/2 mV^2 + mgh

L’energia elastica diventa cinetica + potenziale;

L’energia si conserva: l’energia meccanica nel punto B è 1/2 m V^2 + mgh ed è uguale a quella della molla 1/2 K X^2

h = diametro = 24 x 2 = 48 cm = 0,48 m

1/2 KX^2 = 1/2 x 500 x 0,1^2 = 2,5 J (energia elastica nel punto A = nel punto B))

mgh = 0,05 x 9,8 x 0,48 = 0,235 J (energia potenziale)

1/2 m V^2 = 2,5 – 0,235 = 2,26 J

Vb = radicequadrata(2,26 x 2 / 0,05) = 9,5 m/s

Nel punto C

mgh = 2,5  J

h = 2,5/(0,05 x 9,8) = 5,1 m

 

 

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