motocircunif

La velocità tangenziale è costante solo in modulo, non in direzione e verso.   

V = 2pR/T

R è il raggio della circonferenza,

T è il tempo per compiere un giro, si chiama periodo e si misura in secondi.    V si misura in m/s.

Si chiama frequenza (ni)n = 1/T, il numero di giri compiuti in un secondo. L’unità di misura si chiama Hertz  (Hz).

Oppure anche f = 1/T

V = 2pR n

Si chiama velocità angolare (omega) 

w = 2p/T, l’angolo in radianti percorso in un secondo, si misura in rad/s.                                                w = 2p n 

V = w R

Gli angoli si misurano in radianti (rad)

 

Il radiante

E’ l’angolo piano con il vertice nel centro della circonferenza, che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio

1 rad = 57,29578° = 57° 17′ 44,808″

radiante

\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}

gradi radianti
0 0
15 1/12 π
30 1/6 π
45 1/4 π
60 1/3 π
90 1/2 π
120 2/3 π
135 3/4 π
150 5/6 π
gradi radianti
180 π
210 7/6 π
225 5/4 π
240 4/3 π
270 3/2 π
300 5/3 π
315 7/4 π
330 11/6 π
360
Con la calcolatrice:
L’abbreviazione “Deg” sta per “Degree” (in italiano Gradi Sessagesimali) e serve per far capire alla calcolatrice scientifica in quale unità di misura si sta indicando un angolo.

Gli angoli infatti si possono indicare: 1) in Gradi Sessagesimali; 2) in Radianti; 3) in Gradi Centesimali. I Gradi Sessagesimali (Degree) vanno da 0 a 360; i radianti vanno da 0 a 2*Π; i Gradi Centesimali vanno da 0 a 400.  Sulla calcolatrice c’è un tasto “DRG” (Degree-Radiant-Grad) e premendolo si passa dalla modalità “Deg” alla modalità “Rad” alla modalità “Grad”. Oppure si utilizza il tasto “mode” per cambiare modalità e unità di misura.

Trasformare da gradi a radianti:

12°

135°

52°

da radianti a gradi:

π / 10

7 / 12π

11 / 12π12° : 360° = R : 2π

R = 12° x 2π /360° = π/15 rad

R = 135° x 2π/360° = 3π/8 rad

R = 52 x 2π/360 = 13π/90 rad

π/10 : 2π = G : 360°

G = π/10 x 360°/2π = 18°

G = 7/12 π x 360°/2π = 105°

G = 11/12 π x 360°/ 2π = 165°

Moto circolare e moto parabolico.

Un corpo che si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza che ha altezza dal suolo Y = 1,20 m ed in un determinato istante viene tagliato il filo che fa fare al corpo il moto circolare uniforme. Il corpo mentre cade a terra  ( con moto parabolico ), percorre X =  2 m lungo l’orizzontale. Calcolare la velocità  tangenziale nel moto circolare uniforme.

Y = 1/2 g t^2

t =√( 2Y/g) = √2 x 1,20/9,8) = 0,49 s

X = V t

V = X/t = 2/0,49 = 4,08 m/s (velocità tangenziale sulla circonferenza).

Si chiama accelerazione centripeta a = V2/R, l’accelerazione diretta verso il centro (dal latino centrum petere) che fa variare in direzione e verso il vettore velocità tangenziale; il modulo non cambia.

acvt

Dimostrazione che l’accelerazione centripeta è:  a = V2/R

dimostrazione

a = ( ΔV) / Δt

considera i due triangoli in figura: O P1 P2; V1 V2 ΔV; sono isosceli e sono simili. V1 = V2;

ΔV è la differenza fra i due vettori V2 – V1.

Quindi i lati sono in proporzione:
ΔV : V = P1P2 : R

P1P2 è approssimabile all’arco di circonferenza, se P1 e P2 sono vicini.
L’arco P1 P2 lo possiamo calcolare come V x Δt

ΔV : V = (V x Δt) : R

ΔV = V^2 x Δt / R

ΔV / Δt = V^2/ R;
=w^2 x R

a = (ΔV) / (Δt)

l’accelerazione è la variazione di velocità (ΔV), nell’unità di tempo. La velocità varia, il vettore fa un giro completo in un periodo T.

accelerazione-centripeta

 

Se per Δt prendiamo il periodo T, in questo tempo la velocità V tangente alla traiettoria circolare, varia facendo un giro completo e ritornando nella stessa situazione tangente alla curva.

La variazione è un giro completo del vettore V in un periodo T, quindi si calcola la circonferenza che ha per raggio il vettore V

ΔV = 2 Π V

a = (ΔV) / T = 2Π V / T

ma ponendo V = 2 Π R / T; diventa

a = (2 Π / T ) x ( 2 Π R /T ), moltiplicando per R sopra e sotto diventa

a = (2 pgreco R / T ) x ( 2 pgreco R /T ) / R ;

a = (2 pgreco R/ T )^2 / R

a = V^2/R, verso il centro.

 

 Per il secondo principio della dinamica di Newton

F = ma

la forza centripeta si calcola facendo:

Fc = m ·V2/R 

è una forza diretta lungo il raggio, verso il centro della traiettoria circolare. Se viene a mancare la forza, il corpo si muoverà lungo la tangente di moto rettilineo uniforme, come dice il primo principio della dinamica.

 Non esiste forza centrifuga, solo centripeta.

Per fare una curva occorre una forza centripeta e quindi una accelerazione centripeta  a = V^2/R

Esempio 1: (Tensione della fune). Una massa di 3,0 kg,  attaccata a una corda di massa trascurabile, percorre una circonferenza su un tavolo orizzontale privo di attrito. Il raggio della circonferenza è 0,8 m e la corda può sopportare una massa di 25 kg primadi spezzarsi. Qual è l’intervallo di velocità che la massa può avere prima che si rompa la corda?Forza max sopportabile = 25 x 9,8 = 245 N

Quindi la corda sopporterà una forza centripeta massima di 245 N

m x v^2/R = Fcentripeta

3 x v^2/0,8 = 245

v = radquad(245 x 0,8/3) = 8,08 m/s (velocità massima possibile, al di sopra la corda si rompe).

Se un’auto  in curva ha velocità V  = 20 m/s e il raggio della curva è 30 m, allora  a = 20^2/30 = 13,3 m/s^2. Questa è un’accelerazione molto elevata, l’auto rischia di andare lungo la tangente e non fare la traiettoria curvilinea. Occorre diminuire la velocità.

Esempio 2

Un astronauta che orbita attorno alla terra si appresta ad attraccare un satellite. Il satellite si muove secondo un’orbita circolare a 600 Km dalla superficie della terra, dove l’accelerazione di gravità è 8.21 m/s^2. Assumere il raggio della Terra 6400 Km. Determinare la velocità del satellite ed il suo periodo.

(Non esiste accelerazione centrifuga. Esiste l’accelerazione centripeta che è pari all’accelerazione di gravità g: g fa deviare la velocità tangenziale verso il centro della terra e impedisce che il satellite se ne vada lungo la tangente. La centrifuga è una forza fittizia che “sente” chi è all’interno del sistema rotante, contraria alla centripeta).

V^2/R = g

R = 7000 km = 7 x 10^6 m

V = radquad( g x R) =radquad( 8,21 x 7 x 10^6) = 7581 m/s

T = 2 pgreco R / V

T = 6,28 x 7 x 10^6 / 7581 = 5799 s

T (in ore) = 5799/3600 = 1,61 h

Esempio 3)   Il pilota di un caccia compie una circonferenza di raggio 5 Km; con accelerazione centripeta 4 volte l’accelerazione di gravità.

Calcolare la velocità tangenziale e il tempo T per fare un giro.

a = V^2 / R: a = 4g; R = 5000 m

a = 4 x 9,8 = 39,2 m/s^2

V = radicequadr( a x R ) = 442,7 m/s

T = 2 x 3,14 x R / V = 6,28 x 5000 / 442,7 = 70,9 s

Esempio 4) La centrifuga di una lavatrice compie 600 giri al minuto; se la velocità è di 10,5 m/s,  calcolare il diametro del cestello e l’accelerazione centripeta.

Frequenza f = 600 / 60 = 10 Hz

T = 1/f = 1/10 = 0,1 s

V = 2 x 3,14 x R/T

R = V x T / (2 x 3,14) = 10,5 x 0,1 /6,28 = 0,17 m

Diametro = 0,17 x 2 = 0,34 m = 34 cm

a = V^2/R = 10,5^2 / 0,17 = 649 m/s^2

    Esercizi

1) La lancetta dei secondi di un orologio da parete si muove di moto circolare uniforme. si dica :

A quanto vale la sua velocità angolare

B quanto vale la velocità della punta della lancetta se questa dista 20 cm dal centro di rotazione

C quanto vale l’accelerazione centripeta subita dalla punta della lancetta (ricavarla in entrambi i modi verificando che il risultato è lo stesso)

D quanto vale l’accelerazione angolare se il meccanismo si rompe e la lancetta si ferma in 0,2 s.

velocità angolare w = 2pgreco/T

T è il periodo, tempo per fare un giro.

T = 60 secondi

w= 6,28/60 = 0,105 rad/s

R = 20 cm = 0,2 m

V = w x R = 0,105 x 0,2 = 0,02 m/s

a = w^2 x R = 0,105^2 x 0,2 = 0,002 m/s^2

a = V^2 / R = 0,02^2/0,2 = 0,002 m/s^2

accelerazione angolare—> alfa =  a

w = a x t + wo; se si ferma in t 0 0,2 s, w diventa 0

 a x 0,2 + 0,105 = 0

a = – 0,105/0,2 = – 0,53 rad/s^2 (negativa perchè è una decelerazione)

2)  Una giostra per bambini è costituita da una piattaforma girevole di raggio r  =  3 m, sulla quale sono fissati macchinine e cavallucci. La giostra compie  24 giri al minuto.  Calcolare:

  1. La frequenza, il periodo e la velocità angolare della giostra.
  2. La velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta di un bambino seduto in una macchinina posta sul bordo della piattaforma.
  3. La velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta di un bambino seduto su un cavalluccio a distanza  2 m dal centro della piattaforma.

 n = 24/60 = 0,4 Hz;    n = 1/T  

T = 1/0,4 =  2,5 s       w  =  2pgreco x  n = 6,28 x 0,4 = 2,51 rad/s

V = w x R = 2,51 x 3 =7,54 m/s

3)  Un tuffatore completa 2 giri mortali e mezzo di tuffo in 2,1s. Qual è il modulo della velocità angolare medio durante il tuffo?

Frequenza n = 2,5/2,1 = 1,19 giri/s (Hertz)

Velocità angolare w = 2pgreco x n  = 2 x 3,14 x 1,19 = 7,5 rad/s

a = V^2/R = 7,54^2/3 = 18,9 m/s^2

4) Una bicicletta viene lasciata andare per inerzia giù per una collina e

accelera da ferma fino a una velocità lineare di modulo 8,90 m / s in 12,2 s.

a – Se le ruote della bicicletta hanno un raggio di 36 cm, qual è la loro

accelerazione angolare ?

b – Se il raggio delle ruote fosse stato minore, la loro accelerazione angolare

sarebbe stata minore o maggiore del risultato trovato in ‘a’ ?

a = (8,90 – 0) / 12,2 = 0,73 m/s^2

(accelerazioneangolare) = a/r = 0,73/0,36 = 2,03 rad/s^2

Se il raggio è minore l’accelerazione angolare aumenta perchè r ed a sono inversamente proporzionali.

5) Mentre guidi a 17 m/s acceleri con accelerazione costante di 1,12 m/s^2 per  0,65 s. Se gli pneumatici del tuo motorino hanno un raggio di 33 cm, qual è il loro spostamento angolare durante la loro accelerazione ?

Spostamento lineare S = 1/2 a t^2 + Vo x t

S = 1/2 x 1,12 x 0,65^2 + 17 x 0,65 = 11,29 m

(accel angol) : alfa = a/r = 1,12/0,33 = 3,39 rad/s^2

(velocità ang) : wo = Vo/r = 17/0,33 = 51,52 rad/s

angolo di spostamento = 1/2 x (alfa) x t^2 + wo x t = 11,29/0,33 = 34,2 rad

6) Quando un lanciatore di baseball lancia una palla curva, alla palla viene

impressa una rotazione piuttosto rapida. Una palla da baseball di 0,15 kg

con un raggio di 3,7 cm è lanciata con una velocità lineare di modulo di

40 m / s e velocità angolare di 41 rad / S. Quanta della sua energia cinetica

è di traslazione e quanta di rotazione ? Assumi che la palla sia una sfera

piena omogenea.

Ec (traslazione) = 1/2 x 0,15 x 40^2 = 120 J

Momento d’inerzia =2/5 M R^2

Ec (rotazione) = 1/2 (2/5 M R^2) w^2

Ec (rotazione) = 1/2 (2/5 x 0,15 x 0,037^2) x 41^2 =1/2 x (8,21 x10^-5) x 1681 = 0,069 J

7) Un CD di 3,0 g con un raggio di 6,0 cm, ruota con una velocità angolare di

modulo 20 rad / s.

a – Qual è la sua energia cinetica ?

b – Quale modulo della velocità angolare deve avere il CD per raddoppiare

la propria energia cinetica ?

Ec = 1/2 I w^2;

I = 1/2 M R^2 = 1/2 x 0,003 x 0,06^2 = 5,4 x 10^-6 kgm^2

Ec = 1/2 x5,4 x 10^-6 x 20^2 = 0,00108 J

Ec è proporzionale a w^2

w è proporzionale a radquad (Ec)

se l’energia diventa 2 x Ec, allora w’ = w x radquad2.

w = radquad( 2 x 0,00108 x 2/ 5,4 x 10^-6) =radqua(800) = radquad (2 x 400) =

w = 20 x radquad2 = 28,28 rad/s

8) Un’auto imbocca una curva di raggio r=50 m e lunga 39 m alla velocità Vo=60 Km/h, che mantiene fino a metà curva; prosegue poi con accelerazione costante fino alla fine della curva, deve raggiungere la velocità V1=80 Km/h. Determinare l’accelerazione centripeda acp e l’accelerazione tangenziale a(tan) dell’auto alla fine della curva.

Vo = 60/3,6 = 16,67 m/s; V1 = 80 / 3,6 = 22,22 m/s

acp = V^2/R = 16,67^2/50 = 5,6 m/s^2

a(tan) = (V1 – Vo) / t

S = 1/2 a t^2 + Vo x t; S = 39/2 = 19,5 m

1/2 x ( V1-Vo)/t x t^2 + Vo x t = 19,5

1/2 x ( 22,22 – 16,67) x t + 16,67 x t = 19,5

2,78 x t + 16,67 x t = 19,5

19,45 x t = 19,5

t = 19,5/19,45 = 1 s

a(tan) = (V1 – Vo) / t = ( 22,22 – 16,67 ) / 1 = 5,55 m/s^2

9) Moto accelerato

Per far partire un tagliaerba occorre tirare una corda avvolta attorno a un volano. Dopo che la corda è stata tirata per 0,95 s il volano ruota con velocità di 4,5 giri al secondo e a quel punto la corda si disimpiega. L’accensione però non va bene, il volano rallenta fermandosi in 0,24 secondi dopo il disimpegno della corda. Si assuma l’accelerazione angolare costante durante l’aumento e la diminuzione dei giri.

1) Determinare l’accelerazione angolare media durante la fase di accensione di 0,95 s e durante la fase di rallentamento di 0,24 s.

2) Qual è la massima velocità angolare raggiunta dal volano?

3) Calcolare il rapporto tra il numero di giri effettuati durante la fase di accensione e di spegnimento.

Accelerazione angolare (alfa)

alfa = (W – Wo) / t

0mega finale = W = 2pgreco x frequenza = 6,28 x 4,5 = 28,26 rad/s ( massima velocità angolare)

alfa1 = (28,26 – 0) / 0,95 = 29,75 rad/s^2 (quando accelera)

alfa2 = (0 – 28,26) / 0,24 = – 117,75 rad/s^2 (quando decelera)

Angolo percorso nella prima fase = 1/2 (alfa1) t^2 = 1/2 x 29,75 x 0,95^2 = 13,42 radianti

Numero di giri = 13,42/(2pgreco) = 2,14 giri (in fase di accensione)

Angolo percorso nella seconda fase = 1/2 (alfa2) t^2 + Wo x t =

= 1/2 x (- 117,75) x 0,24^2 + 28,26 x 0,24 = 3,39 radianti

N2 = 3,39 / (2pgreco) = 0,54 giri

N1/N2 = 2,14/0,54 = 3,96 ( circa 4)

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