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Moto armonico:  a = – ω^2 · X;
L’accelerazione è  direttamente proporzionale allo spostamento X dalla posizione di equilibrio.

Pendolo semplice

http://www.claudiocancelli.it/web_education/fisica/pendulum%20m,l,theta.swf

 

Pendoli di varia lunghezza:

 

Il pendolo semplice

a = – g sen(angolo)

sen(angolo) = X / L;  X è lo spostamento orizzontale, L è la lunghezza del filo.

a = – g * X/L

a = – (g/L) X;

quando l’accelerazione è proporzionale allo spostamento, allora il moto è armonico.

Nel moto armonico la costante do proporzionalità è omega^2 cioè la pulsazione
omega^2 = (2pigreco/T )^2.

a = – (omega)^2 * X

Quindi:     g/L = (2pigreco/T)^2

Da questa equazione si ricava la formula del periodo T:

T = (2 x 3,14) x radicequadr(L/g)

 

Moto circolare e moto armonico

 

Periodo del pendolo:                   

T = 2 x radquad(lunghezza filo/9,8)

Energia nel pendolo

Agli estremi il pendolo è fermo quindi l’energia è solo potenziale: U = mgh

Nel punto più in basso, centrale, il pendolo ha la massima velocità, l’energia è tutta cinetica: 1/2 m V^2.

mgh = 1/2 m  V^2

h = R – R cos (alfa); (alfa è l’angolo di spostamento del filo dalla verticale).

 

Un pendolo semplice è formato da una massa di 2 kg appesa a un filo inestensibile di lunghezza ignota.si osserva che essa compie 25 oscillazioni in un minuto, formando nel punto più alto un angolo di 10° con la verticale.

1) determinare la lunghezza del filo,
2) l’energia meccanica del sistema,

3) la tensione massima sopportata dal filo.

frequenza = 25/60 = 0,4167 Hz ; T = 1/frequenza = 2,4 secondi
periodo T = 2pgreco x radquad(L/g)
L = T^2 x g /4pgreco^2 = 2,4^2 x 9,81/39,48 = 1,43 m
Nel punto più alto, dove il pendolo è fermo, (V = 0 ) l’energia totale è quella potenziale mgh.
h = 1,43 – (1,43 x cos 10°) = 1,43 – 1,41 = 0,02 m
energia   U = 2 x 9,8 x 0,02 = 0,4 J

La tensione massima si ha nel punto più basso dove il pendolo ha massima velocità.
La forza centripeta che fa muovere il pendolo è la risultante delle Forze: Tensione e Peso, Tensione verso l’alto e il peso verso il basso.

m V^2 / L = Tensione – ForzaPeso
Tensione = m V^2/L + ForzaPeso
velocità V = omega x (spostamentoX)
omega = 2pgreco /Periodo= 6,28 /2,4 = 2,62 rad/s
spostamento dalla posizione di equilibrio X = 1,43 x sen 10° = 0,25 m

Vmax = wX = 2,62 x 0,25 = 0,65 m/s

Tensione T = 2 x 0,65^2/1,43 + 2 x 9,81= 0,59 + 19,62 = 20,21 N

Il filo deve sopportare questa forza, altrimenti si schianta. E’ come se il corpo pesasse di più di 2 kg: 20,21 N invece del peso reale di 19,62 N.

Esercizio 1:
Un oggetto di massa 450 g appeso a un filo inestensibile di lunghezza 90 cm, oscilla rispetto alla posizione di equilibrio verticale: quando passa per la posizione di equilibrio, la velocità dell’oggetto è 1,84 m/s. Quanto vale la tensione del filo quando l’oggetto raggiunge il punto più alto della sua traiettoria?

Nel punto più basso la forza centripeta è la forza risultante:

m x V^2 / L = Tensione – Fpeso

Tensione = m x V^2/L + m x g; ( la tensione è massima)

Tensione = 0,450 x 1,84^2 /0,9 + 0,450 x 9,8 = 6,1 N

Il corpo possiede energia cinetica che diventa energia potenziale nel punto più alto.
E = 1/2 m V^2 = mgh

h = V^2/2g = 0,17 m; (altezza all’estremità dell’oscillazione). L è l’ipotenusa del triangolo rettangolo dove il cateto adiacente all’angolo massimo dell’oscillazione è L – h.

cos(angolo) = (L – h) / L = ( 0,9 – 0,17) / 0,9 = 0,808

angolo = arcos (0,808) = 36°

Nel punto più alto l’oggetto è fermo, non c’è forza centripeta = m x V^2/L.

Quindi: Tensione = Fpeso x cos(angolo)

Tensione = 0,450 x 9,8 x 0,808 = 3,56 N

Pendolo conico

 

1)  Un pendolo conico è lungo L = 1,5 m. Un corpo di massa m = 2 kg, si muove su una circonferenza con frequenza f = 0,44 Hz. L’angolo che il pendolo forma con la perpendicolare è 30°.
Calcolare la forza centripeta Fc e la tensione Ft lungo il filo.

Fp = m x g = 2 x 9,8 = 19,6 N

Raggio R = L x sen30°

Periodo T = 1/frequenza

V = 2 (pgreco) x R /T;  oppure     V =  2 (pgreco) x R x frequenza

Fc = m x V^2/R = 11,4 N

Ft = radquad( Fp^2 + Fc^2) = 22,8 N (circa)

Ft x sen30° = Fc

Ft = Fc / sen30°

2) Un pendolo conico è costituito da un filo lungo L =1,2 m e una pallina di massa m che si muove su una circonferenza con velocità V =1,5 m/s. Calcolare l’angolo β che il filo forma con la verticale.

a = V^2/R;   R = L x sen β;

a = V^2/(L senβ);
tan β = a/g;    tan β = senβ/cosβ

senβ/cosβ = V^2/(g x L senβ);

(senβ)^2 = cosβ x  V^2/(g x L)

(senβ)^2 = 1 – (cosβ)^2

1 – (cosβ)^2 = cosβ x  V^2/(g x L)

(cosβ)^2 + cosβ x  V^2/(g x L) – 1 = 0;  cosβ = X

X^2 + 0,19 X – 1 = 0

X = cosβ = (- 0,19 +- radicequadrata(0,19^2 + 4 x 1) ) /2

cosβ = (-0,19 +-radicequadrata(4) ) / 2

cosβ = (-0,19 +2)/2 = 0,91

β = arcos 0,91 = 24,5°

Multipendolo (visto al Museo del Balì – Saltara – Pesaro)

http://www.youtube.com/watch?v=YgPMfyCXaa4

Moti millenari della terra. Precessione: T = 26000 anni

Pendolo gravimetrico

Pendolo di Foucault

http://www.youtube.com/watch?v=IuYNb-rico8

Il piano di oscillazione di un pendolo, in assenza di attriti non cambia mai, si dice che è invariante.

Jean Bernard Léon Foucault nel 1851, dimostrò la rotazione della Terra attorno al proprio asse. Egli fece oscillare un pendolo con una massa di 28 kg e lungo 67 m, all’interno del Pantheon di Parigi. Il pendolo a Parigi ruota in senso orario in 32 ore: non è il pendolo che ruota, è la Terra che ruota sotto di esso.
Il periodo dipende dalla latitudine. Parigi è a circa 49° latitudine Nord.

Il periodo Tr di rotazione è:

Tr  = 24 ore / sen(latitudine).

Al polo Nord (90°, sen 90° = 1), il pendolo ruota in 24 ore.

All’equatore (0° , sen 0° = 0) , il pendolo non ruota.


Pendolo di Foucault

http://www.youtube.com/watch?v=IuYNb-rico8

http://tuttidentro.wordpress.com/2009/04/17/il-pendolo-di-foucault/

 

 

Pendolo conico per il laboratorio di 2Sa     –   15 maggio 2014

Scheda di lavoro in Word:

Pendolo conico per il laboratorio (apri il file)

 

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