Energia cinetica.

 

Power point su lavoro ed energia cinetica

Il lavoro e l’energia

FxS=Lavoro


formula encinetica

 Un corpo possiede energia cinetica se ha massa e si muove con velocità v. La formula che esprime l’energia cinetica  deriva da quella del lavoro ed è  Ec = 1/2mv2.

 Un corpo che possiede energia cinetica può fare lavoro.

Teorema dell’energia cinetica :

 Il lavoro che una forza compie, quando agisce su un corpo di massa m, libero di muoversi,  è uguale alla variazione di energia cinetica.

                   

 L  = 1/2mv2  – 1/2mvo2         (L = Ecfin – Eciniz )

              
 Si ricava da 

L = F · S = m · a ·(1/2 a t2 + vo·t) ;    

sostituendo ad a il valore:  a = (v – vo) /t .

L = F · S = m · (v – vo) /t  · (1/2 ((v – vo) /t) · t2 + vo·t)

Esempio 1.

Un automobile di massa m = 1300 kg viaggia ad una velocità Va =10 m/s.  Accelera e in S = 200 m la sua velocità diventa Vb = 50 m/s. Calcolare il lavoro  della forza motrice F, l’intensità della forza e l’accelerazione. (Trascuriamo gli attriti).  (ris:  L = 1,56 x 10^6 J;  F = 7800 N; a = 6 m/s^2)

L = 1/2 x 1300 x (50^2 – 10^2) = 1,56 x 10^6 J
F = L / S = 7600 N;  a = F / m = 6 m/s^2

Esempio 2
Un corpo che viaggia alla velocità di 20 m/s, viene fermato da una forza                                         

  F =  5 X 10^4 dyn, dopo aver percorso uno spazio di 40 m.
La massa del corpo è?  (la risp. è 100g)

1 Newton = 10^5 dyn; la dyn è unità di misura C.G.S. che non si usa più.
F = – 5 x 10^4 dyn/ 10^5 = – 0,5 N; è una forza frenante, quindi la poniamo negativa

L = Forza x spostamento = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2   
(teorema energia cinetica)
Vfinale = 0 m/s
0 – 1/2 m Vo^2 = – 0,5 x 40
1/2 x m x 20^2 = 20
m = 20 x 2 / 400 = 0,1 kg = 100 g

Se non si conosce il teorema del lavoro = variazione energia cinetica, occorre usare la cinematica, ( è più laborioso).

S = 1/2 x a x t^2 + Vo x t
V = a x t + Vo

a x t + 20 = 0
Ricavi    a = – 20/t e lo sostituisci in S:
40 = 1/2 x (-20/t) x t^2 + 20 x t
40 = – 10 x t + 20 x t
t = 40/10 = 4 secondi per fermarsi.
a = – 20/4 = – 5 m/sì2
m = F /a = – 0,5 / (- 5 ) = 0,1 kg = 100 g

Esempio 3

Un automobilista viaggia a 36km/h quando perde il controllo dell’auto e sbatte contro un albero.
Nell’incidente, l’urto viene assorbito dal cofano che si accartoccia, ritraendosi di un metro. Quanto vale la decelerazione (costante) che subisce l’automobile nell’urto?

Vo = 36 km/h / 3,6 = 10 m/s

Vfinale = 0 m/s

Teorema energia cinetica:

F x S = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2

Lavoro = F x S ; il lavoro della forza è uguale alla variazione di energia cinetica.

(m x a ) x S = 0 – 1/2 m Vo^2; m si semplifica; S = 1 m

a = – 1/2 x 10^2 = – 50 m/s^2

Esempio 4 :
Un automobile di massa complessiva m = 1300 kg viaggia ad una velocità di        130 km/h. Frena improvvisamente bloccando le ruote con un coefficiente di attrito dinamico asfalto-gomma pari a ud=0,8.

Determinare:
1) Spazio di frenata
2) Tempo di frenata
3) Modulo dell’accelerazione

Vo = 130/3,6 = 36,1 m/s

V = 0 m/s (velocità finale)

Teorema energia cinetica:

F x S = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2

Fattrito x S = 0 – 1/2 m V^2

Fattrito = – 0,8 x Fpeso = – 0,8 x 1300 x 9,8 = – 10192 N

– 10192 x S = – 1/2 x 1300 x 36,1^2

S = 847086,5 / 10192 = 83 m

a = F / m = – 10192 / m = – 7,84 m/s^2 (accelerazione frenante dell’attrito)

a = (V – Vo ) / t

t = (V – Vo) / a = ( 0 – 36,1) / (-7,84) = 4,6 s (tempo di frenata)

con il tempo si può trovare lo spazio di frenata:
S = 1/2 a t^2 + Vo t = 1/2 x ( – 7,84) x 4,6^2 + 36,1 x 4,6 = 83 m

Lavoro della forza peso:

  L  = F ·S · cos a;  L = – mg · (h1 – h0)  

   (F =  ─ mg è la forza peso negativa perché verso il basso, S = h1 – h0, verticale, a = 0°,    cos a = 1).      

      Moltiplicando, si ottiene: 

L = mgh0 – mgh1,           cioè    L = U0 – U1

           U = mgh      è l’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa m, posto ad una altezza h,  in prossimità della   superficie terrestre.bacinoartificiale

Conservazione

dell’energia meccanica. 

 La somma di energia cinetica ed energia potenziale rimane costante in ogni punto del campo gravitazionale. Vicino alla superficie terrestre il campo è costante e vale    

                  g = F /m = 9,8 m/s2

In realtà non è costante, ma diminuisce con il quadrato della distanza. Se ci allontaniamo dalla superficie di più di 10 km si comincia a sentire la diminuzione.
(g = G Mterra/r^2, 
come anche il campo elettrico E = KQ /r2 ).

Nelle vicinanze della Terra, consideriamo g costante.

Poiché

 L  =  1/2 m v12  – 1/2 m v02 ;     ed è anche     

 L = mgh0 – mgh1 

allora   possiamo scrivere la conservazione dell’energia in vicinanza della superficie terrestre dove h << Raggio terrestre.

Uguagliando le due espressioni otteniamo:    

1/2 m v12  – 1/2 m v02    mgh0 – mgh1 ;       che diventa :

         1/2 m v12 + mgh1   = 1/2 m v02   +  mgh0


Questa equazione ci dice che: 

in ogni punto del campo gravitazionale, la somma di energia cinetica ed energia potenziale è costante. 

L’energia meccanica di un corpo si conserva.

Se agiscono forze d’attrito, l’energia non si conserva, ma si trasforma in energia termica non più utilizzabile per compiere lavoro.

Esercizio 1

Un corpo di massa m= 0,5 Kg è inizialmente in quiete su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Conoscendo il coefficiente di attrito dinamico= 0,2 tra corpo e piano, si determini l’energia cinetica del corpo corrispondente ad una variazione di quota delta h = 3,5 m verso il basso e la sua velocità finale.

Lo spazio percorso è S = h/sen 30° = 3,5/0,5 = 7 metri (verso il basso)

g// = 9,8 x sen 30° = 4,9 m/s^2 (verso il basso)

F// = 0,5 x 4,9 = 2,45 N

g(perpendicolare ) = 9,8 x cos 30° = 8,49 m/s^2

Fattrito = 0,2 x 0,5 x 8,49= 0,85 N (verso l’alto, perchè frena il corpo)

Frisultante = 2,45 – 0,85 = 1,6 N ( verso il basso)

Lavoro = Forza x spostamento = 1,6 x 7 =11,2 J

L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 ; (teorema dell’energia cinetica).

Vo = 0 m/s

L = 1/2 m V^2 – 0 = 11,2 J

V = radquad(2 x L/m) = radquad( 2 x 11,2/0,5) = 6,69 m/s

Esercizio2

Un blocco di 10,0 kg partendo con velocità iniziale di 25 m/s sale senza attrito lungo un piano inclinato fino ad un’altezza di 6.0 m dove inizia un piano orizzontale. Sul piano prosegue sempre senza attrito e colpisce una molla di costante elastica incognita che viene compressa di 2,5 m rispetto alla posizione di
equilibrio prima di arrestare il blocco. Determinare la costante elastica della molla.

Energia cinetica iniziale = Eo = 1/2 x 10,0 x 25^2 = 3125 J

Salendo perde energia cinetica e acquista energia poteziale U = mgh = 10,0 x 9,8 x 6 = 588 J

energia cinetica finale E1 = 3125 – 588 = 2537 J

E1 = 1/2 m V1^2 = 2537 J; questa energia si trasforma in energia elastica della molla

1/2 K X^2 = 2537;

1/2 K *2,5^2 = 2537

K = 2537 * 2 / 2,5^2 = 812 N/m

Esercizio 3

Un blocco di 10,0 kg viaggia a Vo = 15 m/s e scivola lungo un piano inclinato
(θ = 30°) fino ad un’altezza di 6,0 m prima di arrestarsi. Determinare il coefficiente di attrito dinamico.

Sul piano inclinato agiscono due forze;
Fattrito = – Kd x mg cos30° = – Kd x 10 x 9,8 x 0,866 = – Kd x 84,9 N (negativa perchè frenante)

Fpeso// = mg sen30° = 10 x 9,8 x 0,5 = + 49 N ( fa scendere il corpo verso il basso)

Frisultante = 49 – Kd x 84,9

sen30° = h/S; S è l’ipotenusa del piano inclinato

Il corpo percorre uno spazio S = 6/ sen30° = 12 m

Vo = 15 m/s; V1 = 0 m/s

Teorema dell’energia cinetica: Lavoro = E1 – Eo

Frisultante x S = 1/2 m V1^2 – 1/2 m Vo^2

(49 – Kd x 84,9) x 12 = 0 – 1/2 x 10 x 15^2

588 – Kd x 1018,8 = – 1125

Kd = (1125 + 588) / 1018,8 = 1,68 ( coeff. d’attrito)

Esercizio 4
Una massa puntiforme m=1 kg, inizialmente ferma su di un piano orizzontale liscio, è messa in moto da una forza costante F=2 N, parallela al piano, che agisce per un intervallo di tempo pari a 2 s. La massa urta contro una molla ideale (v. figura), rimbalzando all’indietro per poi passare su di un tratto scabro di lunghezza d=25 cm, risalire lungo il piano inclinato, fermarsi ed invertire il moto. Sapendo che la massa si arresta dopo 9 passaggi sul tratto scabro, calcolare:
1) il coefficiente di attrito dinamico ;
2) la massima altezza h raggiunta rispetto al piano orizzontale.
[ =0.363, h=0.73 m]


V = a x t = (F / m) x t
Vo = 2/1 x 2 = 4 m/s
Fattr = (mi) x mg = mi x 1 x  9,8
Lavoro forza d’attrito = – Fattr x d = – mi x 1 x 9,8 x d; l’attrito fa lavoro resistente.
Per il teorema dell’energia cinetica: L = DeltaEc
– 9 x Fattr x d = 0 – 1/2 m Vo^2; i nove passaggi fanno diminuire l’energia cinetica fino a 0.
– 9 x mi x 9,8 x 0,25 = – 1/2 x 1 x 4^2
mi = -8/(- 22,05 )= 0,363

Per trovare h, occorre trovare V dopo il primo passaggio su d. La velocità diminuisce.
– Fattr x d = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2
– 0,363 x m x 9,8 x 0,25 = 1/2 mV^2 – 1/2 m Vo^2
V = radquad( Vo^2 – 2 x 0,363 x 9,8 x 0,25) = radquad( 16 – 1,779) = 3,77 m/s
mgh = 1/2 m V^2
h = V^2/ ( 2g) = 3,77^2/ 19,6 = 0,726 m

esercizio 5

Una palla di massa m= 1 kg lasciata cadere da un’altezza h1 di 12 m rimbalza e arriva a una quota h2 di 8m. Calcola :
a. Quanta energia ha perso durante l’ urto con il terreno.
b. Se la perdita percentuale di energia è la stessa ad ogni rimbalzo, a che quota arriva nel secondo rimbalzo.
c. Con quale velocità parte verso l’ alto al terzo rimbalzo.
d. Quanto tempo impiega a raggiungere la massima altezza di 12 metri?
soluzionea.  DeltaE(persa) = mgh1 – mgho
DeltaE(persa) = 1 x 9,8 x 8 – 1 x 9,8 x 12 = 9,8 x (-4) = – 39,2J
Energia iniziale Uo = mgho = 1 x 9,8 x 12 = 117,6 J
DeltaE(%) = – 39,2/117,6 = – 0,33 = – 33% (quindi anche l’altezza raggiunta è il 33% in meno).b.  Nel secondo rimbalzo: h2 = 8 – 8 x 0,33 = 8 – 2,67 = 5,33 mc.  Nel terzo rimbalzo:  h3 = 5,33 – 5,33 x 0,33 = 3,57 m
Velocità al terzo rimbalzo: l’energia cinetica diventa potenziale in h3.
1/2 m V3^2 = mgh3
V3 = radquad( 2gh3) = 8,37 m/sd.  h = 1/2 g t^2; hmax = 12 metri.
t = radquad(2 x h /g) = radquad( 2 x 12/9,8) = 1,56 s4) Un corpo di massa 1,5 kgviene lanciato in aria verso l’alto con velocità72km/h e raggiunge l’altezza massima di 10m dove la sua velocità si annulla istantaneamente. Calcolare il lavoro compiuto dalla resistenza dell’aria.
72 km/h / 3,6 = 20 m/s

Energia iniziale = 1/2 x 1,5 x 20^2 = 300 J
Energia finale = mgh = 1,5 x 9,8 x 10 = 147 J
Energia persa per attrito = 147 – 300 = – 153 J (lavoro delle forze d’attrito)

6) Una palla di gomma cade da un’altezza di 5 m e rimbalza perdendo ad ogni rimbalzo il 50% della sua energia. Calcolare la sua velocità dopo il terzo rimbalzo.

Energia iniziale: Uo = mgh = mg x 5
U1 = mg x 5 x 50/100 = mg x 2,5
U2 = mg x 2,5 x 50/100 = mg x 1,25
U3 = mg x 1,25 x 50/100 = mg x 0,625 ; al terzo rimbalzo arriva a 0,625 m
1/2 m V^2 = mgh
V = radquad(2gh) = radquad(2 x 9,8 x 0,625) = 3,5 m/s

6) Un corpo precipitando lungo la verticale urta il suolo con velocità 50m/s  e rimbalza raggiungendo l’altezza massima di 64 m. Calcolare la frazione di energia meccanica persa in seguito all’urto.

1/2 m V^2 = mgh
h = 1/2 V^2 / g = 1/2 x 50^2 / 9,8= 127,55 metri (altezza che dovrebbe raggiungere)
Invece raggiunge solo un’ altezza  ho = 64 metri
mgho / mgh = ho / h = 64/127,55 = 0,50 = 50 % ( energia persa).
7)  In una centrale elettrica idroelettrica l’acqua cade da un’altezza di 30 m. Sapendo che l’energia potenziale si trasforma in cinetica e che tutta la velocità lineare dell’acqua si trasforma in velocità  tangenziale della turbina nel punto di caduta, sapendo che il braccio della turbina è di 1,2 metri,
 quale sarà la velocità di rotazione della turbina(velocità angolare ω),  quale la sua accelerazione centripeta e quanti giri effettuerà in un minuto?
mgh = 1/2 m V^2

V = √(2gh) = 24,25 m/s

ω= V/R = 24,25/1,2 = 20,21 rad/s

accelerazione centripeta = ω^2 x R = 408,4 x 1,2 = 490 m/s^2

frequenza = giri/s

f =ω/(2pgreco) = 20,21 / 6,28 = 3,22 giri/secondo

numero di giri/minuto N = 3,22 x 60 = 193 giri/minuto

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