La massa relativistica   E=mc^2       energia e massa

La massa di un corpo non è una costante: dipende dal sistema di riferimento e dallo stato di moto.
Affinche’ si conservi la Quantità di moto P = mv,  e non si superi mai la velocità della luce C, occorre cambiare la concezione di  massa costante in qualsiasi sistema, e introdurre il concetto che la massa dipende dal suo stato di moto,  non é una costante, ma dipende dal sistema in cui viene eseguita la misura. Così la massa  diventa:

m = m0 / [1 – (v/c)2]1/2
mo è la massa a riposo di un corpo. Quindi la massa relativistica di un corpo, non è una quantità costante come m0, ma è funzione della sua velocità. Per v = 0 si ha m = m0.

 

 

              

 

questa espressione si può sviluppare in serie di potenze se v2/c2 <1, e si può esprimere così:

m = mo · (1 + 1/2 v2/c2).    Moltiplicando per c2 otteniamo

mc2 =  moc2 + 1/2 mov2.      

E tot = mc2
è
  l’energia totale di un corpo di massa mo (a riposo). 

E tot = E (riposo) + E (cinetica).

La massa di un corpo in moto è maggiore della sua massa a riposo e l’energia cinetica diventa:  

E cin = mc2 ─ moc2 .

Energia  E e quantita’ di moto P diventano:


 E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{totale} - E_\mathrm{riposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2

che per piccole velocità è approssimabile all’espressione classica dell’energia cinetica,

 E_\mathrm{cinetica}= \frac{1}{2} m_0 v^2 .

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo \gamma in serie di Taylor,

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right).

Inserendolo nell’equazione originaria,

 E_\mathrm{cinetica} \approx  \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2,

quindi otteniamo

\frac{1}{2}m_0v^2 = E_{totale} - E_{riposo},

o

E_{totale} = E_{riposo} + \frac{1}{2}m_0v^2.

     E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{totale} - E_\mathrm{riposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2

 1/2 m V^2  = mC^2 – moC^2

Quantità di moto P

Nella meccanica classica avevamo appreso che la quantità di moto, p, di un corpo è quella grandezza data dal prodotto della massa del corpo per la sua velocità. Avevamo cioè p = m0•v.
Definiamo quantità di moto relativistica , p, di un corpo di massa relativistica m, in moto a velocità v, la quantità    p = m • v = m0 • g • v
Ancora, per v << c si ha:    p = m0 • v ,    cioè la quantità di moto della meccanica classica.

 

Nebulosa del cavallo.

La formula E = mc2, propria della teoria della relatività ristretta, è sicuramente una delle formule fisiche più famose.

  • E rappresenta l’energia, espressa in joule (= N·m = W·s = kg· m&sup2;/s&sup2;);
  • m rappresenta la massa, espressa in chilogrammi (kg);
  • c rappresenta la velocità della luce, espressa in m/s (299 792,458 km/s, generalmente approssimata a 300 000,000 km/s).                                         Pertanto c2 = 9 × 1016 m&sup2;/s&sup2;.

 Massa ed energia si equivalgano, esse sono espressione della stessa grandezza fisica. In sostanza la massa, che è energia estremamente concentrata, scompare quando compare energia e viceversa. In particolare se un corpo assorbe una quantità di energia E la sua massa non si conserva ma aumenta della quantità E/c2; viceversa la massa del corpo diminuisce se perde energia, per esempio emettendo luce.

Albert Einstein giovane

Conservazione della massa-energia: in ogni fenomeno si conserva sempre la somma delle masse e delle energie coinvolte.
 Massa ed energia possono trasformarsi indifferentemente l’una nell’altra; non è sbagliato dire che in un processo interviene « un chilo di energia »! Questo permette nella Fisica della Materia, di misurare le masse delle particelle con unità energetiche. Facciamo un esempio semplice: la massa dell’elettrone, è di 9 * 10-31 Kg. Ma il chilogrammo è un’unità troppo grande per le particelle su scala nucleare! Determiniamo allora l’energia a riposo in Joule di un elettrone

Anche il Joule è un’unità troppo grande su questa scala, un po’ come se noi pretendessimo di misurare le nostre altezze in anni luce. Allora utilizziamo l’elettron-Volt, definito come l’energia posseduta da un elettrone che si muove nella differenza di potenziale di un Volt. Poiché la carica di un elettrone vale   , si ha:

perché un Volt è pari ad un Joule su un Coulomb. L’energia a riposo di un elettrone vale perciò:

Dove MeV indica il Megaelettron-Volt, cioè un milione di elettron-Volt.

Esercizio:
Le masse delle particelle si possono misurare in MeV che è una misura di energia

1 MeV = 1 mega elettronvolt = 1 milione di elettonvolt = 1,6 x 10^-19 x 10^6 = 1,6 x 10^ -13 Joule

Esempio: la massa dell’elettrone è 9,11 x 10^-31 kg

Dalla formula di Einstein
Energia = m x C^2 = 9,11 x 10^-31 x (3 x 10^8)^2 = 8,199 x 10^-14 J

Energia in MeV = 8,199 x 10^-14 /1,6 x 10^ -13 = 0,51 MeV

Il protone che è più grosso vale 938 MeV

 L’equazione  E = mc2 oltre ad essere una delle pietre miliari della Fisica del Novecento, ha anche un tragico rovescio: costituisce il fondamento teorico delle armi nucleari, in grado di trasformare una piccola massa in un enorme quantitativo di energia, che si libera con effetti catastrofici. Lo stesso Einstein comprese la sciagurata possibilità di utilizzare a fini bellici la sua più importante scoperta. Nel 1938, proprio mentre si profilava la Seconda Guerra Mondiale con l’invasione della Cecoslovacchia da parte di Hitler che già lo aveva costretto all’esilio negli USA a causa dei suoi deliranti proclami contro la stirpe ebraica, il fisico Otto Hahn (1879-1968) ed il chimico Fritz Strassman (1902-1980) da Berlino annunciavano al mondo la scoperta della fissione nucleare. Allora, temendo che Hitler sarebbe riuscito a costruire per primo la bomba nucleare, il 2 agosto1939 Einstein indirizzò al Presidente degli Stati Uniti Franklin Delano Roosevelt una lettera, nella quale chiedeva l’inizio del programma nucleare. Il risultato di quel programma è, purtroppo, ben noto: centinaia di migliaia di morti nelle città martiri di Hiroshima e Nagasaki. Einstein non si perdonò mai di aver scritto quella lettera, e si impegnò fino all’ultimo dei suoi giorni in campagne pacifiste.

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