Piano inclinato

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Piano inclinato di Galileo


Un disegno di George Gamow (1902-1968) che rappresenta Galileo alle prese con il piano inclinato.

(in fondo alla pagina ci sono esercizi svolti su piano inclinato e corpi legati).

Piano inclinato 

piano_inclinato (9K)

Forza peso parallela al piano = m x g x sen(angolo)

Forza peso perpendicolare al piano = m x g x cos(angolo)

Forza d’attrito = K x m x g x cos(angolo);  ( sempre contraria al moto)

K è il coefficiente d’attrito (statico o dinamico) che dipende dai materiali a contatto. Statico, Ks se il corpo parte da fermo, dinamico, Kd, se il corpo è già in movimento.   Ks > Kd

Legge del moto accelerato ( in discesa, senza attrito):

S = 1/2 x g// x t^2 + vo x t

 Esempio:

PIANO INCLINATO SCABRO

HO UN CORPO CHE SALE SU UN PIANO INCLINATO A 36° SCABRO CON VELOCITà INIZIALE V0 = 10 m/s E CON ATTRITO; QUINDI I COEFFICIENTI SONO Ks = 0,35 E Kd = 0,25. QUANDO E DOVE SI FERMA IL BLOCCO? SE TORNA INDIETRO IN QUANTO TEMPO?

 Fattrito = – Kd x mg x cos 36° = m x 0,25 x 9,8 x 0,809 = – m x 1,98 N ( forza frenante)

Forza parallela al piano: F// = – mg sen36° = – m x 5,76 (forza frenante)

Fris = – m ( 1,98 + 5,76) = – m x 7,74 N

decelerazione a = Fris/m = – 7,74 m/s^2

V = a x t + Vo, quando si ferma V = 0

– 7,74 x t + 10 = 0

t = 10/7,74 = 1,29 s (tempo per fermarsi)

S = 1/2 x (-7,74) x 1,29^2 + 10 x 1,29 = 6,46 m ; h = 6,46 x sen36° = 3,8 m (di altezza)

riparte verso il basso? Sì perchè

Fattrito statico = – 0,35 x mg x cos36° = – m x 2,77 N ( frenante all’indietro)

F// = mg sen36° = m x 5,76 N ( verso il basso, fa cadere il corpo)

Fris = m x ( 5,76 – 2,77) = m x 2,99 N ( il corpo scende, si muove verso il basso)

Fattrito dinamico = – 0,25 x mg cos36° = – m x 1,98 N ( forza frenante verso l’alto)

Fris = m x ( 5,76 – 1,98) = m x 3,78 N (verso il basso)

a = 3,78 m/s^2

S = 1/2 a t^2

t = radquad( 2 x S / a) = radquad( 2 x 6,46 / 3,78) = 1,85 s ( tempo per scendere)

(in salita si ferma prima perchè attrito e forza parallela hanno lo stesso verso e sono frenanti entrambe).

Pendenza di una strada

Pendenza = tan(angolo) = 10/100

–  Si dice che una strada che si alza di 1 metro per ogni 100 metri percorsi sul piano orizzontale ha pendenza dell’1%. Alcuni tratti di strada di una tappa del Giro d’Italia hanno una pendenza del 6% . Qual è l’angolo formato da questi tratti di strada con il piano orizzontale?

La pendenza di una strada è il rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente; (è la tangente dell’angolo X).

tan(angolo) = altezza / base

tan(angolo) = 6/100 = 0,06

angolo = arctan(0,06) = 3,43°

–  Un automobilista sta guidando su una lunga strada inclinata.
Dopo 2,40 km nota che i segnali stradali a fianco della carreggiata indicano che la sua altitudine è aumentata di 160 m.
a) Qual è l’angolo che la strada forma con il piano orizzontale?
b) Quanta strada deve ancora percorrere se vuole aumentare la sua altitudine di altri 45 m?

a)  sen(angolo) = h/ipotenusa

h = 160 m ; ipotenusa = 2400 m

sen(angolo) = 160/2400 = 0,0667

angolo = arcsen(0,0667 = 3,82°

b)  h’ = 160 + 45 = 205 m

205/ipotenusa = sen3,82°

ipotenusa = 205/sen3,82° = 205/0,0667 = 3075 m

Strada da percorrere = 3075 – 2400 = 675 m

Esercizi sul piano inclinato
1)  La rampa di carico di un magazzino permette di superare un dislivello di       1,5 m. Su di essa è fermo un carello, la cui massa è di 130 kg. Per trattenere il carrello occore esercitare una forza , parallela alla rampa, di 91 N.
Qual è la lunghezza della rampa?

F// = mg sen(angolo)

sen(angolo) = 91/ (130 x 9,8) = 91/1274 = 0,0714

sen(angolo) = h/L

L = h/sen(angolo)

L = 1,5/0,0714 = 21 metri.

Una pallina di massa m risale un piano inclinato di 45° che ha un coefficiente di attrito dinamico k = 0,3. La velocità iniziale Vo della pallina è 20 m/s.
Determinare:
a) il tempo impiegato ad arrivare all’altezza massima (tempo di salita);
b) lo spazio percorso sul piano inclinato;
c) il tempo di discesa;
Risultati: a) 2.2 s; b) 22.4 m; c) 3 s;
Forze agenti: Forza peso parallela al piano =
= m x g x sen 45° = m x 6,93 m/s^2.Forza d’attrito = 0,3 x m x 9,8 x cos 45° = m x 2,08 m/s^2.Frisultante che frena la pallina = m x (6,93 + 2,08) = m x 9,0 m/s^2.La decelerazione è Frisult/m allora a = – 9,0 m/s^2Nel punto di altezza max si ferma V =0V = a x t + Vo ; 0 = -9 x t + 20 ; t = – 20/ (- 9) = 2,22 secondiS = 1/2 (- 9) x 2,22^2 + 20 x 2,22 = 22,2 metritempo di discesa. In discesa, l’attrito agisce in senso contrario alla forza peso parallela allora l’accelerazione di discesa è:a = 6,93 – 2,08 = 4,85 m/s^2 accelerazione con cui scende la pallinaS = 1/2 a t^2;   allora t = radquad( 2 x S /a)t = radquad( 2 x 22,2 /4,85) = 3,02 secondi
Esercizio:
3)  Un’automobile di 900 kg sale lungo una strada inclinata di 30 gradi con accelerazione di 0,25 m/s2.
Se il coefficiente d’attrito è 0,5,  qual è l’intensità della forza d’attrito?
Qual è l’intensità della forza motrice?
 

 Soluzione:

L’automobile è soggetta alla forza di gravità parallela al piano, all’attrito (frenanti) e alla forza motrice (positiva). Queste tre forze danno la F risultante = m x aF// + Fattrito + Fmotrice = 900 x 0,25Fattrito = – 900 x 0,5 x 9,8 x cos30° =3819 N900 x ( – 9,8 x sen30°) + 3819,17 + Fmotrice = 225- 4410 – 3819 + Fmotrice = 225Fmotrice = 225 + 4410 + 3819 = 8454 N4)Un pacco di massa di 5 Kg scivola con velocità costante per 2,5 m lungo un piano inclinato partendo da un’altezza di 1,5 m. Qual è il coefficiente d’attrito fra pacco e piano? (0,75)
Con quale forza bisognerebbe spingere verso l’alto il pacco per farlo salire a velocità costante? (58,8 N). 
soluzione:
Se scivola con velocità costante vuol dire che la Fattrito = F// al piano inclinato.
sen (angolo) = 1,5/2,5 = 0,6;angolo = arcsen 0,6 = 36,87°K x mg cos36,87° = mg sen 36,87°K = sen36,87°/cos36,87° = tan36,87° = 0,75; (coeff. d’attrito).Per farlo salire ci vuole una forza pari alla somma di F// al piano e FattritoF// = 5 x 9,8 x 0,6 = 29,4 N ( forza di gravità parallela al piano, verso il basso)Fattrito = 0,75 x 5 x 9,8 x cos36,87° = 29,4 N (frenante, verso il basso).F(verso l’alto del piano) = 29,4 + 29,4 = 58,8 N

 5) Durante una vacanza in montagna Angela e Clara, ciascuna a bordo del proprio slittino, scendendo a valle lungo due diverse piste innevate. Angela sceglie la pista più breve, lunga 800 m, ma più ripida. Clara, invece, preferisce affrontare una pista con minore pendenza, lunga 1,5 km. Entrambe le ragazze imboccano i rispettivi percorsi a una quota di 40 m rispetto al punto in cui le due piste si ricongiungono a valle. Chi delle due arriverà per prima a valle e per quanto tempo dovra attendere l’altra? (Considere l’attrito trascurabile).

Soluzione:
Angela: a = g// = 9,8 x sen(angolo)

sen(angolo) = 40/800 = 0,05

9// = 9,8 x 0,05= 0,49 m/s^2

S = 1/2 g//t^2

t = radquad(2 x S/g//) = radquad(2 x 800/0,49) = 57 ,1 secondi

Clara: a = g// = 9,8 x sen(angolo)

sen(angolo) = 40/1500 = 0,027

9// = 9,8 x 0,027 = 0,26 m/s^2

S = 1/2 g//t^2

t = radquad(2 x S/g//) = radquad(2 x 1500/0,26) = 107,1 secondi

Angela deve aspettare Clara per un tempo t =107,1 – 57,1 = 50 secondi

6)  Ad un blocco che si può muovere lungo un piano inclinato di 20° senza attrito, viene impressa inizialmente una velocità di 5 m/s verso la sommità del piano. Quanto spazio percorre il blocco prima di fermarsi?

L’accelerazione di gravità frena il corpo se si muove in salita.
la decelerazione è g// = – 9,8 x sen 20° = – 3,35 m/s^2

V = a x t + Vo

V finale = 0

– 3,35 x t + 5 = 0

t = 5/3,35 = 1,49 s ; (tempo per fermarsi)

S = 1/2 a t^2 + Vo t; (legge del moto accelerato)

S = 1/2 x ( – 3,35) x 1,49^2 + 5 x 1,49 = 3,73 metri.

7) Un blocco di massa m=520 g scivola lungo un piano inclinato di 30° a velocità costante v=2 m/s.
Alla base del piano inclinato si trova una molla con costante elastica K=200 N/m.

Domande:
a) calcolare il coefficiente di attrito tra piano e blocco.
b) Di quanto si comprime la molla per arrestare il pacco?
c) Quant’è l’energia potenziale della molla complessa?
d) A che altezza risale il blocco? (Considerare nullo l’attrito in questo caso)

Se la velocità è costante

F// = Fattrito

mg sen30° = Kd mg cos30°

Kd = sen30°/cos30° = tan30° = 0,58 ( coeff. d’attrito)

1/2 K X^2 = 1/2 m V^2

X = radquadrata ( m V^2/K) = radquadr(0,520 x 2^2/200) = 0,10 m

U(elastica) = 1/2 K X^2 = 1/2 x 200 x 0,10^2 = 1 J
1/2 K X^2 = mgh
mgh = 1 J
h = 1 / (mg) = 1/ (0,520 x 9,8) = 0,2 m ( senza attrito)

 Esercizio:
Corpi legati – Tensione
Esercizi su tensione- equilibrio – moto circolare – attrito
3 scientifico Acompiti (file di esercizi su corpi legati – equilibrio)
trecorpitensione

1) Un blocco di    M=3 kg in quiete su un piano orizzontale con coeff attr m=0,4, è legato ad una fune ideale; dall’altro capo della fune è legata una massa m 

m =5 kg che scende verticalmente dal piano.

Calcolare la velocità della massa m nel momento in cui ha percorso 1,5  metri dal bordo del tavolo piano.

Calcolare la tensione della fune fra le masse.

 

L’ accelerazione delle masse è la stessa, perchè i due corpi sono legati e viaggiano insieme.

 

a = Forza risultante /(massa totale)

Forze agenti:
Fattrito = 0,4 x 3 x 9,8 = 11,76 N (negativa perchè frenante)
F(peso m) = 5 x 9,8 = 49 N (questa forza fa muovere i due corpi di moto accelerato.

F risultante = 49 + ( – 11,76) = 37,24 N

a = 37,24 / (3+5) = 4,66 m/s^2

V = a x t + Vo; Vo = 0 m/s; manca il tempo di caduta.
S = 1/2 x a x t^2
t = radquad(2 x S / a ) = radquad ( 2 x 1,5/4,66) = 0,8 s
V = 4,66 x 0,8 = 3,74 m/s.


Per trovare la Tensione, considerare i corpi separatamente e sommare le forze che agiscono su ciascuno.
Forze sul corpo di massa m che cade verticalmente: Peso e tensione, sommate con il loro segno danno la forza risultante su m.

mg – T = ma
T = mg – ma

T = 5 x (9,8 – 4,66) = 5 x 5,14 = 25,7 N

Forze sul corpo M:

T – Fattrito = M x a

T = M x a – Fattrito = 3 x 4,66 + 11,76 = 25,7 N

Corpi legati su un piano inclinato

esercizio 2)

Un corpo di massa 50 kg è su un piano inclinato (kd = 0,1), Il corpo è trainato verso il basso  da un carrello di massa 50kg senza attrito, il piano è lungo 6m e l’altezza è di 150cm. Calcolare l’accelerazione del sistema, la tensione della corda, il tempo per percorrere 6m, e la velocità che raggiunge!

 Soluzione:

 g// = 9,8 x 1,5/6 = 2,45 m/s^2
sen(alfa) = 1,5/6 = 0,25; alfa = arcsen0,25 = 14,48°
Fattrito = 0,1 x 50 x 9,8 x cos(14,48°) = 47,44 N

F// = Mcarrello x g// = 50 x 2,45 = 122,5 N

Sul carrello agiscono F// in avanti e la forza di tensione T all’indietro.

Sul corpo agiscono la tensione  T in avanti e la Fattrito frenante all’indietro.

F// – T = (Mcarrello) x a
T – Fattrito = (Mcorpo) x a

122,5 – T = 50 x a
T – 47,44 = 50 x a ;   risolviamo il sistema

122,5 – T = T – 47,44

2 T = 122,5 + 47,44

T = 169,94/2 = 84,97 N

84,97 – 47,44 = 50 x a
37,53 = 50 x a

a = 37,53/50 = 0,75 m/s^2

1/2 a t^2 = 6

t = radquad(2 x 6/0,75) = 4 secondi

V = a x t; V = 0,75 x 4 = 3 m/s^2

3) Su un piano senza attrito,  c’è  un corpo (M3). Collegati ad m3 ci sono altri 2 corpi (M1 e M2) sospesi in aria tramite un puleggia, possono scendere in verticale.
La corda che li unisce è inestensibile.
Calcolare le tensioni sulla corda.
M3= 3Kg
M2= 1Kg
M1= 2Kg
M1 pende a destra ed M2 pende a sinistra di M3.

M3 viene tirato a destra da M1 tramite la tensione della funa T1;
viene tirato a sinistra da M2 tramite la tensione della fune T2;

T1 verso destra la poniamo positiva. I tre corpi si muoveranno verso destra perchè M1 = 2 kg è maggiore di M2 = 1 kg.

T1 – T2 = M3 x a;                M3 si muoverà con accelerazione a

M1 x g – T1 = M1 x a;         M1 cade con accelerazione a

T2 – M2 x g = M2 x a:          M2 sale verso l’alto trascinato dalla tensione T2

Risolviamo il sistema delle tre equazioni:
dalla seconda: T1 = M1 x g – M1 x a
dalla terza : T2 = M2 x g + M2 x a

sostituiamo nella prima:
M1 x g – M1 x a – M2 x g – M2 x a = M3 x a

(M1 +M2 + M3) x a = M1 x g – M2 x g

a = (2 x 9,8 – 1 x 9,8) / ( 2 + 1 + 3) = 9,8/6 =1,63 m/s^2

T1 = 2 x 9,8 – 2 x 1,63 = 16,3 N

T2 = 1 x 9,8 + 1 x 1,63 = 11,43 N

 4) Due blocchi di massa 2,0 kg e 7,0 kg sono
connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura sotto). I piani inclinati sono lisci. Trovare (a) l’accelerazione di ciascun blocco;   (b) la tensione della fune.
F//1 = 2 x g x sen35°= 11,24 NF//2 = 7 x g x sen 35° = 39,35 NFris = F//2 – F//1Fris = 39,35 – 11,24 = 28,11 N(m1 + m2) x a = 28,11a = 28,11/(2+7) = 4,02 m/s^2 ( verso destra, dalla parte del corpo m2 = 7 kg)Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto)T – F//1 = m1 x aT = m1 x a + F//1T = 2 x 4,02 + 11,24 = 19,3 N5) F//1 = m1 x g sen45°= 1 x 9,8 x 0,707 = 6,93N
F//2 = m2 x g x sen30° = 4 x 9,8 x 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 x m1 x g x cos45° = 0,2 x 1 x 9,8 x 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 x 4 x 9,8 x cos 30° = 6,79 N
Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.
Forze sul corpo 1 frenanti, negative perché verso sinistra, Tensione T positiva.- 6,93 – 1,39 + T = m1 x a ; accelerazione verso l’alto, positivaForze sul corpo 2
+ 19,6 – 6,79 – T = m2 x a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 x a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 x a
– 8,32 + T = a
12,81 – T = 4a
12,81 – T = 4 x ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N
a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2

Altalena

5)  La corda di un’ altalena può sopportare una tensione massima di 800 N senza rompersi. Nella situazione iniziale l’ altalena è ferma in posizione verticale, poi viene tirata indietro in modo da formare un angolo di 60° con la direzione verticale. Qual è la massa della persona più pesante che può usare questa altalena?

La massima tensione della corda si ha quando l’altalena passa nel punto più basso a velocità massima

F(tensione) = mg + mV^2/R;     R è la lunghezza della corda

occorre trovare V con la conservazione dell’energia:

mgh = 1/2mV^2

h = R – R x cos60° = R x(1 – 0,5) = 0,5R

V^2 = 2g x 0,5R

Ftensione = m x g + m x(2g x 0,5R) /R ; R si semplifica e non serve.

800 = m x g + m x g

2mg = 800

m = 800/2g = 800 / ( 2 x 9,8) = 40,82 kg

Tensione fune.

Problema: L’uccellino sul filo ha una massa di 41 grammi. Qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?

Problema: Se l'uccellino ha una massa di 41 grammi, qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?
Ft = forza di tensione

2 Ft x sen 10°  = Fpeso;  Ft = Fpeso/(2 sen10°) = 0,041 x 9,8 / 0,347 = 1,2 N

Oppure  Fp√(Ft^2 + Ft^2 + 2Ft^2cos160°);  fra le due tensioni c’è un angolo di 160°
Fpeso =√(2Ft^2 + 2Ft^2cos160°) )= √(2Ft^2 (1 + cos160°) ) ;
Fpeso^22Ft^2 (1 + cos160°)
 Ft = Fpeso / ( √(2 (1 + cos160°) )  = 0,041 x 9,8 / 0,347 = 1,2 N

Energia nel pendolo

 il moto di un pendolo: quando solleviamo ad un’altezza h,(punto B), la sfera alla base di un pendolo spendiamo del lavoro e portiamo l‘energia potenziale al suo massimo U = mgh. Quando lasciamo la sfera libera di muoversi, l’energia potenziale si converte in energia cinetica e la sfera aumenta la sua velocità. Quando il filo è perfettamente verticale, (punto A), l’energia cinetica sarà massima: K = 1/2 m V^2 e la potenziale nulla perchè  h = 0 m.  Il pendolo rallenterà fino a raggiungere un punto C in cui, fermandosi, invertirà la direzione del moto. In quell’esatto istante l’energia potenziale tornerà massima e la cinetica sarà 0 J.

mgh = 1/2 m  V^2

h = R – R cos (alfa)

6)  Una massa m1 è collegata per mezzo di una corda di massa trascurabile ad una massa m2, che può scivolare su una superficie senza attrito.
La puleggia ruota intorno ad un asse liscio e ha momento d’inerzia l e raggio R. Assumendo che la corda non slitti sulla puleggia, calcolare (a) l’accelerazione delle due masse, (b) le tensioni T1 e T2 e (c) i valori numerici di a, T1, T2 se I = 0.5 kg · m2, R = 0.3 m, m1 = 4 kg e m2 = 3 kg. (d) Quali sarebbero i risultati se la puleggia avesse momento d’inerzia trascurabile?

m1g – T1 = m1 a

T2 = m2 a

(T1 – T2) R = I a/R

queste sono le tre equazioni che risolvono il problema.

4g – T1 = 4a

T2 = 3a
(T1 – T2)0,3 = 0,5 a/0,3

T1 = 4g – 4a
T2 = 3a
(4g – 4a – 3a) 0,3 = (5/3) a

1,2g – 2,1a = 1,67a

3,77a = 1,2 x 9,8

a = 11,76/3,77 = 3,2 m/s^2

T1 = 4g – 4 x 3,2 = 4 x 9,8 – 12,8 = 26,4 N

T2 = 3a = 3 x 3,2 = 9,6 N

Se il momento d’inerzia fosse trascurabile, si eliminerebbe la terza equazione sul momento delle forze che agisce sulla puleggia.

m1g – T1 = m1 a

T2 = m2 a

T1 e T2 sono uguali

Rimane solo:
4g – T = 4a
T = 3a

4g – 3a = 4a

4a + 3a = 4g

a = 4 x 9,8 / 7 = 5,6 m/s^2

T = 3a = 3 x 5,6 = 16,8 N

7)   Una fune ideale poggia nella gola di una carrucola omogenea di massa mc e raggio R noti, senza strisciare su di essa. L’asse della carrucola e’ fisso e senza attrito. Il tratto verticale della fune regge un corpo di massa m = mc; il tratto orizzontale e’ trattenuto da una forza Fo costante. Se il momento d’inerzia della carrucola rispetto al proprio asse e’ Iz = mcR^2/2, e se vogliamo che mc scenda con accelerazione ax = g/3, quanto deve valere Fo in funzione di m e di g ?

La somma dei momenti deve dare :- F x R + mg x R = (1/2 x mc x R^2) x (alfa)alfa è l’accelerazione angolare : alfa = a/R; a è l’accelerazione tangenziale.F x R = mg x R – (1/2 x mc x R^2) x (a /R); a = g/3; mc = mF = mg x R / R – (1/2 x m x R^2) x (g /3R^2)F = mg – 1/6 mg = 5/6 mg8)  La tensione alla quale una lenza si spezza è comunemente detta la “resistenza” della lenza. Quale resistenza minima deve avere una lenza per essere in grado di bloccare in 11 cm, a decelerazione costante, un salmone pesante 85 N che sta fuggendo alla velocità iniziale di 2,8 m/s ?La forza di tensione è F = m x aOccorre trovara l’accelerazionea = (V-Vo) / tV = 0 m/s velocità finaleVo = 2,8 m/sa = – 2,8/t

S = 1/2 a t^2 + Vo t = 0,11 m; spazio per fermarsi

1/2 x ( – 2,8/t) x t^2 + 2,8 x t = 0,11 metri

– 1,4 x t + 2,8 x t = 0,11

1,4 x t = 0,11

t = 0,079 s ; tempo per fermare il salmone)

a = – 2,8/0,079 = – 35,4 m/s^2 (decelerazione provocata dalla lenza)

m = 95/9,8 = 9,7 kg

F = m x a
F = 9,7 x 35,4 = 343,4 N ( tensione)

Reazione vincolare: moto su una sfera

In un parco acquatico una ragazza si lascia scivolare da ferma lungo una superficie sferica priva di attrito. Calcola a quale angolo avviene il distacco della superficie.

La forza peso può essere scomposta in due componenti, delle quali quella radiale, che deve svolgere il ruolo di forza centripeta, vale mg⋅cosα. La ragazza resta attaccata alla sfera fino a quando questa forza è minore uguale alla forza centripeta necessaria per un moto con velocità v, cioè mv2/R.

La variazione di energia potenziale gravitazionale ΔU rispetto al punto più alto è mgh =  mgR(1 – cosα) . Tale variazione deve essere uguale  alla variazione di energia cinetica ΔK= 1/2mv2 – 0.
Quindi:              1/2mv2 = mgR(1 – cosα).
Da ciò ricaviamo che il rapporto v2/R vale ad ogni istante 2g(1 – cosα), e la forza centripeta necessaria risulta 2mg(1 – cosα).
Questa forza risulta uguale alla componente radiale della forza peso, mg  cosα, quando:
cosα = 2(1 – cosα),   ovvero: 3cosα = 2.
L’angolo cercato è perciò α = arccos(2/3) = 48°.

Un corpo di massa m=1 Kg viene lasciato cadere lungo una superficie sferica liscia di raggio r =1 m. Calcolare l’angolo a cui avviene il distacco del corpo dalla superficie.

Soluzione.

La condizione affinché il corpo rimanga attaccato alla superficie sferica è che vi sia una reazione vincolare (orientata lungo la radiale) diversa da zero. Le forze presenti sono: il peso del corpo, la reazione vincolare e la forza centripeta. Il corpo si stacca quando la reazione vincolare diventa nulla, cioè quando la componente del peso lungo la radiale eguaglia la forza centripeta.
La condizione di distacco si verifica quando la velocità diventa tale che la centripeta richiesta supera la forza perpendicolare contro il piano della sfera, quindi il corpo si stacca dal piano e segue la tangente:

\begin{displaymath}mg cos \alpha = m \frac{v^2}{r} \qquad (1) \end{displaymath}

 

Per calcolare la velocità utilizziamo la legge di conservazione dell’energia. In corrispondenza di un angolo $\alpha$ il corpo è sceso di un tratto:

 

\begin{displaymath}h = r - r cos \alpha = r(1 - cos \alpha)\end{displaymath}

Quindi:

\begin{displaymath}mgh = mg r(1 - cos \alpha) = \frac{1}{2} m v^2 \qquad (2)\end{displaymath}

 

Combinando la (1) e la (2) otteniamo:

 

\begin{displaymath}cos \alpha = \frac{2}{3}\end{displaymath}

da cui:

\begin{displaymath}\alpha = 48.2^0\end{displaymath}

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