George Ohm

 L’intensità di corrente nei conduttori solidi
L’intensità di corrente elettrica è uno spostamento ordinato di cariche elettriche che si ha in un conduttore quando ai suoi estremi viene applicata una d.d.p.

L’ intensità di corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo; 

      i = Dq/Dt

( E’  la derivata prima, rispetto al tempo della funzione q(t)) .

E’  una grandezza fisica, la sua unita’ di misura è l’ Ampere (A). (Nel sistema internazionale è una misura fondamentale, come il metro, il kg, il secondo). 1 A = 1 C/1sec. I portatori di carica in un metallo sono gli elettroni esterni degli atomi: questi elettroni, delocalizzati, sono liberi di muoversi da un atomo all’ altro. Invece gli ioni positivi occupano i nodi del reticolo cristallino e possono compiere piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio, per agitazione termica, ostacolano quindi il moto delle cariche e sono responsabili della resistenza elettrica  R che gli elettroni incontrano quando si muovono all’interno di un conduttore. Gli elettroni si muovono da punti a potenziale minore, verso punti a potenziale maggiore, in verso contrario al campo (dal – al +).  Per convenzione invece il verso della corrente è quello dal + al – , come se fossero cariche positive a spostarsi. Questo perchè, quando si cominciò a studiare le correnti, non si conosceva ancora l’ esistenza dell’ elettrone, scoperto da    Joseph John Thomson (1856-1940), intorno al 1897. Ebbe il premio Nobel nel 1906.

 

verso convenzionale della intensità di corrente 

Le leggi di Ohm

 Se ai capi di un conduttore si applica una d.d.p. V, esso viene attraversato da una intensità di corrente i, tale che vale la seguente relazione:  

R = V/i 

 dove R è costante e viene detta resistenza elettrica. La sua unità di misura e’ l’ ohm:   1 W = 1V/1A.

legge di Ohm

 

Prima legge di Ohm:    V = R x i  ;  

I conduttori che seguono questa legge sono detti ohmici ; R e’ una grandezza caratteristica del conduttore e dipende dalle condizioni in cui esso si trova (temperatura, pressione). Se R e’ grande, la corrente che circola sara’ piccola (inversa proporzionalita’ fra R ed i), R esprime la difficolta’ che incontrano le cariche a muoversi nel conduttore. R dipende dalle caratteristiche geometriche e chimiche del conduttore.

                                     

  La seconda legge di Ohm esprime proprio questo:    

   R  =  r L/A  

dove   r   è la resistivita’ del materiale (caratteristica chimica), L è la lunghezza del conduttore (filo),         

  A è l’area della sua sezione. La resistività r è molto piccola nei metalli, ma cresce con la temperatura. Il movimento degli elettroni di conduzione è ostacolato dalle vibrazioni degli ioni del reticolo cristallino. Con l’aumentare della temperatura cresce l’ ampiezza delle oscillazioni degli ioni attorno alle loro posizioni di equilibrio nel cristallo, quindi aumenta la resistenza elettrica RR aumenta  se il conduttore è molto lungo oppure ha sezione piccola (filo sottile). 

  

 

RESISTIVITA’

Nella seguente tabella sono riportate le resistività caratteristiche di alcuni materiali a condizioni normali (temperatura di 20 °C).
(Ωm = 10-6 Ω·mm^2/m) 

Materiale Resistività (Ωm)
Argento 1,62 × 10-8
Rame 1,69 × 10-8
Oro 2,35 × 10-8
Alluminio 2,75 × 10-8
Tungsteno 5,25 × 10-8
Ferro
Acciaio
9,68 × 10-8
12 x 10-8
Platino 10,6 × 10-8
Silicio puro (non drogato) 2,5 × 103
Vetro
Pelle umana
Gomma
tra 1010 e 1014
5 x10^5
10^15

Costantana (Cu60%,Ni40%)  50 x 10^-8

Ottone(Rame-Zinco)    7 x 10^-8

Circuiti 

 

La pila (inventata intorno al 1800 da Alessandro Volta), è un generatore di differenza di potenziale, la lampadina è un utilizzatore.

Quando l’interruttore è chiuso , una intensità di corrente elettrica circola nel filamento della lampadina rendendolo incandescente.
In un conduttore metallico la corrente è un flusso ordinato di elettroni liberi.
Per convenzione, si è stabilito che la corrente elettrica va dal polo positivo a quello negativo del generatore, cioè in verso opposto al moto degli elettroni.

Il ruolo della Pila
La Pila è un dispositivo che mantiene in moto gli elettroni nel circuito fornendo loro l’energia necessaria per spostarsi da un polo all’altro.

Resistenze in serie in un circuito

 Si colleganoi resistori unendoli uno di seguito all’altro, in modo che siano attraversati dalla stessa intensità di corrente i. La d.d.p. erogata dal generatore si divide in parti direttamente proporzionali alle singole resistenze. Avremo quindi diverse d.d.p. (cadute di tensione), ai capi di ciascuna resistenza, ma per la conservazione dell’energia, la somma di queste tensioni parziali ( V1, V2) ai capi delle singole resistenze, sarà uguale alla d.d.p. (o forza elettromotrice f.e.m.) erogata dal generatore. La conservazione dell’energia in un circuito è il  2° principio di Kirchhoff:  cioè                     

                                        V1 + V2 = V 

 per due resistenze in serie : R1i + R2i = Rei   dove i è la corrente nel circuito. Semplificando   i troviamo che    la resistenza equivalente di un circuito in serie è pari alla somma delle singole resistenze:                                             

   R1 +  R2  = Re .

Resistenze in serie

 

 



Collegamento di resistenze in parallelo 

 

 

Resistenze in parallelo

         

Il collegamento in parallelo viene realizzato in modo che tutte le resistenze siano soggette alla stessa tensione (o d.d.p.). La corrente si divide  nei vari rami del parallelo, ma per la conservazione della carica, la corrente in entrata è uguale alla somma delle correnti in uscita.                   Questo è il   primo principio di Kirchhoff.    

Nel nodo  avviene che 

 i = i1+i2                                             

     Per la 1alegge di Ohm                                             

DV/Re =  DV/R1  +  DV/R2  

    ai capi di ciascuna resitenza c’è la stessa d.d.p. DV , ne segue che
          1/Re    =  1/R1   +   1/R2 
nel nodo  la corrente i entrante è uguale alla somma delle correnti uscenti.
Esercizio: Due resistori ideali di rame (ρ = 1.7 x 10-8 ohm m) sono collegate in parallelo. Se ambedue i resistori hanno sezione pari a 5 mm^2 e lunghezza 20 m, quale deve essere la lunghezza del resistore equivalente la cui sezione è pari a 7 mm^2?

R1 = R2 = 1,7 x 10-8 x 20 /(5 x 10^-6) = 6,8 x 10^-2 Ohm
1/Re = 1/R1 + 1/R2 = 2 / (6,8 x 10^-2)=
Re = 2/ 6,8 x 10^-2 = 29,4 Ohm
1,7 x 10-8 x L / (7×10^-6) = 29,4
L = 29,4 x 7 x 10^-6 /(1,7 x 10-8 ) = 12106 m

POTENZA ELETTRICA  


La potenza è il lavoro fatto nell’unità di tempo.   

P = L / t   (Poichè V è il lavoro per unità di carica, allora   L = V x q )  ;

L/t = V x q /t   ;  P = L/t  ;  P = V x i

(essendo i = q/t)
La La potenza di un componente elettrico è  il prodotto della sua tensione per la sua corrente.

P = V i
dove P  sta per potenza, V sta per la tensione di un circuito e i sta per l’intensità di corrente che attraversa il circuito. 

Unità di misura della potenza è il Watt, che si abbrevia: W.

In circuito elettrico la somma delle potenze di tutti i generatori presenti deve essere uguale alla somma delle potenze di tutti gli utilizzatori.
Si dice energia di un componente il prodotto della sua potenza per il tempo considerato; il tempo, di solito, si misura in ore. L’energia la indichiamo con la lettera W. La formula è la seguente:

W = P t

Unità di misura dell’energia èil chilowattora, che si abbrevia in kWh.
1 kWh = 1000J/s x 3600s = 3,6 x 10^6 J

Esempio di un resistore in serie con due in parallelo.
Tre resistenze uguali di 50 Ohm sono così collegate: due R2 ed R3 in parallelo e questo parallelo in serie con la prima resistenza R1. Al circuito è applicata una d.d.p. V=150 V.
a)Calcolare l’intensità totale di corrente
b)Calcolare l’intensità di corrente che attraversa ogni resistenza e la differenza di potenziale ai capi di ogni resistenza.
c)Calcolare la potenza totale dissipata dal circuito e quella da ogni resistenza.

Con   V1  indichiamo la caduta di potenziale ai capi di  R1 e con  V23  la caduta di potenziale ai capi dei due resistori in parallelo    R2  ed  R3 così come indicato nel grafico :

Requivalente = Rp + R1.
Requivalente =  ( 1/50 + 1/50) ^-1 + 50 =
=  50/2 + 50 = 25 + 50 = 75 Ohm

i = V / Re = 150/75 = 2 A

V23(parallelo) = Rp x i = 25 x 2 = 50 Volt

i = i2 + i3

i2 = Vp / 50 = 50 Volt/ 50 Ohm = 1 A

i3 = 1 A
nella prima resistenza R1:

V1 = R1 x i = 50 x 2 = 100 V

Potenza totale = V^2 / Re = 150^2 / 75 = 300 W

Pparallelo = Vp ^2/ Rp = 50^2/25 = 100 W

P2 = P3 = 50^2 / 50 = 50 W
P1 = 100^2/ 50 = 200 W

Una pila di F.e.m di 4,5 V e con resistenza interna di 0,6 Ohm alimenta un apparecchio utilizzatore di resistenza = 3 Ohm. Dopo quanto tempo l’apparecchio ha consumato 1 kWh?

Resistenza equivalente
R = 3 + 0,6 = 3,6 Ohm

i = V/R = 4,5/3,6 = 1,25 A

Potenza = i^2 x R = 1,25^2 x 3,6 = 5,63 Watt ( in un secondo consuma 5,63 J).

1000 Wh = 5,63 x t

t = 1000/5,63 = 177,6 h

1kWh = 1000 W x 3600 s = 3,6 x 10^6 J

tempo: t = 3,6 x 10^6 / 5,63 = 6,39 x 10^5 s ( in secondi)

tempo in ore 6,39 x 10^5/ 3600 = 177,6 h

 Effetto Joule

Effetto Joule.

Diversi elettrodomestici come il tostapane e il ferro da stiro, una volta collegati alla presa della corrente, si riscaldano notevolmente. Qual è la spiegazione di questo fenomeno?

ferro da stiro tostapane

Sappiamo che l’energia non si crea dal nulla. Vediamo allora in quale maniera si ottiene l’energia termica finale a partire da quella elettrica iniziale.

Nel generatore le cariche acquistano energia potenziale e nel conduttore collegato al generatore stesso, gli elettroni, a causa delle forze del campo elettrico, si mettono in movimento, per cui la loro energia potenziale inizia a trasformarsi in energia cinetica. Tuttavia, gli elettroni non si spostano in uno spazio vuoto. Considerata la struttura del conduttore, dopo un percorso più o meno breve essi urtano contro gli ioni del reticolo cristallino, i quali accrescono così la loro energia di oscillazione a scapito di quella cinetica delle particelle cariche.

effetto Joule

Una corrente elettrica in un conduttore metallico è un movimento ordinato di elettroni al suo interno (a muoversi sono gli elettroni dei livelli energetici più esterni che sono praticamente liberi).

Gli elettroni, nel loro moto, urtano incessantemente contro gli ioni del reticolo del conduttore e trasmettono loro una certa quantità di energia.
Gli elettroni, tramite questi urti, trasmettono al conduttore
 del calore  per cui il conduttore si scalda, cioè la sua temperatura (che indica il valore medio dell’energia cinetica delle particelle che lo compongono) aumenta.

(il verso della corrente indicato nel disegno è quello effettivo degli elettroni)

(gli ioni del reticolo del conduttore oscillano in ogni direzione attorno a posizioni di equilibrio)

(gli elettroni, anche se continuamente deviati,  si muovono in modo orientato nella direzione della corrente)

L’effetto di riscaldamento che una corrente elettrica produce nel conduttore si chiama effetto Joule (in onore del fisico inglese che descrisse il fenomeno attorno al 1840).

L’effetto Joule si esprime  matematicamente così :

Q = V x i x t

Q = i^2 x R x t

Consideriamo il seguente semplice circuito:

       

      

  (il verso della corrente è quello convenzionale dal + al -)

e supponiamo di farvi scorrere la corrente   i  per un tempo t  (durante il quale consideriamo che la corrente stessa sia costante).  

V = R x i

Energia/t = Potenza;   (energia sviluppata nell’unità di tempo)
V = L/q  (lavoro per unità di carica)
i = q/t  ( quantità di carica al secondo)
L/q  x  q/t = L/t = potenza ; (lavoro in un secondo)

V x i = potenza

Potenza x tempo = Energia (o calore Q)

Il calore  Q  prodotto per effetto Joule è :

Q = V x i x t;    oppure poichè  V = R x i

       Q = R x i^2 x t 

Esercizio sull’effetto Joule

Utilizzando l’energia dissipata in un resistore R percorso da corrente a tensione V = 220 V, si vogliono portare a ebollizione, in 30 minuti , 5 kg di acqua inizialmente a 20°C. Tenendo conto che a causa delle perdite di calore il rendimento è dell’ 80%, determinare l’intensità di corrente i che deve attraversare il resistore e la sua resistenza R.

Potenza = Calore/t = V x i
Calore Q = c x m x(tfin – to)
Q = 4186 x 5 x ( 100° – 20°) = 1,67 x 10^6 J (calore necessario per scaldare l’acqua)
rendimento = 80/100 = 0,8 ; eta = Q/Q1 ( occorre maggiore energia Q1)
Quindi l’energia richiesta sarà Q1 = 1,67 x 10^6 / 0,8 = 2,09 x 10^6 J

V x i = 2,09 x 10^6 /(30 x 60)
V x i = 1163 Watt
i = 1163/220 = 5,3 Ampère
V = R x i
R = 220/5,3 = 41,5 Ohm

1) In condizioni di riposo da differenza di potenziale fra liquido intracellulare e quello interstiziale è di -90mV e lo spessore di una membrana cellulare è circa 75 Angstrom. Quanto vale il campo elettrico attraverso la membrana cellulare? (1,2*10^7 N/C)

2)In una resistenza di 12000 Ohm, attraversata da una corrente di                4 mA, calcolare la quantita di calore che si produce in 7s. (1.34J)

3) Una fibra nervosa puo essere approssimata ad un cilindro di diametro 10micrometri  e resistivita 2 Ohm m. Quant’e la resistenza di una fibra lunga 0,5m? (1.27*10^10 ohm)

Soluzioni:
1) S = 75 Angstrom = 75 x 10^-10 metri

E x S = – DeltaV

E = – (- 90 x 10^-3 )/ 75 x 10^-10 = 1,2 x 10^7 N/C

2) Potenza = i^2 x R = (4 x 10^-3)^2 x 12000 = 0,192 W

Calore Q = 0,192 x 7 = 1,34 J

3) R = r x L / Area = 2 x 0,5/ ( 3,14 x (5 x 10^-6)^2 ) = 1,27 x 10^10 Ohm

Esercizi sulla resistenza ed effetto Joule

1)Valore resistenza (effetto Joule)

Il calore prodotto da una resistenza R attraversata da una corrente i=2A per un tempo T=5 sec,fa compier a un decimo di mole di gas He una trasformazione isobara.Se la variazione di temperatura è 100°C calcolare il valore della resistenza.
 Q = Cp n deltaT (calore assorbito in una isobara, Cp è il calore specifico a pressione costante, per un gas monoatomico come l’elio He vale 5/2 R)Q = 5/2 x 8,31 x 0,1 x 100 = 207,75 JoulePotenza = Q/t = 207,75 /5 = 41,55 Watt

Potenza = i^2 x R

R = Potenza/i^2 = 41,55 /2^2 = 10,39 Ohm

 2) resistenze in parallelo

Due resistenze in parallelo sono alimentate da una (delta V) di 200 volt, la R1=60 Ohm,  la R2 è incognita. Determinare la R2 incognita, se la intensità i è       di 10 A.
Requivalente =V / i = 200/10 = 20 Ohm
1/60 + 1/R2 = 1/20
1/R2 = 1/20 – 1/60 = (3 – 1) / 60
1/R2 = 2/60
R2 = 60/2 = 30 Ohm
3) Determinare, nel circuito in figura,  la resistenza equivalente,  l’energia erogata dal generatore in 2 minuti e la potenza dissipata sulla resistenza R5,  assumendo:
R1=100Ω;  R2=400Ω ; R3=600Ω ; R4=1000Ω ;  R5=1200Ω;  ε = 50V.Soluzione:resistenze
R12 = 100 + 400 = 500 Ohm (R1 ed R2 sono in serie)
R3 ed R4 sono in parallelo
1/R34 = 1/R3 + 1/R4 = 1/600 + 1/ 1000 = 0,002667
R34 = 0,002667^-1 = 375 OhmR345 = R34 + R5 = 375 + 1200 = 1575 OhmR345 ed R12 sono in parallelo fra loro
1/Re = 1/1575 + 1/500 = 0,002635

Re = 0,002635 ^ -1 = 379,5 Ohm ;  circa Re = 380 Ohm

corrente

i = V / Re = 50/ 380 = 0,13 A

Potenza = V x i = 50 x 0,13 = 6,5 W (oppure P = i^2 x Re)

Energia = Potenza x tempo = 6,5 x 120 = 780 J

Potenza dissipata in R5 = 1200 Ohm
i = i1 + 12; la corrente si divide nel nodo sui due rami; i1 è la corrente che passa in R345 =1575 Ohm

i2 è la correnta che passa in R12 = 500 Ohm

i1 = V /1575 = 50/1575 = 0,03 A
i2 = 50/500 = 0,1 A

In R5 passa i1 = 0,03 A (intensità di corrente)
P = i^2 x R5 = 0,03^2 x 1200 = 1,08 Watt

4) Un forno di potenza P = 2200 W è alimentato a 240 V. Quanto vale la resistenza R ?

– Quanto tempo è necessario per scaldare 0,120 l d’acqua da 15°C a 100°C se il rendimento  del forno è del 75% ?
– Quanto si spende se un kilowattora costa 0,11 Euro?

Potenza = V^2/ R
R = V^2/P = 240^2/2200 = 26,18 Ohm
Calore richiesto Q = 4186 x 0,12 x ( 100°-15°) = 42697,2 J
Rendimento = 75/100 = 0,75; il 25 % del calore va perso, quindi si consuma di più.
Calore necessario Q’ = 42697,2 / 0,75 = 56930 J ( consumo)
Potenza = Q / t
t = Q/P = 56930/2200 = 25,88 s
1 kWh = 1000 W x 3600 = 3 600 000 J
Consumo in kWh = 56930/ 3600000 = 0,0158 kWh
Costo = 0,0158 x 0,11euro = 0,0017 Euro

Esercizio: Calcola la resistenza di una stufa elettrica la quale, attraversata da corrente di 11,6A,  fornisce ogni ora una quantità di calore pari a 1200×10^3 calorie.
(1cal = 4,186 J)

Per effetto Joule una resistenza dissipa calore.
La potenza dissipata in Watt = J/s è:

P = i^2 x R;

R = P/i^2 ;

P = Calore / tempo = 1200 x 10^3 calorie/1 h

P = 1200×10^3 x 4,186 / (3600 s) = 1395 Watt

R = 1395/11,6^2 = 10,4 Ohm

Resistenze in serie e in parallelo: Una pila che genera una f.e.m di 100 V è collegata a quattro resistenze disposte come in figura.
Siano R1 = 30 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 90 Ω. Sia I = 2A la corrente che attraversa la pila. Calcolare le correnti che attraversano ciascuna delle resistenze e la potenza dissipata da ciascuna resistenza.

R1 ed R2 sono in parallelo. R12 = (1/30 + 1/60) ^-1 = 20 Ohm

R3 ed R4 sono in parallelo. R34 = (1/90 + 1/ R4) ^-1

Re = V / i = 100 /2 = 50 Ohm

Re1 + Re2 = Re = 50 Ohm

R34 = 50 – 20 = 30 Ohm

1/90 + 1/R4 = 1/30

1/R4 = 1/30 – 1/90 = 0,0222

R4 = 0,0222^-1 = 45 Ohm

i12 = i34 = 2 A;
La corrente che entra in R12 esce ed entra in R34 perché le resistenze R12 e R34 sono in serie.
i12 = i34

i12 = 2 A; i34 = 2 A

V12 = R12 x i12 = 20 x 2 = 40 V
V34 = R34 x i34 = 30 x 2 = 60 V

i1 = V12/ R1 = 40/30 = 1,33 A
i2 = V12 / R2 = 40/60 = 0,67 A

i3 = V34 / R3 = 60/90 = 0,67 A
i4 = V34 / R4 = 60/45 = 1,33 A

Potenza = V x i
P1 = V12 x i1 = 40 x 1,33 = 53,3 Watt
P2 = 40 x 0,67 = 26,8 W
P3 = V34 x i3 = 60 x 0,67 = 40,2 W
P4 = 60 x i4 = 60 x 1,33 = 79,8 W

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