Campo magnetico Faraday-Neumann

 

L’unità di misura dell’induzione magnetica B ( o campo magnetico),  è il Tesla (pari a  10^4 Gauss).

B si misura in:

Newton/ (Ampère· metro) =

Newton· secondo/Coulomb· metro) =

= Volt· secondo/metro2  = Weber / metro2

N/C =V/m  )      Volt· secondo = Weber )

B è la forza che agisce su un filo di lunghezza 1 metro,

quando è   percorso da una corrente di 1 A.  B si misura in Tesla .

( da Nikola Tesla (1856 – 1943)

1 Tesla  = 1 N/(1A·1m)

Prima regola mano destra. Verso del campo generato da un filo percorso da corrente

Prima regola mano destra. Verso del campo generato da un filo percorso da corrente

I magneti hanno due fondamentali proprietà che sono tipiche della forza magnetica :

–    i poli magnetici opposti si attraggono e quelli omologhi si respingono

–    comunque si spezzi un magnete, si ottengono sempre due poli (il  N  ed il  S  ). In altre parole, non esiste un polo magnetico isolato così come esiste una carica elettrica isolata (o solo positiva o solo negativa). In altre parole ancora, non esiste una sorta di “carica magnetica“.

L’ago di una bussola, posta in un campo magnetico, subisce una forza magnetica e di conseguenza si allinea lungo una certa direzione. L’intensità della forza che fa deviare l’ago della bussola esprime l’intensità del campo magnetico.

Il campo terreste è uno scudo elettromagnetico per i raggi cosmici e per il vento solare.  Le particelle  del vento solare sono  cariche emesse dalla corona solare vengono deviate dal campo magnetico terrestre. Tale deflessione subita dalle cariche solari crea il fenomeno delle aurore polari.

Schematizzazione della magnetosfera terrestre:

(Fasce di Van Allen: le linee di forza del campo magnetico terrestre schermano la Terra dal vento solare).

Sulla Terra il campo magnetico è un fenomeno naturale che può far considerare la Terra come un dipolo magnetico non classico, con i poli non statici nè coincidenti con quelli geografici. Ciò che crea il magnetismo terrestre sono i moti convettivi all’interno del nucleo esterno fluido, che fanno circolare sostanze metalliche che, come in una dinamo autoeccitante, creano un campo con linee di forza entranti al polo nord e uscenti al polo sud. I due poli magnetici creano l’asse magnetico, divergente di 11°3′ rispetto all’asse terrestre. Tale magnetismo intrinseco sarebbe stato innescato circa 3,5 miliardi di anni fa da un campo sporadico di derivazione solare. In quanto fenomeno naturale in un pianeta dinamico, il campo magnetico terrestre non è costante, ma varia nel tempo in direzione e intensità, secondo la teoria della deriva dei continenti e lo studio del paleomegnatismo.

Il campo magnetico terrestre è

B = 50 microTesla = 50 x 10^-6 T

La Luna non ha campo magnetico

 In passato la Luna aveva un campo magnetico molto intenso: lo raccontano le rocce portate a Terra dagli astronauti americani della missione Apollo 11.

Secondo uno studio internazionale, coordinato dagli Stati Uniti, con Erin Shea del Massachusetts Institute of Technology (Mit), e pubblicato su Science, l’antico campo magnetico lunare era azionato da una sorta di dinamo interna simile a quella della Terra e dovuta a un nucleo di metallo fuso.

La ricerca e’ stata possibile esaminando la magnetizzazione di una roccia lunare, ossia analizzando il modo in cui la roccia e’ stata influenzata dal campo magnetico della Luna. Il campione era stato raccolto ai confini sud-occidentali del Mare della Tranquillita’ e si ritiene che sia stato prelevato dallo strato di roccia che ha creato il West Crater circa 102 milioni di anni fa. Questo studio, combinato con una precedente ricerca su una roccia lunare ancora piu’ antica, suggerisce che la dinamo nel cuore della Luna sia esistita in un periodo compreso fra 4,2 e 3,7 miliardi di anni fa, cioe’ 500 milioni di anni prima rispetto a quanto immaginato finora. Il risultato  indica che il nostro satellite naturale ha anche oggi un piccolo cuore di metallo parzialmente fuso, con un diametro di circa 330 chilometri.

Esiste in natura un minerale di ferro: la magnetite

(noto già nel 6° secolo a.C. al filosofo Talete)

che ha la proprietà   di attirare materiale ferroso.

Magnetite – Fe3O4

Magnetite - Foto Archivio APT Arcipelago toscano

Anche l’acciaio acquista questa proprietà

se entra in contatto con la magnetite (si magnetizza soprattutto agli estremi).

Le sostanze ferromagnetiche si magnetizzano

(Fe, Co, Ni e le loro leghe, l’acciaio per esempio).

Una calamita genera nello spazio circostante  un campo di forze che chiamiamo   

                     campo magnetico B.

Poiché non esiste una carica magnetica isolata (monopolo Nord o monopolo Sud),

per evidenziare il campo di forze si utilizza un ago magnetizzato (ago della bussola)

che sotto l’azione delle forze magnetiche si orienta nella  direzione del campo.

Le linee di forza sono chiuse perché non c’è carica magnetica,

per convenzione seguono il verso Nord-Sud e  continuano anche dentro  la calamita

dal Sud al Nord senza interruzione, non come nel campo elettrico

dove le sorgenti del campo elettrico sono le cariche positive

o negative e le linee di forza partono da esse che sono le generatrici del campo.

Il campo magnetico generato da cariche magnetiche si indica con la lettera H,

come il campo E,

ma  poiché non si trovano cariche magnetiche isolate,  si intende il campo come

l’induzione generata da correnti e si indica con B =  moH.

Barretta magnetica

 Linee di forza del campo magnetico  generato da una barra, evidenziate da limatura di ferro..

Un magnete (o calamita) è un corpo che genera un campo magnetico. Il nome deriva dal greco μαγνήτης λίθος (magnétes líthos), cioè pietra di Magnesia.

File:DipolMagnet.svg

Le linee di forza sono chiuse e vanno dal Nord al Sud seguendo l’orientamento di un ago magnetico (ago della bussola)

 Le sorgenti del campo magnetico:

ancora oggi non è stato possibile isolare

le cariche   magnetiche (monopoli).  Le esperienze di Hans Cristian Oersted (1820) dimostrano

che una corrente elettrica genera nello spazio circostante un campo  magnetico.

Le sorgenti del campo magnetico, sono le cariche in movimento, cioè le correnti elettriche. Per questo motivo B si chiama induzione magnetica.

Un ago magnetico è  un sensibilissimo rivelatore di campi magnetici: esperienze del fisico danese Oersted,

Oersted nel 1820 scoprì che un circuito percorso dalla corrente elettrica continua generata da una batteria di pile, posto in prossimità di un ago magnetico, lo fa deviare dalla sua posizione di equilibrio nel campo magnetico terrestre.

Poichè lo stesso effetto si osserva se all’ago magnetico viene avvicinata una calamita, si deduce che un circuito elettrico genera nello spazio circostante un campo magnetico, ed è pertanto equivalente ad un magnete, come fu dimostrato dal fisico francese Ampere (teorema di equivalenza), poco tempo dopo la scoperta di Oersted.

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Il campo magnetico generato da un filo indefinitamente lungo percorso da una corrente i ha delle linee di campo come quelle rappresentate in figura:

  L’ intensità di questo campo magnetico è data dalla legge di Biot-Savart:

 Legge sperimentale di Biot e Savart:  (nel vuoto) Bo  = Ko · i / r  

(B è direttamente proporzionale alla intensità di corrente , 

è inversamente proporzionale alla distanza r dal filo), la costante dipende dal mezzo  ed è  Ko = μo/(2π), = 2 * 10^-7 N /A2
 μo = 1,26·10-6 N/A2, è detta permeabilità magnetica del vuoto.

La permeabilità magnetica viene scritta anche così: μo = 4 π * 10 ^-7N /A2  

Prima regola della mano destra:

Prima regola mano destra. Verso del campo generato da un filo percorso da corrente

Prima regola mano destra. Verso del campo generato da un filo percorso da corrente

Direzione e verso del campo B
Prima regola della mano destra: l’intensità di corrente i ha la direzione e verso del pollice, il campo ha linee di forza circolari con il verso delle dita che si chiudono sul palmo.

Esempio:  Quale intensità di corrente deve fluire in un filo rettilineo affinchè generi un campo di intensità 0,02 T a 1 cm di distanza?

B =  mo x i /(2p r)

i = B x r / (mo/2p ) = 0,02 x 0,01 / 2 x10^-7 = 1000 A

Campo Magnetico di una spira circolare percorsa da corrente

Una corrente Elettrica in una spira circolare crea un campo magneticoche e’ piu’ intenso al centro della spira rispetto all’esterno della spira. Mediante avvolgimento di piu’ spire affiancate si ottengono campimagnetici molto piu’ intensi. Una struttura di questo tipo si chiama solenoide.

Esaminando la direzione del campo magnetico prodotto da un tratto di filo in cui circola corrente si puo’ notare che tutte le parti della spira contribuiscono al campo magnetico nella stessa direzione dentro la spira.

 

solenoide (15K)

All’interno della bobina percorsa da corrente si crea un campo magnetico B uniforme.

Con la legge di Ampère si dimostra che il campo magnetico creato dal passaggio di corrente vale B = μ0 n i

(con μ0 permeabilità magnetica del vuoto, n densità lineare delle spire e i intensità di corrente).

Campo al centro di una spira percorsa da corrente

 

La forma del campo magnetico da un elemento di corrente nella legge di Biot-Savart diventa:

che in questo caso si semplifica moltissimo poiche’ l’angolo teta =90º; per tutti i punti lungo il percorso e la distanza al punto del campo e’ costante. L’integrale diventa 

B mo x i / (2R)

 mo = (4p) ·10-7 = 1,26 ·10-6 N/A; (permeabilità magnetica del vuoto)

Esercizio: L’atomo di idrogeno come una spira percorsa da corrente.

L’atomo di idrogeno può essere schematizzato come un elemento costituito da un elettrone (di massa m e carica elettrica e) che descrive un’orbita circolare di raggio R attorno a un protone. Calcolare il campo magnetico rispetto al protone.

Si può calcolare B come campo di una spira percorsa da corrente i = q/T, dove q è la carica dell’elettrone e T è il tempo per fare un giro, ammesso che l’elettrone percorra un’orbita circolare!

t = 2pR / v;    v è la velocità dell’elettrone.

mv^2/R = Kq x q /R^2 ; Legge di Coulomb.

v = radquad( kq^2 / Rm)

T = 2 p R /(q x radquad( k / Rm))

T = 6,28 x 0,53 x 10^10 / (1,6 x 10^-19 x radqua(9 x 10^9/(0,53 x10^-10 x 9,11 x10^-31) ) =

= 1,53 x 10^-16 s

i = q/T = 1,6 x 10^-19/1,53 x 10^-16 = 1,05 x 10^-3 A

B = m x  i /2R = (4 p) x 10^-7 x 1,05 x 10^-3 / (2 x 0,53 x 10^-10) = 12,4 Tesla

Interazione di due fili percorsi da corrente

Le esperienze di Ampère (1775 – 1836) dimostrano che:

due fili elettrici disposti parallelamente si attraggono se le corrente sono dirette nello stesso verso;   si respingono se le correnti hanno  verso opposto.

La forza si calcola con la legge di Ampère:

F =(Ko i1·i2·L) /d                     (legge di Ampère);      

Ko = mo/(2p

 Ko = mo/(2p);         mo = (4p) ·10-7 = 1,26 ·10-6 N/A; (permeabilità magnetica del vuoto)

 Ko = mo/(2p) =  (4p) ·10-7/(2p) = 2 · 10-7 N/A2    

 i1 ed  i2 sono le correnti,  d è la distanza tra i fili,

   L è  la lunghezza di ciascun filo.

Correnti con lo stesso verso si attraggono (parallelo)

Correnti con verso opposto si respingono (serie)

Esercizio 1

Due fili orizzontali sono percorsi dalle correnti i1 e i2 come indicato in figura.                      Sapendo che i2 = 35 A, e che la distanza d = 0.30 m, si calcoli la corrente i1 (positiva o negativa ?) necessaria a bilanciare la forza di gravità del filo in alto (densità lineare di massa r = 0.12 g/m).

Forza magnetica fra due fili: ( i due fili si devono respingere)

F = (mo/2pgreco) x i1 x i2 x L /d

Forza peso = m x g = r x L x g

eguagliamo le due forze: L si semplifica

(mo/2pgreco) x i1 x i2 x L /d = r x L x g

i1 = r x g x d x 2pgreco/ ( i2 x mo) =

= 0,12 x 10^-3 x 9,8 x 0,30 x 6,28 /(35 x 1,26 x 10^-6) = 50 A

(verso contrario ad i2)

Le correnti devono avere verso opposto, così si respingono e il filo 1 viene spinto verso l’alto contro la forza di gravità.

Esercizio 2

A quale distanza devono trovarsi due conduttori rettilinei lunghi 50 cm, percorsi in versi opposti da una corrente di 5 A, affinchè si respingano con una forza pari a 2,5 x 10^-3 N?

F = K i i L / R

R = K i i L / F;   (K = mu/2pgreco = 2 x 10^-7)

R = 2 x 10^-7 x 5^2x 0,5/(2,5 x 10^-3) = 1 x 10^-3 m = 1 mm.

3) Due fili paralleli sono percorsi da correnti i1=40A e i2=55A. Le correnti scorrono nella stessa direzione e la distanza tra i 2 fili è d=20cm

CALCOLARE:

1)Forza per unità di lunghezza tra i 2 fili

2)Campo magnetico B nel punto A equidistante tra i 2 fili

Qual è la soluzione della prima domanda?

3,4×10^-4N/m ; 12N/m ; 2,2×10^-3N/m ; 77N/m ; 3,3×10^-2N/m

Qual è la soluzione della seconda domanda?

3,4×10^-6T ; 3×10^-5T ; 4,4×10^-6T ; 6,6×10^-3T ; 5X10^-5T

1) F = Ko i1 x i2 x L/ d ; Ko = mo/(2p)

Ko = mo/(2p) = 2 · 10^-7 N/A2 mo = (4p) ·10^-7 = 1,26 ·10-6 N/A2 ; (permeabilità magnetica del vuoto)

F/L = 2 · 10^-7 x 40 x 55 /0,2 = 2,2 x 10^-3 N/m (i fili si attraggono)

2) B = mo x i /(2p r) ; campo generato da un filo

Fra i due fili i campi sono in verso contrario, quindi uno positivo e uno negativo, si sottraggono

B1 = 2 · 10^-7 x 40 /0,1 = 8 x 10^-5 T

B2 = 2 · 10^-7 x 55 / 0,1 = – 11 x 10^-5 T

B1 + B2 = 8 x 10^-5 – 11 x 10^-5 = 3 x 10^-5 T

Esercizio 3 : Due fili metallici di alluminio, aventi massa per unità di lunghezza pari a λ=1.00 g/cm sono sospesi tramite cavi inestensibili di massa trascurabile lunghi L=0.50 m. I cavi sono attaccati allo stesso supporto cosicchè i fili di alluminio sono inizialmente affiancati sul piano orizzontale. Ad un certo istante, nei fili di alluminio viene fatta scorrere una corrente I. La corrente scorre in senso opposto nei due fili. Essi si allontanano in modo tale che i  cavi di sospensione formino tra di loro un angolo θ=3.00°. Determinare il valore del modulo della corrente I.

F =(Ko  i1·i2·L) /d (legge di Ampère); 

Ko = mo/(2pgreco) = (4pgreco) ·10-7/(2pgreco) = 2 · 10-7 N/A2

angolo: θ/2 =3.00° / 2 = 1,5°

tan 1,5° = F / mg

F = mg x tan 1,5° ;

massa: m = λ x Lunghezza filo alluminio

F = λ x L x g x tan1,5°

distanza fra i fili d = 0,5 x (sen1,5°)x 2

i1·i2 = F x d / KoL; L lunghezza dei fili metallici;

i1·i2 = λ x L x g x tan1,5° x 0,5 x (sen1,5°)x 2 / (2 · 10^-7 x L) ; L si semplifica

i1 = i2 = i

λ=1,00 g/cm = 100 g / m = 0,1 kg/m

i^2 = 0,1 x 9,8 x tan1,5° x 0,5 x (sen1,5°)x 2 / (2 · 10^-7) = 3359 A^2

i = radicequadrata(3359) = 58 A

  Le esperienze di Faraday (1791 – 1867) dimostrano che un filo percorso da    

 corrente sente l’azione di un campo magnetico B, perché la corrente produce anch’essa un campo   intorno al filo con linee di forza circolari chiuse.  Se il filo percorso da corrente i, è immerso nel campo perpendicolare alla  corrente i,

subisce una forza perpendicolare a i e a B, tale che

    F = B i L  (legge di Laplace)

Se la corrente è parallela a B
(filo verticale) la forza e nulla.
Nel caso in cui la corrente sia
perpendicolare alla direzione
del campo,come nella figura,
si ha che l’intensità della forza èF = B x i x L

 

dove L è la lunghezza del filo . Da tutte queste esperienze si ricava che un campo magnetico è generato da cariche elettriche  in moto e che le correnti sono soggette alle forze dovute al campo magnetico. Quindi: le cariche in moto sono le sorgenti del campo magnetico. Nelle calamite il campo magnetico è generato da microcorrenti dentro il materiale;

oggi sappiamo che queste microcorrenti nascono dal moto circolare che tutti

gli elettroni compiono ordinatamente con lo stesso verso, intorno al nucleo:

possiamo immaginare che i piani di rotazione siano tutti orientati nello

stesso modo. Questa è l’ipotesi di Ampère per spiegare il magnetismo dei

 materiali ferromagnetici ed è una ipotesi molto avanzata perché ai tempi

Ampère non si conosceva l’esistenza degli elettroni e  non si sapeva niente della  struttura atomica.

Nell’immagine viene riportata la forza esercitata sul filo attraversato da corrente elettrica

Seconda Regola della “Mano Destra”

La direzione della corrente e del campo magnetico possono essere determinati con regola della mano destra. Se si prende la mano destra e si tiente il pollice verso l’alto, le altre dita nella direzione del campo B, si ottiene la direzione della forza come nel disegno, uscente dal palmo della mano verso di noi.

Questa regola è un aiuto su come ottenere la direzione della forza sulla carica in moto.

 Oppure con pollice, indice e medio della mano destra:

elettromagnetismo

seconda regola della mano destra per definire la direzione della forza agente su una corrente o su una particella in moto.

Le linee di campo create dal conduttore percorso da corrente entrante rinforzano il campo principale nella parte superiore, mentre al di sotto lo indeboliscono. Per questo la concentrazione delle linee di forza del campo B nella parte superiore spinge verso il basso il conduttore. Il conduttore viene quindi spinto verso il basso con la forza F=B x i x L .

Semplice motore: calamita + pila +  filo metallico: il filo conduttore è dentro il campo magnetico della calamita. Quando nel filo passa corrente, il filo è soggetto ad una forza perpendicolare al filo e al campo in un verso nel primo tratto di filo ed in verso opposto nel secondo tratto di filo. Quindi si genera un momento della forza e se l’attrito è trascurabile il sistema ruota.

F = B x i x L ( è la forza di Laplace, o anche di Lorentz sulle cariche in moto).

http://www.youtube.com/watch?v=UJlfWckch14

http://www.youtube.com/watch?v=6Hv4OVLsEfA

Moto di una carica in un campo magnetico:  

Se un campo magnetico esercita una forza su un conduttore percorso da corrente, è lecito pensare che ogni particella carica che si muove in un campo magnetico subisce una forza, poiché la corrente è costituita da cariche in movimento. Questa forza è la forza di Lorentz, così detta dal nome del fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), premio Nobel per la fisica nel 1902.

Per calcolare l’intensità della forza di Lorentz partiamo dalla forza esercitata su un tratto di filo di lunghezza l percorso da una corrente I:

Una particella con carica q che si muove in quel tratto di filo produce una corrente data dalla sua intensità di carica nell’unità di tempo, quindi:

Se la particella si muove con velocità uniforme v, percorre un tratto l in un tempo t e la corrente si può scrivere:

così l’intensità della forza di Lorentz diventa:

Forza di Lorentz :

F = q V x B = qVB senα  ( prodotto vettoriale)

La forza di Lorentz 

elettromagnetismoè una forza centripeta    

 F = m v^2/R) ;   

R = m x V / (B x q)

 

La direzione e il verso della forza di Lorentz si determinano usando la seconda regola della mano destra, pollice destro nel verso della velocità e palmo con le punte delle dita orientate nel verso del campo magnetico, la forza uscirà verticalmente dal palmo.

 

Le particelle cariche, con velocità v, all’interno di un campo magnetico B, percorrono traiettorie circolari.

Percorso circolare

B = mo x H è l’induzione magnetica chiamata impropriamente campo magnetico. ( il campo è H)

forza di Lorentz elettrodi nel ciclotrone

la forza di Lorentz è perpendicolare al campo magnetico

Supponiamo che una particella carica (per esempio un elettrone che è carico negativamente) si muova in un campo magnetico uniforme (cioè che abbia in ogni punto stessi direzione, verso ed intensità) con una certa velocità  perpendicolare al vettore campo magnetico  , cioè alle sue linee di forza.

Per “visualizzare” questa situazione, utilizziamo il seguente grafico :

caricaElettricaPerp

in cui, con il simbolo delle “crocette“, si visualizza il campo B    intendendo che esso è perpendicolare alla presente pagina ed ha verso entrante nella pagina stessa. Il fatto che le crocette siano disposte in modo uniforme sta ad indicare che il campo  B    è appunto uniforme.

Chiediamoci ora qual è la forza che la particellasente“.

In assenza di campo elettrico la forza di Lorentz che agisce sulla particella è semplicemente :

F = q x V X B

dove   q  è la carica della particella (nel nostro caso, trattandosi di un elettrone, negativa).

Per calcolare la forza   F    eseguiamo dapprima il prodotto vettoriale  .

Tale prodotto vettoriale fra i vettori   V   e   B   è un vettore che ha le seguenti caratteristiche :

–    direzione : perpendicolare a  V  ed a B   .

–    verso : quello che risulta applicando la seconda regola della mano destra valida però per le particelle positive.

Se la particella fosse positiva, il verso sarebbe “in su” nel grafico, ruoterebbe in senso antiorario.

Per un elettrone negativo il verso èin giù“. (Funziona la regola della mano sinistra). Ruoterà in senso orario.

Esempio:

Qual è la forza massima che un campo magnetico di 1 T può esercitare su un elettrone la cui energia è 10KeV?

F = B x q x v; q = 1,6 x 10^-19 C; l’elettrone deve avere velocità perpendicolare al campo B per avere forza massima.

1/2 m v^2 = 10000 eV

1 eV = 1 Volt x e- = 1 x 1,6 x 10^-19 J; massa elettrone = 9,11 x 10^-31 kg

v = radquad ( 10000 x 1,6 x 10^-19 x 2 / 9,11 x 10^-31 ) =                                    V = radquad( 3,51 x 10^15) = 5,93 x 10^7 m/s

F = 1 x 1,6 x 10^-19 x 5,93 x 10^7 = 9,48 x 10^-12 N

Quesito:

Nel moto circolare di una particella carica in un campo magnetico, la particella si muove perpendicolarmente a un campo magnetico…..   il tempo T in cui la particella percorre la circonferenza è indipendente dalla velocità, quindi se cambia solo la velocità della particella il periodo T non varia…  perchè?

Perchè succede questo:

m V^2 / R = B V q

V = B q R / m ; V è direttamente proporzionale al raggio, se raddoppia V, raddoppia anche R e quindi raddoppia la lunghezza della circonferenza.

V = 2 pgreco R / T

T = 2 pgreco R / V; sostituiamo V

T = (2 pgreco R m) / (B q R) , R si semplifica

T = 2 pgreco m / (B q) ; T non dipende dal raggio.

Quindi se aumenta la velocità, aumenta proporzionalmente anche la lunghezza della circonferenza e il periodo T resta lo stesso.

Moto di una particella alfa: Raggio della traiettoria

Una particella alfa, dotata di energia cinetica di 5 MeV si muove su un piano perpendicolare alle linee di un campo magnetico di 1,2 T. La massa della particella vale 6,7 x 10^-27 kg. Calcolare il raggio della traiettoria descritta dalla particella.

E = 5 MeV = 5 x 10^6 x 1,6 x 10^-19= 8 x 10^-13 J

1/2 m V^2 = 8 x 10^-13

V^2 = 2 x 8 x 10^-13 / 6,7 x 10^-27 = 2,39 x 10^14

V = radquad(2,39 x 10^14) = 1,55 x 10^7 m/s

Forza di Lorentz F = B x q x V , provoca un moto circolare su una carica q in moto, è una forza centripeta.

q = (carica di due protoni) = 2 x 1,6 x 10^-19 = 3,2 x 10^-19 Coulomb

m x V^2 / R = B x q x V

R = m x V / (B x q)

R = 6,7 x 10^-27 x 1,55 x 10^7 / ( 1,2 x 3,2 x 10^-19 ) = 0,27 m = 27 cm

Esercizio 2: Una particella α, di carica q = 2|e| (e = −1.6 × 10^−19C) e massa m = 6.68 × 10^−27 kg, è  in moto in un campo magnetico di intensità B = 1 T con velocità pari a v = c/15 (c = 3×10^5 km/s è la velocità della luce) e ortogonale al campo magnetico. Quanto vale il raggio della sua traiettoria?
 by mg
m V^2 / R = q x V x B

R = m V / (B x q)

V = 3 x 10^8 m/s / 15 = 2 x 10^7 m/s

R = 6.68 × 10^−27 x 2 x 10^7 / ( 1 x 3,2 x 10^-19) = 0,4 m

Esercizio 3:

Ad uno ione con carica 3.2 * 10^-19 C, viene impressa v=1.7*10^4 m/s con la quale entra tra le espansioni polari di un magnete in uno spettrometro di massa. Con un campo magnetico di 0.8T,lo ione è deviato lungo una traiettoria circolare di raggio 1.3 cm. Determina la massa dello ione.

Forza di Lorentz: è una forza centripeta.

q x V x B = m V^2/R,

una velocità V si semplifica.

R in metri = 0,013 m

m = q B R / V = 3.2 * 10^-19 x 0,8 x 0,013 / ( 1.7*10^4) = 1,96 x 10^-25 kg

Percorso circolareLa figura accanto mostra che la carica si muove su una circonferenza descritta su di un piano perpendicolare al campo magnetico.

La forza di Lorentz F è perpendicolare al campo magnetico B e alla velocità V della particella che si muove nel campo.

Un protone con velocità Vp= 5X10^7 m/s ed uno ione sodio con VNa= 5X10^6 m/s entrano in una regione dello spazio dove è presente un campo di induzione magnetica di intensità B= 0,5 T perpendicolare alla direzione delle v. Calcolare il rapporto fra i raggi delle due orbite descritte dalle due particelle e il periodo di rotazione dello ione sodio. mp= 1.67X10^-27 Kg mNa=23X10^-27 kg.

Lo ione Na+ ha una carica positiva, come il protone, ha la massa molto più grande. Quindi le cariche hanno lo stesso valore e facendo il rapporto, si semplificano.

Rp = mp x Vp /qB

RNa = mNa x VNa /qB

RNa/Rp = mNa xVNa / (mpVp) = 23 x 10^-27 x 5 x 10^6 /(1.67X10^-27 x 5X10^7 ) = 137,7

RNa = 137,7 x Rp

Rp = 1.67X10^-27 x 5X10^7 / (1,6 x 10^-19 x 0,5) = 1 m

RNa = 137,7 m; T = 2pgrecoR/ V

T = 2 x 3,14 x 137,7/ 5X10^6 = 1,73 x 10^-4 s

 F = q x V x B x sen q

Percorso a spiraleQuando una carica si muove in un campo magnetico non uniforme, il moto è complesso. Per esempio, in un campo magnetico che è forte agli estremi e debole al centro, come mostrato in figura, la carica può oscillare avanti ed indietro tra gli estremi. Una carica posta ad un’estremo compie una spirale lungo le linee di campo fino a che non raggiunge l’estremo opposto, dove inverte il suo percorso e compie una spirale inversa. Questa configurazione è nota come bottiglia magnetica, poiché le cariche possono venire intrappolate al suo interno. La bottiglia magnetica è usata come barriera per plasma, un gas che consiste di ioni ed elettroni. Un tale tipo di “schema-gabbia per plasma” gioca un ruolo cruciale nel controllo della fusione nucleare. Sfortunatamente, la bottiglia magnetica presenta alcuni “inconvenienti”; se vi sono intrappolate all’interno un gran numero di cariche, le varie collisioni che avvengono tra di esse possono causare la loro eventuale fuoriuscita dal sistema.

Fasce radiative di Van AllenLe fasce radiative di Van Allen consistono in particelle cariche (in maggior parte elettroni e protoni) che circondano la Terra con delle regioni a forma di ciambella (o anello). Le particelle, intrappolate dal campo magnetico non uniforme terrestre, compiono una spirale intorno alle linee di campo da polo a polo, coprendo la distanza in qualche secondo. Queste particelle sono originate in maggior parte dal Sole. Per questa ragione il flusso di tale cariche è conosciuto come “vento solare”. La maggior parte delle particelle che fanno parte del vento solare vengono deviate dal campo magnetico terrestre e non raggiungono l’atmosfera. Tuttavia, alcune cariche vengono catturate; sono queste particelle che compongono le fasce di Van Allen. Quando le particelle si trovano ai poli, qualche volta collidono con gli atomi presenti nell’atmosfera, causando l’emissione da parte di questi ultimi di luce visibile. Collisioni come questa originano le spettacolari Aurore Boreali (nell’emisfero settentrionale) e le Aurore Australi (nell’emisfero meridionale). Le aurore, di solito, sono ristrette alle regioni polari poiché è qui che le fasce di Van Allen sono più vicine alla superficie della Terra. Occasionalmente, ciononostante, l’attività solare causa l’entrata di un gran numero di particelle cariche nelle fasce e la distorsione significativa delle normali linee del campo magnetico associato alla Terra. In queste situazioni un’aurora potrebbe essere visibile a latitudini minori.

Esercizi:

1) Un protone é accelerato da fermo da una differenza di potenziale DeltaV = 3000 Volt. Con la velocità raggiunta, entra in una regione in cui é presente un campo magnetico, perpendicolare alla velocità. Se si vuole che la traiettoria abbia un raggio R = 50 cm, calcolare il valore del campo B.

Soluzione:

q x (DeltaV) = 1/2 m v^2

velocità v = radquad(2q x DeltaV/m) = radquad( 2 x 1,6 x 10^-19 x 3000/1,67 x 10^-27) = =7,58 x 10^5 m/s

Forza di Lorentz

q x v x B = mv^2/R ; R = 0,5 metri

B = mv/(qR) = 1,67 x 10^-27 x 7,58 x 10^5 / (1,6 x 10^-19 x 0,5) =

=1,58 x 10^-2 Tesla

B = 0,0158; (= 15,8 mT; milliTesla)

2)   In un tubo a raggi catodici gli elettroni vengono accelerati da una d.d.p. V = 104 V e immessi in una regione in cui agisce un campo elettrico E = 2 * 104 V/m, ortogonale alla velocità di entrata, che li deflette. Calcolare il valore del campo magnetico B, che occorre applicare perpendicolarmente ad E, per eliminare la deflessione (massa dell’elettone me=9.11*10-31kg)

Forza elettrica = Forza magnetica di Lorentz

Velocità raggiunta:

1/2 m v^2 = q x V

v = radquad(2 x q x V/m) = radquad(2 x 1,6 x 10^-19 x 104/ 9.11*10-31kg) = 6,04 x 10^6 m/s

q x E = q x v x B

B = E/v = 2 x 10^4 / 6,04 x 10^6 = 3,31 x 10^-3 T (= 3,31 milliTesla)

3)  In un tubo a raggi catodici un elettrone viene accelerato da una differenza di potenziale 10^4 V e immesso in una regione sede di un campo elettrico E=2×10^4 V/m ortogonale alla velocità di ingresso. Si trovi modulo direzione e verso del vettore B di un campo magnetico che possa eliminare la deflessione causata dal campo elettrico.

La forza elettrica deve essere uguale e contraria alla forza di Lorentz

E x q = q x v x B

1/2 m v^2 = q x V

v radquad(2 q V / m) = radquad(2 x 1,6 x10^-19 x 10^4/9,11 x 10^-31)

v = radquad(3,51 x 10^15) = 5,93 x 10^7 m/s

B = E / v = 2 x 10^4 / (5,93 x 10^7) = 3,37 x 10^-4 Tesla ( B = 0,337 mT )

B perpendicolare a E e alla velocità. Se E è disegnato sul foglio da sinistra a destra, e l’elettrone entra dall’alto del foglio verso il basso del foglio con velocità v, la forza E x q lo devia verso sinistra perchè q è negativa, B deve essere uscente dal foglio, così genera una forza verso destra sulla carica negativa.

Realizzato nel 1931 da Lawrence, è la prima macchina acceleratrice che impiega un campo magnetico per spingere le particelle in un’orbita a spirale di raggio crescente con l’energia, ed è il capostipite dei moderni acceleratori di particelle.

Le particelle ionizzate (ionizzazione) vengono inviate nella zona centrale di un tamburo orizzontale circolare, diviso in due parti semicircolari fra le quali esiste un piccolo spazio libero, ove viene applicato un campo elettrico ad alta frequenza, mentre un elettromagnete produce un campo magnetico fisso perpendicolare 

Le particelle ionizzate vengono accelerate per l’azione del campo elettrico e, superato lo spazio libero, per effetto del campo magnetico si muovono concentricamente al tamburo e si trovano all’estremità opposta dello spazio libero nel momento in cui si inverte il campo elettrico e vengono spinte con un movimento accelerato nell’altra parte semicircolare del tamburo. Il procedimento di accelerazione viene ripetuto più volte e le particelle descrivono un percorso a spirale di molte centinaia di orbite di raggio sempre crescente, sino a raggiungere il raggio esterno della parte semicircolare, da dove vengono poi estratte.

       Misura del campomagnetico:                                                                                    

     Un filopercorso da corrente i e lungo L, subisce l’azione  di una forza F direttamente proporzionale a i e a L;        

     B = mo H

Il filo si sposta in direzione perpendicolare a B e a i,

perchè F è perpendicolare a B e alla corrente i secondo la regola

del prodotto vettoriale ( regola della mano sinistra o 2a regola mano destra)

F = B i L ;  (  mo H i L)

B è la costante di  proporzionalità, che possiamo ricavare misurando F, i, L.

Si ricava che

                                     B   =   F/ (iL)  

  L’unità di misura di B è il Tesla ( 10^4 Gauss)

(B si misura in:  Newton/ (Ampère· metro) =  Newton· secondo/Coulomb· metro) =

= Volt· secondo/metro2  = Weber / metro2

N/C =V/m  )      Volt· secondo = Weber )

B è la forza che agisce su un filo di lunghezza 1 metro,

quando è   percorso da una corrente di 1 A. B si misura in Tesla .

( da Nikola Tesla (1856 – 1943)

1 Tesla  = 1 N/(1A·1m)

1 Tesla = 1 Weber / metro2

Consideriamo un’asta conduttrice orizzontale di densità r e sezione di area A; l’asta è perpendicolare ad un campo magnetico orizzontale B ed è percorsa da una corrente d’intensità i tale che la forza magnetica equilibri il peso dell’asta stessa. Determinare l’intensità di corrente i in funzione di r, A, g e B.Qual è il senso della corrente?

La forza magnetica agente sull’asta vale:

F = i L x B

dove F, i e B sono vettori.

Essendo i e B vettori orizzontali, F è verticale e il verso della corrente i deve essere tale che F sia diretta verso l’alto. Uguagliando i moduli del peso e della forza magnetica, si ha:

i L B = m g;  m = r x Volume = r x A x L

da cui

i = r L A g/LB = r A g/B

Nikola Tesla, (in serbo Никола Тесла) (Smiljan, 10 luglio1856New York, 7 gennaio1943), è stato un fisico, inventore e ingegnereserbonaturalizzatostatunitense nel 1891.

È conosciuto soprattutto per il suo rivoluzionario lavoro e i suoi numerosi contributi nel campo dell’elettromagnetismo tra la fine dell’Ottocento e gli inizi del Novecento.

I suoi brevetti e il suo lavoro teorico formano la base del moderno sistema elettrico a corrente alternata (CA), compresa la distribuzione elettricapolifase e i motori a corrente alternata, con i quali ha contribuito alla nascita della seconda rivoluzione industriale.

Negli Stati Uniti Tesla fu tra gli scienziati e inventori più famosi, anche nella cultura popolare. Dopo la sua dimostrazione di comunicazione senza fili (radio) nel 1893, e dopo essere stato il vincitore della cosiddetta “guerra delle correnti” insieme a George Westinghouse contro Thomas Alva Edison, fu riconosciuto come uno dei più grandi ingegneri elettrici americani. Molti dei suoi primi studi si rivelarono anticipatori della moderna ingegneria elettrica e diverse sue invenzioni rappresentarono importanti innovazioni.

Nel 1943 una sentenza della Corte Suprema degli Stati Uniti gli attribuì la paternità (sul suolo statunitense) di alcuni brevetti usati per la trasmissione di informazioni via onde radio.

Avendo sempre trascurato l’aspetto finanziario, Tesla morì povero e dimenticato all’età di 87 anni.

La sua importanza fu anche riconosciuta nella Conférence Générale des Poids et Mesures del 1960, in cui fu intitolata a suo nome l’unità del Sistema Internazionale di misura della densità di flusso magnetico o induzione magnetica (chiamata anche campo magnetico B\,).

Tesla ha contribuito allo sviluppo di diversi settori delle scienze applicate come, per esempio, la robotica  (radio comando). I suoi ammiratori contemporanei arrivano al punto da definirlo “l’uomo che inventò il Ventesimo secolo”e “il santo patrono della moderna elettricità”.

 

Michael Faraday

 

Faraday (9K)

La rivoluzione determinata dall’utilizzo dell’energia elettrica su larga scala non poteva fondarsi sulla creazione di corrente ad opera della pila di Volta. Ci voleva un modo più efficace di produrre corrente.

Spesso, nella storia della fisica, si è ragionato per analogie e simmetrie; nel caso dell’elettromagnetismo gli scienziati dell’epoca si domandarono: Se la corrente genera un campo magnetico, può un campo magnetico generare una corrente?

Nel 1821, un anno dopo lascoperta di Oersted,  il giovane inglese Michael Faraday, (1791-1867), assistente di chimica autodidatta, ebbe l’incarico di compilare una storia delle esperienze recenti sull’elettromagnetismo.

Faraday ripetè le esperienze nel suo laboratorio e ne programmò altre; si soffermò in particolare sull’andamento della forza magnetica nello spazio che descrisse in termini di linee di campo. Fu Faraday, infatti, il primo a proporre la descrizione grafica del campo magnetico (e in seguito anche quella del campo elettrico) in termini di linee di campo, cui attribuiva una vera e propria presenza fisica nello spazio, mentre gli scienziati contemporanei ne parlavano in termini di azione a distanza.

Legge di induzione elettromagnetica di Faraday Neumann

Con le esperienze di Faraday si è ottenuta la produzione di corrente indotta.

Esperienza 1: si ha a disposizione una bobina connessa ad un amperometro molto sensibile ed un magnete. Come fare per produrre corrente nella bobina, senza ricorrere ad un generatore? Fai qualche esperimento, annotando per quali casi riesci a produrre corrente (osserva l’ago dell’amperometro) e, se l’amperometro ha uno zero centrale, prendi nota anche del verso della corrente.

esperienza1 (9K)

Se il magnete viene mosso rispetto alla bobina, si nota che l’ago dell’amperometro si muove, segnalando un passaggio di corrente. In questo caso parliamo di corrente indotta.

Il movimento dell’ago è tanto più evidente quanto più veloce è il movimento. Se il magnete è in quiete rispetto alla bobina, cessa il passaggio di corrente indotta.

Si può notare che il verso della corrente indotta dipende dal movimento di avvicinamento (a) o allontanamento (b) del magnete (muovendo il magnete con moto oscillatorio, il verso della corrente cambia continuamente). Il verso della corrente dipende anche dal polo magnetico che si avvicina (o allontana) dalla bobina.

Esperienza 2: si hanno a disposizione due bobine, una A con generatore (circuito primario), una B senza (circuito secondario), ma collegata ad un amperometro. Fra le due bobine non c’è contatto elettrico. Bisogna far circolare corrente (indotta) nel circuito secondario.

esperienza2 (7K)

Se si chiude o si apre l’interruttore della bobina primaria, si può notare un movimento nell’amperometro collegato al secondario. La stessa cosa avviene, variando (meglio se velocemente) la corrente del primario.

Si osserva il verso della corrente indotta (in B) da un aumento della corrente in A è opposto a quello della corrente indotta da una diminuzione di corrente in A.

La corrente indotta dura solo per un breve intervallo di tempo, durante la variazione di corrente in A. Se nel circuito primario circola invece una corrente anche molto intensa, ma stazionaria, non si ha corrente indotta nel secondario.

Il fenomeno è molto più evidente se si introduce un nucleo di ferro nelle due bobine. La sua presenza non è essenziale, ma ne intensifica l’effetto.

Si può produrre corrente indotta, anche mediante un’esperienza di cui puoi provare la simulazione.

La produzione di corrente indotta è detta fenomeno di induzione elettromagnetica.

 

Il circuito in cui circola la corrente indotta è sempre immerso in un campo magnetico (quello del magnete nel primo esperimento, quello generato dalla corrente del circuito primario nel secondo esperimento). In condizioni stazionarie, però, non avviene nulla. Il fenomeno di induzione elettromagnetica si verifica con il cambiamento nel tempo di qualche grandezza.

Cosa cambia nel tempo?

Faraday-Neumann (9K)

L’intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire.

 Il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola come il flusso del campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

ΦB = B A

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A:

formula_flusso (3K)

L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m2

Legge di Faraday-Neumann: la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

legge_faraday (3K)

Un magnete viene avvicinato rapidamente ad una spira circolare di raggio 50 cm. Se l’intensità del campo magnetico attraverso la bobina passa da 500 mT a 100 mT in 0.25 s,  quanto vale la forza

elettromotrice indotta?

fem = – delta(flusso)/deltat

flusso = B x S = B x pgrecoR^2

delta(flusso)= (100 x10^-6 – 500 x 10^-6) x 3,14 x 0,5^2 = – 400 x 10^-6 x 0,785= -3,14 x 10^-4 Wb (Tesla x m^2)

fem = – ( – 3,14 x 10^-4) /0,25 = 1,26 x 10^-3 Volt

Una bobina rettangolare è formata da 12 avvolgimenti . Le sue dimensioni sono 15 cm larga e 5 cm alta. La sua resistenza totale è di 2 ohm .Un campo magnetico di 2.50 T è diretto perpendicolarmente al piano della bobina.Il campo magnetico viene ridotto ad un valore di 1 T in 3ms . Trovare la corrente indotta nella bobina.

forza elettromotrice indotta =fem

fem = – deltaFlusso/Delta t

Flusso = B x areax numero di avvolgimenti ;

area in m^2 Area = 15 x 5 = 75 cm^2 = 75 x 10^-4 m^2

deltaFlusso = (B1 – Bo) x area x N = (1 – 2,50) x 75x 10^-4 x 12 = – 0,135 Weber

fem = 0,135 / (3 x 10^-3) = 45 Volt

corrente indotta:

i = fem/R = 45/2 = 22,5 Ampère

Legge di Lenz

Al fisico russo Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865) si deve la seguente scoperta, fatta nel 1834: la corrente indotta in una spira ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso che la ha prodotta.

(Come calcolare il coefficiente di auto induzione di una spira L).

La legge di Lenz dice che : in una spira elettrica la corrente induce una forza elettromotrice che si oppone alla variazione dell’intensità della corrente stessa.

Il fenomeno fisico è dovuto al fatto che, come sappiamo, una corrente variabile in una spira produce un campo elettromagnetico a sua volta variabile, il quale produce una corrente elettrica di segno opposto a quella lo aveva generato.

Si definisce coefficiente di autoinduzione (detto anche induttanza) L del circuito il rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato e la corrente.

Nel caso della spira L = Φc / i, dove con Φc indichiamo il flusso del campo magnetico concatenato e con i la corrente che attraversa la spira.

L’intensità del campo all’interno di una spira di raggio r percorsa da corrente i è

B= μ i / 2r

Nel caso della spira Φc = SB = π r^2 B = π r^2 μ i / 2r e quindi divedendo per i

L = π r μ /2

 

Esercizio:

Una bobina di raggio r, costituita da N spire di filo conduttore e di resistenza complessiva R, è immersa in un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla bobina stessa. Se il campo varia nel tempo con la legge B(t)=B0 exp(-t/tau) con B0 e tau costanti, qual è il valore assoluto della corrente indotta?

Il flusso Ф attraverso una spira è dato dall’induzione B per la sezione S

Ф(t) = B(t) S = πr² Bo exp(-t/τ)

Per la legge di Faraday la tensione e indotta in una spira è data dalla variazione di flusso nell’unità di tempo

e = – dФ(t) /dt

e = – πr² Bo exp(-t/τ) (-1/τ)

Essendovi N spire di resistenza complessiva R la corrente indotta I sarà

I = N[- πr² (-1/τ) Bo exp(-t/τ)]/R

Particelle

Schema delle interazioni tra le particelle descritte dal Modello Standard.

Nel Modello standard le particelle fondamentali sono raggruppate in due categorie:

 Il moto dei neutrini non è influenzato nè da un campo magnetico nè da un campo elettrico.

Campo magnetico di Saturno.

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