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Moto Parabolico esercitazione 2 scientifico A  27 febbraio 2014

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Moto parabolico Luca Guerra 2Sa

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Parabola Elisa Zannoni 2Sa

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Componenti di un vettore

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O e prendiamo un vettore v applicato nell’origine O; si potranno determinare le proiezioni del vettore v lungo i due assi.

Per convenzione i due versori (vettori di modulo 1) diretti come gli assi coordinati sono indicati con i e j.

Il vettore vx è la proiezione di v lungo l’asse x. Il vettore vy  è la proiezione di v lungo l’asse y.

Figure 2.7: Rappresentazione grafica delle componenti cartesiane di un vettore
\includegraphics[width=10cm]{cartesiane.eps}

Un vettore viene scomposto nelle sue componenti cartesiane e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli $ \overrightarrow{i}$ , $ \overrightarrow{j}$.

Vx = V cosa

Vy = V sena


Nel sistema di coordinate (x,y) in figura, le componenti del vettore a  dipendono soltanto dall’angolo a:

Le componenti di un vettore, possono essere usate per determinare il vettore

per determinare dalle componenti ax ed ay:  

Esercizio 1:

Un corpo di massa m è poggiato sul bordo di un tavolo ad altezza h=1 m dal suolo. se il corpo cade con velocità iniziale (Vox= 1.0 m/s i). in direzione x orizzontale, con quale velocità toccherà il suolo?

In orizzontale resta Vx = 1,0 m/s = 1,0 i   ; il versore i indica la direzione dell’asse X.

In verticale Voy = 0 m/s; Vy = g x t = – 9,8 x t ( verso il basso, negativa)

devi trovare il tempo di caduta: Y = 1/2 g t^2 ; t = radicequadrata(2 x Y / g) ; Y = h = – 1 m (verso il basso, negativo)

t = radicequadrata(2 x (- 1) / (- 9,8) ) = 0,45 s

Vy = – 9,8 x 0,45 = – 4,4 m/s = – 4,4 j (asse Y)

Risposta: V = 1,0 i – 4,4 j

Esercizio 2:

 Un aereo si sposta 600 km in direzione sud 30°ovest. Tracciare i vettori componenti dello spostamento verso sud e verso ovest e calcolare il loro modulo.Verso Sud: Y = 600 x cos 30° = 519,6 km, verso il basso.verso Ovest: X = 600 x sen 30° = 300 km, verso sinistra.
Esercizio 3 
Un vettore A di modulo 40 m punta in una direzione di 20º al di sotto dell’asse x. Il vettore B ha modulo 75 m e punta in una direzione di 50º al di sopra dell’asse x. Usando il metodo della somma vettoriale per componenti, determina modulo e direzione del vettore somma C.
Scomponi i vettori sugli assi.Ax = 40 x cos20° = 37,59 m (verso destra)Ay = 40 x sen20° = 13,68 m ( verso il basso)Bx = 75 x cos50° = 48,21 m ( verso destra)By = 75 x sen50° = 57,45 m (verso l’alto)Cx = Ax + Bx = 37,59 + 48,21 = 85,8 m (verso destra)Cy = Ay + By = – 13,68 + 57,45 = 43,77 m ( verso l’alto);
Ay è verso il basso, quindi lo mettiamo negativo.direzione di Ctan α = Cy / Cx = 43,77/85,8 = 0,510angolo sull’asse X:   α = arctan 0,510 = 27°
Somma di vettori a + b, con angolo α fra i due vettori a e b
Vettore risultante =  √(a^2 + b^2 + 2abcosα)

Problema: L’uccellino sul filo ha una massa di 41 grammi. Qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?

Problema: Se l'uccellino ha una massa di 41 grammi, qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?
Ft = forza di tensione

2 Ft x sen 10°  = Fpeso;  Ft = Fpeso/(2 sen10°) = 0,041 x 9,8 / 0,347 = 1,2 N

Oppure  Fp√(Ft^2 + Ft^2 + 2Ft^2cos160°);  fra le due tensioni c’è un angolo di 160°
Fpeso =√(2Ft^2 + 2Ft^2cos160°) )= √(2Ft^2 (1 + cos160°) ) ;
Fpeso^22Ft^2 (1 + cos160°)
 Ft = Fpeso / ( √(2 (1 + cos160°) )  = 0,041 x 9,8 / 0,347 = 1,2 N
Somma di vettori.  Moto in due dimensioni:  Moto parabolico
Disegno che illustra il moto parabolico dei
proiettili, lanciati con diversi angoli di inclinazione
Disegno di Galileo Galilei –  Dialogo intorno a due nuove scienze.                                                                          Prima di Galileo, si credeva che un corpo lanciato in direzione orizzontale, per esempio un proiettile sparato da un cannone, si muovesse in direzione orizzontale fino a quando non perdeva il suo “impeto”, dopo di chè cadeva verso terra, seguendo una traiettoria curvilinea che pero’ non era ancora conosciuta.
Galileo si accorse, durante lo studio del moto dei proiettili, che essi non sono soggetti soltanto alla forza che li spinge in direzione orizzontale, bensì anche alla forza di gravità, che li attira verso il basso.
In orizzontale  il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità costante. Non è soggetto ad alcuna forza.
In verticale invece il corpo è soggetto alla forza di gravità, quindi si muove di  moto uniformemente accelerato, a = g = – 9,8 m/s^2;   la distanza percorsa in verticale è proporzionale al quadrato del tempo impiegato a percorrerla. Galileo dimostrò che la combinazione dei due moti orizzontale e verticale dà come risultante il  moto del proiettile lungo un arco di parabola.
File:Moto parabolico.png
Equazioni del moto
X = Vocosat       (moto rettilineo uniforme)
Y = 1/2 g t2 + Vosenat + Yo      (moto accelerato)
Voy = Vo senα      (velocità verticale iniziale)
Vx (velocità orizzontale costante)
Vx = Vox = Vo cos
a  
Vy = gt + Vo sena
g = – 9,8 m/s^2

Tempo di salita: si pone Vy = 0
g t + Vosenα = 0

t(salita) = -(Vosenα)/g
tempo di volo: si pone Y = 0
t(volo) = – (2Vosenα)/g
( è il doppio del tempo di salita)
(gittata, distanza massima):
X = Vo cosα ∙ (– 2Vo senα) / g 
Esempio 1 : calciatoreUn calciatore colpisce il pallone e gli imprime una velocità di 20 m/s che forma un angolo di 50° rispetto all’orizzontale.
– Calcolare le componenti della velocità iniziale
– Qual è l’altezza massima che raggiunge il pallone?
– A che distanza tocca terra rispetto al punto in cui è stato calciato?
( gittata, X max).Vox = 20  cos50° = 12,86 m/s
Voy = 20  sen50° = 15,32 m/sPer trovare Ymax occorre porre la Vy = 0, perchè nel punto più alto la velocità verticale non c’è più.g  t + Voy = 0;  così si trova il tempo di salita.t(salita) = – (Voy)/g ;    g = – 9,8 m/s^2;
tsalita = – 15,32/ (- 9,8) = 1,56 sYmax = 1/2 g t^2 + (Voy)t; si sostituisce il tempo di salita.
Ymax = – ( Voy)^2 / 2g = – 15,32^2 / ( – 19,6) = 11,98 mTempo di volo;  t = 2  tempo di salita = – 2 Voy/gX = Vox  t = Vox (- 2Voy/g)
X = 12,86  ( – 2 15,32 / (- 9,8) ) = 12,86  3,13 = 40,25 m; ( gittata)Esempio 2:Un punto materiale viene lanciato dal suolo con un angolo di 30° sull’orizzontale; sapendo che ricade a terra a una distanza Xmax = 150 m dal punto di lancio determinare:
a) il modulo Vo della velocità di lancio:
b) la massima altezza h raggiunta dal punto materiale.Vo x cos30° x tvolo = 150 m; (Xmax in orizzontale, è la gittata percorsa nel tempo di volo, tempo in cui percorre la parabola)In verticale la velocità cambia perchè il corpo sale e si ferma nel punto più alto dove Vy = 0 m/s. L’accelerazione g = – 9,8 m/s^2.Vy = – 9,8 x t + Vo sen30°- 9,8 x t + Vo sen30° = 0; Di qui si ricava il tempo di salita che è la metà del tempo di volo.t = 0,5 x Vo / 9,8 ( tempo di salita)

tempo di volo = 2 x 0,5 x Vo/9,8; tvolo = Vo / 9,8, lo mettiamo nella prima equazione:

Vo x cos30° x tvolo = 150 m

Vo x cos30° x Vo / 9,8 = 150 m

Vo^2 x 0,866/ 9,8 = 150

Vo^2 x 0,088 = 150

Vo = radicequadrata( 150 /0,088) = 41,2 m/s

t = 0,5 x Vo / 9,8 ( tempo di salita)

t = 0,5 x 41,2 / 9,8 = 2,1 s ( tempo di salita)

altezza massima: ( si trova con la legge del moto accelerato:
Y = 1/2 g t^2 + (Voy) t )
t = 2,1 s; g = – 9,8 m/s^2
Y = 1/2 x (-9,8) x 2,1^2 + 41,2 x sen30° x 2,1 = 21,7 m

Salto in lungo:

Salto di  8,95 m  di lunghezza, inclinazione 45°;  trovare la velocità al momento del salto.

Legge del moto sull’asse X:   X = Vox  t(volo)

Vo cos45° x t(volo) = 8,95

In verticale

Vy = g x t + Vosen45°

Nel punto più alto del salto, non sale più e Vy = 0

troviamo il tempo di salita poneedo Vy = 0, g = – 9.8 m/s^2

g x t + Vosen45° = 0

t(salita) = – Vo sen45° / (-9,8)

il tempo di volo è il doppio del tempo di salita perchè un corpo per scendere impiega lo stesso tempo.

quindi

t(volo) = 2 x Vo sen 45° / 9,8

Vo cos45° x t(volo) = 8,95

Vo cos45° x (2 x Vo sen 45° / 9,8 )= 8,95

Vo^2 = 8,95 x 9,8 / ( 2 x sen45° x cos45°) = 87,71

Vo = radicequadrata( 87,71) = 9,37 m/s

Ai campionati mondiali di atletica di Tokyo (1991) Mike Powell saltò 8,95 m, migliorando di 5 cm il primato del salto in lungo che Bob Beamon aveva stabilito 23 anni prima. Poniamo che la sua velocità al “decollo” sia stata V =  9,5 m/s, corrispondente a quella di un centometrista. Quanto vicino arrivò alla massima “gittata” possibile per quella velocità iniziale in assenza della resistenza dell’aria (a Tokyo g = 9,80 m/s^2)?

La massima gittata si ha per un angolo di 45°.
Vox = V cos45° = 9,5cos 45°= 6,72 m/s
Tempo di volo (tempo del salto)t = 2 x Vsen45° / g = 1,37 secondi
gittata: X = Vox * t = V cos45° * 2 * Vsen45° / g = 6,72 x 1,37 = 9,21 m

Esempio 3:
Un sasso lanciato obliquamente verso l’alto ricade dopo 2 secondi, sullo stesso piano orizzontale, a 8 metri di distanza dal punto di lancio, (gittata). Quanto vale la componente orizzontale  Vox, della sua velocità? Qual è stata la massima altezza raggiunta dal sasso nel corso del lancio? Quanto valeva, nell’istante del lancio, la componente verticale Voy della sua velocità? Quali erano il valore e la direzione rispetto alla verticale della sua velocità iniziale Vo?

X = Vox t
Vox = 8/2 = 4 m/s; componente orizzontale sempre costante
T = 2 s è il tempo di volo.

tempo di salita;  è la metà : t = 1 s

nel punto più alto ( t = 1 s ) la velocità Vy = 0; Vy = g x t + Voy
g x t + Voy = 0
– 9,8 x 1 = – Voy
Voy = + 9,8 m/s^2 ; velocità verticale iniziale

h max = 1/2 g t^2 +Voy t; t = tempo di salita; si trova l’altezza max
h max = – 4,9 x 1^2 + 9,8 x 1 = 4,9 m

Vo = radquad(4^2 + 4,9^2) = 6,33 m/s

angolo di lancio:
tan(angolo) = Voy/Vox = 4,9/4=1,225
angolo = arctan(1,225) = 50,8°

Una pallina viene lanciata oltre il bordo di un tavolo con velocità orizzontale 2,6 m/s e impiega 0,40 s per raggiungere il pavimento.

1)Determina l’andamento in funzione del tempo del modulo del vettore velocità
2) Calcola le componenti del vettore velocità e del vettore accelerazione un istante prima che la pallina tocchi il suolo.

La velocità orizzontale Vx resta costante. Vx = 2,6 m/s

Vy invece cresce nel tempo:

da Voy = 0 m/s^2 a Vy = g x t = – 9,8 x 0,4 = – 3,92 m/s^2;

negativa perchè verso il basso.

L’accelerazione è solo verticale, verso il basso; g = – 9,8 m/s^2

Vx = 2,6 m/s
Vy = – 3,92 m/s^2

parabola

Esercizio 1sciatori

Un campione di sci nautico è trascinato su un trampilino di lancio alto 6m e lungo 10 m alla velocità iniziale di 72 km/h( . 3,6 = 20 m/s). Supponendo che la salita lungo il piano inclinato avvenga in modo inerziale ( la velocità resta pressochè costante) e trascurando gli attriti,  determinare la lunghezza del salto.

sen(angolo) = 6/10 = 0,6

angolo = arcsen(0,6) = 36,87° (angolo di lancio)

Moto parabolico in due dimensioni:

Vx = 20 x cos36,87° = 16 m/s

Vy = 20 x sen36,87° = 12 m/s

X = 16 x t

Y = 1/2 x (-9,8) x t^2 + 12 x t + 6; poniamo questa equazione Y = 0 m , così troviamo il tempo di volo.

– 4,9 x t^2 + 12 x t + 6 = 0
4,9 t^2 – 12t – 6 = 0

t =( 6 +- radquad( 36 + 6 x 4,9) ) / 4,9 = (6 +- 8,09)/ 4,9 ; prendiamo la soluzione positiva.

t1 = 14,09/4,9 = 2,87 s (tempo di durata del salto)

X = 16 x 2,87 = 46 metri

Esercizio 2

Un cannone e una scorta di palle da cannone si trovano sulla sommità di una torre alta 78,4m.
Una palla viene sparata con velocità orizzontale di 245 km/h e, nello stesso istante un’altra rotola fino al bordo della torre e cade verticalmente .Quale delle due palle tocca per prima terra?Quanto vale la distanza fra di esse quando sono a terra?   (toccano terra contemporaneamente;272m)

Se l’attrito è trascurabile, il tempo di caduta è lo stesso perchè in verticale il moto è accelerato con accelerazione g = 9,8 m/s^2. Quindi arrivano a terra insieme.

Y = 1/2 g t^2

t = radquad( 2Y/g) = radquad( 2 x 78,4/9,8) = 4 s

La palla sparata in orizzontale, mentre cade, avanza lungo l’asse X con moto uniforme per un tempo                     t = 4 secondi.

Vo = 245 km/h /3,6 = 68,06 m/s

X = Vo x t
X = 68,06 x 4 = 272,2 m

Esercizio 3

Calcolare la gittata (Xmax) di un proiettile e la massima altezza raggiunti, conoscendo la sua velocità iniziale  Vo = 200 m/s, l’angolo di tiro rispetto al terreno alfa = 45° e l’altezza del punto di lancio rispetto al terreno ho = 400 m.

X = Vox * t ( distanza orizzontale raggiunta)

Vox = 200 x cos 45° = 141,42 m/s
Voy = 200 x sen45° = 141,42 m/s

Y = 1/2 x ( -9,8) x t^2 + 141,42 x t + 400 ( legge del moto verticale, il proiettile sale, poi scende e arriva a quota Y = 0 m. Possiamo calcolare il tempo di volo, (tempo di salita + tempo di discesa, ponedo Y = 0 m).

1/2 x ( -9,8) x t^2 + 141,42 x t + 400 =0

– 4,9 x t^2 + 141,42 x t + 400 = 0
4,9 x t^2 – 141,42 x t – 400 = 0

t = (141,42 +- radquad( 141,42^2 + 4 x 4,9 x 400)) / (2 x 4,9)

t = (141,42 +- 166,85) / 9,8

t = 308,27/9,8 = 31,46 s ( tempo di volo – soluzione positiva)

X = 141,42 * 31,46 = 4449 m (gittata)

nel punto più alto la velocità verticale Vy diventa 0 m/s

Vy = – 9,8 x t + Voy

0 = -9,8 x t + 141,42

t = 141,42 / 9,8 = 14,43 s ( tempo di salita)

h = 1/2 ( – 9,8) t^2 + Voy *t + 400

h = – 4,9 x 14,43^2 + 141,42 x 14,43 + 400

h = – 1020 + 2040 + 400 = 1020 + 400 = 1420 metri (altezza max.)

Il moto verticale non influenza il moto orizzontale.

4) Una palla da tennis è servita orizzontalmente da un’altezza di 2,4 m e con velocità iniziale pari a 30,0 m/s. La rete dista 12,0 m ed è alta 0,9 m. Determinare se la palla colpirà la rete e dove atterrerà la palla.   

Tempo di caduta da Y = 2,4 metri di altezza:

t = radquad(2 x Y / g) = radquad( 2 x 2,4/9,8) = 0,70 s

Tempo per percorrere 12 m in orizzontale:
t = X/Vx = 12/30,0  = 0,4 secondi

Y = 1/2 g t^2 + Yo

Y = 1/2 x (-9,8) x 0,4^2 + 2,4 = 1,62 m; la palla passa sopra la rete perchè è più in alto di 0,9 m.

Distanza max raggiunta

X = (Vx) x t = 30,0 x 0,7 = 21 metri

5) Quando si allontana dalla racchetta, una pallina da tennis viaggia in direzione orizzontale con una velocità di modulo 28 m/s. la pallina cade sul campo a una distanza orizzontale di 19,6 m. a quale altezza da terra si trovava la pallina quando ha lasciato la racchetta?

Vx * t = 19,6; moto uniforme in orizzontale

t = 19,6 / 28 = 0,7 secondi ; (tempo di volo, tempo che impiega a cadere a terra)

In verticale impiega lo stesso tempo a cadere di moto accelerato, i moti sono indipendenti.

g = 9,8 m/s^2

Y = 1/2 x 9,8 x t^2

Y = 1/2 x 9,8 x 0,7^2 = 2,4 m; (altezza verticale).

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