Urti

impulso

In qualsiasi urto si conserva la quantità di moto per il terzo principio della dinamica.

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ; la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto.

Urto anelastico

Un proiettile di massa 30 g è sparato in un blocco di massa 4.0 Kg inizialmente in quiete su un piano scabro (coefficiente d’attrito dinamico: 0,5). Dopo l’impatto, l’insieme blocco-proiettile scivola per 7.0 m sul piano prima di arrestarsi.
Si determini l’energia cinetica del proiettile prima dell’urto e l’energia dissipata nell’urto.

Soluzione

Nell’urto anelastico si conserva la quantità di moto.

Qfin = Qiniz

(M + m) * Vfin = m * Vproiettile

Dopo l’urto viaggino insieme e la forza di attrito li ferma in S = 7 m

Fatt * S = 0 – 1/2 (M + m) * Vfin^2 ; teorema energia cinetica.

Fattr = – 0,5 * 4,030 * 9,8 = – 19,75 N (negativa perchè contraria al moto)

– 19,75 * 7 = – 1/2 + 4,030 * Vfin^2

Vfin = radquad(2 * 138,25/4,030) = 8,28 m/s ; (velocità del blocco+proiettile)

0,030 * ( V proiettile) = 4,030 * 8,28

V proiettile = 1112,28 m/s

Energia cinetica prima dell’urto = 1/2 * 0,030 * 1112,28^2 = 18558 J

Energia dopo l’urto = 1/2 * 4,030 * 8,28^2 = 138 J

Energia dissipata = 138 – 18558 = – 18420 J (persa nell’urto)

Urto elastico: Si conservano quantità di moto ed energia cinetica

F1 * (delta t) = – F2 * ( delta t) i corpi si scambiano impulsi uguali e contrari.

Delta P1 = – DeltaP2
m1 (V1′ – V1) =  – m2 (V2′ –  V2)
                                      
m1 (V1′ – V1) =   m2 (V2 –  V2′)  

la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto. Mettendo i termini con indice uguale allo stesso membro, diventa:

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ;

Se l’urto è elastico si deve conservare l’energia cinetica.

1/2 m1 V1^2 + 1/2 m2 V2^2 = 1/2 m1 V1’^2 + 1/2 m2 V2’^2;

semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

m1 (V1’^2 – V1^2) = m2 (V2^2 – V2’^2);

svolgendo le differenze di quadrati, diventa:

m1 (V1′ – V1) (V1′ + V1) = m2 (V2 – V2′) (V2 + V2′)

m1 (V1′ – V1) = m2 ( V2 – V2′);    dividendo a membro a membro, otteniamo

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′) ;
questa è la condizione di conservazione dell’energia cinetica per un urto elastico, insieme alla conservazione della quantità di moto:

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′)

Esempio 1 :
Una sfera di massa m1 = 1,50 kg parte da un’altezza ho = 0,30 m con una velocità di  Vo = 5,00 m/s, si muove verso il basso e colpisce una sfera ferma di massa                  m2 =  4,60 kg.
Usando la conservazione dell’energia meccanica, calcola la velocità della sfera m1 subito prima dell’impatto.
Supponendo che l’urto sia elastico, determina modulo, direzione e verso delle velocità delle sfere subito dopo l’urto.
Calcola l’altezza raggiunta da ciascuna sfera dopo l’urto
[5,56 m/s; 2,83 m/s verso opposto; 2,73 m/s, verso iniziale; 0,409 m; 0,380 m]

1/2 m Vo^2 + mgho = 1/2 m V1^2 ;

L’energia si conserva e alla fine della discesa diventa tutta energia cinetica.

(m si semplifica).

V1 = radquad(Vo^2 + 2gho) = radquad( 5^2 + 2 * 9,8 * 0,3) = radquad(30,88) = 5,56 m/s

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ; la quantità di moto deve rimanere uguale prima e dopo l’urto.

m1 (V1′ – V1) = m2 ( V2 – V2′)
Se l’urto è elastico deve conservarsi anche l’energia cinetica.

1/2 m1 V1^2 + 1/2 m2 V2^2 = 1/2 m1 V1’^2 + 1/2 m2 V2’^2;
semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′) ; questa è la condizione di urto elastico, insieme alla prima equazione

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′

V1′ + 5,56 = V2′ + 0

1,5 * 5,56 + 0 = 1,5 * V1′ + 4,6 * V2′

V1′ = V2′ – 5,56

8,34 = 1,5 * ( V2′ – 5,56) + 4,6 * V2′

8,34 = 1,5 * V2′ – 8,34 + 4,6 * V2′

6,1 V2′ = 16,68

V2′ = 16,68/6,1= + 2,73 m/s ( la palla 2 parte in avanti)

V1′ = 2,73 – 5,56 = – 2,83 m/s ( la palla 1 parte all’indietro)

mgh1 = 1/2 m V1’^2
h1 = 2,83^2/ (2 * 9,8) = 0,409 m
h2 = 2,73^2/ (2 * 9,8) = 0,380 m.

Esempio di urto elastico fra tre carrelli su rotaia senza attrito:

urti ellastci

Si conservano l’energia cinetica e la quantità di moto.

Per la conservazione dell’energia vale la relazione fra le velocità: le velocità con apice sono quelle dopo l’urto.

vo + vo’ = v1 + v1′

Consideriamo i primi sue corpi: velocità iniziali, vo e 0

vo + vo’ = 0 + v1′;  da questa ricaviamo v1′:

vo’ = v1′ – vo;

4 m vo = 4m vo’ + 2m v1′; divido per 2 m:

2 vo = 2 * ( v1′ – vo) +  v1′;

ricaviamo v1′ velocità del secondo carrello.

2 vo = 2 v1′ – 2 vo + v1′

3 v1′ = 4 vo

v1′ = 4/3 vo; velocità del secondo carrello dopo l’urto con il primo di massa (4m).

vo’ = v1′ – vo = 4/3 vo – vo = 1/3 vo ;

velocità del primo carrello dopo l’urto con il secondo di massa (2m)

Il secondo carrello con velocità v2 = 4/3 vo, urta il terzo fermo con massa m e

velocità v3 = 0.

4/3 vo + v2′ = v3 + v3′; conservazione energia.

4/3 vo + v2′ = 0 + v3′

v2′ = v3′ – 4/3 vo

2m * 4/3 vo = 2m v2′ + m v3′;

8/3 vo = 2 v2′ + v3′;

8/3 vo = 2 * (v3′ – 4/3 vo) + v3′;

8/3 vo = 2 * v3′ – 8/3 vo + v3′;

3 v3′ = 16/3 vo

v3′ = 16/9 vo;

v2′ = 16/9 vo – 4/3 vo = 16/9 vo – 12/9 vo = 4/9 vo (velocità del secondo carrello dopo l’urto con il terzo carrello.

Quindi dopo gli urti il primo carrello ha velocità 1/3 vo;

il secondo ha velocità  4/9 vo;

il terzo  ha velocità 16/9 vo.

Energia cinetica prima dell’urto = 1/2 * (4m) * vo^2 = 2 * m vo^2

Energia dopo l’urto:

1/2 * 4m * (1/3 vo)^2 + 1/2 * 2m * (4/9vo)^2 + 1/2 m * (16/9 vo)^2 =

2/9  * m vo^2 + 16/81 * m vo^2 + 256 /162 + m vo^2 =

(2/9 + 16/81 + 256/162) * m vo^2 = 2 m vo^2

m.c.m = 162

(36/162 + 32/162 + 256/162) = 324/162 = 2.

 

Esempio 3):

barca

Quantità di moto iniziale del sasso:   Qo = m1 * v1.

Consideriamo solo la componente orizzontale della velocità del sasso prima e dopo l’urto.

m1 v1 = 0,072 * 13 * cos 15° ;

Qo = 0,072 * 12,56 = 0,904 kg m/s;

Si conserva la quantità di moto. Q’ = Qo;

0,072 * 11 * cos 12° + m2 * 2,1 = 0,904

0,775 + m2 * 2,1 = 0,904

m2 * 2,1 = 0,904 – 0,775

m2 = 0,129 / 2,1 = 0,061 kg = 61 grammi.

m2 = Massa della barchetta.

 

2)  Un proiettile, di massa m = 50 g, viene sparato con una velocità iniziale Vo che forma con  l’orizzontale un angolo di 30°.
Nel punto più alto della sua traiettoria colpisce una massa M = 3 kg
sospesa ad un filo di lunghezza L e si conficca in essa. Se dopo l’urto si osserva il sistema sollevarsi
di h = 15 cm rispetto al livello iniziale, si determini la velocità iniziale Vo del proiettile.

(m + M)gh = (0,05 + 3) x 9,8 x 0,15 = 4,48 J ( energia potenziale finale di Massa e proiettile).

1/2 (m + M) x (Vx)^2 = 4,48 J (dopo l’urto anelastico, il sistema parte con velocità Vx)

Vx = radquad( 4,48 x 2/3,05) = 1,7 m/s ( velocità con cui parte la massa M)

Per la conservazione della quantità di moto:

m x Vox(proiettile) = (M+m) x 1,7

Vox(proiettile) = 3,05 x 1,7/0,05 = 103,7 m/s (questa è la velocità orizzontale Vox del proiettile prima di colpire la massa M).

Vox = Vo cos30°

Vo = Vox/cos30°

Vo = 103,7/0,866 = 120 m/s (velocità iniziale)

Pendolo balistico: urto anelastico:  m Vo  = (M + m) V

3) Una pallottola di 6 g viene sparata contro un blocco di 2 kg, inizialmente in quiete sul bordo di un tavolo alto 1 m. Il proiettile si conficca nel blocco e, dopo l’urto, il blocco cade a 2 m dal bordo del tavolo. Calcolare la velocità iniziale del proiettile.

In questo urto anelastico, si conserva la quantità di moto P prima e dopo l’urto.
P1 = m1 x v1
P1 = 0,006 x V1 ( del proiettile)

P2 = (m2 + m1) x V2 ( del blocco + proiettile, dopo l’urto)
P2 = 2,006 x V2; (V2 è la velocità orizzontale con cui parte il blocco)

Il blocco cade in verticale da Y = 1 metro di moto accelerato:

Y = 1/2 x g x t^2

t = radicequadr(2 x Y / g) = radicequadr(2 x 1/9,8) = 0,45 s (tempo di caduta e di volo).

in orizzontale viaggia per lo stesso tempo con velocità V2.

X = V2 x t

V2 = X/t = 2/0,45 = 4,44 m/s

Poniamo   P1 = P2

0,006 x V1 = 2,006 x V2

V1 = 2,006 x 4,44/ 0,006 = 1484 m/s (velocità del proiettile).