Disegno schematico del sistema a carrucola fissa con due masse diverse sospese, Malfi, © 2002

Carrucola fissa
(se la staffa è attaccata ad un supporto fisso).

La carrucola è un disco pieno: ha momento d'inerzia
I = 1/2 m R^2, dove m è la massa della carrucola ed R è il raggio.

La carrucola ruota sotto l'azione del momento risultante di due forze: le tensioni T1 e T2 agenti a sinistra e a destra della carrucola quando ad essa sono appese le due masse m ed M.
M scende ed m sale. Le due masse si muovono con la stessa accelerazione a: M scende con accelerazione – a, m sale con accelerazione + a.
m = 10 kg;  M = 20 kg; mc = 0,5 kg; R = 0,2 m.
momento d'inerzia:   I = 1/2 x 0,5 x 0,2^2 = 0,01 kgm^2
Calcolare l'accelerazione con cui si muovono le masse e calcolare l'accelerazione angolare alfa della carrucola.
alfa x R = a;  Il momento risultante Forza x braccio = I x (alfa)

Equazioni della dinamica:
Sul corpo 1che sale:                                  T1 – mg = ma 

Sul corpo 2 che scende:                           T2 – Mg = – Ma

Sulla carrucola che ruota:                        (T2 – T1) R = I x a/R

Risolviamo il sistema:

T1 = ma + mg
T2 = Mg – Ma

(Mg – Ma – ma – mg) x R = I x a/R
Mg – Ma – ma – mg =( I/R^2) x a

a ( M + m + I/R^2) = Mg – mg

a = (Mg – mg) / (M + m + I/R^2);   I / R^2 = 0,01 / 0,2^2 = 0,25 kg

a = (196 – 98) / ( 20 + 10 + 0,25)

a = 98/30,25 = 3,24 m/s^2 ; (accelerazione del sistema)

alfa = a/r = 3,24/0,2 = 16,2 rad/s; (accelerazione angolare con cui ruota la carrucola).

carrucola

Due masse sono collegate mediante una fune inestensibile, di massa trascurabile. La fune passa nella gola di una carrucola, senza attrito. Conoscendo la massa m2, l'accelerazione e la massa della carrucola, calcolare la massa1.

m2=2 kg, accelerazione=2m/s^2 e la massa della carrucola è 4 kg con raggio 10 cm.  Calcolare la massa1.

Soluzione

Fr = m1 x g
Fm = m2 x g = 2 x 9,8 = 19,6 N
Queste due forze peso fanno ruotare la puleggia con moto accelerato mediante la tensione della fune.

Momento d'inerzia
I = 1/2 (Mcarrucola) x r^2 =

= 1/2 x 4 x 0,1^2 = 0,02 kgm^2

accelerazione angolare con cui ruota la pulleggia = a/r

Equazione del moto rotatorio:
I x (accel.angolare) = Momento della forza

0,02 x (accel.angolare) = (T2 – T1) x r

Forze agenti su m1 ed m2: Tensione verso l'alto e peso verso il basso.

T2 – m2 x g = – m2 x a ; (il corpo 2 scende)
T1 – m1 x g = m1 x a ;  ( il corpo 1 sale)

T2 – T1 = – m2 x a + m2 x g – m1 x a – m1 x g

0,02 x a/r = (- m2 x a + m2 x g – m1 x a – m1 x g) x r

0,02 x 2/0,1 = ( – 4 + 19,6 – 2 x m1 – 9,8 x m1)  x 0,1

0,4 = (15,6 – 11,8 m1) x 0,1
0,4/0,1 = 15,6 – 11,8 x m1

11,8 x m1  = 15,6 – 4

m1 = 11,6/11,8 = 0,983 kg

 

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