Capacità elettrica, condensatore piano.

Capacità elettrica: la capacità elettrica di un conduttore è il rapporto fra la carica Q presente sul conduttore e il potenziale V a cui il conduttore si trova;   è cioè la quantità di carica sul conduttore per ogni volt di potenziale. Si misura in Coulomb/Volt, che è il Faraday (F).        
   
C = Q/V  
sferacarica (18K)     

grafico_sferacond (14K)
formula_sferacond (4K)
V = 1/(4pεo) x (Q/R)
La capacità di una sfera di raggio R, nel vuoto è: 
 
  C = Q / V; poichè V = K Q / R, sostituendo diventa
C =  R / K  ; K = 1/(4pεo ;    C = 4pεoR  ;
dipende solo dalle caratteristiche geometriche e dal dielettrico.  
Un conduttore isolato ha una capacità elettrica estremamente piccola, come si ricava dalla formula precedente. Se ad esempio R\ è il raggio della Terra, 6350\ km, risulta C\ di appena 706\ \mu F.Capacità elettrica                                                        CONDPIA.png
 CONDENSATORE
Il condensatore è un dispositivo in grado di immagazzinare carica e quindi energia elettrica. Possiamo vederlo praticamente con un semplice esperimento, per cui basta procurarsi una pila da 4,5 V, un condensatore elettrolitico da circa 1000 µF ed un led cui aggiungeremo in serie una resistenza da 100 ohm (figura 1).


un condensatore, una pila, un led con resistenza in serie

carichiamo il condensatore collegandolo alla pila

il condensatore carico farà accendere il led, che si spegnerà gradualmente, man mano che il condensatore si scarica
Figura 1

1- colleghiamo il condensatore alla pila, facendo attenzione alla polarità (il segno “+” del condensatore deve corrispondere al segno “+” della pila); dopo pochi secondi il condensatore si sarà caricato
2- stacchiamo adesso il condensatore carico dalla pila e colleghiamolo al led, facendo attenzione alla giusta polarità dei terminali ed interponendo la resistenza da 100 Ω: per qualche istante il led si illuminerà, come se lo avessimo collegato alla pila, spegnendosi gradualmente man mano che il condensatore si scarica.

La resistenza serve per far scorrere la corrente più lentamente durante la scarica, altrimenti il led farebbe solo un rapido lampo di luce, rischiando anche di bruciarsi.
Usando condensatori di maggiore capacità, il led rimarrà acceso più a lungo.
 Un condensatore si realizza generalmente mediante due superfici di materiale conduttore con interposto un mezzo dielettrico (isolante). Applicando una differenza di potenziale tra le armature si crea un campo elettrico nel dielettrico e, grazie al lavoro del generatore, un accumulo di carica sulle stesse (carica positiva sull’una e negativa sull’altra), tanto più grande quanto più è grande la capacità del condensatore. Una volta che il condensatore si è caricato, per i circuiti in corrente continua si ha che nel ramo ove è inserito il condensatore non può più passare la corrente elettrica.
La capacità di un condensatore ad armature piane e parallele dipende dalla superficie delle armature S [m2], dalla loro distanza d [m] e dalla costante dielettrica del dielettrico interposto, ε [F/m] secondo la seguente relazione:

C = Q / ΔV

La differenza di potenziale ΔV è data dal prodotto del campo elettrico E che si forma all’interno delle piastre e la distanza d tra di esse:

C = Q / E d

condensatore (5K)

Dalla legge di Gauss si deduceche, per un condensatore piano in cui il dielettrico è il vuoto, l’intensità del campo E è legata alla densità di carica σ sulle piastre e alla costante dielettrica del vuoto ε0

C = Q ε0 / σ d

Esprimiamo σ = Q / S (con S superficie delle armature)

C = Q ε0 S / Q d

Semplificando si ottiene la

Capacità di un condensatore piano
C = ε0 S / d
La capacità di un corpo che si comporta da condensatore dipende dalla forma e dalle dimensioni dei suoi elementi, e dalla permittività del dielettrico che li separa. Per alcuni tipi di condensatore è possibile determinare la capacità in modo esatto. La tabella seguente illustra alcuni esempi.

Tipo di condensatore Capacità Schema
lineare C = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \cdot \frac{A}{d} Plate CapacitorII.svg
cilindrico C=2\pi \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)} Cylindrical CapacitorII.svg
sferico C=4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)^{-1} Spherical Capacitor.svg
sfera singola C = 4πε0εrR1
cilindri paralleli C = \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{{\rm arcosh}\left(\frac {d}{2R}\right)} Lecher-Leitung.svg

Con A viene indicata la superficie dei conduttori, con d la loro distanza, con l la lunghezza, con R1 ed R2 i raggi.       ε = ε0εr è la permittività del dielettrico. Nello schema i conduttori sono rappresentati in grigio chiaro e scuro, mentre i dielettrici sono di colore blu.

Dalle formule dei vari condensatori si evince che per modificare la capacità elettrica di un condensatore basta agire su uno dei parametri che la determinano: ad esempio per innalzarla basta inserire tra le sue armature un dielettrico a più alta permittivita elettrica relativa in modo da innalzare la rigidità dielettrica oppure agire sulla distanza tra le armature o le dimensione fisiche delle facce del condensatore.

Esercizio: condensatori in serie

Due condensatori sono collegati in serie in un circuito alimentato da una ddp pari a 200 V. Se entrambi i condensatori hanno armature di area pari a 50 cm^2 e distano 2 mm, a quale distanza devono essere poste le armature del condensatore equivalente la cui area è pari a 750 cm^2?
C = eo x A/d = 8,85 x 10^-12 x 50 x 10^-4 /(2 x 10^-3) = 2,2125 x 10^-11 F

Serie

1/Ce = 1/C1 + 1/C2 = 2/ 2,2125 x 10^-11= 9,04 x 10^10

Ce = 1/9,04 x 10^10 = 1,106 x 10^-11 F

eo x A/d = 1,106 x 10^-11

d = eo x A/1,106 x 10^-11 = 8,85 x 10^-12 x 750 x 10^-4/1,106 x 10^-11 =

d = 0,06 m = 6 cm

CONDENSATORI ELETTROLITICI

Sono i più comuni. Il valore della capacità e della tensione di lavoro sono in genere stampigliati chiaramente sull’involucro; la precisione dei valori è approssimativa, essendo ammessa una tolleranza di circa ± 20%.


Figura 2: condensatori elettrolitici

Nei condensatori elettrolitici il dielettrico è un sottilissimo strato di ossido, fatto formare direttamente sul metallo (l’alluminio) che fa da armatura e costituisce l’anodo; il tutto è immerso in un elettrolita che, essendo un sale disciolto, risulta conduttore. Il caratteristico involucro metallico di forma cilindrica che fa da contenitore, diventa, ai fini del collegamento elettrico, il terminale negativo ovvero il catodo. Proprio a causa della loro costituzione, i condensatori elettrolitici sono “polarizzati”, il che vuol dire che devono necessariamente essere collegati ad una tensione continua, rispettando le polarità, positiva e negativa, indicate sull’involucro. Collegando il condensatore al contrario, esso si distrugge rapidamente e rischia di esplodere. Anche l’applicazione di una tensione superiore a quella di lavoro può causare l’esplosione del condensatore.
Come gli altri tipi di condensatori, gli elettrolitici possono essere di tipo radiale
(fig.2: E.rad), con entrambi i terminali che escono dallo stesso lato, adatti ad un montaggio in verticale, oppure di tipo assiale (fig.2: E.ax), con un terminale per lato, adatti al montaggio orizzontale. Una banda laterale indica la polarità di almeno uno degli elettrodi.
Gli elettrolitici sono condensatori di grande capacità, in grado di accumulare notevoli quantità di energia; per tale motivo trovano impiego principalmente negli alimentatori, per il livellamento della tensione e la riduzione del “ripple” (ovvero delle ondulazioni residue).

CONDENSATORI AL TANTALIO

Sono anch’essi dei condensatori polarizzati, ma in essi il dielettrico è costituito da pentossido di tantalio (fig.2: Tant.). Sono superiori ai precedenti come stabilità alla temperatura ed alle frequenze elevate; sono tuttavia più costosi e la loro capacità non raggiunge valori molto elevati. Come i precedenti, devono essere montati in circuito osservando la polarità indicata in prossimità dei terminali.

Se si hanno diversi condensatori in parallelo, ovvero sottoposti alla stessa differenza di potenziale, la capacità totale è pari alla somma aritmetica delle singole capacità:


Se si hanno diversi condensatori in serie, ovvero tutti aventi la stessa quantità di carica elettrica, la capacità totale è pari all’inverso della somma aritmetica degli inversi delle singole capacità:

Energia immagazzinata
Lavoro di carica di un condensatore (energia)

 Per caricare un condensatore occorre trasportare una carica +Q sull’ armatura che si carica positivamente e contemporaneamente una carica – Q sull’altra armatura negativa.
   Il lavoro e’ dato da L = Q x ΔV, ma nella fase di carica ΔV e Q non sono costanti,  ΔVcresce proporzionalmente all’aumentare di Q.
 Il lavoro di carica  e’ quindi l’ energia immagazzinata nel condensatore, e’ rappresentata dall’area tratteggiata nel grafico. (triangolo).

Dalla definizione di capacità C, la d.p.p,  V  ai capi del
condensatore è proporzionale alla carica q sulle armature:


L’energia immagazzinata nel condensatore all’istante t è data dall’area sotto la curva:

L = Q x V / 2

  L = Q x  ΔV  ; ponendo  Qiniziale = 0  e
Qfinale = C x
ΔV  quando il condensatore e’ carico,

allora                            L =    1/2 C (ΔV)2  

 

oppure                  L = Q2/2C;     
(perchè   ΔV= Q/C).    
Carica e scarica di un condensatore                            

Carica di un condensatore 
File:Carica condensatore.PNG

Consideriamo un circuito come quello in figura con il generatore di forza elettromotrice f.e.m. che mantiene ai suoi capi una tensione E, interruttore T inizialmente aperto, e condensatore inizialmente scarico. Non vi è carica sul condensatore e quindi è nulla la differenza di potenziale ai capi di C e tale rimane finché l’interruttore rimane aperto. Al tempo t = 0, le condizioni iniziali sono: V(t=0)=0 e    Q(t=0)=0; chiudiamo l’interruttore T. Nell’intervallo tempo infinitesimo dt, la carica dQ va dal generatore al condensatore, cioè si genera corrente:

I = \frac {dQ}{dt}

Per la legge di Ohm ai capi della resistenza R si ha una differenza di potenziale:

E - V(t) = I \cdot R

dove E è la forza elettromotrice o tensione fornita dal generatore. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco. Innanzitutto possiamo trovare l’andamento della carica del condensatore, ricavando Q(t), riscriviamo la legge di Ohm:

E - \frac {Q(t)}{C} = R \cdot \frac {dQ}{dt} \Longrightarrow dt= \frac {RC \cdot dQ}{E C - Q}

Dobbiamo integrare quest’ultima equazione e per farlo dobbiamo effettuare un cambiamento di variabile, x = E C - Q così che dQ = -dx:

dt=-RC \frac {dx}{x} \Longrightarrow  -\frac {1}{RC} \int_{0}^{t} dt = \int_{0}^{t} \frac {dx}{x} \Longrightarrow  \ln \frac {x(t)}{x(0)} = -\frac {t}{RC}

Risolviamo rispetto a x(t) e ritorniamo alla nostra funzione Q(t):

x(t) = x(0) \cdot e^{-\frac {t}{RC}} \Longrightarrow  E C - Q(t) = E C \cdot e^{-\frac {t}{RC}}

otteniamo l’equazione della carica di un condensatore:

Q(t) = E C \cdot \left(1 - e^{-\frac {t}{RC}} \right) = E C \cdot \left(1 - e^{-\frac {t}{\tau}} \right)

dove \tau = RC è un valore costante detta costante di tempo del circuito.

       

   Ricaviamo di conseguenza l’equazione del potenzialein funzione del tempo:

V(t)= \frac {Q(t)}{C} = E \cdot \left ( 1- e^{-\frac {t}{\tau}} \right)

Ricaviamo di conseguenza l’equazione della corrente in funzione del tempo:

I(t)= \frac {dQ(t)}{dt} = E C \cdot \frac {d}{dt} \left ( 1 - e^{-\frac {t}{RC}} \right) = E \not C \cdot \frac {1}{R \not C} \cdot e^{-\frac {t}{RC}} = \frac {E}{R} \cdot e^{-\frac {t}{\tau}}

   File:Andamenti carica condensatore.PNG

Scarica

File:Scarica condensatore.PNG

Consideriamo un circuito come quello in figura in cui l’interruttore è inizialmente aperto, il condensatore è carico (eventualmente caricato da un generatore) e quindi possiede una differenza di potenziale ai capi di C che è V_0. Al tempo t = 0, le condizioni iniziali sono: V(t=0)= V_0   ,

Q(t=0)= C \cdot V_0; chiudiamo l’interruttore T. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco.

Innanzitutto possiamo trovare il valore istantaneo del potenziale del condensatore:

V_c (t) =\frac{Q(t)}{C}

Dato che sulla resistenza la differenza di potenziale è data da:

V_R (t)= -R \cdot I (t)

E sapendo che in un circuito chiuso la somma algebrica delle tensioni è uguale a zero, dunque:

V_c (t) + V_R(t)=0

Abbiamo che:

\frac{Q(t)}{C} - R \cdot I(t) = 0

Per definizione, la corrente elettrica è la quantità di carica che attraversa una sezione fissa nell’unità di tempo:

I(t)= -\frac{dQ(t)}{dt}

Il segno meno nella precedente equazione deriva dal fatto che, in accordo con la notazione adottata,  Q(t) rappresenta la carica accumulata nel condensatore, mentre  I(t) è la corrente che fluisce nel circuito. Da ciò segue che quando il condensatore si scarica si ha  \frac {dQ(t)}{dt}<0 mentre la corrente che fluisce nel circuito è  I(t)>0.

Sostituendo, avremo:

\frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac {dQ(t)}{dt} = 0

A questo punto possiamo saparare le variabili, al fine di risolvere l’equazione differenziale:

 \frac {dQ(t)}{Q(t)}= -\frac {dt}{RC}

Dobbiamo dunque integrare l’ultima equazione:

\int_{Q_0}^{Q}\frac {dQ(t)}{Q(t)} = -\frac {1}{RC} \int_{0}^{t} dt

La soluzione sara’:

Q(t)=Q_0 \cdot e^{-\frac {t}{RC}}

Ricaviamo l’equazione del potenziale in funzione del tempo per la scarica del condensatore:

V(t) = \frac{Q(t)}{C} \rightarrow V(t)= V_0 \cdot e^{-\frac {t}{RC}} = V_0 \cdot e^{-\frac {t}{\tau}}

dove   \tau = RC ha un valore costante ed è detta costante di tempo del circuito.
Ricaviamo l’equazione della corrente in funzione del tempo:

I(t)= -\frac {dQ(t)}{dt} =  V_0 C \cdot \frac {d}{dt} \left (e^{-\frac {t}{RC}} \right) = \frac {V_0 \not C}{\not C R} \cdot e^{-\frac {t}{RC}} = \frac {V_0}{R} \cdot e^{-\frac {t}{\tau}}

File:Andamento corrente scarica condensatore.PNG

Come si vede dal grafico della corrente essa decresce esponenzialmente a zero e già ad una costante di tempo la corrente dal valore massimo iniziale Io

I_0 = \frac {V_0}{R}

si riduce di 1/e,  tende in brevissimo tempo a zero  .

 
 

Esercizi

Un condensatore in una macchina fotografica immagazzina energia per emettere un lampo. Il condensatore di capacità C = 850 microfarad è caricato da una differenza di potenziale di 280 V. Calcola l’energia del flash.Energia = 1/2 C V^2
Energia = 1/2 x 850 x 10^-6 x 280^2 = 33,3 J

Esercizio 2
Un condensatore immagazzina 5,3 x 10^-5 Coulomb di carica connesso a una batteria da 6 V. Quale carica contiene quando la batteria è da 9 V?
 
C = Q / V = 5,3 x 10^-5 / 6 = 8,83 x 10^-6 F
Q = C x V = 8,83 x 10^-6 x 9 = 7,95 x 10^-5 C

Q è direttamente proporzionale a V
 

Esercizio 3
Un condensatore a piani paralleli operante in aria con area A = 10 cm2 e separazione tra i piatti d = 1.2 mm viene caricato ad una differenza di potenziale di 120 Volt. Calcolare la capacità del condensatore, la carica, l’energia immagazzinata e il campo elettrico tra i piatti. Si consideri ora un elettrone posizionato in prossimit`a dell’armatura negativa con velocit`a in- iziale nulla. Si calcoli il tempo necessario affinch`e la carica tocchi l’armatura positiva e l’energia cinetica totale al momento dell’impatto. R. C = 7.4 10−12 F; q = 8.9 10−10 C; Eim.=5.3 10−8 J; E=105 V/m, t = 3.6 10−10 s, Ecin=1.9 10−17 J

C = eo x A / d = 8,85 x 10^-12 x 10 x 10^-4 / 1,2 x 10^-3 = 7,4 x 10^-12 F = 7,4 picoF

(l’area in m^2, d in metri).

Q = C x V = 7,4 x 10^-12 x 120 = 8,85 x 10^-10 C

Energia U = 1/2 C V^2 = 1/2 x 7,4 x 10^-12 x 120^2 = 5,3 x 10^-8 J

campo E = V / d = 120 / 1,2 x 10^-3 = 10^5 Volt/m

Energia dell’elettrone = e x V = 1,6 x 10^-19 x 120 = 1,9 x 10^-17 J

1/2 m v^2 = 1,9 x 10^-17

velocità: v =radquad( 2 x 1,9 x 10^-17/ 9,11 x 10^-31) = 6,49 x 10^6 m/s

accelerazione a = e x E /m = 1,6 x 10^-19 x 10^5 / 9,11 x 10^-31= 1,76 x 10^16 m/s^2

v = a x t
t = v/a = 6,49 x 10^6/ 1,76 x 10^16= 3,7 x 10^-10 s

Annunci