Lo spazio-tempo di Minkowski
 

De Raum zeit Minkowski Bild.jpg

Hermann Minkowski

Hermann Minkowski (Aleksotas, 22 giugno 1864 – Göttingen, 12 gennaio 1909), matematico tedesco. 

Fino all’epoca pre-einsteniana lo spazio tridimensionale era tenuto ben distinto dal tempo ed entrambi erano considerati assoluti. La relatività speciale di Albert Einstein dimostrò che invece lo spazio ed il tempo sono indissolubilmente legati tra loro. Il nostro universo, che era rappresentato da uno spazio a 3 dimensioni e dal tempo, diviene, con l’avvento della relatività speciale, uno spazio-tempo a 4 dimensioni.
Per potere descrivere un qualsiasi
fenomeno fisico occorre partire dal fatto che un certo fenomeno è avvenuto, a un dato istante, in un certo punto dello spazio. Una volta introdotto un sistema di riferimento, tale informazione è data da quattro numeri (ct, x, y, z) che sono le coordinate spazio-temporali del fenomeno.
La quaterna ordinata (ct, x, y, z) prende il nome di evento.
 

Spazio di Minkowski : cono luce

X^2 = C^2 t^2

 (intervallo luce)

   

 

              

 

Nello spazio-tempo galileiano, la distanza fra due oggetti nello spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta, che non dipende dal sistema di riferimento inerziale in cui è posto l’osservatore. Nella relatività ristretta, entrambe queste quantità diventano invece relative. I cambiamenti di coordinate fra sistemi di riferimento sono infatti più complicati, descritti dalle trasformazioni di Lorentz. Vi è comunque una “distanza” che non dipende dal riferimento (cioè che non viene modificata da una trasformazione di Lorentz).

L’intervallo spazio-temporale  d2 = X2 – C2t2

 assume il medesimo valore qualunque sia il sistema di riferimento nel quale esso viene calcolato:  è un invariante relativistico spazio-temporale.

 (DX’)2 – C2(Dt’)2  = (DX)2 – C2(Dt)2

 

 

 

 

Il punto rosso nell’origine O sul piano è il presente.Tutto ciò che è fuori dal cono è il presente di O e non può essere influenzato da O, nè può influenzare O
Il doppio cono rappresenta il passato e il futuro del nostro presente.

 

 

 

 

 

x = ct ; x = – ct,  sono  le rette che separano il cono dal resto dello spazio di Minkowski. 

(Ponendo c = 1, x = t , x = -t, sono le bisettrici del piano).

 

 Nello spazio tradizionale euclideo la distanza di due punti si calcola usando il teorema di Pitagora.

Spazio euclideo        
 
 
 

 diagramma spazio tempo bidimensionale (x=x(w)) w=ct

Fig 1.1 Esempio di diagramma spazio-tempo

Un punto nel diagramma spazio-tempo, a fissate coordinate (x, w), è chiamato evento. Una particella o un osservatore che si muove nello spazio tempo descrive una traiettoria chiamata linea d’universo.

 

L’intervallo spazio-temporale  d2 = X2 – C2t

 
 
    Intervallo spazio-temporale
 
 

Esempio di dilatazione temporale e contrazione di una lunghezza in un evento a velocità relativistica:  Un mesone (particella subatomica instabile), si forma a dieci chilometri di quota in atmosfera. Viaggiando a velocità v = 0,99C arriva a terra e viene registrato.

  • Quanto è lunga la traiettoria nel sistema di riferimento in cui il mesone è fermo, se questa traiettoria lunga 10 km viene “vista”  in movimento dal mesone?
    ( DL‘ è la lunghezza nel sistema in movimento = 10000 m)
    DL = DL‘ ·√(1─v2/c2)     

     DL = 10·√(1─(0,99 c)2/c2)   allora
 DL = 10 * 0,141 =  1,41 km ( 7 volte più corta)

  • Quanto vale il tempo di vita  del mesone che arriva a terra?   Dt = S / V =  10000 / 0,99 C = 3,367 ·10^-5 s ( visto dal sistema terrestre, tempo dilatato).
  • Quanto vale il tempo proprio Dt’ del mesone nel suo sistema di riferimento?( la sua traiettoria qui è lunga 1,41 km, quindi Dt’ = S / V = 1410/0,99C= 0,4747 ·10^-5 s  )
      Dt  = Dt’ / √(1─V2/C2) ; allora  verifichiamo:   
    Dt  =  4,747 ·10^-6 / √(1─(0,99 C)2/C2) =

  

 = 4,747 ·10^-6/ √(1─0,98) = 3,367 ·10^-5 s (visto in moto, dalla terra, vive 7 volte di più).

 

Intervallo spazio-temporale.

Nel piano cartesiano, se prendiamo due punti, possiamo rappresentarli in diversi sistemi di riferimento dove variano le loro singole componenti. Tuttavia la loro distanza rimane la stessa, è invariante: non cambia da un sistema di riferimento all’ altro.
Nella teoria della relatività il discorso appena fatto si deve allargare all’ intervallo di tempo Dt. Infatti sappiamo che anche il valore dello spostamento temporale dipende dal sistema di riferimento scelto. Proprio come per 2 punti nel piano cartesiano, dati due eventi, esiste una quantità detta intervallo invariante che dipende soltanto dagli eventi stessi.
Dati due eventi separati dagli incrementi di coordinate Dt, Dx, Dy, Dz, si chiama intervallo invariante Dsla radice quadrata della quantità:
(Ds)2= (cDt)2 – (Dx)2 – (Dy)2 – (Dz)2
Va sottolineato che nella precedente espressione è necessario che il tempo (Dt)2 sia moltiplicato per una velocità in modo da ottenere una grandezza che ha dimensioni (l2) e che può essere sommata a (Dx)2 – (Dy)2 – (Dz)2.
Dall’ intervallo invariante dobbiamo dedurre che gli eventi E1 ed E2hanno un’ esistenza intrinseca in uno spazio generalizzato che ha quattro dimensioni, perché i suoi punti, cioè gli eventi, sono caratterizzati da quattro dimensioni.
Da ciò diremo che si chiama spazio-tempo lo spazio quadridimensionale (t, x, y, z) nel quale l’ intervallo invariante tra due eventi è (Ds)2= (cDt)2 – (Dx)2 – (Dy)2 – (Dz)2.
Questo spazio-tempo prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski.
Lo spazio-tempo di Minkowski descrive la “realtà” della relatività ristretta, ma non quella dell’universo perchè non tiene conto della curvatura dello spazio. Ciò che era valido per la relatività speciale, non lo è più dopo l’enunciazione della relatività generale (1917) che, incorporando la forza di gravità, descrive uno spazio-tempo curvo.

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