Esercizi di Elettrostatica

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  Due sferette hanno entrambe un eccesso di elettroni paria n= 2,4 * 10^ 12 elettroni. La distanza R = 37 cm tra le sferette è molto maggiore del loro raggio. 

  
  – Calcolare l’intensità della forza con cui le sferette si respingono.
  

  La carica dell’elettrone (negativa), vale in valore assoluto 1,602 * 10^-19 C, come la carica del protone (positiva).
  

  
  

   Legge di Coulomb:

  F = K q1 * q2 / R^2 ;   ( K costante nel vuoto, vale 9 * 10^9 N·m^2/C^2;

  K si può scrivere come 1/(4 π εo),
  dove εo viene chiamata costante dielettrica e nel vuoto vale:
  εo = 8,85 · 10^-12 F/m; (oppure εo = 8,85 · 10^-12 C^2 /(N·m^2) )

  q1 = q2 = q; allora:

  F = K * q^2 / R^2;    R = 0,37 m

  q = (n elettroni) * (- 1,602 * 10^-19 C) =
  = 2,4 ·*10^12 * ( – 1,602 * 10^-19 ) = – 3,84 · 10^-7 C
  (le cariche sono negative, si respingono. Quando si calcola la forza, non si mettono i segni alle cariche, si prende il valore assoluto).

  F = 9 * 10^9 * ( 3,84 * 10^-7)^2 / 0,37^2 = 9,7 * 10^-3 N; (repulsiva).

  Forza di Newton; Forza di Coulomb.
  Sottraendo a due sfere di uguale massa, inizialmente scariche, 5,4 * 10^6 elettroni ciascuna, si genera una forza elettrica repulsiva che controbilancia la forza attrattiva gravitazionale. Calcola la massa delle due sfere trascurando la massa degli elettroni.     [10 g]

  (F gravitazionale attrattiva) = (F elettrostatica repulsiva);

  Forza di Newton = Forza di Coulomb

  G * m^2 / R^2 = k * q^2 / R^2;

  G = 6,67 * 10^-11 Nm^2/kg^2;

  k = 9 * 10^9 Nm^2/C^2,

  q = 5,4 * 10^6 e = 5,4 * 10^6 * 1,602 * 10^-19 C;

  q = 8,651 * 10^-13 C

  G * m^2 / R^2 = k * q^2 / R^2;

  R^2 si semplifica, R è la distanza fra i centri delle sfere.

  G m^2 = k q^2;

  m^2 = k q^2 / G;

  m= radicequadrata(k q^2 / G);

  m = radice[9 * 10^9 * (8,651 * 10^-13)^2 / (6,67 * 10^-11 )] ;

  m = radice(1,0098 * 10^-4) = 0,010 kg;

  m = 10 grammi; (massa di una sfera).

Due cariche sono poste nel vuoto a una distanza di 10 cm. Una di esse ha un valore di 2 * 10^-10 C e l’altra è il doppio della prima.

Calcolare il modulo della forza con cui interagiscono le due cariche. 

Cariche di segno uguale si respingono.

F = 9 * 10^9 * (2 * 10^-10) * (4 * 10^-10) / 0,1^2 = 7,2*  10^-8 N;

2  bis.

Hai due sferette identiche di raggio 10 cm. In una  mancano 4,50 * 10^14 elettroni, nell’ altra sono stati aggiunti  3,40 * 10^14 elettroni. Le due sfere vengono messe a contatto. Indica:

a) Se dopo il contatto le due sfere hanno carica positiva o negativa.

b) Il valore della carica elettrica su ciascuna sfera dopo il contatto.

c) la forza con cui interagiscono.

La  carica di 1 elettrone è 1,602 * 10^-19 C.

Q1 carica positiva perché mancano gli elettroni.

Q1 = + 4,50 * 10^14 * 1,602 * 10^-19 C ;

Q2  carica negativa perché ha elettroni aggiunti:

Q2 = – 3,40*10^14 * 1,602 * 10^-19 C;

Vengono messe a contatto.

Qfinale = (Q1  + Q2) / 2 = (4,50 – 3,40) / 2 =1,1/2 = + 0,55

a) Su ogni sferetta resta: Q = + 0,55 * 10^14 * 1,602 * 10^-19 =  + 8,8 * 10^-6 C =

b) Q1 = Q2 = + 8,8 microCoulomb, (dopo il contatto).

c) Le due sferette positive si respingono. I loro centri distano 20 cm = 0,20 m. Vale la legge di Coulomb:

F = 9 * 10^9 * (8,8 * 10^-6)^2 / 0,20^2 = 17,4 N; (forza repulsiva).

3. In un atomo di elio ionizzato una volta, un elettrone orbita attorno al nucleo che contiene due protoni (+2e).

[e- = – 1,602 * 10^-19 C, carica dell’elettrone].

Se l’atomo perde un elettrone,  ha carica + 1, è uno ione.

Il nucleo ha carica Q = +2;

l’elettrone rimasto ha carica e- = – 1

Il raggio dell’orbita è r = 2,65 * 10^-11 m.Calcolare l’intensità dell’accelerazione centripeta dell’elettrone.

m * v^2/r = k Q * e / r^2

Forza centripeta = Forza di Coulomb.

accelerazione centripeta: a = v^2/r;

a = k Q * e / (m * r^2);

Q = + 2 e = 2 * 1,602 * 10^-19 C

a = 9 * 10^9*(2 * 1,602 * 10^-19) * (1,602 * 10^-19) / (9,11 * 10^-31 * 2,65 * 10^-11);

a = 1,91 * 10^13 m/s^2.

4. La forza attrattiva tra due cariche uguali, ma opposte, è di 2,5*10^-4 N quando le cariche sono poste nel vuoto a una distanza di 9 cm.
Determinare  il valore delle cariche

 La legge di Coulomb: F = K q1 q2 / R^2; (R in metri sempre).

Se le cariche sono uguali, nella formula scriviamo q · q = q^2

F = K  · q^2 / R^2; q^2 = F · R^2/Kq = √( 2,5 · 10^-4 · 0,09^2 / 9 · 10^9 ) = 1,5 · 10^-8 C.

4 bis.  Due cariche si attraggono con una forza di 1,5 N. Quale sarà la forza se la loro distanza viene ridotta a un nono del valore iniziale?

 La Forza di Coulomb diminuisce con il quadrato della distanza. Aumenta con il quadrato della distanza: se la distanza diventa la metà, la forza diventa 4 volte maggiore, se la distanza triplica, la forza diventa 9 volte maggiore.

F = K q1 q2 / r^2;  Se la distanza diminuisce di 9 volte, la forza aumenta di 9^2.
Se r1 = r/9; r1^2 = r^2 / 81;  allora F1 = K q1 q2 / (r^2 / 81) = 81 · ( K q1 q2 / r^2).
F1 = 81 · 1,5 = 121,5 N

Campo Elettrico uniforme E; è la forza che agisce sull’unità di carica posta in un punto dello spazio.

E = F / q;    F = q * E.

Numero 10)

F = q * E = – 6,5 * 10^-9 * ( +1,78 * 10^7) = – 0,116 N, (forza verso sinistra).

La forza è nel verso contrario al campo, quindi comprime la molla verso sinistra.

k * x = F;

x = F / k = 0,116 / 5,5 = 0,021 m = 2,1 cm; (compressione della molla).

Numero 11)

F = q * E;

1) F = (- 1) * 2 = – 2 N; (verso opposto al campo E).

2) F = (+ 1,5) * 2 = + 3 N; (stesso verso del campo E).

Forza elettrostatica ; F = q * E.

F = Q * E;

F = 0,37 * 10^-11 * 10 = 0,37 * 10^-10 N; (forza elettrostatica  verso l’alto come il campo E);

F peso = m * g = 6,15 * 10^-15 * 9,8 = 6,03 * 10^-14 N (verso il basso);

F elettrostatica / F peso = 614;

La forza elettrostatica è 614 volte maggiore della Forza peso; quindi il peso si può trascurare.

a = F / m = 0,37 * 10^-10 / (6,15 * 10^-15) = 6016 m/s^2 ;

a = 6,0 * 10^3 m /s^2; (accelerazione verso l’alto).

5) Due palline cariche positivamente, di uguale massa m, sono appese nello stesso punto al soffitto di una stanza tramite due fili non conduttori di lunghezza L. A causa della repulsione elettrostatica le palline si allontanano di una distanza pari ad x ed i fili formano simmetricamente un angolo piccolo con la verticale. Se l’angolo è così piccolo da poter essere approssimato dal suo seno, determinare la carica Q presente su ogni pallina.
(L=122,0 cm | m=11,2 g | x = 4,7 cm).

sen(alfa) = (x/2) / L = 2,35/122 = 0,0193;

F peso = m g;

Forza peso Fx attrattiva lungo l’asse x:

Fx = m g tan(alfa).

Se alfa è piccolo tan(alfa) = sen(alfa).

Fx = (11,2 * 10^-3 kg) * 9,8 * 0,0193 = 2,12 * 10^-3 N;

Forza elettrostatica repulsiva: Forza di Coulomb.

Fe = k Q^2 / x^2;

Fe = Fx;

k Q^2 / x^2 = 2,12 * 10^-3;

Q^2 = 2,12 * 10^-3 * x^2 / k;

x = 0,047 m;

Q^2 = 2,12 * 10^-3 * 0,047^2 / 9 * 10^9 ;

Q = radicequadrata(5,199 * 10^16) = 2,28 * 10^-8 C. (Carica presente sulle palline).

5 bis)  Si abbiano due sferette conduttrici uguali, l’una A fissa e l’altra B mobile, di massa m = 2,3 g, sospese nel vuoto mediante fili di lunghezza L=12 cm ad un punto O. Inizialmente le due sferette si toccano. Se si porta su ciascuna sferetta la carica q, la sferetta B si allontana da A e nella nuova posizione di equilibrio il filo di sospensione di B forma un angolo α = 60° con quello di A. Calcolare il valore della carica q.

Soluzione:

distanza r fra le cariche = L, il triangolo è equilatero.

La forza elettrostatica agisce lungo la congiungente le due cariche r.

Cariche dello stesso segno si respingono. Le cariche possono essere tutte e due positive o tutte due negative.

k q^2 / L^2 = (Forza peso lungo r) + (Tensione lungo r);

Forza peso lungo r;

Fpr = mgsen30°;

Ty = mg cos30°;

Tensione lungo r:

tan30° = Tr / Ty;

Tr = Ty * tan30° = mg cos30° * tan30° ;

k q^2 / L^2 = mgsen30° + mg cos30° * tan30° ;

k q^2 / L^2 = mgsen30° + mg cos30° * sen30° / cos30° = 2 mgsen30°

k q^2/ 0,12^2 = 2 mgsen30°;

kq^2/0,12^2 = 2 * 0,0023 * 9,8 * 0,5;

9 * 10^9 * q^2 /0,12^2 = 0,02254;

q = radicequadrata[0,02254 * 0,12^2 /(9 * 10^9)];

q = radicequadrata(3,606 * 10^-14) = + – 1,9 * 10^-7 C;

q = + – 0,19 microC.

6. Pendolo conico: una carica appesa si muove attorno ad un’altra carica fissa.

F centripeta = T * sen45° + k q^2/r^2 ;

r = 50 * sen45° = 35,4 cm.
T = (F peso)/cos45° = 0,49 / 0,707= 0,69 N;F elettrostatice = 9*10^9 * (2,5 * 10^-6)^2 / (0,354)^2 = 0,449N;

Fcentripeta = 0,69*sen45° + 0,449 =0,94 N;

a centripeta = 0,94/0,050 = 18,8 m/s^2;

v^2/r = 18,8;
v = radice(18,8 * 0,354) = 2,58 m/s; T = 2 * 3,14 * 0.354 / 2,58 = 0,86 s; con cariche opposte che si attraggono.

Con le cariche uguali che si respingono:
F centripeta = T sen45° – k q^2/r^2 = 0,04 N; a = 0,04 / m = 0,82 m/s^2;

v = radice(0,82 * 0,354) = 0,54 m/S; T = 2 *3,14 * 0,354 / 0,54 = 4,12 s.

Nel pendolo conico (dove agisce solo la gravità), ci sono solo il peso e la tensione responsabili del moto. La forza centripeta è la somma vettoriale di Peso e Tensione . Il peso si scompone lungo il raggio e lungo il filo verso il basso. La Tensione dipende dal peso. La forza elettrostatica agisce solo lungo il raggio.

Pendolo conico con solo la forza di gravità agente:
E’ il peso che fa girare il pendolo una volta messo in moto.5 bis. Due cariche, rispettivamente di 5,0 nC e 10 nC, sono a distanza di 8,0 cm. Volendo inserire una terza carica di intensità -3,0 nC sulla retta congiungente le due cariche iniziali, in che punto di tale retta deve essere posta la terza carica affinché essa sia in equilibrio?

Deve essere F1 = F2

distanza r = 0,08 m

F1 = K Q1 * q / x^2

F2 = K Q2 * q / (0,08 – x)^2

K Q1 * q / x^2 = K Q2 * q / (r – x)^2

Q1 / x^2 = Q2 / (r – x)^2
Q1 / Q2 = x^2 / (r – x)^2

5/10 * (r^2 + x^2 – 2 r x) = x^2

1/2 * (r^2 + x^2 – 2 r x) = x^2

(r^2 + x^2 – 2 r x) = 2 x^2

2 x^2 – x^2 + 2 r x – r^2 = 0

x^2 + 2 r x – r^2 = 0

x = – r +- radice(r^2 + r^2 ) = – r +- radice( 2 r^2 )

x1 = – 0,08 + radice(0,0128) = – 0,08 + 0,113 = 0,033 m = 3,3 cm (distanza di Q1 da q)
r – x1 = 8 – 3,3 = 4,7 cm ( distanza di Q2 = 10 * 10^-9 C da q),
x2 = – 0,08 – radice(0,0128) = – 0,08 – 0,113 = – 0,193 m = – 19,3 cm (negativa, esterna, la scartiamo

Quindi q deve porsi a 3,3 cm da Q1 = 5 ^ 10^-9 C

e a distanza r – x = 4,7 cm da Q2 = 10 * 10^-9 C
Sia Q1 che Q2 attraggono la carica q negativa, quindi q resta ferma.
F1 = 9 * 10^9 * 5 * 10^-9 * 3 * 10^-9 /0,033^2 = 1,2 * 10^-4 N

F2 = 9 * 10^9 * 10 * 10^-9 * 3 * 10^-9 /0,047^2 = 1,2 * 10^-4 N.

7)

Soluzione:

Campo di una lamina:

E1 = sigma/(2 * εo) ; (dal teorema di Gauss).

Campo di un filo:

E2 = lambda/(2 * pigreco * R * εo) ;  dipende dalla distanza R dal filo.

E1 = E2;

E1 = – 2,5 * 10^-6 /(2 * 8,859 * 10^-12) = – 1,41 * 10^5 N/C; (verso la lamina)

E2 = – 5,0 * 10^-6 / (2 * 3,14 * R * 8,859 * 10^-12) = – 8,98 * 10^4 / R; (verso il filo)

E1 = E2

8,98 * 10^4 / R = – 1,41 * 10^5 ;

R = 8,98 * 10^4 / 1,41 * 10^5 = 0,64 m;

a 0,64 m dal filo i due campi si annullano.

Spostando la carica negativa verso la lamina negativa, la sua distanza dal filo aumenta, il campo del filo E2 diminuisce, mentre il campo della lamina E1 è costante, resta lo stesso;

E1(lamina)  > E2 (filo);

F1 = e * E1, repulsiva; il campo della lamina respinge l’elettrone con forza F1

F2 = e * E2, repulsiva; il campo del filo respinge l’elettrone con forza F2;

F1 > F2; l’elettrone si muoverà verso il filo, respinto dalla forza della lamina che è maggiore di quella del filo.

8) Nel vuoto due cariche negative, Q1, e 3 Q1, sono fissate tramite isolanti a 50 cm l’una dall’altra. Una terza carica viene posta sulla loro congiungente. A quale distanza deve essere posta e quale carica deve avere per mantenere la situazione di equilibrio? Il tipo di equilibrio, stabile o instabile, dipende dal segno della carica generica? Usa come riferimento la carica Q1. Generalizza per il caso Q1 e nQ1.

Q1 e 3Q1 hanno lo stesso segno. Una carica q posta fra le due cariche subirà due forze una in un verso e una in verso opposto. Quindi sarà in equilibrio instabile sia che sia + q, sia che sia – q.  Tra Q1 e 3Q1 la distanza è 0,5 m

F = k Q q/r^2; forza di Coulomb.

k Q1 q / x^2 = k 3Q1 q / ( 0,5-x)^2

1/x^2 = 3 / (0,5 – x)^2

(0,5 – x)^2 = 3 x^2

3 x^2 = 0,25 + x^2 – x

2 x^2 + x – 0,25 = 0

x = (-1 +- radice(1 + 4 * 2 * 0,25) / 4

x = (-1 +-radice(3) )/4

x = (-1 + 1,73) / 4 = 0,183 m = 18,3 cm (distanza di q da Q1

50 – 18,3 = 32 cm  (distanza di q da 3Q1)

Per Q ed nQ

1/x^2 = n / (0,5 – x)^2

x^2 = (0,5 – x)^2 / n.

9. Due sfere conduttrici identiche di carica Q=4,1 μC sono allineate verticalmente. La sfera sottostante è appoggiata su un piano e ha massa uguale a 15 g. A che distanza dovrebbe essere posta da quella sopra per riuscire a far “staccare” la sfera sottostante dal piano?

La forza di Coulomb deve essere uguale o leggermente maggiore della forza peso della sfera sottostante, affinché cominci a sollevarsi. Le due cariche avranno segno opposto per potersi attrarre.

Fpeso = m g = 0,015 kg · 9,8 = 0,147 N (verso il basso)

F Coulomb = K Q · Q / R^2  (verso l’alto)
mg = K Q · Q / R^2

mg = K Q^2 / R^2

R^2 = K Q^2 / (mg)

Q è 4,1 microCoulomb = 4,1 · 10^-6 C

R = √(K Q^2 / (mg) ) = √(9 · 10^9 · (4,1 · 10^-6)^2 /0,147) =√(1,029) = 1,01 m.

10)  Una gocciolina d’acqua, presso la superficie terrestre, possiede una carica elettrica pari a -5e. Calcolare il diametro della goccia affinché resti in equilibrio nel campo elettrico terrestre.

In condizioni di bel tempo il campo elettrico in prossimità della superficie terrestre ha un valore medio di circa 120 V/m

E = – 120 V/m;   (valore medio, negativo perché la Terra ha carica negativa).

q = – 5 * 1,602 * 10^-19 = – 8,01 * 10^-19 C.

La carica q, negativa viene respinta verso l’alto dalla forza elettrostatica. F = E * q è positiva verso l’alto.

La forza peso invece  è verso il basso. Se le due forze sono uguali e contrarie in verso, la gocciolina non cade.

E * q = m * g;

m = E * q / g =  120 * ( 8,01 * 10^-19) / 9,8 =

= 9,8 * 10^-18 kg = 9,8 * 10^-15 grammi.

Densità = massa / Volume

Volume = 9,8 * 10^-18 kg / 1000 = 9,8 * 10^-21 m^3,

in cm^3 V = 9,8 * 10^-15 cm^3

V = 4/3 * pgreco * r^3

r = radicecubica(3/4 * V/pgreco) = radicecubica(3/4 *9,8 * 10^-15 /pgreco) =

= radicecubica(2,34 * 10^-15) = 1,33 * 10^-5 cm

Diametro = 2 * r = 2,66 * 10^-5 cm = 2,66 * 10^-7 m

Diametro = 0,266 * 10^-6 m = 0,266 micrometri.

11) Una goccia d’inchiostro di massa m=7 µg e con carica negativa di modulo q =1,1 pC passa tra i piatti di deflessione della stampante, lunghi 1,2 cm, con velocità orizzontale vx=9m/s. I piatti sono carichi e producono un campo elettrico rivolto verso il basso E=4 x106N/C. Qual è la deflessione verticale della goccia di inchiostro all’uscita dai piatti?Forza elettrostatica:

Fe = q * E verso l’alto perché q è negativa.

Fe = 1,1 * 10^-12  * 4 *10^6 = 4,4 * 10^-6 N; verso l’alto.

F peso = m * g = (7 * 10^-9 kg) * 9,8 =  6,86 * 10^-8 N; verso il basso.

F ris = Fe – F peso = 4,33 * 10^-6 N,

accelerazione verticale verso l’alto:

a = F ris / m = 4,33 * 10^-6 / (7 * 10^-9) = 619 m/s^2;

vx = 9 m/s;

x = vx * t ;

t = x / vx = 0,012 / 9 = 1,33 * 10^-3 s; (tempo per percorrere la lunghezza dei piatti.

y = 1/2 a t^2 = 1/2 * 619 * (1,33* 10^-3)^2 = 5,5 * 10^-4 m;

y = 0,55 * 10^-3 m = 0,55 mm. Deflessione verticale verso l’alto.

12) Quattro cariche puntiformi : Q1 = – 2,0 * 10^-9 C,  Q2 = Q4 =+ 5,0 * 10^-9 C,

Q2 = +3,0 * 10^-9 C,  sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato L = 40 cm.

a) Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1nel vuoto.

b) Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (ε = 21).

Al centro del quadrato ora è posta una carica Q = – 3,0 x 10^-9 C.
Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q.
Soluzione:
F12 = F14 sono forze attrattive; Q1 viene attratta da Q2 e Q4;

F12 = K * Q1 Q2 / 0,40^2;

F12 = 9 * 10^9 * 2,0 * 10^-9 * 5,0 * 10^-9 / 0,40^2 ;

F12 = 5,625 * 10^-7 N; (da Q1 verso Q2, verso destra);

F14 = 5,625 * 10^-7 N; (da Q1 verso Q4, verso il basso);

Sommiamo con Pitagora i vettori forza F12 ed F14;

F somma = radice[5,625 * 10^-7)^2 * 2] = (5,625 * 10^-7) * radice(2),

F somma = 7,95 * 10^-7 N; lungo la diagonale.

Distanza di Q1  da Q3; d = 0,40 * radice(2) metri, ( è la diagonale del quadrato).

Q3 attrae Q1, la forza è lungo la diagonale.

F13 = 9 * 10^9 * 2,0 * 10^-9 * 3,0 * 10^-9 / [0,40 * radice(2) ]^2 ;

F13 = 1,69 * 10^-7 N, (da Q1 verso Q3).

F risultante = F somma + F13 = 7,95 * 10^-7  + 1,69 * 10^-7 = 9,6 * 10^-7 N; (nel vuoto).

In acetone ( εr = 21),  la forza diminuisce di 21 volte e diventa:

F’ = Frisultante / εr = 9,6 * 10^-7 / 21 = 4,6 * 10^-8 N.

Sulla carica negativa nel centro si sommano F1 ed F3. Le altre due forze sono uguali e contrarie, si annullano.

Distanza = metà diagonale.   d = 0,40 * radice(2) / 2 = 0,20 * radice(2) m.
Q e Q1 sono negative, la forza è repulsiva.
F1 = 9 * 10^9 * 3,0 * 10^-9 * 2,0 * 10^-9 / [0,20 * radice(2) ]^2 ;
F1 = 6,75 * 10^-7 N; diretta da Q verso Q3, perché Q1 respinge Q.
F3 = 9 * 10^9 * 3,0 * 10^-9 * 3,0 * 10^-9 / [0,20 * radice(2) ]^2 ;

F3 = 10,125 * 10^-7 N, verso + Q3 che attrae – Q  ;

F ris = F1 + F3 = (6,75 + 10,125) * 10^-7 = 16,9 * 10^-7 N = 1,7 * 10^-6 N.

13)Si determini il campo elettrico e il potenziale elettrico nel punto centrale del quadrato in figura, di lato L = 5,20 cm. Si assuma che q = 11,8 nC .
(εo= 8.85 * 10^-12 C^2 / Nm^2; ko = 1 / ( 4π εo ) = 9 * 10^9 N m^2/C^2).

I vettori campo devono partire dal punto al centro P. La distanza dalle cariche deve essere in metri. L = 0,0520 m

r è la distanza del centro dalle cariche, è metà diagonale del quadrato.

diagonale d = radice (L^2 + L^2) = radice (2 * 5,20^2) = radice(54,08) = 7,35 cm.

r = d/2 = 7,35/2 = 3,7 cm = 0,037 m

r = diagonale/2 = L * radice(2) /2 = 0,0520 * 0,707 = 0,037 m

K = 1/(4pgrecoεo) = 9 * 10^9 N m^2/C^2.

Campo di +q, uscente da P verso la carica + 2q

E1 = 9 *10^9 * (+ 11 * 10^-9 ) /(0,037^2) = 7,23 * 10^5 N/C

Campo di + 2q, uscente da P verso la carica + q:

E2 = 2 E1 = 14,46 * 10^5 N/C

Sono sulla diagonale ( + q , + 2q) in verso contrario, si sottraggono:

E12 = E2 – E1 = 7,23 * 10^5 N/C, (verso + q, in alto a sinistra)

Campo di – q, da P verso – q, campo entrante, negativo:
E3 = E1 = – 7,23 * 10^5 N/C

Campo di – 2q, da P verso – 2q, campo entrante:
E4 = – 2E3 = – 14,46 * 10^5 N/C

E3 ed E4 sono sull’altra diagonale, in verso contrario, si sottraggono in valore assoluto, senza segno:

E34 = E4 – E3 = 14,46 * 10^5 – 7,23 * 10^5 = 7,23 * 10^5 N/C, ( verso – 2q in alto a destra)

Somma dei due campi E12 + E34, fra essi c’è un angolo retto. Si sommano trovando la diagonale del quadrato che ha per lati i due vettori.

Er = radice (E12^2 + E34^2 ) = 10,22 * 10^5 N/C, diretto verso l’alto, partendo dal centro P.

Per il potenziale è più semplice, perché si sommano i potenziali con il loro segno, non sono vettori, sono scalari, cioè numeri, indicano l’energia per unità di carica nel punto P a distanza r. Le cariche negative producono potenziale negativo.

Potenziale V = k q1/r + k 2q/r – k q/r – k 2q/r = k 3q/r – k 3q/r = 0 Volt
(1 V = 1 J/C).

14.  Quattro cariche puntiformi uguali q = 160 nanoCoulomb sono poste sui vertici di un quadrato di lato a.
Quale carica Qx deve essere posta al centro del quadrato perché ogni carica q sia soggetta a una forza risultante nulla?

Ogni carica positiva posta in un vertice è soggetta a tre forze dovute alle altre tre cariche positive. Le forze sono repulsive.
Sulla carica 1:

Fris = F12  + F14 + F13

F12 ed F14 sono uguali in modulo e vettori ad angolo retto si sommano con il teorema di Pitagora. Distanza r = a

F13 è lungo la diagonale.
Distanza r3 = a *radice(2) ; al quadrato diventa r3 = a^2 * 2

K * ( 160 * 10^-9 )^2 / a^2 * radice(2) + K * ( 160 * 10^-9 )^2 / (a^2 * 2) =

Qx carica negativa da porre al centro alla distanza di metà diagonale r

r = a radice(2) / 2; r^2 = a^2 *2/4 = a^2/2

K * ( 160 * 10^-9 )^2 / a^2 * ( 1/radice(2) + 1/2) = K * ( 160 * 10^-9 ) * (Qx) / (a^2 /2)

semplifichiamo K * ( 160 * 10^-9 )/ a^2 ; resta:

( 160 * 10^-9 ) * ( 1/radice(2) + 1/2) = (Qx) * 2

(Qx) *2 = ( 160 * 10^-9 ) *( 0,707 + 0,5)

Qx = ( 160 * 10^-9 ) * 1,207 /2 = 96,6 * 10^-9 C;

Qx deve essere negativa affinché la forza attrattiva bilanci la forza repulsiva delle altre cariche positive.

Lavoro – Energia

 Il campo E è perpendicolare alle superfici equipotenziali e va verso il potenziale più basso, da A verso C.

Il campo è costante perché le superfici sono alla stessa distanza;  d = 0,04 m.

DeltaV = Vo – Vf  = E * d

VA – VB = E * 0,04;

E = (60 – 50) / 0,04 = 250 V/m;

VA – VC = 20 V; d = 0,08 m;

E = 20 / 0,08 = 250 V/m. (E resta costante).

Energia Ecinetica = Lavoro.

L = (Vo – Vf) * q;

q = e- = – 1,602 * 10^-19 C;

Lavoro da C ad A;

VC – VA = 40 – 60 = – 20 V;

L = – 20 * (- 1,602 * 10^-19) = + 3,204 * 10^-18 J;

in elettronVolt (eV):

L = 20 eV;

1 eV = 1,602 * 10^-19 J (energia che un elettrone acquista quando attraversa una differenza di potenziale di 1 Volt.

L (in eV) = + 3,204 * 10^-18 / (1,602 * 10^-19 ) = 20 eV.

9): Lavoro per formare una distribuzione di  cariche.

I punti A, B, C e D sono nei vertici di un quadrato di lato a = 2cm.

Quanto lavoro si deve compiere per collocare una carica positiva q=5 *10^-6 C  in ciascun vertice?

Il lavoro è uguale alla variazione di energia potenziale. All’infinito l’energia è 0 J

l’energia finale è la somma di tutte le energie U fra le cariche.

U = k q1q2/r

r è la distanza fra le cariche.

r = lato a = 0,02 m;

r = diagonale quadrato d = a * radice2 = 0,028 m.

U = k q1 q2/a + k q1 q3/d + k q1 q4/ a + k q2q3/a +
+ k q3q4/a + kq2q4/d;

U1 = k q1 q2/a = 9 * 10^9 * (5 * 10^-6)^2 / 0,02 = 0,225 / 0,02 = 11,25 J; (ci sono 4 termini con questo valore)

U2 = k q1 q3/d  = 0,225 / 0,028 = 8,04 J; (ci sono 2 termini con questo valore).

U = 4 * 11,25  + 2 * 8,04 = 61,1 J

L = Delta U = 0 – 61,1 J

10 . Due sfere hanno stessa massa m e stessa carica Q, sono sospese allo stesso punto  da due fili inestensibili con lunghezza L. Quando le sfere sono a riposo i pendoli risultano inclinati di angolo α rispetto alla verticale. Determinare la carica Q.
(m = 10 g; L = 0,8 m; α = 30°).

Felettrica + Forza peso = Diagonale del rettangolo che ha per lati i due vettori (Ris). Questa diagonale è uguale e contraria alla tensione lungo il filo, T, in modo che la somma dei vettori sia 0 N

Ris = Fe + Fp = radicequadrata ( Fp^2 + Fe^2);    (Ris = Tensione filo)

se conosciamo l’angolo α:

tan α = Fe / Fpeso

quindi Fe = Fpeso * tan α  ;  Fe = 0,01 · 9,8 · tan30° = 0,057 N

Fe = K Q^2 /r^2;   Q = √(Fe · r^2 / K)

r = 2 · L · senα = 2 · 0,8 · sen30° = 0,8 m

Q = √(0,057 · 0,8^2 / (9 · 10^9)  )  = 2 · 10^-6 C.

11. Un elettrone si sposta da un punto A ad un punto B, distanti 2 metri, lungo la direzione e il verso di un campo elettrico uniforme e costante di modulo E=100 V/m. Determinare la differenza di potenziale, di energia potenziale elettrica e di energia cinetica dell’elettrone  tra A e B. ( e = 1.6*10^-19 Coulomb).

Delta V = Va – Vb = E · d = 100 · 2 = 200 Volt; (differenza di potenziale)
( Intendiamo DeltaV in valore assoluto in quanto  DeltaV = Vb – Va = – 200 V)

Va > Vb; le linee di forza del campo vanno da potenziale maggiore (polo positivo +), verso il potenziale minore (polo negativo -). Se l’elettrone negativo si sposta da A a B va verso il polo negativo, quindi viene frenato dal campo E.

Ua – Ub = q · (Va – Vb) = – 1,6 · 10^-19 · 200 = – 3,2 · 10^-17 J

Lavoro L del campo: L = Ua – Ub = – 3,2 · 10^-17 J < 0 è negativo perché l’elettrone viene rallentato nel suo moto.
Per il teorema dell’energia cinetica:
L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 ; il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica quindi

DeltaEc = – 3,2 · 10^-17 J ; la velocità dell’elettrone diminuisce.

Legge di Coulomb:

Due sferette uguali hanno perso 2,4 · 10^12 elettroni ciascuna. Si trovano a 37 cm di distanza.

Qual è la forza elettrostatica fra esse?
F = K q1 · q2 / R^2 ;     ( K nel vuoto vale 9 * 10^9 Nm^2/C^2)

F = K · q^2 / R^2; R = 0,37 m;  q1 = q2 = n · 1,602 · 10^-19 C;

q = 2,4 · 10^12 · 1,602 · 10^-19 =  + 3,84 · 10^-7 C;
F = 9 · 10^9 · ( 3,84 · 10^-7)^2 / 0,37^2 = 9,7 · 10^-3 N; repulsiva.

 12.  Tre cariche elettriche sono disposte come in figura.  q1 = q2 = – 2 C.
q1  è sull’asse orizzontale; q2 è in basso sull’asse verticale.  La distanza L indicata in figura è pari 3 metri. Calcolare la forza esercitata sulla carica di q3 = -3 C .

Forza fra q3 = – 3 C e q1 = – 2 C sull’asse orizzontale, repulsiva, quindi  q3 viene spinta verso destra nella figura lungo l’asse.

Forizz = F13 = 9 · 10^9 · 3 · 2 / (2L)2 = 54 · 10^9 / 36 = 1,5 · 10^9 N

Distanza fra q2 =  – 2 C sull’asse verticale e q3 = – 3 C ;
R23 = radicequadrata ( 4L^2 + L^2 ) = L x (√ 5) = 6,71 m

Fobliqua = F23 = 9 · 10^9 · 3 · 2 / (3 √5)^2 = 1,2 · 10^9 N repulsiva lungo R
R23 è l’ipotenuss del triangolo che ha per vertici O q2 q3. Consideriamo l’angolo
in q2. Il seno dell’angolo è il cateto opposto L diviso l’ipotenusa R23 = L radice(5)

sen(angolo) = L / (L√5)

angolo = sen^-1 ( L / 6,71) = sen^-1 (0,447) = 26,57°

Scomponiamo la F23 obliqua

Fx = F23 · sen(angolo)

Fy = F23 · cos(angolo)

Fx = 1,2 · 10^9 · 0,447 = 0,54 · 10^9 N

Fy = 1,2 · 10^9 · cos 26,57° = 1,07 · 10^9 N

F13 + Fx = (1,2 + 0,54) · 10^9 = 1,74 x 10^9 N (componente lungo l’asse orizzontale);

Fvertic = Fy = 1,07 · 10^9 N (componente lungo l’asse verticale) ;

Con il teorema di Pitagora:
Frisultante = (√(1,74^2 + 1,07^2) ) · 10^9 = 2,04 · 10^9 N

13.  Perché si è stabilito che il verso della corrente elettrica sia opposto al reale movimento degli elettroni?

E’ stato Ampère a stabilire il verso. Non sapeva esistessero gli elettroni, scoperti da Thomson nel 1897. Per la nostra testa è più facile pensare a cariche positive che vanno dal polo + positivo, verso il polo – negativo, particelle che vanno in discesa da potenziale più alto verso potenziale più basso, come oggetti che cadono. Invece succede il contrario, elettroni che vanno dal – verso il +.
Ma ormai Ampère aveva definito la corrente, da tanto tempo, quindi è rimasta questa convenzione di comodo e nei circuiti si disegna il verso della corrente dal + al – .

14. In un condensatore a facce piane e parallele è immagazzinata un’energia di
1 microjoule. L’ area delle facce è di 25 mm^2 mentre la distanza tra le armature è di 0,5 mm
Trovare il valore del campo elettrico tra le armature del condensatore.

Energia accumulata = 1 x 10^-6 J ;
εo = 8,85 · 10^-12 F/m (costante del dielettrico del vuoto).

Energia = 1/2 C V^2 ;  (lavoro di carica del condensatore).

C = εo · Area / d = (8,85 · 10^-12 ) · (25 ·10^-6 m^2) / ( 0,5 · 10^-3 m)

C = 4,425 · 10^-13 F

V ^2 = 2 · Energia /C

V = √( 2 · Energia /C) = √( 2 · 10^-6 / 4,425 · 10^-13 ) = 2126 V

E = V/d = 2126 / (0,5 · 10^-3) = 4,25 ·10^6 V/m (campo elettrico)

15.  Una sferetta di carica q è massa m è inserita all’interno di un condensatore a facce piane e parallele quadrate di lato L.
Quanta carica elettrica è necessario accumulare sulle armature perché la sferetta possa rimanere sospesa a mezz’aria in equilibrio?

Deve essere: Forza peso = Forza elettrostatica

mg = qE;
E = mg/q

Il campo fra le lamine del condensatore:

E = (densità di carica) / εo ;
( costante del dielettrico εo = 8,85 x 10^-12 F/m)

densità di carica:  σ = (Carica Q) /Area = Q /L^2;     Q = carica su una lamina.

E = Q / (L^2 * εo)

Q / (L^2 * εo) = mg/q

Q = (L^2 * εo) * mg / q

16. Due piastre in metallo di forma quadrata con lato L = 12 cm sono affacciate, parallele al suolo ed elettricamente cariche con carica Q = 9 · 10^-8 C. La lamina in alto è negativa.
Quale carica deve possedere un oggetto di massa m = 20 grammi posto fra le piastre per essere in equilibrio statico?
       

La forza peso deve essere uguale e contraria alla forza elettrica.
La forza peso è verso il basso: mg = 0,02 kg · 9,8 = 0,196 N

La forza elettrica deve essere verso l’alto: E · q = 0,196 N
E = sigma / εo; sigma è la densità di carica di una lamina:

sigma = Q / Area = 9 ·10^-8 / 0,12^2 = 6,25 ·10^-6 C/m^2

E = 6,25 · 10^-6 / (8,85·10^-12) = 7,06 · 10^5 N/C

q = mg / E = 0,196 / (7,06 ·10^5) = 2,78 · 10^-7 C

Se la piastra superiore è caricata negativamente (- Q), bisogna che q sia positiva per avere la forza attrattiva verso l’alto ed equilibrare la forza peso.

17. Un elettrone di muove di moto rettilineo uniforme con v =1,3 ·10^6 m/s. Esso entra in una regione di spazio dove è presente un campo elettrico uniforme di 10^2 V/m che lo rallenta fino a fermarsi. Qual è il verso del campo? Quanto lavoro compiono le forze del campo? Quale distanza percorre l’elettrone prima di fermarsi?
    

L’elettrone si muove lungo le linee di forza del campo che sono nello stesso verso della velocità. Le linee di forza vanno dal + verso il – e quindi l’elettrone viene rallentato fino a fermarsi perché respinto dal polo negativo.

Lavoro = 1/2 m Vfin^2 – 1/2 m Vo^2; Teorema energia cinetica ; Vfin = 0 m/s

L = 0 – 1/2 ·9,11 x 10^-31 · (1,3 · 10^6)^2 = – 7,7 · 10^-19 J (lavoro resistente)

F = e * E = -1,602 · 10^-19 · 10^2 = -1,602 · 10^-17 N (forza frenante)

F * Spostamento = Lavoro

Spostamento = L / F = 7,7·10^-19 / 1,602 · 10^-17 = 0,048 m = 48 mm

18.  Un condensatore della capacità di 0,1 milliFarad è caricato sino ad immagazzinare un’energia elettrostatica di 0,5 J.

– Quanti elettroni sono stati trasportati (da una batteria) da una piastra all’altra del condensatore?

– Che differenza di potenziale vi è tra le due piastre del condensatore?

 Lavoro di carica = Energia = 1/2 C V^2; oppure E = 1/2 Q^2/C 

Q =√(2EC) =√(2 · 0,5 · 0,1 · 10^-3 ) = 0,01

numero elettroni N = 0,01 /(1,6 · 10^-19) = 6,25 · 10^-16 elettroni

C = Q / V;

V = Q / C = 0,01 / (0,1 · 10^-3) = 100 V.

19 ) Problema di fisica su potenziale elettrico,

Il campo E è un vettore perpendicolare alle superfici e va da valore maggiore verso il valore  minore del potenziale.

E * d = Vo – V1,

d = distanza fra la superficie 0 V e la superficie 800 V.

Le superfici formano un angolo alfa con l’asse delle x, vedi figura sottostante:

tan(alfa) =  4,0/8,0 =0,5

alfa = tan^-1(0,5) =26,57°,

8 mm sull’asse x è l’ipotenusa, d è il cateto opposto ad alfa.

d = (8 mm) * sen(26,57°) = 3,58 mm = 3,58 * 10^-3 m,

E = (Vo – V1) / d;

E = (800 – 0) / 3,58 * 10^-3 = 2,23 * 10^5 V/m

d/4 = 3,58 * 10^-3 / 4 = 0,9 * 10^-3 m ( distanza fra due superfici (differenza 200V)

Distanza fra superfici di 100 V:

(8 intervalli fra 0 e 800 V):

d / 8 = 0,45 * 10^-3 m = 4,5 * 10^-4 m (distanza fra superfici – differenza di 100 Volt).