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  1. Un corpo di massa 10 kg è appoggiato su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale;

    a) rappresentare graficamente la situazione;

    b) indicare nel grafico la forza peso e le sue componenti nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano;

    c) disegnare la reazione vincolare esercitata dal piano;

    d) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione parallela al piano;

    e) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione perpendicolare al piano.

piano

Forza peso = m * g = 10 * 9,8 = 98 N; ( è la forza tratteggiata in figura)

Forza peso parallela: F// = m * g * sen30° = 98 x 0,5 = 49 N (Fpx in figura).

Forza peso perpendicolare = m * g * cos30° = 98 * 0,866 = 84,9 N (Fpy in figura).

La reazione vincolare Fv è verso l’alto, opposta alla F perpendicolare al piano.

 

2)  Un operaio sta lavorando su un tetto inclinato di 36° rispetto all’orizzontale . Riesce a non scivolare grazie all’attrito fra le sue scarpe e il tetto. Il valore massimo della forza di attrito statico è 390 N.

  • Calcolare la massa dell’operaio.

uomo sul tetto

La forza parallela al tetto del peso dell’operaio deve essere uguale alla forza d’attrito che lo frena.

Fattrito = ks * m * g * cos36°m g sen36° = ks * m * g * cos36°

ks = sen36° / cos36° = tan36° ,

ks = 0,73; (coefficiente attrito).

ks * m * g * cos36° = 390 N

m = 390 / (ks * g * cos36°)

m = 390 / 5,79 = 67,4 kg.

 

2 bis)  Un oggetto parte da fermo da un altezza ho e scivola lungo un piano inclinato privo di attrito. Poi risale lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo di 45° con l’orizzontale. Sapendo che il coefficiente d’attrito vale 0,5 calcolare l’altezza massima raggiunta dall’oggetto sul secondo piano.

inclin
L’oggetto ha energia Uo = mgho, scende e l’energia diventa cinetica, se non c’è attrito, rimane uguale, si conserva.

Uo = mgho

Forza attrito = 0,5 * mg cos45°; la forza d’attrito fa perdere velocità, fa lavoro negativo e l’oggetto raggiunge una quota h1 < ho.
sen45° = h1 / S
L = Forza x Spostamento;
lo spostamento si trova facendo:   S = h1/sen45°;

Lavoro forza attrito = F x Spostamento = 0,5 * mg cos45° * (h1) /sen45°
Lavoro forza attrito = 0,5 x mg x h1 (cos45° / sen45°)

La differenza di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza d’attrito.

cos 45° = sen 45° ;  quindi cos45° / sen45°= 1

mgh1 = mgho – Lavoro Fattrito

mg ho – mg h1 = 0,5 * mg * h1 ;    mg si semplifica, rimane:

ho – h1 = 0,5 * h1

h1+ 0,5 h1 = ho

1,5 h1 = ho

h1 = ho / 1,5 = ho / (3/2) = 2/3 x ho (nuova altezza raggiunta).

 

3. Un corpo di massa 8 Kg viene lanciato con una velocità di 1,4 m/s, da un’altezza di 1,3 m,  lungo un piano inclinato di 45 gradi; il coefficiente d’attrito è di 0,35. Calcolare accelerazione di discesa e la velocità alla base del piano.

pallina

Sul piano inclinato le forze sono F parallela al piano e la forza d’attrito.

F// = mg sen45° = 8 x 9,8 x sen45° = 55,4 N

Fattrito = 0,35 x mg cos45° = 0,35 x 78,4 x 0,707 = 19,4 N (forza contraria al moto, frenante)

Fris = 55,4 – 19,4 = 36 N

accelerazione di discesa:

a = Fris / m = 36 / 8 = 4,5 m/s^2

L = Fris * S;         L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 (teorema energia cinetica)

spostamento S = h / sen45° = 1,3 / 0,707 = 1,84 m

L = 36 * 1,84 = 66,2 J

1/2 m V^2 = L + 1/2 m Vo^2

1/2 m V^2 = 66,2 + 1/2 * 8 * 1,4^2 = 74 J

V = √(2 * 74/8) = 4,3 m/s

 

Forze agenti sul piano inclinato.

piano

 

4. Come si trovano seno e coseno?

In un triangolo rettangolo:

sen(β) = cateto opposto /ipotenusa

sen(β) = Y / R;

allora: Y = R sen(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse y, verticale)

cos(β) = cateto adiacente / ipotenusa

cos(β) = X / R

X = R cos(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse x , orizzontale); vedi figura.

Esempio:
F = 100 N; β = 30°; Fx = 100 * cos30° = 86,6 N; Fy = 100 * sen30° = 50 N

seno

5) Un carro attrezzi solleva una macchina usando il gancio sul davanti per poterla caricare. Quando la parte anteriore è sollevata di h = 1,2 m rispetto al suolo, un gadget che si trova a terra su un tappetino all’interno della macchina inizia a scivolare. Il coefficiente di attrito tra la superficie del tappetino e l’oggetto vale 0,32. Quanto è lunga la macchina? 
carro attr

Il gadget inizia a scivolare sul piano inclinato quando F//, (parallela) al piano inclinato dell’auto è uguale alla forza d’attrito.

F// = mg sen(α)

Fattrito = 0,32 * mg cos(α)

mg sen(α) = 0,32 * mg cos(α); semplifichiamo mg; resta:

sen(α) = 0,32 cos(α)

sen(α) / cos(α) = 0,32

tan(α) = 0,32; (tangente dell’angolo).

α = tan^-1 (0,32) = 17,74°; (con la calcolatrice c’è il tasto tan^-1)

sen 17,74° = 0,305

Il seno è il rapporto fra altezza e ipotenusa; qui l’ipotenusa è la lunghezza L della macchina.

h / L = 0,305; L = h / 0,305 ;

L = 1,2 / 0,305 = 3,9 m ; (lunghezza macchina)

6) Una slitta percorre una discesa di 30 m e inclinata di 34°, con coefficiente d’attrito dinamico Kd = 0,3. Determinare  la velocità con cui la slitta arriva in fondo alla discesa.

slitta

Forza risultante = (Forza parallela al piano) – (F attrito)

F parallela al piano = F// = m * 9,8 * sen 34° = (m * 5,48) N

Fattrito = Kd mg cos34° = 0,3 * m * 9,8 cos34° = (m * 2,44) N

F ris = (m * 5,48) – (m * 2,44) = (m * 3,04) N

Lavoro forza risultante = Energia cinetica finale

(F ris) * Spostamento = 1/2 m v^2;    ( Spostamento = lunghezza pista = 30 m)

m * 3,04 * 30 = 1/2 m v^2;      la massa m si semplifica e non serve.

1/2 * v^2 = 3,04 * 30 ;

v^2 = 2 * 3,04 * 30 = 182,4

v = √(182,4) = 13,5 m/s

7) Uno sciatore di massa 40 kg scende su una pista priva di attrito inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 1 m/s^2; (c) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 2 m/s^2.

sciatore

Lo sciatore scende grazie alla forza peso parallela al piano inclinato e dovrebbe accelerare con una accelerazione:

g// = 9,8 * sen10° = 1,7 m/s^2
F// = m * g// = 40 * 1,7 = 68,1 N

a) Se scende con velocità costante vuol dire che il vento agisce con una forza uguale e contraria:
F vento = – 68,1 N; (se la somma delle forze è 0 N il corpo viaggia con velocità costante, primo principio della dinamica).

b) Se l’ accelerazione è 1 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira in senso contrario con una forza che fa diminuire l’accelerazione:
a = 1 – 1,7 = – 0,7 m/s^2 e frena il moto;
F vento = – 40 * 0,7 = – 28 N

c) Se l’ accelerazione è 2 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira nello stesso verso del moto dello sciatore, lo spinge e fa aumentare l’accelerazione di a = 2 – 1,7 = + 0,3 m/s^2
F vento = 40 * 0,3 = + 12 N

 

8)  Un bambino di massa 35 kg è fermo su uno scivolo alto 1,80 m e lungo 3,70 m.

a) Se l’attrito con lo scivolo è trascurabile, con che forza si sta tenendo fermo?
b) qual è la forza se consideriamo un coefficiente di attrito statico tra il bambino e lo scivolo di 0,780?
scivolo
Il bimbo pesa  F = mg:
F = 35 * 9,8 = 343 N
Sul piano inclinato agisce la forza peso parallela al piano F//;
F// = F peso * sen(α);

sen(α) = 1,80 / 3,70 = 0,486;     α = sen^-1 (0,486) = 25,9°;

F// = 343 * 0,486 = 167 N (il bambino si tiene fermo con questa forza).Se c’è attrito serve una forza minoreF attrito = 0,780 * 343 * cos(25,9° ) = 240,6 N (valore massimo), l’attrito è molto grande, quindi può bilanciare una forza fino al suo valore massimo cioè 240,6 N

Perciò il bimbo resta fermo senza applicare forze.

L’attrito agisce con una forza contraria pari a quella parallela che è 167 N, quindi il bambino resta in quiete.

 

9) Su un piano inclinato una scatola che pesa 20 N si trova in equilibrio a causa delle forze di attrito. Il piano è lungo 80 cm e alto 40 cm.
Calcolare quanto vale la forza di attrito statico.

piano

All’equilibrio deve essere:

F parallela al piano inclinato = F attrito

F// = mg sen(α); mg = forza peso = 20 N

Fattrito = F//

sen(α) = h/L = 40/80 = 0,5 ; (è un angolo di 30°)

F attrito = 20 * 0,5 = 10 N ; (in verso contrario alla forza parallela al piano che farebbe scendere la scatola).

 

10) Una sciatrice scende giù per un pendio con inclinazione di 5,0° con una velocità  iniziale di 15 m/s.
Se il coefficiente di attrito tra lei e il pendio è di 0,18, dopo quanti metri si fermerà?

sciatrice

F risultante = m * a;

Frisultante = F// – Fattrito;

F// è la forza parallela al piano che fa scendere la sciatrice.

F// = m g sen 5° = m * 9,8 * 0,087 = m * 0,85 N

Fattrito = 0,18 * m g cos5° = m * 0,18 * 9,8 * 0,996 = m * 1,76 N

m * a = m * 0,85 – m * 1,76

la massa si semplifica.

L’attrito è maggiore della forza parallela al piano, quindi la sciatrice decelera.

a = 0,85 – 1,76 = – 0,91 m/s^2, decelerazione.

vo = 15 m/s

v = a * t + vo;

V finale = 0

0 = a * t + vo

a * t = – vo

t = – vo/a

t = – 15 / (- 0,91) = 16,5 secondi; tempo per fermarsi.

S = 1/2 a t^2 + vo t = 1/2 * (-0.91) * 16,5^2 + 15 * 16,5

S = – 124 + 248 = 124 m

11) Una forza di 12 N parallela a un piano inclinato di 30° spinge su per il piano un blocco con una velocità costante.

Se il coefficiente di attrito è 0,25, qual è la massa del blocco espressa in kg?

Forza che spinge verso l’alto: F = 12 N; forza positiva.

Forza peso parallela al piano: F// = m * g * sen30° = m * 9,8 * 0,5 = m * 4,9 N; questa forza frena il corpo, è verso il basso, è negativa

Fattrito: Fa = k * m * g * cos30° = 0,25 * m * 9,8 * 0,866 = m * 2,12 N (forza frenante, anch’essa negativa).

Se il blocco viaggia a velocità costante la somma delle forze è 0 N per il primo principio della dinamica di Newton:

Fris = 0 N,  allora un corpo o resta in quiete o si muove con v costante.

+ 12 – m * 4,9 – m * 2,12 = 0

m * ( 4,9 + 2,12) = 12

m * 10,38 = 12

m = 12 / 10,38 = 1,16 kg; (circa 1,2 kg); massa del blocco.

 

12) Matteo deve caricare una scatola di mattoni di massa 150 kg su un camion, ad un’altezza da terra di 80 cm. Per farlo, lega i mattoni a un cavo per poi tirare il cavo lungo uno scivolo disposto tra il camion e la terra, senza attrito. Il cavo può sopportare una forza massima di 196 N

Calcolare la lunghezza minima dello scivolo perché il cavo non si spezzi.

Forza Peso mattoni: Fp = 150 * 9,8 = 1470 N

F// sul piano deve essere 196 N affinché non si rompa il cavo.

Fp * sen(angolo) = 196 N

sen(angolo) = 196/ Fp = 196 / 1470 = 0,133

sen(angolo= = h / L

h = 0.80 m
L = lunghezza scivolo

0,133 = 0,80 / L

L = 0,80 /0,133 = 6 metri ( lunghezza minima per non fare rompere il cavo).

13)  Un vaso di fiori di massa 4,2 Kg viene appoggiato su un piano inclinato di lunghezza 2,0 m e altezza 0,4 m. Il vaso di fiori è in equilibrio sotto l’azione della forza d’attrito.  Determina l’intensità della forza attrito che tiene in equilibrio il vaso di fiori. Determina il valore del coefficiente di attrito.

sen(angolo) = 0,4/2,0 = 0,2

F// = m * g * sen(angolo) = 4,2 * 9,8 * 0,2 = 8,23 N (forza parallela al piano verso il basso)

La forza d’attrito è uguale e contraria alla forza parallela se il corpo è in equilibrio, fermo.

F attrito = 8,23 N verso l’alto

F attrito = Ks * m * g * cos(angolo)

Ks * 4,2 * 9,8 * cos(angolo) = 8,23

angolo = sen^-1 (0,2) = 11,54°

cos(11,54°) = 0,980

Ks * 4,2 * 9,8 *0,980 = 8,23

Ks * 40,34 = 8,23

Ks = 8,23 / 40,34 = 0,20

 

14) Un uomo sta tenendo ferma una cassa di massa 50 Kg su un piano inclinato, esercitando su di essa una forza parallela al piano inclinato. Il piano inclinato è lungo 5 m e forma un angolo di 30° col piano orizzontale. Si trascuri la forza attrito. Determinare il valore della forza equilibrante applicata dall’ uomo.

F// = m * g * sen(30°)

F// = 50 * 9,8 * 0,5 = 490 * 0,5 = 245 N ( verso il basso, parallela al piano)

L’uomo deve esercitare una forza contraria alla forza parallela

15)  Una poltrona è appoggiata sul pavimento. In quel punto sviluppa una reazione vincolare di 340 N. Determina la massa della poltrona.

La reazione vincolare è uguale al peso. Il peso verso il basso, la reazione vincolare verso l’alto. Disegnare due vettori uguali e di verso contrario, partendo dal centro della poltrona.

m = Fpeso / g = 340/9,8 = 34,7 kg;  (massa).

 

16) Un lampadario di massa 4,3 Kg è sospeso al soffitto mediante una fune (dal peso trascurabile). Disegnare il diagramma di corpo libero. Determinare la tensione della fune.  F peso = m * g = 4,3 * 9,8 = 42,14 N (forza peso verso il basso)

Tensione della fune: uguale alla forza peso, però verso l’alto. Disegna i due vettori che partono dal centro del lampadario uno verso l’alto e uno verso il basso.

 

17) Due blocchi di massa 2,0 kg e 7,0 kg sono
connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura sotto). I piani inclinati sono lisci. Trovare (a) l’accelerazione di ciascun blocco;   (b) la tensione della fune.
Poniamo alfa = beta = 35°
piani

F//1 = 2 * g * sen35°= 11,24 N;

F//2 = 7 * g * sen 35° = 39,35 N

Fris = F//2 – F//1;
Fris = 39,35 – 11,24 = 28,11 N;

(m1 + m2) * a = 28,11;

a = 28,11/(2+7) = 4,02 m/s^2 ( verso destra, dalla parte del corpo m2 = 7 kg).

Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto):

T – F//1 = m1 * a;   T = m1 * a + F//1;

T = 2 * 4,02 + 11,24 = 19,3 N.

18)   Due blocchi di massa m2 = 2,0 kg verticale e m1 =  3,0 kg sul piano inclinato di 30°, sono connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura sotto).Coefficiente d’attrito sul piano = 0,1.
 Trovare (a) l’accelerazione di ciascun blocco;   (b) la Tensione della fune.
pianoincli
Poniamo che il sistema si muova dalla parte di m2 = 2 kg ed m1 salga verso l’alto. L’attrito è verso il basso come la forza parallela, negative entrambe.
Fattrito = 0,2 * m1 * g * cos30° = 0,1 * 3,0 * 9,8 * cos30° =  2,55 N
m2 * g –  T = + m2 * a   (scende)
– m1 * g * sen30° – Fattrito + T =  + m1 * a  (m1 sale verso l’alto, trainato da T);
T =  + m2 *g – m2 * a
– m1 * g * sen30° – Fattrito +  (m2 * g – m2 *a) = + m1 * a
– 3* 4,9 – 2,55  + 2 * 9,8  – 2 * a  = 3 * a
– 2 * a – 3 * a = 14,7 + 2,55 – 19,6
– 5 * a = – 2,35
a = – 2,35/ (-5) = + 0,5m/s^2   Viene positiva, quindi il verso scelto è giusto;
T =  2 * (9,8 – 0,5)  = 18,6 N (tensione lungo la fune)
m2 scende e trascina m1 verso l’alto sul piano inclinato.
18)     Due corpi sul piano con attrito.

F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93N

F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N

Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 x 1 x 9,8 x 0,707 = 1,39 N

Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N.

Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.
Forze sul corpo 1 frenanti, negative perché verso sinistra, Tensione T positiva.- 6,93 – 1,39

+ T = m1 * a ; accelerazione verso l’alto, positivaForze sul corpo 2

+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = a
12,81 – T = 4 * a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N
a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2