Forza di Lorentz = q V B senα; è massima se α = 90°  (velocità e campo B perpendicolari fra loro).

lavorolorentzlorentz (1)Lorentz 2

I puntini rossi cerchiati indicano un campo B uscente dalla pagina. La forza è verso sinistra perpendicolare a velocità V e campo B.
campoentrante
Le crocette verdi indicano il campo B entrante nella pagina. (Regola mano destra. Palmo aperto: il pollice indica il vettore velocità della particella (o il verso della corrente i), le quattro dita a 90° con il pollice indicano il vettore B, il vettore forza F = qVxB esce dal palmo della mano per le cariche positive. Per le cariche negative la forza cambia verso.
manodestra

 

  1.  In un tubo a vuoto viene prodotto un fascio di particelle di carica +3e e massa 1,15·10^(-26) kg, precedentemente accelerate tramite una differenza di potenziale pari 6000 V. Le particelle cariche introdotte nel tubo vengono deflesse da un campo magnetico perpendicolare al fascio. Sapendo che il raggio di curvatura è 2,50 cm, calcolare la velocità con cui le particelle entrano nel tubo e l’intensità del vettore induzione magnetica deflettente B. [Ris: 7,08·10^5 m/s;  0,678T]q (ΔV) = 1/2 mV^2;      q = 3e = 3 x 1,602 x 10^-19 C = 4,806 x 10^-19 C
    V = √(2 qΔV / m) =√( 2 x (4,806 x 10^-19) x 6000 /1,15 x 10^-26 )
    V = 7,08 x 10^5 m/s
    F = m V^2/R; la forza centripeta è la Forza di Lorentz: F = q V B
    qVB = mV^2/R;     (in metri R = 0,025 m ).
    B = mV / (Rq) = 1,15 x 10^-26 x 7,08 x 10^5 / ( 0,025 x 4,806 x 10^-19 ) = 0,678 T
    spettro2
  2.   Durante un esperimento di fisica nucleare si analizza un isotopo del
    litio (Z=3)
    con uno spettrografo (o spettrometro) di massa. Nello spettrometro i nuclei di litio attraversano un campo magnetico di modulo 0,70 T con una
    velocità 2,3·10^7 m/s perpendicolare al campo e percorrono una
    semicirconferenza di raggio 105 cm.
    Qual è la massa dell’isotopo? Assumendo e=1,602·10^(-19) C e sapendo
    che la massa di un nucleone è circa 1,7·10^(-27) kg, quanti neutroni contiene ? [1,5·10^(-26) kg; 6 neutroni]
    spettrometro
    m V^2 / R = q V B;          (Zinco Z = 3)     q = + 3e = 4,806 x 10^-19 C

   m = q B R / V = 4,806 x 10^-19 x 0,70 x 1,05 / (2,3 x 10^7 ) = 1,54 x 10^-26 kg

Numero di nucleoni : Massa totale / (massa di un nucleone)

N = 1,54 x 10^-26 / (1,7 x 10^(-27)) = 9 nucleoni

Lo zinco ha nel nucleo 3 protoni, quindi i neutroni sono 9 – 3 = 6

6 neutroni.

 

3.  Qual è la forza massima che un campo magnetico di 1 T può esercitare su un elettrone la cui energia è 10KeV?
Lorentz_forceCampo B uscente verso di noi. Velocità verso destra. L’elettrone negativo devia verso l’alto.

F = q *v * B;  forza di Lorentz.
q = 1,6 *10^-19 C; l’elettrone deve avere velocità perpendicolare al campo B per avere forza massima.

1 eV = 1 Volt * e- = 1 * 1,6 * 10^-19 J;   massa elettrone = 9,11 * 10^-31 kg

1/2 m v^2 = Ec    ;  Ec = 10000 eV

v = √(Ec * 2 /m)

v = √ ( 10000 * 1,6 * 10^-19 * 2 / 9,11 * 10^-31 ) =
V = √( 3,51 * 10^15) = 5,93 * 10^7 m/s

F = 1,6 * 10^-19 * 5,93 * 10^7 * 1  = 9,48 * 10^-12 N

 

4.  Un protone è accelerato da fermo da una differenza di potenziale ΔV = 3000 Volt. Con la velocità raggiunta, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico, perpendicolare alla velocità. Se si vuole che la traiettoria abbia un raggio R = 50 cm, calcolare il valore del campo B.

lorentz su protone
Campo B entrante nel foglio. Moto circolare. Forza centripeta  Fc = m V^2/R

Soluzione:

q * (ΔV) = 1/2 m v^2

velocità v = √(2*q * ΔV/m) = √( 2 * 1,6 *10^-19 * 3000/1,67 * 10^-27) =
= 7,58 * 10^5 m/s

Forza di Lorentz

q * v * B = mv^2/R ; R = 0,5 metri

B = mv/(qR) = 1,67 * 10^-27 * 7,58 * 10^5 / (1,6 * 10^-19 * 0,5) =

=1,58 * 10^-2 Tesla

B = 0,0158; (= 15,8 mT; milliTesla)

 

5. Un protone in moto con velocità pari a 5 * 10 ^6 m/s si muove in un campo magnetico uniforme uscente dalla pagina e di modulo 30 G; qual è il raggio di curvatura della traiettoria descritta dal protone?

R = m v /(q B);

B deve essere in Tesla non in Gauss.
1 G = 10^-4 T;

B = 30 G = 30 * 10^-4 T = 3 * 10^-3 T

R = 1,67 * 10^-27 kg * 5 * 10^6 / (1,6 * 10^-19 C * 3 * 10^-3 T)

R = 17,4 m.

 

5 bis:   Un protone inizialmente fermo viene accelerato da una d.d.p. di 10,0 kV, poi entra in un campo magnetico di intensità B = 0,500 T, perpendicolarmente alle linee del campo.

a) Calcolare la velocità massima raggiunta dal protone.

b) Determinare il raggio dell’orbita descritta dal protone e il suo periodo.

c) Ricalcolare i valori al punto (b), nel caso il protone entri con la stessa velocità, ma inclinata di 30° rispetto alle linee del campo magnetico.

V = 10000 V

Energia potenziale U = q * V

energia cinetica finale: Ec =1/2 m v^2

1/2 m v^2 = q * V;

m = 1,673 * 10^-27 kg;  q = 1,602 * 10^-19 C;

a) v = radicequadrata(2 * q * V / m) =

= radice[2 * 1,602 * 10^-19 * 10000 /(1,673 * 10^-27)] =

= radice(1,915 * 10^12) = 1,38 * 10^6 m/s;

(velocità protone).

b) B = 0,500 T;

Forza di Lorentz: è una forza centripeta

Fc = m v^2/R;

F = q v B (sen90°) = q v B;

q v B = m v^2/R;

R = m v / (q B) =

= 1,673 * 10^-27 * 1,38 * 10^6 /(1,602 * 10^-19 * 0,500);

R = 0,029 m = 2,9 cm (circa 3 cm).

T = 2 * 3,14 * R / v = 6,28 * 0,029 /1,38 * 10^6 =

= 1,32 * 10^-7 s =  0,132 microsecondi.

c) F = q v B (sen30°) = q v B * 0,5; la forza dimezza.

q v B * 0,5 = m v^2/R1;  nuovo raggio:

R1 = m v / (q B * 0,5) = 2 * m v /(q B),

il raggio raddoppia.

R1 = 2 * R = 0,029 * 2 = 0,058 m;

Il periodo raddoppia.

T1 = 2* 3,14 *2 * R / v = 2 * 1,32 * 10^-7 = 2,64 * 10^-7 s.

 

6. Un elettrone si muove perpendicolarmente ad un campo magnetico B=4,6 *10^-3 T, descrivendo una traiettoria circolare di raggio pari a 2,8 mm.
Calcolare la velocità dell’elettrone e il tempo necessario per completare un’orbita. Se il campo magnetico non fosse perpendicolare al piano dell’orbita, cosa accadrebbe all’elettrone? (massa elettrone 9,11 * 10^-31 kg, carica elettrica elettrone 1,6 * 10^-19 C)

F = q V B;   (Forza di Lorentz; è una forza centripet).

F = m V^2/R ; R = 2,8 mm = 2,8 * 10^-3 metri

m V^2/R = q V B;   ricaviamo V

m V / R = q B

V = q B R / m = 1,6 * 10^-19 * 4,6 *10^-3 * 2,8 * 10^-3 / ( 9,11*10^-31)

V = 2,26 * 10^6 m/s

V = 2 π R / T

T = 2 π R / V = 2 * 3,14 * 2,8 * 10^-3 / (2,26 *10^6) = 7,78 * 10^-9 s = 7,78 nano secondi

Se B non fosse perpendicolare alla velocità dell’elettrone, il moto non sarebbe circolare, ma elicoidale.

elicaan                2 regola mano destra.
decadimento-radon
Decadimento del Radon 222; diventa Polonio 218 emettendo una particella alfa.

7. Una particella α, composta di due protoni e due neutroni, si muove alla velocità
v =  1,0 * 10^6 m/s, ed entra in un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla direzione di moto della particella e di intensità B = 0,12 T.
Calcolare il raggio R della traiettoria descritta dalla particella α.

Forza di Lorentz:

F = q v B

è una forza centripeta;   Fc = m v^2/R

q v B = m v^2/R;      (si semplifica una v).

R = m v / (q B)
massa della particella α;  m = 2 * massaprotone + 2 * massaneutrone
m = 6,645 *10^–27 kg;
la particella ha carica positiva pari a due protoni.
q = 2 * 1,602 * 10^-19 = 3,204 * 10^-19 C ;
R = m v / (q B)

R = (6,645 *10^–27 * 1,0 * 10^6) / (3,204 * 10^-19 * 0,12)

R = 0,17 m = 17 cm

Selettore di velocità: le crocette indicano il campo magnetico B entrante nel piano, B perpendicolare a E.

Se  q * E = q * v * B, allora la particella viaggia in linea retta.
selettore velocità La particella si muove in linea retta se

8.  Alcune sferette cariche considerate puntiformi, sono inserite in quiete all’interno di una zona dove è presente un campo elettrico di intensità E1=100 V/m . Le sferette sono caratterizzate da diversi valori del rapporto q/m, (carica diviso massa). Il campo elettrico E1 viene attivato per un tempo  Δt = 2,0 s.  Successivamente  le sferette transitano in un selettore di velocità dove sono presenti un campo elettrico E2 = 20 V/m e un campo magnetico B = 0,1 T perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di moto delle sferette.

Calcolare per quale valore di q/m le sferette escono dal selettore senza essere deviate.(Ris.: 1,0 C/kg).

Le sferette acquistano accelerazione e velocità nel campo E1 nel tempo Δ t = 2 secondi.

F = q * E;      a = F / m

a = (q/m) * E

v = (q/m) * E * Delta t = (q/m) * 100 * 2 = 200 *(q/m)

E2 = 20 V/m; B = 0,1 T

Forza di Lorentz:
F1 = q v B = q *200 * (q/m) * 0,1 = 20 (q^2/m);  fa deviare le particelle in un verso.

Forza del campo E2:
F2 = 20 * q ;  fa deviare le particelle in verso opposto

Se F1 ed F2 sono uguali ed opposte le particelle viaggeranno in linea retta e usciranno dal selettore.

20 * (q^2/m) = 20 * q

q^2 / m = q; dividendo per q:

q/m = 1 C/kg.

 

Fasce di Van Allen.

fasce2

Questo vento viene deviato fino ai poli e catturato dalle Fasce di Van Allen. Servono a proteggere la terra dal vento solare e dai raggi cosmici. Questo vento viene deviato fino ai poli e catturato dalle Fasce di Van Allen.

9) Al di sopra della superficie terrestre, le particelle cariche (come gli elettroni e i protoni) vengono intrappolate nel campo magnetico terrestre in regioni note come fasce di Van Allen. Un tipico elettrone di una fascia di Van Allen ha un’energia di 45 keV e si muove su un’orbita approssimativamente circolare con un raggio medio R = 220 m.

Qual è l’intensità del campo magnetico terrestre B nella zona in cui orbita l’elettrone?

1 eV = 1,602 * 10^-19 J

Energia cinetica = 45000 eV = 45000 * 1,602 * 10^-19 =

= 7,209 * 10^-15 J;  (energia cinetica dell’elettrone).

m = 9,11 * 10^-31  kg

1/2 m v^2 = 7,209 * 10^-15 J

m v^2 = 7,209 * 10^-15 * 2 = 1,442 * 10^-14 J

La forza magnetica F è una forza centripeta:

R = 220 m;

F = m v^2/R = 1,442 * 10^-14 / 220 = 6,55 * 10^-17 N;

1/2 m v^2 = 7,209 * 10^-15 J

v = radicequadrata(2 * 7,209 * 10^-15 / 9,11 * 10^-31) =

= radice(1,583 * 10^16) = 1,26 * 10^8 m/s;

F = q v B;   (Forza di Lorentz)

B = F / (q * v) =

= 6,55 * 10^-17 /(1,602 * 10^-19 * 1,26 * 10^8) =

= 3,24 * 10^-6 T = 3,24 microTesla.

Il campo magnetico nelle vicinanze della superficie terrestre varia. E’ in media da 40 a 50  microTesla,  ai poli è 75 microTesla;  (B = 0,75 Gauss)

1 Gauss = 10^-4 T;

1 Tesla = 10^4 Gauss

 

B = 3,24 * 10^-6 * 10^4 = 0,0324 G

 

 

 

Esercizio matematica – fisica

barretta

Una barra metallica scivola verso destra su due rotaie metalliche parallele, distanti fra loro L = 5 cm. La resistenza elettrica delle rotaie e della barra è trascurabile, mentre nel circuito è presente un resistore con resistenza R = 10 Ω.

Il sistema si trova all’interno di un campo magnetico uniforme di intensità B = 200 mT, perpendicolare al piano delle rotaie.

In base alla legge di Faraday-Neumann-Lenz, la corrente indotta che circola nel circuito è espressa da:

i(t) = f.e.m. / R;

f.e.m. = – ΔΦ / Δt;  

flusso: Φ  = B * Area;

i (t) = ( – B / R) ( dA(t) / dt )

dove A(t) indica la superficie della spira all’istante t.

Se la posizione della barra è descritta dalla funzione x(t) = [4e^(t-2)] / [e^(t-2) + 1], determina:

a. la posizione della barra all’istante t = 0 s;

b. l’espressione della funzione che descrive l’intensità della corrente indotta al variare del tempo;

c. l’istante in cui la corrente indotta ha un punto stazionario e la posizione della barra in tale istante.

 

a. 0.48 m

b. i(t)= (- 0,016 * B / R) { [ e^(t+2) ] / (e^t + e^2 )^2 }

c. x = 2 m.

 

x(0) = 4 * e^-2 / (e^-2 + 1) = 0,48 m;

A = x(t) * 0,05 m^2

x(t) = 4 * e^(t-2) /[e^t-2) + 1]

A = 0,05 * 4 * e^(t-2) /[e^(t-2) + 1] =

= 0,2 * e^(t-2) /[e^(t-2) + 1] = 0,2 * [(e^t/e^2)  / (e^t + e^2)/e^2]

= 0,2 * 4 e^t / (e^t + e^2)

dA(t) / dt = 0,2 * [4 e^t *(e^t +e^2) – 4e^2 *e^t / (e^t + e^2)^2=

= 0,2 * 4 *[ e^2t  + e^(t+2) – e^2t]/(e^t + e^2)^2=

= 0,8 * e^(t+2) /(e^t + e^2)^2

B = 0,2 T; R = 10 Ohm.

i(t) = – B/R * dA(t) / dt = – 0,2/10 * 0,8 * e^(t+2) /(e^t + e^2)^2 =

= – 0,016 *  e^(t+2) /(e^t + e^2)^2;

 

Per il punto stazionario occorre calcolare la derivata di(t) / dt e porla = 0.

d(i) / dt = – 0,016 * [e^(t+2)*(e^t + e^2)^2 – e^(t+2) * 2 * (e^t + e^2) * e^t] / (e^t + e^2)^4;

Semplificando al numeratore diventa:

d(i) / dt = – 0,016 * e^(t+2)* [e^4 – e^(2t)] / [e^t+ e^2]^4;
Per il punto stazionario:
e^(t+2)* [e^4 – e^(2t)] / [e^t+ e^2]^4 = 0.
E’ uguale a 0 se:
e^4 – e^2t = 0
e^2t = e^4
2t = 4;
t = 4/2 = 2 secondi.
x(2) = 4 * e^(2 – 2) /[e^(2-2) + 1] = 4 / 2 = 2 metri.