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Lavoro = Forza * Spostamento * cos(angolo).

L = F * S * cosθ; se F ed S sono paralleli, cos 0° = 1;  allora  il lavoro è massimo.

FxS=Lavoro

Esempi:

  • Un passeggino viene spinto con una forza costante di 50 N per 10 m lungo il viale di un parco, parallelamente alla direzione del viale. Qual è il lavoro compiuto?

L = F * S * cosθ; se F ed S sono paralleli,

cos0° = 1;

L = 50 * 10 = 500 J.

  • La forza motrice esercitata sul motore di un’automobile compie un lavoro di 55 * 10^6 J in un percorso di 13 km. Viaggiando a velocità costante, calcolare l’intensità delle forze d’attrito sull’automobile.

S = 13 km = 13000 m = 1,3 * 10^4 m.

F motrice = L / S = 55 * 10^6 / (1,3 * 10^4) = 4231 N =

= 4,23 * 10^3 N.

Se l’auto viaggia a velocità costante, per il primo principio della dinamica la somma delle forze deve essere 0 N.

Quindi la forza d’attrito deve essere uguale e contraria alla forza del motore.

F attrito = – 4231 N = – 4,23 * 10^3 N.

 

  • Un mobile viene spinto per un corridoio con una forza orizzontale di 180 N, il lavoro di tale forza è 810 J. Quanto è lungo il corridoio?

S = L / F = 810 / 180 = 4,5 m. (Lunghezza corridoio).

 

  1. Un punto materiale di massa m = 9 kg è lasciato libero di cadere, da fermo, lungo una guida  dalla posizione A, all’altezza di h = 5 m, come in figura. guida molla

Dopo la discesa urta una molla di costante elastica k = 2000 N/m.
La compressione massima della molla è di 0.2 m.
La guida è priva di attrito eccetto che nella zona di lunghezza L = 5 m tra i punti B e C.

Il corpo dopo aver compresso la molla torna verso destra passando nuovamente sulla parte scabra della guida. Esso:
A. Si ferma 3.1 m a destra del punto C.
B. Si ferma 50 cm a destra del punto C.
C. Oltrepassa il punto B e giunge ad una altezza di 1 m.
D. Oltrepassa il punto B e giunge ad una altezza di 0.5 m.

Soluzione:
Energia iniziale; energia potenziale gravitazionale:  Uo= mgh

Uo = 9 * 9,8 * 5 = 88,2 * 5 = 441 J

Energia finale; energia potenziale elastica;  U1 = energia elastica della molla compressa

U1 = 1/2 K X^2 = 1/2 * 2000 * 0,2^2 = 40 J

Energia persa per attrito: Delta E = 40 – 441 = – 401 J (lavoro fatto dalla forza d’attrito)

Il corpo riparte dopo aver compresso la molla con velocità Vo ed energia cinetica
Ecin = 1/2 m Vo^2.

1/2 m Vo^2 = 40 J

Lavoro forza d’attrito = – 401 J

Fattrito = – 401 / 5 = – 80,2 N

L = 1/2 m V1^2 – 1/2 m Vo^2; V1 sarà la velocità finale, se il corpo si ferma V1 = 0 m/s

Percorrerà un tratto S prima di fermarsi:
Teorema dell’energia cinetica: L = 1/2 m (V1)^2 – 1/2 m (Vo)^2;

Lavoro = Forza * Spostamento.
F * S = Efin – Eo

– 80,2 * S = 1/2 m V1^2 – 40

– 80,2 * S = 0 – 40
S = – 40 / ( – 80,2) = 0,5 m ;
percorre 0,5 m all’interno del tratto CB dove c’è la forza d’attrito e poi si ferma, quindi si ferma a destra del punto C, a 50 cm da C.

Risposta B.

 

2.  Un automobile di massa complessiva m = 1300 kg viaggia ad una velocità Vo = 130 km/h.
Frena improvvisamente bloccando le ruote con un coefficiente di attrito dinamico asfalto-gomma pari a μ = 0,8.

frenata

Determinare:
1) Spazio di frenata
2) Tempo di frenata
3) Modulo dell’accelerazione

Vo = 130/3,6 = 36,1 m/s

V = 0 m/s (velocità finale)

Teorema energia cinetica:

F * S = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2

Fattrito * S = 0 – 1/2 m V^2

Fattrito = – 0,8 * Fpeso = – 0,8 * 1300 * 9,8 = – 10192 N

– 10192 * S = – 1/2 * 1300 * 36,1^2

S = 847086,5 / 10192 = 83 m

a = F / m = – 10192 / m = – 7,84 m/s^2 (accelerazione frenante dovuta alla forza d’attrito);

a = (V – Vo ) / t

t = (V – Vo) / a = ( 0 – 36,1) / (- 7,84) = 4,6 s (tempo di frenata)

conoscendo il tempo si può trovare di nuovo lo spazio di frenata, data la legge del moto accelerato:
S = 1/2 a t^2 + Vo t = 1/2 * ( – 7,84) * 4,6^2 + 36,1 * 4,6 = 83 m

2 bis :

Un’ automobile di massa m = 1000 kg con un motore di potenza P = 80 kW , accelera alla massima potenza per 20 secondi, dopo di che frena improvvisamente, bloccando le ruote con  un attrito dinamico µD = 0,8.

Calcolare:

a) Massima velocità raggiunta.
b) Spazio di frenata.
c) Tempo di frenata.

Potenza = Lavoro / t = 80000 W;

Lavoro L = P * t = 80000 * 20 = 1,6 * 10^6 J.

L = 1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2; (teorema energia cinetica).

L = 1/2 m v^2;

a)    v = radicequadrata( 2 * L / m) = 

= radice(2 * 1,6 * 10^6 / 1000) = 56,57 m/s;

(massima velocità).

b)   Fattrito = µD = m g = – 0,8 * 1000 * 9,8 = -7840 N

accelerazione =  Fattrito / m = – 7,84 m/s^2;

L = F * S;

L = 1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2;

v = 0 m/s.  vo = 56,57 m/s.

Lavoro forza d’attrito.

Fattrito * S = – 1/2 m vo^2;

– 7840 * S = – 1/2 * 1000 * 56,57^2

S = 1,6 * 10^6 / 7840 = 204 m; (spazio di frenata).

 c) accelerazione = Fattrito / m = – 7,84 m/s^2;

v = a * t + vo; v = 0 m/s.

a * t + vo = 0

t = – vo / a = – 56,57 / ( – 7,84) = 7,2 s; (tempo di frenata).

 

3.  Un corpo di massa 9,2 Kg, appoggiato ad una molla di costante elastica K = 2,7 N/m , compressa di X = 0,85 m, viene rilasciato su un piano orizzontale senza attrito; ad un certo punto incontra un piano orizzontale con attrito dinamico μ= 0,37. Quanto spazio percorre su questo piano prima di fermarsi?

molla

Energia potenziale elastica della molla: Uo = 1/2 K X^2

Uo = 1/2 * 2,7 * 0,85^2 = 0,98 J ; questa energia si trasforma in energia cinetica del corpo che parte con velocità Vo.

1/2 m Vo^2 = 0,98 J

F attrito = – 0,37 * m g = 0,37 * 9,2 * 9,8 = – 33,36 N (forza d’attrito, frenante, la poniamo negativa, fa lavoro resistente).

V finale del corpo = 0 m/s; si ferma per l’attrito.

L = F * S

L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2; (teorema dell’energia cinetica)

F * S = 0 – 0,98

– 33, 36 * S = 0 – 0,98

S = – 0,98 / (- 33,36) = 0,03 m = 3 cm.

 

4.  Dopo un’alluvione si vedono in azione molto pompe, usate per sollevare l’acqua dai piani interrati presso il livello della strada. Se uso una pompa di potenza 1,5 kW, che massa d’acqua possiamo sollevare ogni minuto a un’altezza di 5 metri?

pompa

Potenza: P = Lavoro / tempo

P = 1500 Watt = 1500 J/s

t = 1 minuto = 60 secondi;

L = P * t = 1500 * 60 = 90000 J;

Lavoro per sollevare l’acqua a 5 metri: L = m g h = m * 9,8 * 5

m * 9,8 * 5 = 90000

m = 90000 / (9,8 * 5) = 1837 kg/minuto = 1837 litri/minuto
(1 kg di acqua = 1 litro di acqua).

(Bisogna però vedere il rendimento della pompa che non è del 100%,  la pompa solleverà  meno litri d’acqua sicuramente).

 

5)   Un’auto che viaggia ad una velocità vo su un piano orizzontale, spegne il motore e percorre per inerzia una salita lunga 100 m prima di fermarsi.  Calcolare il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote e la strada in salita conoscendo l’angolo alfa di pendenza.

 

Immagine correlata

0 – 1/2 m vo^2 = L; Teorema energia cinetica

L = lavoro resistente delle forze che fermano il corpo in salita fino a velocità 0 m/s.
F// = m g sen(alfa);

F attrito = K * m g cos(alfa)

K = coefficiente d’attrito.

Fris = – ( m g sen(alfa) + K * m g cos(alfa) )

L = Frisultante * Spostamento = Fris * (100 metri)

– ( m g sen(alfa) + K * m g cos(alfa) ) * 100 = 0 – 1/2 m vo^2 ;  (si cambia segno).

( m g sen(alfa) + K * m g cos(alfa) ) * 100 = 1/2 m vo^2 ; (m si semplifica).

K * g cos(alfa) * 100 = (1/2 vo^2) – g sen(alfa) * 100 ;

K = ( (1/2 vo^2) – (g sen(alfa) * 100 ) ) / (g cos(alfa) * 100) .

 

6) Matteo deve caricare una scatola di mattoni di massa 150 kg su un camion, ad un’altezza da terra di 80 cm. Per farlo, lega i mattoni a un cavo per poi tirare il cavo lungo uno scivolo disposto tra il camion e la terra, senza attrito. Il cavo può sopportare una forza massima di 196 N.

Calcolare la lunghezza minima dello scivolo perché il cavo non si spezzi.

Forza Peso mattoni: Fp = 150 * 9,8 = 1470 N

F// sul piano deve essere 196 N affinché non si rompa il cavo.

Fp * sen(angolo) = 196 N

sen(angolo) = 196/ Fp = 196 / 1470 = 0,133

sen(angolo= = h / L

h = 0.80 m
L = lunghezza scivolo

0,133 = 0,80 / L

L = 0,80 /0,133 = 6 metri ( lunghezza minima per non fare rompere il cavo).

 

7) L‘ascensore di un grattacielo trasporta 21 persone dal piano terra al 39 piano per un tratto di 130 metri. Mediamente ogni persona ha una massa di 70 kg .

  • Calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso per sollevare le 21 persone.

 

massa totale:  m = 21 * 70 = 1470 kg;

F peso = m * g = 1470 * 9,8 = 14406 N;
La forza peso fa un lavoro resistente perché è una forza verso il basso e lo spostamento è verso l’alto. Fra i due vettori Forza e Spostamento c’è un angolo di 180°.
Lavoro L = F * S * cos180°
Lavoro L = 14406 * 130 * (-1) = – 1 872 780 J
L = – 1,78 * 10^6 J
La forza peso fa lavoro positivo quando l’ascensore scende verso il basso.

Per poter salire, l’ascensore ha bisogno della forza del motore che fa lavoro positivo.

8) Un motore che assorbe una potenza di 150 W conferisce in 4,0 secondi ad una massa di 10 kg la velocità di 10 m/s. Calcolare il rendimento del motore [0,83]
Lavoro teorico = P * t = 150 * 4 = 600 J
accelerazione a = ( v – vo) / t = 10/4,0 = 2,5 m/s^2

F = m * a = 10 * 10/4,0 = 25 N

Spostamento S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 2,5 * 4,0^2 = 20 metri.
Lavoro reale = F * S = 25 * 20 = 500 J (lavoro in 4 secondi).
rendimento = 500 / 600 = 0,83
Oppure:
Lavoro in un secondo, Potenza effettiva = 500 J/ 4 s = 125 J/s = 125 W
rendimento = 125/150 = 0,83.

 

9) Una motocicletta, frenando bruscamente, si ferma su una distanza di 10 m. Se durante la frenata la strada esercita sul motociclo una forza pari a 300 N in direzione opposta al moto, quanto vale il lavoro compiuto dalla strada sul veicolo?

Lavoro = F * S * cos(angolo).

F = 300 N contraria al moto, frenante.
Fra F ed S c’è un angolo di 180°.
cos180° = – 1
L = 300 * 10 * ( -1) = – 3000 J; (lavoro resistente).

10)   Sia dato il Sistema in figura. Un proiettile di massa m = 5 g viaggia orizzontalmente e si conficca in un blocco fermo di massa M = 1,5 kg. Dopo l’urto il sistema si muove sul piano percorrendo 45 cm fino a raggiungere l’e    stremità libera della molla di costante elastica k = 110 N/m. Nel tratto di 45 cm percorso dal sistema il coefficiente di attrito dinamico è μ =0,2.

– Determinare la velocità iniziale del proiettile in km/h sapendo che la massima compressione della molla è x =  15 cm.
  • Riportare il grafico quantitativo x(t) del sistema blocco + proiettile dall’ istante in cui il proiettile si è conficcato nel blocco a quando il sistema tocca l’estremo libero della molla.

blocco

Si parte dal fondo del problema.

Energia elastica molla E = 1/2 k x^2;

E = 1/2 * 110 * 0,15^2 = 1,24 J;

Troviamo la velocità con cui il blocco ha raggiuntola molla:

E cinetica = E(molla)

1/2 (M + m) * v^2 =1,24 J

1/2 * 1,505 * v^2 = 1,24

v = radice(2 * 1,24 / 1,505) = 1,28 m/s. (v prima del contatto con la molla).

Lavoro forza attrito: L =  F attrito * spostamento.

x = 0,45 m.

L = 0,2 * (M + m) * g * S = 0,2 * 1,505 * 9,8 * 0,45 =

= 1,33 J (lavoro resistente che ha fatto perdere energia cinetica al blocco).

Energia cinetica iniziale del blocco prima del tratto con attrito:

Eo = 1,24 + 1,33 = 2,57 J 

1/2 * 1,505 * vo^2 = 2,57

vo = radice(2 * 2,57/1,505) = 1,85 m/s; (velocità posseduta dal blocco dopo l’urto con il proiettile).

Il blocco decelera da velocità iniziale vo = 1,85 m/s fino alla velocità finale v = 1,28 m/s;  in x = 0,45 m;

Decelerazione = F attrito/m = – 0,2 * 9,8 = – 1,96 m/s^2;

tempo di decelerazione:

a = (v – vo) / t;

t = (v – vo) / a = (1,28 – 1,85) / (-1,96) = 0,29 s. Dopo questo tempo, li blocco va contro la molla e si ferma.

x(t) = 1/2 * (- 1,96) * t^2 + 1,85 * t; legge del moto decelerato per t = 0,29 s; percorre x = 0,45 m.

Nell’urto anelastico blocco – proiettile si conserva la quantità di moto:

Prima dell’urto:

Qo = mp * vp = 0,005 * vp;

Dopo l’urto:

Q1 = 1,505 * (v blocco) = 1,505 * 1,85 = 2,78 kgm/s .

Qo = Q1;

0,005 * vp = 2,78;

vp  = 2,78 / 0,005 = 556 m/s; velocità proiettile. 

v proiettile in km/h = 556 * (3600 / 1000) =

= 556 * 3,6 = 2002 km/h

 

parabola