1. Un auto parte da ferma con un’accelerazione di 2,7 m/s^2. Nello stesso istante un camion con velocità costante 57 km/h la sorpassa. Dopo quanto tempo l’auto raggiungerà il camion? 

camion

 

S1 = 1/2 * a * t^2 ; ( legge del moto uniformemente accelerato dell’auto).

S2 = v * t ; (legge del moto uniforme del camion);

v = 57 * 1000 / 3600 = 57/3,6 = 15,83 m/s; (velocità camion in m/s).

S2 = 15,83 * t.  ( Risolviamo il sistema delle due equazioni del moto S1 ed S2, metodo del confronto).

S1 = S2; ( posizione in cui si trovano insieme, auto e camion).

1/2 * 2,7 * t^2 = 15,83 * t

1,35 + t^2 – 15,83 *  t = 0

t * ( 1,35 t – 15,83) = 0

t1 = 0 s; (soluzione di partenza)

1,35 t – 15,83 = 0

t2 = 15,83 / 1,35 = 11,7  s;  ( tempo in cui l’auto raggiunge il camion).

2.  Uno scooter viaggia alla velocità Vo =  50 km/h.  Quando è a 25 m da un semaforo che diventa rosso, il ragazzo rallenta con un’accelerazione costante di -3,5 m/s². 

– Quanto tempo impiega a fermarsi ?
– Riesce a fermarsi di oltrepassare la linea del semaforo?
– Quanto dovrebbe essere  l’accelerazione costante dello scooter per fermarsi proprio sulla linea del semaforo?
ragazza-scooter            scooter

Vo = 50 km/h = 50 * 1000 / 3600 = 50 / 3,6 = 13,89 m/s

a = – 3,5 m/s^2

Si deve fermare, quindi V = 0 m/s; (velocità finale nulla).

V = a t + Vo

at + Vo = 0

– 3,5 * t + 13,89 = 0

t = 13,89 / 3,5 = 3,97 s (tempo per fermarsi).

Legge del moto uniformemente accelerato per trovare lo spazio percorso:

S = 1/2 a t^2 + Vo t

S = 1/2 * (-3,5) * 3,97^2 + 13,89 * 3,97 = 27,6 m;

(non riesce a fermarsi in 25 metri, percorre più spazio).

Ci vuole maggiore decelerazione.

a * t + 13,89 = 0

a = – 13,89 / t

1/2 a t^2 + 13,89 t = 25

1/2 * (- 13,89/t) * t^2 + 13,89 * t = 25

– 6,95 * t + 13,89 * t = 25

6,95 * t = 25

t = 25 / 6,95 = 3,6 s ; (tempo richiesto per fermarsi).

a = – 13,89 / 3,6 = – 3,86 m/s^2 ; (accelerazione richiesta per fermarsi in 25 metri).

3.  Un’automobile di massa m = 1000 kg viaggia alla velocità iniziale Vo =  90 km/h e in un intervallo di tempo Δt = 20 s rallenta fino a 72 km/h. Qual è la sua decelerazione? Quanto vale la forza frenante?
auto-rossa-

a = ΔV / Δt

a = ( Vfinale – Vo) / Δt

Le velocità vanno in m/s.

Vo = 90 * 1000 /3600 = 90 / 3,6 = 25 m/s

Vfinale = 72 / 3,6 = 20 m/s

Δt = 20 s

a = (20 – 25) / 20 = – 5/20

a = – 0,25 m/s^2

F = m * a

F = 1000 * (- 0,25) = – 250 N; (forza frenante)

 

4. Un aeroplano parte da fermo e accelera sulla pista coprendo 600 m in 12 s. Quanto vale la sua accelerazione in m/s^2 ?

S = 1/2 a t^2

a = 2 * S / t^2 = 2 * 600 / 12^2 = 8,33 m/s^2

 

5. Una auto viaggia alla velocità di 90 km/h e inizia a rallentare. Dopo 18 s raggiunge la velocità di 36 km/h Calcola l’accelerazione media dell’auto in tale intervallo di tempo.

Definizione di accelerazione:

a = ( Vfin – Viniz) / t

Velocità in m/s:

Vo = 90 * 1000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s (V iniziale)

V = 36 / 3,6 = 10 m/s ( V finale)

a = ( 10 – 25) / 18 = – 15/18 = – 0,83 m/s^2 (negativa perché è una decelerazione).

 

6.  Se parto con un missile e tengo sempre una accelerazione di 1 g, 
dopo quanto tempo raggiungerò la velocità della luce?

v = a * t

t = v / a

v = C = 3 * 10^8 m/s

a = g = 9,8 m/s^2

t = 3 * 10^8 / 9,8 = 3,06 * 10^7 secondi

t in ore, 1 ora = 3600 s

3,06 * 10^7 / 3600 = 8503,4 ore

in giorni:

8503,4 / 24 = 354,3 giorni
ci vuole quasi 1 anno. Ma la teoria della relatività dice che non è possibile raggiungere la velocità C.

 

7. Il tempo di caduta di un grave dipende dalla sua massa?

Nella legge del moto accelerato, la massa del corpo non compare.

S = 1/2 a t^2

a è l’accelerazione che dipende dalla forza agente

a = F / m; come si vede la massa del corpo divide la forza.

Nel caso di caduta, F è la forza di gravitazione: F = G * M * m / R^2

a = g

g = F / m = 9,8 m/s^2.

F dipende dalla massa della Terra M, dal raggio della Terra R e dalla massa m del corpo, ma dividendo per m, la massa del corpo che cade si semplifica.

L’accelerazione di gravità si chiama

g = G * M / R^2 = 9,8 m/s^2;  (sulla superficie terrestre).

S = 1/2 g t^2

t = radice(2 * S / g)

la massa m del corpo non interviene.

 

8. Un’ auto viaggia a velocità vo = 18 km/h per un tempo t1 = 30 s, poi accelera con  un’accelerazione a = 1 m/s^2 per un tempo t2 = 15 s. Poi frena e in t3 = 20 secondi si ferma.
Calcolare lo spazio percorso percorso dall’auto. 

vo = 18/3,6 = 5 m/s;   (velocità iniziale).

Per t1 = 30 s l’auto viaggia di moto uniforme ( S = vo * t1).

S1 = 5 * 30 = 150 m

Poi accelera; legge del moto accelerato per t2 = 15 s:  S2 = 1/2 * a * (t2)^2 + vo * t2.

S2 = 1/2 * 1 * 15^2 + 5 * 15 = 187,5 m

La velocità aumenta nel tempo t2 con la legge:

v2 = a * t2 + vo = 1 * 15 + 5 = 20 m/s

In t3 = 20 secondi si ferma:

v finale = 0
a * t3 + v2 = 0

a * 20 + 20 = 0

a = – 20/20 = – 1 m/s^2 decelerazione.

S3 = 1/2 a (t3)^2 + (v2) * t3

S3 = 1/2 * (- 1) * 20^2 + 20 * 20 = 200 m (spazio di frenata).

Spazio percorso:
S = S1 + S2 + S3 = 150 + 187,5 + 200 = 537,5 m

 

9)  Giulio gioca a biglie e tira la sua biglia lungo il piano orizzontale, la biglia si ferma dopo aver percorso uno spazio s = 2,5 metri. Tra il piano orizzontale e la biglia c’è attrito, l’attrito ha un’intensità di 0,45 N e il coefficiente d’attrito è di 0,2. Calcola la massa della biglia,la potenza sviluppata dalla forza d’attrito e la velocità iniziale della biglia (con il teorema dell’energia cinetica).

piste-in-sabbia

m = Fattrito / ( 0,2 * g) = 0,45 / (0,2 * 9,8) = 0,23 kg(circa).

Lavoro = F * S = – 0,45 * 2,5 = – 1,125 J ( lavoro resistente dell’attrito che è una forza frenante, quindi contraria allo spostamento).

L = 1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2; v finale = 0 m/s

– 1,125 = 0 – 1/2 * 0,23 * vo^2; cambiamo segno.

1,125 = 1/2 * 0,23 * vo^2

vo = radicequadrata(2 * 1,125 / 0,23 ) = 3,13 m/s

Potenza = L / t

t = tempo per fermarsi; moto decelerato; a = Fattrito / m = – 0,45 / 0,23 = – 1,96 m/s^2

v = a * t + vo

a * t + vo = 0

t = – vo/a = – 3,13 / (- 1,96) = 1,6 s

potenza in valore assoluto, senza segno negativo:

P = 1,125 / 1,6 = 0,7 Watt ; ( è una potenza dovuta al lavoro di una forza che trasforma l’energia cinetica in energia termica).