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Condizione di equilibrio per un corpo sospeso:

La Forza peso deve essere uguale e  contraria alla forza del vincolo che sarà la tensione di una fune o di qualsiasi cavo che sostiene il corpo.

F tensione – m * g = 0 N;

F tensione (verso l’alto) = m * g.

tens

tensio

fune torri

San Marino, 3 agosto 2019. Funambolo fra le Torri.
316 metri di fune fra prima e seconda torre, una camminata sul vuoto.
La tensione della fune si ottiene conoscendo l’angolo che la fune forma con l’orizzontale quando si flette verso il basso d Y metri sotto l’azione del peso m * g. Dalla foto si può approssimare un valore Y = 2 metri.  senα = 2 / 163 = 0,0122;  m = 70 kg.

2 * T * senα = m * g;  T = m * g / (2 * senα ) = (70 kg) * 9,8 / (2 * 0,0122) = 28115 N.
(Vedi esercizio 5).

Esercizio 1) 

Un blocco di   M=3 kg in quiete su un piano orizzontale con coefficiente d’attrito  μ=0,4, è legato ad una fune ideale; all’altro capo della fune è legata una massa m = 5 kg che scende verticalmente dal piano.
a) Calcolare la velocità della massa m nel momento in cui ha percorso 1,5  metri dal bordo del tavolo piano.

b) Calcolare la tensione della fune fra le masse.

L’ accelerazione delle masse è la stessa, perché i due corpi sono legati e si muovono insieme.

a = Forza risultante /(massa totale)

Forze agenti:
Fattrito agente su M;  Fattr = 0,4 * 3 * 9,8 = 11,76 N (sarà negativa perché frenante)

La forza peso su M, (Mg) viene annullata dalla reazione del piano Fn verso l’alto, (vedere figura sopra).

Forza peso su m:
F(peso m) = 5 * 9,8 = 49 N (questa forza fa muovere i due corpi di moto accelerato).

F risultante = 49 + ( – 11,76) = 37,24 N

a = 37,24 / (3+5) = 4,66 m/s^2

V = a * t + Vo;       Vo = 0 m/s; manca il tempo di caduta.
S = 1/2  a  t^2
t = √(2 * S / a ) = √( 2 * 1,5/4,66) = 0,8 s
V = 4,66 * 0,8 = 3,74 m/s.

b) Per trovare la Tensione, considerare i corpi separatamente e sommare le forze che agiscono su ciascuno.
Forze sul corpo di massa m che cade verticalmente: Peso e tensione, sommate con il loro segno danno la forza risultante su m.

mg – T = ma
T = mg – ma

T = 5 * (9,8 – 4,66) = 5 * 5,14 = 25,7 N

Forze sul corpo M:

T – Fattrito = M * a

T = M * a – Fattrito = 3 * 4,66 + 11,76 = 25,7 N

1 bis)

corpi legati

La forza Frisultante deve trascinare le due masse con accelerazione a; F ris = (m1 + m2) * a;
la massa m1 si muove lungo l’asse orizzontale x;
F cos30° è la componente che fa muovere le masse.
F risultante = F * cos30° – m2 * g;

F * cos30° – m2 * g = (m1 + m2) * a;

F * cos30° – 0,100 * 9,8 = (0,300 + 0,100) * 1,5
F * cos30° = 0,400 * 1,5 + 0,98;
F = (0,6 + 0,98) / cos30° = 1,82 N ; 1,8 N;
T sul corpo 2 lo tira verso l’alto mentre m2 * g lo tira verso il basso:
T – m2 * g = m2 * a
T = m2 * (a + g) = 0,100 * (1,5 + 9,8) = 1,1 N
Sul corpo 1:
F cos30° – T = m1 * a
T = F * cos30° – m1 * a = 1,82 * cos30° – 0,300 * 1,5=
= 1,58 – 0,45 = 1,1 N.

Esercizio 2)

corpi legati

a)
μ1 = 0,50;
μ2 = 0,30;  coefficienti d’attrito.

Fattrito1 = m1 * g * 0,50 = 8,0 * 9,8 * 0,50 = 39,2 N

Fattrito2 = m2 * g * 0,30 = 6,0 * 9,8 * 0,30 = 17,64 N
T1 = tensione della fune che traina  in avanti sul corpo 1
T2 = tensione della fune che traina in avanti sul corpo 2;

Sul corpo 2 agiscono T2 in avanti e l’attrito2 che agisce all’indietro:
T2 + ( – m2 * g * 0,30 ) = m2 * a

Sul corpo 1 agiscono T1 in avanti, T2 e l’attrito1 all’indietro

T1 + (- T2) + ( – m1 * g * 0,50) = m1 * a

Sul terzo corpo appeso m, agiscono la tensione T1 verso l’alto e la forza peso m*g verso il basso.
T1 + ( – m * g) = m * a;

se l’accelerazione a = 0, allora il sistema si muove a velocità costante:

T2 – 6,0 * 9,8 * 0,30 = 0

T1 – T2 – 8,0 * 9,8 * 0,50 = 0

T1 – m * 9,8 = 0

T2 – 17,64 = 0;  Allora:

b)  T2 = 17,64 N ;  Tensione della fune sul corpo 2.

Sostituiamo T2 nella seconda equazione.

T1 – (17,64) – 39,2 = 0
T1 – 17,64 – 39,2 = 0

T1 = 17,64 + 39,2 = 56,84 N

T1 = m * 9,8 ;

m = 56,84 /9,8 = 5,8 kg.

c) Se la fune si spezza , il corpo m1 si arresta prima di m2 a causa del maggior attrito agente su m1 pari a 39,2 N ; la fune tra m1 ed m2 si allenta perché m2 continua a muoversi e si ferma dopo m1 a causa del minore attrito pari a 17,64 N.

Esercizio 3)


Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso), la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito che agisce in verso contrario al moto;

Sul corpo 2 agisce F//2 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito;

F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93 N
F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 * 1 * 9,8 * 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N

Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.

Forze sul corpo m1 frenanti, negative perché verso il basso, Tensione T positiva verso l’alto.
– F//1 – Fattr1 + T = m1 * a
–  6,93 – 1,39 + T = (1 kg) * a ; accelerazione verso l’alto, positiva

Forze sul corpo m2, si muove verso il basso positivo, Tensione e attrito negative:

+ F//2 –  Fattr2 – T = (4 kg) * a;

+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = 1 * a
12,81 – T = 4*a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4*T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N

a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2

T = 1 * a + 8,32;
T = 0,88 + 8,32 = 9,2 N

Esercizio 4)

Altalena
altal                 Immagine correlata

La corda di un’ altalena può sopportare una tensione massima di 800 N senza rompersi. Nella situazione iniziale l’ altalena è ferma in posizione verticale, poi viene tirata indietro in modo da formare un angolo di 60° con la direzione verticale. Qual è la massa della persona più pesante che può usare questa altalena?

La massima tensione della corda si ha quando l’altalena passa nel punto più basso a velocità massima

F(tensione) = mg + mV^2/L;     L è la lunghezza della corda

occorre trovare V con la conservazione dell’energia:

mgh = 1/2mV^2

h = L – L * cos60° = L *(1 – 0,5) = 0,5*L

V^2 = 2g * 0,5L

Ftensione = m * g + m *(2g * 0,5L) /L ;     (L si semplifica e non serve).

800 = m * g + m * g

2mg = 800

m = 800/2g = 800 / ( 2 * 9,8) = 40,82 kg

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Esercizio 5): tensione di una fune

Risultati immagini per peso su fune in tensione

Un uomo sul filo ha una massa di 60 kg. Qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?

T = forza di tensione
Forza verso l’alto per sostenere il peso:
T * sen 10* ci dà metà della componente verso l’alto;

2 T * sen 10°  = Fpeso;

T = Fpeso/(2 sen10°) = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N

Oppure con il teorema di Carnot, la forza peso è pari alla forza verso l’alto che è la somma delle due tensioni:

 Fp = √(T^2 + T^2 + 2T^2cos160°);  fra le due tensioni c’è un angolo di 160°

Fpeso =√(2T^2 + 2T^2cos160°) )= √(2T^2 (1 + cos160°) ) ;
Fpeso^2 = 2T^2 (1 + cos160°)

T = Fpeso / ( √(2 (1 + cos160°) )  = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N.
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5 bis)

Un uccello si posa esattamente nel punto medio di un filo lungo 6 m, di massa trascurabile, teso tra due supporti; in quel punto, a causa del suo peso, l’uccello fa abbassare il filo di 10 cm.

Sapendo che la tensione del filo è di 70 N, determinare la massa dell’uccello. 

Attachment image

2 * T * senα = m * g;

senα = 0,10 / 3 = 0,033;

m * g = 2 * 70 * 0,033 = 4,67 N;

m = 4,67 / 9,8 = 0,48 kg.

Esercizio 6) :  Trave

Una trave di massa 20,0 kg e lunga 3,00 m è incernierata a un muro,
mentre l’altro estremo è tenuto in posizione orizzontale da una fune  di acciaio lunga 5,00 m.
(1) Calcolare la tensione T della fune.
(2) Calcolare le componenti orizzontale e  verticale della reazione R della cerniera al muro.

trave

cos(angolo) = 3/5 = 0,6

angolo che la fune forma con l’asse X:

angolo = cos^-1(0,6) = 53° ; (127° rispetto all’asse X)Somma dei momenti = 0

La forza peso, mg,  agisce verso il basso nel punto medio: r = 1,5 m; La tensione T agisce a distanza 3 m dal punto incernierato.- mg *1,5 + 3 * T * sen35° = 0

– 20 * 9,8 * 1,5 + 1,72 * T = 0

T = 294 / 1,72 = 171 N

Tx = 171 * cos35 = 140 N

Ty = 171 * sen35° = 98 N

Somma delle forze = 0

lungo y:

+ Ty – mg + Ry = 0

Ry = mg – Ry = 196 – 98 = 98 N

lungo x:

Rx = Tx = 140 N

Reazione cerniera al muro:

R = Radice(98^2 + 140^2) = 170,9 N

inclinazione:

tan(angolo) = Ry/Rx= 98 /140 = 0,7

angolo = tan^-1(0,7) = 35°

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Esercizio 7):  Un asta rigida omogenea di lunghezza L e massa 5,1 Kg è poggiata
su un sostegno con attrito ed è tenuta in equilibrio tramite una fune
ideale, come mostrato in figura. Calcolare la tensione della fune e
la forza totale esercitata dal sostegno sull’asta.
trave2
Somma dei momenti = 0 Nm
Somma delle forze = 0 NCalcoliamo i momenti rispetto a O; mg = 5,1 * 9,8 = 49,9 N è il peso, verso il basso, r = L/4 da O. La tensione T agisce a 3/4 L da O.- 49,9 * L/4 + T * (3/4) L * sen (180° – 35°) = 0L si semplifica.- 49,9 / 4 + 3/4 * T * 0,574 = 00,430 T = 12,48T = 12,48/ 0,430 = 29,0 NTx = T * cos35° = 23,8 N, verso destraTy = T * sen35° = 16,6 N, (verso l’alto)

Somma forze verticali:
Reazione sostegno, verso l’alto.

Ry – mg + Ty = 0

Ry = 49,9 – 16,6 = 33,3 N

Rx = Tx = 23,8 N (verso sinistra)

R = radice(33,3^2 + 23,8^2) = 40,9 N
angolo di R:
tan(angolo) = Ry/Rx = 1,399
angolo = 54° (nord – ovest) : 126° con l’asse X.

Esercizio 8) :   Pendolo semplice – Tensione
pendolosempl

Un oggetto di massa 450 g appeso a un filo inestensibile di lunghezza 90 cm, oscilla rispetto alla posizione di equilibrio verticale: quando passa per la posizione di equilibrio, la velocità dell’oggetto è 1,84 m/s.
–  Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso della traiettoria?
–  E quanto vale la tensione quando l’oggetto raggiunge il punto più alto della sua traiettoria?

Nel punto più basso la forza centripeta è la forza risultante:

m * V^2 / L = Tensione – Fpeso

Tensione = m * V^2/L + m * g; ( la tensione è massima)

Tensione = 0,450 * 1,84^2 /0,9 + 0,450 * 9,8 = 6,1 N

Il corpo possiede energia cinetica che diventa energia potenziale nel punto più alto.

E = 1/2 m V^2 = mgh

h = V^2/2g = 0,17 m; (altezza all’estremità dell’oscillazione). L è l’ipotenusa del triangolo rettangolo dove il cateto adiacente all’angolo massimo dell’oscillazione è L – h.

cos(angolo) = (L – h) / L = ( 0,9 – 0,17) / 0,9 = 0,808

angolo = arcos (0,808) = 36°

Nel punto più alto l’oggetto è fermo, non c’è forza centripeta.

Quindi: Tensione = Fpeso * cos(angolo)

Tensione = 0,450 * 9,8 * 0,808 = 3,56 N

Esercizio 9) : Giro della morte – Reazione della rotaia su un carrello.
Un carrello di massa m scende senza attrito da un altezza h percorrendo un binario che in un tratto centrale descrive una circonferenza verticale di raggio R.
Per h=4R.   Determinare:
– la velocità massima raggiunta
– la forza normale N (cioè perpendicolare) che la rotaia esercita sul carrello nel punto più basso della traiettoria circolare. Questa forza è la reazione della pista.
– la forza normale N che la rotaia esercita sul carrello nel punto più alto della traiettoria circolare.

giro della morte        giromorte2

1/2 m V^2 = mgh ; mgh è l’energia che possiede il carrello e che si conserva;

h = 4R

V = √(2gh)

V = √( 2g4R) = √(8gR)

V^2 = 8gR

Nel punto più basso la forza N che la rotaia esercita sul carrello è la somma fra la forza centripeta e la forza peso.

N = mV^2 /R + mg = m 8gR / R + mg = 8mg + mg = 9mg. (Reazione normale della rotaia verso l’alto).

Nel punto più alto la forza perpendicolare N che la rotaia esercita sul carrello è la differenza fra la forza centripeta e la forza peso.

La velocità del carrello V1 diminuisce perché sale a quota h1.

h1 = diametro della circonferenza = 2R.

U = mg4R = energia potenziale iniziale.1/2 m V1^2 + mgh1 = mg4R;

1/2 m V1^2 + mg2R = mg4R;

V1 =√(2 * (g4R – g2R) ) =√( g4R)

N = mV1^2 /R – mg = m 4gR / R – mg = 4mg + mg = 3mg;

(nel punto più alto la reazione della rotaia è verso il basso)

Esercizio 10):   Piano inclinato, giro della morte, attrito, energia elastica della molla.

giro morte esercizio

1) Energia potenziale iniziale Uo = mgho; ho = 6 m

Uo = 5 * 9,8 * 6 = 294 J

2) L’energia potenziale diventa tutta energia cinetica (in assenza di attrito).

1/2 m v^2 = 294 J

v = radicequadrata(2 * 294/5) = 10,84 m/s;

la velocità v resta costante in orizzontale se non c’è attrito.

3) La traiettoria circolare ha raggio r = 1,5 m; diametro = 3 m.

Nel punto più alto della traiettoria circolare (h1 = 2 * raggio = 3 metri), il carrellino possiede energia cinetica e potenziale. La somma deve fare sempre 294 J, se non c’è attrito.

1/2 * m * v1^2 + m * g * h1 = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + (5 * 9,8 * 3) = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + 147 = 294

2,5 * v1^2 = 294 – 147

v1^2 = 147 /2,5

v1 = radice(58,8) = 7,67 m/s ; (velocità nel punto più alto).

4) Reazione R della pista: in alto le forze sono verso il basso e sono Forza peso m * g, Reazione R. La loro somma ci dà la forza centripeta

Fcentripeta = m * g + R

m * v^2/r = m * g + R

R = m * v^2/r – m * g = 5 * 7,67^2/1,5 – 5 * 9,8

R = 196 – 49 = 147 N

5) lavoro L = Fattrito * Spostamento

L = (0,30 * 5 * 9,8) * 10 = 14,7 * 10 = 147 J; questo lavoro è negativo perché la forza è frenante.
(L = – 147 J è l’energia persa per il lavoro della forza d’attrito).

6) L = 1/2 m (v fin)^2 – 1/2 m (v iniz)^2; teorema energia cinetica
Viniziale è la v del punto 2 perché il carrellino scende e ritorna a quota 0 metri;

v iniz = 10,84 m/s

– 147 = 1/2 * 5 * (Vfin)^2 – 1/2 * 5 * 10,84^2

– 147 = 2,5 * (Vfin)^2 – 294

2,5 * (v fin)^2 = 294 – 147

v fin = √(147/2,5) = 7,67 m/s;   (velocità con cui il carrellino arriva sulla molla).

7) L’energia del carrellino diventa energia elastica della molla U = 1/2 K x^2

1/2 * 800 * x^2 = 1/2 m (v fin)^2

x^2 = 147 * 2 / 800 = 0,368

x = √(0,368) = 0,6 m= 60 cm ; (compressione della molla).

Esercizio 11:
Il pilota di un aereo compie il “giro della morte” volando ad una velocità v=600 Km/h e descrivendo una circonferenza di raggio r=500m.
Determinare:
a) qual è il valore dell’accelerazione centripeta alla quale è sottoposto;
b) quanto vale la forza esercitata dal sedile sul pilota quando esso si trova nel punto più alto  A, se la massa del pilota vale 80 Kg;
c) qual è il verso della forza centripeta in A;
d) qual è il verso della forza centripeta nel punto più basso  B;
e) quanto vale in B (punto più basso), la forza esercitata dal sedile sul pilota.

a) v = 600 /3,6 = 167 m/s

ac = v^2/r = 167^2/500 = 55,8 m/s^2

b) Nel punto più alto A le forze agenti sono tutte verso il centro della circonferenza, tutte verso il basso, quindi tutte con lo stesso segno:
Forza peso Fp, Forza di reazione sedile R, Forza centripeta Fc;

La forza centripeta è la forza risultante fra Forza peso e Reazione del sedile.

Fp = 80 * 9,8 = 784 N; verso il basso.

Fcentripeta: Fc = m * ac = 80 * 55,8 = 4464 N (verso il centro della circonferenza).

Fc = Fpeso +  R

R = Fc – Fp = 4464 – 784 = 3680 N ; (reazione del sedile).

c) La forza centripeta è sempre verso il centro della circonferenza, nel punto più alto è diretta verso il basso.

d) La forza centripeta nel punto più basso è verso l’alto.

d) Nel punto più basso B le forze non hanno lo stesso verso come in A: la forza centripeta è verso l’alto.

Fp verso il basso; Fc verso il centro della circonferenza, verso l’alto; R verso l’alto.

Fc = R – Fp

R = Fc + Fp = 4464 + 784 = 5248 N; (la reazione del sedile è maggiore nel punto più basso).

giro

Esercizio 12:
Un corpo di massa  m2 = 4 kg è appeso a un capo di un filo inestensibile e di massa trascurabile che ruota attorno a un cilindro di raggio 9 cm e massa  m1 =12 kg libero di ruotare attorno al proprio asse, mantenuto fisso in posizione orizzontale. L’altro capo del filo è fissato a un punto della superficie del cilindro. Se il corpo cado, il cilindro ruota attorno al proprio asse. Inizialmente il sistema è mantenuto in equilibrio. A un certo istante viene rilasciato e il blocco si muove verso il basso. Calcolare:
a) l’accelerazione del blocco;
b)la velocità angolare del cilindro nell’istante in cui il blocco ha percorso una distanza di 2 m dal punto di partenza;
c) l’energia cinetica totale del sistema nello stesso istante.

carrucola-con-massa

m2 = 4 kg;   m1 = 12 kg; r = 0,09 m.

T = forza di tensione del filo sul cilindro

Momento della forza: agente sul cilindro : M = r * T

M = I * alfa; alfa = accelerazione angolare;
alfa = a / r
I = momento d’inerzia cilindro = 1/2 * (m1) * r^2;

I = 1/2 * 12 * 0,09^2 = 0,0486 kg m^2

I * a / r = T * r
dividiamo per r, ricaviamo T:

T = I * a / r^2; (tensione verso l’alto, la poniamo negativa con il segno -).

Fpeso = m2 * g = 4 * 9,8 = 39,2 N ( forza peso verso il basso, positiva +)

La forza risultante è verso il basso: Fris = m2 * a

m2 * g – T = m2 * a

m2 * g – ( I * a / r^2) = m2 * a

m2 * g = ( I * a / r^2) + m2 * a

39,2 = a * (I / r^2 + m2)

39,2 = a * (0,0486/8,1*10^-3 + 4)

39,2 = a * (6 + 4)

a = 39,2/10 = 3,92 m/s^2 (accelerazione lineare).

alfa = a / r = 3,92 / 0,09 = 43,56 rad/s

Velocità angolare omega; ω = alfa * t

1/2 * a * t^2 = S metri; ( moto di caduta del blocco da 4 kg)

t = radice(2 * S / a) = radice( 2 * 2 / 3,92) = 1,01 s; (tempo di caduta)

ω = 43,56 * 1,01 = 44 rad/s; (velocità angolare del cilindro)

velocità del blocco che cade:

v = a * t = 3,92 * 1,01 = 3,96 m/s

Energia cinetica blocco E2:

E2 = 1/2 * m2 * 3,96^2 = 1/2 * 4 * 15,68 = 31,36 J

Energia cilindro che ruota E1:

E1 = 1/2 * I * ω^2 = 1/2 * 0,0486 * 44^2 = 47,04 J

E cinetica sistema = E2 + E1 = 31,36 + 47,04 = 78,4 J

Esercizio 13:   Una giovane ginnasta ha una massa m=45 kg e si appende all’estremità inferiore di una fune appesa a un soffitto. La corda può sopportare fino a una tensione di modulo 530 Newton, oltre questo valore la fune si spezza. La ginnasta parte da ferma da una posizione in cui la fune forma un angolo alfa con la direzione verticale e comincia oscillare. Trascura l’attrito con l’aria la massa della fune.
Determinare l’ampiezza massima che deve avere l’angolo alfa affinché la fune non si spezzi.

Fpeso = 45 * 9,8 = 441 N

La fune può sopportare 530 N.

Se la ginnasta dondola, nel punto più basso dell’oscillazione la forza risultante deve essere 530. Nel punto centrale dell’oscillazione la tensione è la somma di forza peso più forza centripeta

Ft = mg +m v^2/L

m v^2/L = 530 – 441 = 89 N
L è la lunghezza della corda;

all’estremità dell’oscillazione la ginnasta si solleva di h: l’energia potenziale diventa cinetica nel punto centrale in basso.
m g h = 1/2 mv^2

h = L – L cos(angolo)

v^2 = 2 g L * ( 1 – cos(angolo) )

m v^2/R = 89

m * 2 * g * L * ( 1 – cos(angolo) ) / L = 89; L si semplifica.

( 1 – cos(angolo) = 89 / (m 2 g ) = 89 / (45 * 2 * 9,8)
( 1 – cos(angolo) = 89 / 882

cos(angolo) = 1 – 89/882 = 0,899

angolo = arcos(0,899) = 26° ; (angolo massimo per non rompere la corda).