energia-meccanica

Domanda sulla conservazione dell’energia:
1) Se un corpo di massa m=10 kg viene lasciato cadere da un altezza h = 10 m, qual è la sua velocità finale? E la sua energia cinetica finale? In virtù di quale legge siamo in grado di calcolare tali valori?
-A. Per la legge di conservazione dell energia abbiamo v=10 m/s. K=200 J.
-B. Per la legge della conservazione dell energia meccanica abbiamo v = 14 m/s. K= 980 J.
-C. Per la legge della conservazione della quantità di moto abbiamo v=14 m/s. K=980 J.
-D. Nessuna delle risposte precedenti.

Risposta B). Per la legge della conservazione dell’energia meccanica:

1/2 m v^2 = mgh

v = radice(2 g h) = radice( 2 * 9,8 * 10 ) = 14 m/s

Ec = 1/2 m v^2 = 1/2 * 10 * 14^2 = 980 J

energi

pisa

Esercizio 1:

Un modellino di automobile di massa m = 85 g viene spinto lungo una pista orizzontale da una molla di costante elastica k=150 N/m, inizialmente compressa di x =7,8 cm. La guida orizzontale termina con un quarto di circonferenza verticale. Gli attriti sono trascurabili.
1) a che altezza massima arriva il modellino?
2) spiegare se è necessario trattare separatamente i due casi seguenti:
– il modellino esce dal punto più alto della guida;
-il modellino non supera il punto più alto della guida;

mollaSoluzione:

L’energia elastica della molla diventa energia cinetica e poi energia potenziale. L’energia si conserva in assenza di attriti.
x = compressione molla = 0,078 m
1/2 k x^2 = 1/2 * 150 * 0,078^2 = 0,456 J
Energia potenziale U = m g h
m * g * h = 0,456

h = 0,456 /(m * g) = 0,456 / (0,085 * 9,8) = 0,55 m (altezza massima raggiunta)

Se il raggio del quarto di circonferenza è minore di 55 cm, allora il modellino esce dalla guida.
Se il raggio del quarto di circonferenza è maggiore di 55 cm, allora il modellino non esce, si ferma e ridiscende.

Teorema dell’energia cinetica :

 Il lavoro che una forza compie quando agisce su un corpo di massa m, libero di muoversi,  è uguale alla variazione di energia cinetica.

 L  = 1/2mv – 1/2mvo2         (L = Ecfin – Eciniz )

   Si ricava da 

L = F · S = m · a ·(1/2 a t2 + vo·t) ;

sostituendo ad a il valore:  a = (v – vo) /t .

L = F · S = m · (v – vo) /t  · (1/2 ((v – vo) /t) · t2 + vo·t)

Esempio 1:

Un automobile di massa m = 1300 kg viaggia ad una velocità Va =10 m/s.  Accelera e in uno spazio S = 200 m la sua velocità diventa Vb = 50 m/s. Calcolare il lavoro  della forza motrice F, l’intensità della forza e l’accelerazione. (Trascuriamo gli attriti).
(ris:  L = 1,56 *10^6 J;  F = 7800 N; a = 6 m/s^2)
auto-rossa-

L = 1/2 * 1300 * (50^2 – 10^2) = 1,56 * 10^6 J
F = L / S = 7600 N;  a = F / m = 6 m/s^2

Esempio 2
Un corpo che viaggia alla velocità di 20 m/s, viene fermato da una forza
F =  5 * 10^4 dyn, dopo aver percorso uno spazio di 40 m.
La massa del corpo è?  (Ris.: 100 g)

1 Newton = 10^5 dyn; la dyn è unità di misura C.G.S. che non si usa più.
F = – 5 * 10^4 dyn/ 10^5 = – 0,5 N; è una forza frenante, quindi la poniamo negativa

L = Forza * spostamento = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2   
(teorema energia cinetica)
Vfinale = 0 m/s
0 – 1/2 m Vo^2 = – 0,5 * 40
1/2 * m * 20^2 = 20
m = 20 * 2 / 400 = 0,1 kg = 100 g

Se non si conosce il teorema del lavoro = variazione energia cinetica, occorre usare la cinematica, ( è più laborioso).

Leggi del moto uniformemente accelerato:
S = 1/2 * a * t^2 + Vo * t
V = a * t + Vo

a * t + 20 = 0
Ricavi    a = – 20/t e lo sostituisci in S:
40 = 1/2 * (-20/t) * t^2 + 20 * t
40 = – 10 * t + 20 * t
t = 40/10 = 4 s;  tempo per fermarsi.
a = – 20/4 = – 5 m/s^2
m = F /a = – 0,5 / (- 5 ) = 0,1 kg = 100 g.

3) In un parco giochi, un bambino di massa m = 25 kg scende per uno scivolo lungo           S = 7,0 m inclinato di 20° rispetto al suolo orizzontale. Considerando un coefficiente d’attrito dinamico kd = 0,30,  determinare il lavoro compiuto dalla forza di attrito e la velocità di arrivo al suolo del bambino supponendo che esso parta da fermo.
scivolo

Fattrito = 0,30 * m g cos20°

Fattrito = 0,30 * 25 * 9,8 * cos20° = 69,1 N

Lavoro F attrito :
L attrito = 69,1 * 7,0 = 483,7 J; questo lavoro è resistente, fa perdere energia, quindi viene considerato negativo.

h = 7,0 * sen20° = 2,39 m = 2,4 m

Lavoro forza peso: L = mgh = 25 * 9,8 * 2,4 = 588,0 J

Lavoro della forza risultante = L – L att = 588,0 – 483,7 = 104,3 J

velocità iniziale vo = 0 m/s;

1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2 = 104,3 J (teorema energia cinetica);

1/2 m v^2 = 104,3 J

v = √(2 * 104,3/25) = 2,9 m/s

4)  1 Joule è l’energia necessaria per sollevare di 1 metro un oggetto che pesa 1 N. Quale oggetto può pesare un Newton?

Il Joule è un’unità di energia o lavoro, molto piccola.

Fpeso = massa * g

g = 9,8 m/s^2 = accelerazione di gravità sulla Terra

Fpeso = 1 N

massa = 1 / g = 1 / 9,8 = 0,102 kg

La forza di 1 Newton corrisponde al peso di 102 grammi di materia qui sulla Terra.

Es: 1 hg di mortadella; circa 100 grammi. (es: un quaderno piccolo).

Se si solleva a velocità costante una massa di 100 grammi per 1 metro si svolge il lavoro di 1 Joule.

1 Joule = 1 / 4,186 = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J;

1 kcal = 4186 J.

5)  Un corpo puntiforme di massa m = 5 kg pende verticalmente essendo attaccato all’estremità inferiore di una molla di costante elastica K = 100 N/m e lunghezza a riposo L0 = 0,6 m disposta verticalmente ed avente l’estremità superiore vincolata ad un punto fisso O del soffitto. Inizialmente il corpo si trova in condizioni di equilibrio statico. All’istante t = 0 il corpo subisce un impulso di intensità I0 = 12,5 kg per m/s agente in direzione verticale e rivolto verso l’alto.

Calcolare in un sistema di tiferimento OZ orientato verso il basso:

a) la posizione di equilibrio iniziale del corpo.

b) l’altezza x  raggiunta.

K * X = mg;   all’equilibrio.

X = mg / K = 5 * 9,8 / 100 = 0,49 m
all’equilibrio la molla è lunga Lo + X = 0,6 + 0,49 = 1,09 m
impulso = variazione della quantità di moto:
 I = m * v – m * vo;    vo = 0 m/s;
v = I / m = 12,5 /5 = 2,5 m/s; velocità con cui parte verso l’alto.
Salendo di un tratto x, l’energia cinetica diventa energia potenziale mgx ed elastica perché la molla si contrae di x.
L’energia cinetica vale 1/2 m v^2 = 1/2 * 5 * 2,5^2 = 15,625 J; si conserva se   non ci sono attriti.
1/2 m v^2 = m g x + 1/2 k x^2
1/2 * 100 * x^2  + 5 * 9,8 * x = 1/2 * 5 * 2,5^2
50 x^2 + 49 x – 15,625 = 0;
x = [- 49 +-radice(49^2 + 4 * 50 * 15,625) ] / (2 * 50)

x = [-49 +- radice(5526)]/100;

x = [ – 49 +- 74,34] / 100; prendiamo la soluzione positiva:

x = [ – 49 + 74,34] / 100 = 25,34 / 100 = 0,25 m = 25 cm; (sale di 25 cm , si ferma e poi ridiscende sotto l’azione di forza peso e forza elastica.
m * a = m * g + K x;
a = g + K/m * x.
6) Un corpo di massa m = 10 kg viene spinto con una forza elastica (K1=500 N/m) che gli conferisce una energia cinetica di 180 J, e scorre senza attrito su di una guida (come da figura) con un tratto orizzontale che finisce in una buca di profondità H=5 m.
Nel punto A, il più profondo, la guida ha un raggio di curvatura R=10m. Nel secondo tratto orizzontale a partire da un punto B, per un tratto BC=2m la guida diventa scabra con un coefficiente di attrito dinamico µd=0.2 , e finisce con una nuova forza elastica (K2=300 N/m).
Attachment image

Calcolare

1) Velocità del corpo nel primo tratto orizzontale.

2) Reazione vincolare della guida nel punto A.

3) Valore massimo della forza elastica della seconda molla (K2 = 300 N/m) durante l’urto contro di essa.

1/2 k x^2 = 180 J; diventa energia cinetica 1/2 m vo^2;

vo^2 = 180 * 2 / m;

vo = radice(180 * 2 / 10) = 6,0 m/s; (sul tratto orizzontale).

Il corpo possiede anche energia potenziale m g H rispetto al punto A  nel fondo della buca.

Il corpo cade nella buca e aumenta la sua velocità.

1/2 m vo^2 + m g H = 1/2 m v^2;

v finale in fondo alla buca:

v = radice(2 * g * H + vo^2) = radice(2 * 9,8 * 5 + 36)=

= radice(134) = 11,5 m/s;

2) Reazione della guida verso l’alto (Freazione) nella buca di raggio R = 10 m:

La forza centripeta (m v^2/R), verso l’alto è la somma della forza peso (m g), verso il basso, negativa, + la forza di reazione positiva verso l’alto:

m v^2/ R = + Freazione – m g;

F reazione = m v^2/R + m * g =

=  10 * (11,5^2/10 + 9,8) = 232 N (verso l’alto).

Il corpo risale dalla buca senza attrito, quindi avrà ancora la sua energia di 180 J che aveva all’inizio.

3) Fattrito = 0,2 * m g = 0,2 * 10 * 9,8 =  19,6 N;(forza frenante, negativa  rispetto allo spostamento S).

Lavoro forza d’attrito: F * S;   S = BC = 2 m;

L = – 19,6  * 2 = 39,2 N; (il lavoro è resistente, quindi negativo, fa perdere 39,2 J di energia).

Energia finale dopo il tratto BC:

E = 180 – 39,2 = 140,8 J;

1/2 k2 * x^2 = 140,8 J

k2 = 300 N/m;

x = radice(140,8 * 2 / 300) = 0,97 m = 97 cm

Forza massima = k2 * x = 300 * 0,97 = 291 N.

Il corpo riparte all’indietro con velocità v2:

1/2 m (v2)^2 = 140,8 J

v2 = radice(2 * 140,8/10) = 5,3 m/s.

Sul tratto BC perde di nuovo energia = 39,2 J, per l’attrito.

Energia2 = 140,8 – 39,2 = 101,6 J;

ritorna indietro nella buca e di nuovo contro la prima molla. Qui non c’è attrito, quindi ritorna contro la seconda molla perdendo ancora energia quando passa nel tratto BC:

Energia3 = 101,6 – 39,2 = 62,4 J, il corpo colpisce una seconda volta la molla 2, riparte all’indietro e perde di nuovo energia sul tratto BC .

Energia 4 = 62,4 – 39,2 = 23,2 J (energia residua dopo il secondo scontro e dopo il tratto BC).

Con energia 23,2 J il corpo ritorna indietro sulla molla 1, riparte (non c’è attrito).

Riesce ad arrivare nel tratto BC = 2 m, con attrito e qui si ferma per la forza d’attrito, non riesce ad arrivare alla molla una terza volta.

Fattrito = 19,6 N

F attrito * S = 23,2;  S  = 23,2/19,6 = 1,18 m (spazio che riesce a percorrere prima di fermarsi).

7) Una slitta parte da ferma e scende lungo un pendio con accelerazione a =  2,0 m/s^2
incontrando una forza di attrito di 30 N. In questo modo percorre 50 m.

  • Calcola l’energia dissipata dall’attrito.
  • Calcola la potenza dissipata dall’attrito.

La forza d’attrito fa lavoro resistente e fa perdere energia.

Energia dissipata:
E diss = – 30 * 50 = – 1500 J;
S = 1/2 a t^2;
Tempo di percorrenza:
t = radice(2 * S / a);
t = radice(2 * 50 / 2) = 7,07 s;
Potenza dissipata = E diss / t = – 1500 / 7,07;
P dissipata = – 212 W. (Potenza dissipata).