1. Il getto d’acqua di Ginevra (una fontana a getto di acqua verticale) raggiunge l’altezza di 140 metri. Trovare la pressione della conduttura che alimenta il getto nel tratto sotterraneo collocato a 3 metri sotto l’ugello che origina il getto.

Jet d'eau

 

Il teorema di Bernoulli dice che:

P1 + 1/2 d V1^2 + dgh1 = P2 + 1/2 d V2^2 + dgh2

Alla base, dentro il condotto V1 = 0 m/s;
h1 è sotto il livello dell’acqua, quindi sarà negativa  h1 = – 3 m.

In cima al getto nel punto più alto V2 = 0 m/s;
(tutti i corpi lanciati verso l’alto si fermano nel punto più alto, prima di iniziare la caduta verso il basso).
P2 = Po = pressione atmosferica, h2 = 140 m.

P1 + d g (-h1) = P2 + d g h2;
P1 = P2 + d g (h2 + h1)

P2 = Po  = pressione atmosferica = 1,013 * 10^5 Pa

h2 = 140 metri;  h1 = – 3 m

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (h2 – h1); in Pascal.

Per avere le atmosfere si divide il risultato ottenuto per Po = 1,013 * 10^5 Pa

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (140 – ( -3) ) = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * 143;

P1 = 1,013* 10^5 + 14,014 * 10^5 = 15,03 * 10^5 Pa; (pressione nel condotto alla base).

P1 = 15,03 * 10^5 / (1,013 * 10^5) = 14,8 atm;  (quasi 15 atm).

 

2)  Quanto vale il termine cinetico della pressione per un  flusso di sangue                     (d = 1040 kg/m^3), pari a  10 cm^3 /s in un vaso sanguigno del diametro di 3,0 mm?

 

sangue

Occorre trovare la velocità.
Pressione cinetica = 1/2 d v^2.
Portata Q = 10 cm^3/s
Q = Area * velocità

raggio r = 1,5 mm
Area = 3,14 * r^2 = 3,14 * 1,5^2 = 7,07 mm^2 = 7,07 * 10^-6 m^2; (Area del vaso in m^2);

Q = 10 * 10^-6 m^3/s;  (portata)

velocità v = Q / Area = 10 * 10^-6 / (7,07 * 10^-6) = 1,41 m/s

Pressione cinetica = 1/2 d v^2 = 1/2 * 1040 * 1,41^2 = 1034 Pa

 

3)  Un tubo di un impianto per il trasporto idrico ha una portata di 1200 Litri/minuto. Il tubo ha un diametro di 12 cm (punto A) che va a restringersi sino a 9 cm (punto B);  la pressione dell’acqua in A è Pa = 3,5 *10^5 Pa, mentre in B vale Pb = 3,0 *10^5 Pa.

Calcolare il dislivello tra le due sezioni del tubo. 

bernoulli1

 

 

L’acqua ha una densità d = 1000 kg/m^3

Portata Q = = 1200 /60 = 20 litri/s = 20 * 10^-3 m^3/s

A1 = 3,14 * (6 cm)^2 = 113,1 cm^2 = 113,1 * 10^-4 m^2

A2 = 3,14 * (4,5 cm)^2 = 63,6 cm^2 = 63,6 * 10^-4 m^2

Q = A * v = 20 * 10^-3 m^3/s
A1 * v1 = A2 * v2

va = Q / A1
va = (20 * 10^-3 m^3/s) / (113,1 * 10^-4 m^2) = 1,77 m/s ( nel punto A)

vb = (20 * 10^-3 m^3/s) / (63,6 * 10^-4 m^2) = 3,14 m/s ( nel punto B)

Pa + 1/2 dva^2 + dgha = Pb + 1/2 dvb^2 + dghb

d g hb – d g ha = Pa + 1/2 d va^2 – Pb – 1/2 d vb^2

d g (hb – ha) = Pa  – Pb + 1/2 d va^2  – 1/2 d vb^

 

hb – ha = (Pa – Pb) / (d g) + (va^2 – vb^2) / (2 g)

hb – ha =  (3,5 *10^5 – 3,0 *10^5) / (1000 * 9,8) + ( 1,77^2 – 3,14^2) / 19,6

hb – ha = 5,102 -0,343 = 4,76 m

 

4) Bernoulli e Torricelli: Velocità con cui un fluido esce da un foro di un serbatoio di sezione grande rispetto alla sezione del foro. 

Si trovi il volume d’acqua che in un minuto esce da un’enorme serbatoio attraverso un foro di 1 cm di diametro posto 3 m sotto la superficie libera dell’acqua.

Ci vuole Bernoulli e si ricava il teorema di Torricelli: ( v = √(2 g h).

P1 + 1/2 d v1^2 + d g h1 = Po + 1/2 d vo^2 + d g ho

In alto nel punto zero vo = 0 m/s circa ; ho = h1 + 3 metri; Po = P1 = pressione atmosferica, si semplifica nell’equazione. Perciò rimane:

1/2 d v1^2 + d g h1 = + d g (h1 + 3); anche d = densità, si semplifica

v1 = radicequadrata(2 * g * 3) = radice quadrata(58,8) = 7,67 m/s

( v = radicequadrata(2g(ho-h1) ) è la formula che si usa subito)

Volume = portata * tempo

Area = pigreco * R^2; R = 0,5 cm= 0,5 * 10^-2 m

portata = Area * velocità = pigreco * (0,5 * 10^-2)^2 * 7,67 = 6,024 * 10^-4 m^3/s

Volume = 6,024 * 10^-4 * 60 s = 0,036 m^3 = 36 dm^3 = 36 litri

(1 dm^3 = 1 litro)