bucot12

 

Si vede dal grafico che l’accelerazione di gravità diminuisce con il quadrato della distanza r > R all’esterno della Terra. Il valore massimo della forza si ha sulla superficie terrestre dove g = 9,8 m/s^2.  invece all’interno della Terra la gravità diminuisce in modo proporzionale al diminuire della distanza dal centro della Terra e diventa 0 al centro della Terra per r = 0 m.

 

tunnel

Esempio 1: Supponiamo che uno speleologo di  massa m = 70 kg scavi un tunnel che scende fino a 100 km sotto la superficie terrestre. Assumendo che la simmetria sferica della Terra non venga alterata e che la densità terreste rimanga costante, quanto vale la forza di attrazione gravitazionale che agisce sullo speleologo in fondo al tunnel?

R = 6380 km = 6,38 * 10^6 m; (raggio terrestre);

Massa Terra = 5,98 * 10^24 kg;

G = 6,67 * 10^-11 N m^2/kg/2 (costante di gravitazione universale).

r = R – 100 = 6280 km; (distanza dello speleologo dal centro della Terra)

m = massa terrestre che attrae l’uomo che si trova a 6280 km dal centro della Terra.

m = densità * Volume;

densità terra:  ρ = M(terra) / (4/3pgreco R^3);

immaginiamo la densità costante, la Terra omogenea di raggio R.

ρ = 5,98 * 10^24 / (4/3 * pgreco * (6,38 * 10^6)^3 ) = 5497,3 kg/m^3

Volume della massa attraente = 4/3 pgreco r^3;

solo la massa m che sta al di sotto dell’uomo lo attrae:

m = (densità Terra) x Volume:

m = ( M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) ) x 4/3 pgreco r^3 ;

m = M(terra) r^3/R^3;

F = G * m * (m uomo) / r^2;

F = G * (M(terra) * r^3 / R^3 )* (m uomo) / r^2;

r^3 / r ^2 = r

F = G * (M(terra)/R^3) * r * (m uomo);

Si vede dalla formula che la forza all’interno della Terra dipende da r, cresce e diminuisce  con r.

Calcolo le costanti:
G * (M(terra)/R^3) = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,38 * 10^6)^3 = 1,536 * 10^-6

F = 1,536 * 10^-6 * 70 * r = 1,536 * 10^-6 * 70 * 6,28 * 10^6 = 675 N = 6,75 * 10^2 N

Sulla superficie l’uomo pesa F = 70 * 9,8 = 686 N

 

Sulla superficie e all’esterno della Terra la forza F è: 

F = G * (Mterra) * (m uomo) / r^2

con r maggiore o uguale a R.

Esempio 2:

tunnel2

Moto di una pallina che viene fatta cadere nel tunnel che attraversa la Terra:

La pallina si muoverà di  moto armonico attraverso il tunnel.

Viene attratta fino ad arrivare al centro aumentando la sua velocità. Al centro della Terra la forza si annulla, la pallina prosegue, ma viene decelerata dalla forza di gravità fino alla superficie dove di nuovo ricomincia a cadere verso il centro della Terra.

Quindi la pallina si muoverà su e giù di moto armonico.

Legge del moto armonico: L’accelerazione è proporzionale alla posizione r.

a = – (costante) * r;
la costante è la pulsazione omega al quadrato,  ω

a = – ω^2 * r;
(l’accelerazione è proporzionale allo spostamento r, e in verso contrario)
a = F / m(pallina)
m = massa terrestre che attrae la pallina che cade
verso il centro della terra:
m = densità * volume;
ρ = M(terra) / (4/3pgreco R^3);
immaginiamo la densità costante, la Terra omogenea
di raggio R).
Volume della massa attraente = 4/3 pgreco r^3;
solo la massa m che sta sotto la pallina la attrae
verso il centro.
m = ρ *  Volume
m = (M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) ) x 4/3 pgreco r^3 = M(terra) r^3/R^3F = – G * m * m(pallina)/r^2;

r è la distanza dal centro della terra, diminuisce fino a diventare 0.

a = F / m(pallina)a = – G * m * m(pallina)/r^2 / m(pallina) =
= G x m /r^2 ;

a = – G * M(terra) r^3/R^3 / r^2
a = – (G * M(terra) / R^3) * r;
a = – ω^2 * r; 
L’accelerazione di gravità che è un’accelerazione centripeta. Al centro della Terra vale 0 poi cresce con r all’interno della Terra.  Assume valore massimo sulla superficie:
a = – G * M / R^2 = – 9,8 m/s^2 = g