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Due masse m1 ed m2 sono collegate mediante una fune che passa nella gola di una piccola carrucola di massa trascurabile, con attrito trascurabile. m2 > m1. m2 si muove verso il basso ed m1 verso l’alto.

Macchina di Atwood. Consideriamo la massa della carrucola trascurabile.

m1 sale, m2 scende.

T è la tensione della fune.

+T – m1 g = + m1 a, (positivo andare verso l’alto). 

+ m2 g – T = + m2 a; (positivo andare verso il basso).

T = m1 a + m1 g;

m2 g – m1 a – m1 g = m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – m1 g;

a = (m2 g – m1 g) / ( m1 + m2);

a = g * (m2 – m1) / ( m1 + m2).

Esercizio

  1. macchina di atwood
  • Calcolare anche la tensione T della fune (Ris.: 38 N).
  • Frisultante = m2 g – m1 g ;  (m2 traina il sistema, m2 scende, m1 sale, frena il sistema);

(la massa della carrucola è trascurabile).

Accelerazione:

a = F ris/(m2 + m1)

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

h = 1/2 a t^2; legge del moto accelerato.

Tempo di caduta da h:

t = radice(2 * h / a)

v = a * t ;

v = a * radice(2 * h / a);

Portiamo a sotto radice e semplifichiamo:

v = radice (2 * h * a^2 / a)

v = radice( 2 * h * a),

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

v = radicequadrata[2 * h  * (m2 – m1) * g /(m2 + m1)]

v = radicequadrata[ 2 * g * h * (m2 – m1) / (m2 + m1) ];

Con i dati:

v finale = radice quadrata[2 * 9,8 * 1,2 * (4,1 – 3,7) / 4,1 + 3,7)] =

= radice quadrata[23,52 * 0,4/7,8] = 1,1 m/s; (velocità finale).

L’accelerazione del sistema è:

a = (4,1 – 3,7) * 9,8 / (4,1 + 3,7) = 9,8 * 0,4/7,8 = 0,5 m/s^2

  • Se vogliamo trovare la tensione T della fune che collega le due masse occorre considerare separatamente le forze agenti su ciascuna massa.

Su m2 che scende:

+ T verso l’alto,  – m2 * g  verso il basso,  – m * a forza risultante verso il basso.

Su m1 che sale: + T verso l’alto,  – m1 * g verso il basso,  + m1 *a verso l’alto.

+ T – m2 * g = – m2 * a

T = m2 *g – m2 * a;
T = m2 * ( g – a) = 4,1 * ( 9,8 – 0,5) = 38 N (verso l’alto).

m2 pesa    m2 * g = 4,1 * 9,8 = 40,2 N > T; quindi m2 scende.

+ T – m1 * g = + m1 * a

T = m1 * (g + a) = 3,7 * (9,8 + 0,5) = 38 N ; la stessa che agisce su m2.

m1 pesa   m1 * g =  3,7 * 9,8  = 36,3 N < 38 N; quindi la tensione lo fa muovere verso l’alto.

macchina         macchina2

2) Consideriamo la macchina con una  carrucola con una sua massa non trascurabile MC che ruota, quindi  dobbiamo considerare il sistema in rotazione.

MA > MB.

atwood2

Dopo la rotazione MB è salita della quantità h, MA è scesa della stessa quantità h e la ruota si è mossa di moto rotatorio a velocità angolare ω. Trovare:

– Accelerazione del sistema

– Velocità di impatto di MA o velocità di MB,  (sono uguali dato che sono collegate)

– Tensioni della fune

– Velocità angolare massima.

La velocità  angolare della carrucola è legata alla velocità delle masse perché MC ruota mentre MB e MA salgono e scendono con la stessa accelerazione a.

Consideriamo una situazione intermedia, MA sta scendendo e MB sta salendo.

atwood3Per la massa Ma:

Ma  scende, la tensione + TA  è verso l’alto, il peso  – Ma * g  è verso il basso : 

+ TA – Ma * g  = – Ma * a

Per la massa Mb che sale:

+ TB – Mb * g =  + Mb * a

La rotazione  avviene grazie ai momenti delle due tensioni Ta e Tb,

( Momento della forza = braccio * Forza = r * F).

r * Tb positivo, provoca rotazione antioraria;    r * Ta negativo provoca rotazione oraria.

(alfa è l’accelerazione angolare).

α = accelerazione angolare della carrucola = (Delta ω) / Delta t;

 r * Tb – r Ta = – I * α; (rotazione oraria nel caso del disegno.)

α = accelerazione angolare alfa;

a = α * r ; accelerazione lineare.

α = a / r

I = 1/2  Mc * r^2 , (momento d’inerzia del disco pieno, carrucola).  r = raggio carrucola.

 r * Tb – r Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r ;

semplifichiamo per r:

Tb –  Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r^2 ;

Tb – Ta = – 1/2 Mc * a ;

cambiamo segno:

Ta – Tb = 1/2 Mc * a

Abbiamo tre equazioni: le forze verso l’alto, positive, quelle verso il basso negative;

La carrucola ruota in senso orario, r Ta > r Tb; le incognite sono Ta, Tb, a.

+ Ta – Ma * g = – Ma * a

+ Tb  – Mb * g = + Mb * a

 Ta – Tb = 1/2 Mc * a;

Ta = Ma * g – Ma * a

Tb = Mb * g + Mb * a

Ta = Ma * (g – a)

Tb =  Mb * (g + a);

Ta – Tb = Ma * (g – a) – Mb * (g + a);

1/2 Mc * a = Ma * g – Ma * a – Mb * g –  Mb * a;

1/2 Mc * a  + Ma * a + Mb * a = Ma * g – Mb * g

a = g * [ ( Ma – Mb) /(Ma + Mb + 1/2 Mc) ];

tempo di discesa da altezza h:

h = 1/2 a  t^2;

t = radice (2 * h / a);

velocità di impatto:

v = a * t.

velocità angolare ω = v /  r.

Esempio numerico, dati:   Ma = 4,0 kg;  Mb = 2,0 kg;  Mc = 0,6 kg;

raggio carrucola r = 10 cm = 0,1 m;  altezza di discesa h = 1,5 m.

a = (4,0 – 2,0) / (1/2 * 0,6 + 4,0 + 2,0) = 2,0 /6,3 = 0,32 m/s^2

alfa = a / r = 0,32 / 0,1 = 3,2 rad/s^2;

Ta = Ma * (9,8 – a) = 4,0 * (9,8 – 0,32) = 37,9 N;

Tb = Mb * ( 9,8 + 0,32) = 20,24 N;

h = 1,5 m;

1/2 a t^2 = h;

t = radicequadrata(2 * h / a) = radicequadrata(2 * 1,5/0,32) = 3,06 s

v = a * t = 0,32 * 3,06 = 0,98 m/s circa 1,0 m/s;  [ v = radice(2 * a * h) = 1,0 m/s].

ω = alfa * t 0 3,2 * 3,06 = 9,8 rad/s;

ω= v/r.

Risposta  multipla:

Una macchina di atwood ha appese al filo una massa di 9 kg e una massa di 11 kg. Quale è la loro accelerazione?

a) g/20

b) g/10

c) g/2

d) g/5

La massa m1 = 11 kg scenderà e la massa m2 = 9 kg salirà.

Le masse si muovono con la stessa accelerazione a.

Fpeso1 = 11 * g

Fpeso2 = 9 * g

Fris = (massa totale) * a

(massa totale) * a = 11 * g – 9 * g

massa totale = 11 + 9 = 20 kg

20 * a = g * (11 – 9) ;

a = g * 2/20 = 9,8 /10 = 0,98 m/s^2

risposta b) g/10.