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La legge di Faraday descrive il manifestarsi di una  forza elettromotrice causata dal moto di una spira in un campo magnetico, e descrive la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.

L’intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire. E’ questa variazione che genera la f.e.m. indotta.

 Il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola come il flusso del campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

ΦB = B *A * cosα;
flusso supflussosup2

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A.

B = B * dA;
ΦB = d ΦB.

L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m2

Legge di Faraday-Neumann: la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

f.e.m. = – dΦ / dt.

Esempio 1:

Una barra di lunghezza L = 2 m si muove alla velocità v = 20 m/s chiudendo un circuito di resistenza complessiva pari a R = 5 Ω come in figura.

Nel piano dove si muove la barra è presente un campo magnetico ortogonale al piano, uniforme e diretto verso l’alto verso l’alto con intensità B = 0,5 T.

Calcolare

1) Modulo della forza magnetica sulla barra L.

2) Potenza dissipata sulla resistenza R.

Attachment image

f.e.m. indotta = – (Δ Φ)/Δ t; 

(legge dell’induzione di Faraday, terza legge di Maxwell).

[flusso del campo B] = B * Area.

L’area attraversata da B varia nel tempo, la barra percorre una distanza S = v *Δ t, che cresce nel tempo, quindi il flusso aumenta:

Area = L * S = L * v * Δ t:

Area = 2 * 20 * Δ t = 40 * Δ t

f.e.m. indotta ε = – B * 40 * Δ t / Δ t;

ε = – 0,5 * 40 = – 20 V; (segno – perché la forza elettromotrice si oppone alla variazione del flusso).

Prendiamo il valore assoluto:

i = V / R = 20 / 5 = 4 A;

F = i B L = 4 * 0,5 * 2 = 4 N; (verso l’alto del foglio).

Potenza:

P = i^2 * R = 4^2 * 5 = 80 Watt;

oppure P = V^2/R = 20^2/5 = 80 W.

Esempio 1 bis:

Un magnete viene avvicinato rapidamente ad una spira circolare di raggio 50 cm. Se l’intensità del campo magnetico attraverso la bobina passa da 500 mT a 100 mT in 0,25 s,  quanto vale la forza elettromotrice indotta?

f.e.m. = – delta(ΦB)/deltat

ΦB = B * S = B * pgrecoR^2

delta(ΦB) = (100 *10^-6 – 500 * 10^-6) * 3,14 * 0,5^2 = – 400 * 10^-6 * 0,785= -3,14 * 10^-4 Wb (Tesla * m^2)

f.e.m. = – ( – 3,14 * 10^-4) /0,25 = 1,26 * 10^-3 Volt.

Esempio 2:

Attachment image

f.e.m. (indotta) = – (Delta Φ) / (Delta t)

Il Flusso del campo B varia da Φo = 0 Tm^2 iniziale fino al valore finale quando tutta l’area è all’interno del campo:

area finale = 4 * 4 = 16 cm^2 = 16 * 10^-4 m^2.

Flusso finale  Φ = B * Area = 4,50 * 10^-4 * 16 * 10^-4 =

= 7,20 * 10^-7 Tm^2.

Delta Φ = 7,20 * 10^-7 Tm^2 – 0;

Delta t = S / v = 4,00 cm / (1,00 cm/s) =  4,00 secondi.

V = – 7,20 * 10^-7 / 4,00 = – 1,80 * 10^-7 Volt.

Esempio 2 bis:

Una bobina rettangolare è formata da 12 avvolgimenti. Le sue dimensioni sono 15 cm larga e 5 cm alta. La sua resistenza totale è di 2 ohm . Un campo magnetico di 2,50 T è diretto perpendicolarmente al piano della bobina.Il campo magnetico viene ridotto ad un valore di 1 T in 3 ms . Trovare la corrente indotta nella bobina.

forza elettromotrice indotta = f.e.m.

f.e.m. = – deltaΦ/delta t

Flusso: Φ = B * area * numero di avvolgimenti ;

area in m^2 Area = 15 * 5 = 75 cm^2 = 75 * 10^-4 m^2

deltaΦ = (B1 – Bo) * area * N = (1 – 2,50) * 75 * 10^-4 * 12 = – 0,135 Weber

f.e.m. = 0,135 / (3 * 10^-3) = 45 Volt

corrente indotta:

i = f.e.m. / R = 45/2 = 22,5 Ampère.

Esempio 3:

Attachment image

Area di una spira = 3,14 * (0,025)^2 = 1,96 * 10^-3 m^2

Flusso: Φ = B * Area.

f.e.m. = N * (DeltaFlusso)/ Deltat

Delta Φ / Delta t =

= (0,50 – 0,15) *(1,96 * 10^-3 /(3,2 * 10^-3 s) = 0,214 V;

Per N spire:

f.e.m. = N * 0,214 = 30 * 0,214 = 6,4 V.

i = f.e.m. / R = 6,4 / 10 = 0,64 A .

Campo al centro di una spira percorsa da corrente i :

B = μo * i / (2 R);

μo = 1,26 * 10^-6 T m/A =   permeabilità magnetica del vuoto.

spira2

campospira

Esempio 4):  Campo al centro di due  spire.

Due spire circolari, entrambe di raggio R = 10 cm, sono disposte perpendicolarmente fra loro e sono percorse da correnti di uguale intensità. Sapendo che l’induzione magnetica B risultante nel centro comune delle due spire è 4,4 * 10^−5 T,

  • calcolare l’intensità di corrente che percorre le due spire.

B = μo * i / (2R); campo al centro di una spira, perpendicolare alla spira.

μo = 1,26 * 10^-6 Tm/A.

Se le due spire sono perpendicolari anche i due campi B1 e B2 sono perpendicolari fra loro.

B1 = B2; se la corrente è la stessa.

La somma si ottiene con il teorema di Pitagora;

B ris = radice(B^2 + B^2) = B * radice(2) = 4,4 * 10^-5 T;

B = 4,4 * 10^-5 / radice(2) = 3,11 * 10^-5 T; (campo di una sola spira).

R = 0,1 m; raggio di una spira.

μo * i / (2R) = 3,11 * 10^-5;

i = 3,11 * 10^-5 * 2 R / μo =

= 3,11 * 10^-5 * 2 * 0,1/1,26 * 10^-6  = 4,94 A; (circa 5 A).

i = 5 A.