1. Un elettrone inizialmente in quiete è sottoposto a una differenza di potenziale Delta V = 5 * 10^5 V : calcolare la sua velocità, utilizzando per l’energia cinetica l’espressione classica e quella relativistica.

Energia cinetica finale classica:

1/2 m v^2 = e * (DeltaV);

v = radicequadrata( 2 * e * DeltaV/m);

v = radice[(2 * 1,602 * 10^-19 * 5 * 10^5 ) /(9,11 * 10^-31)];

v = radice[1,76 * 10^17] = 4,19 * 10^8 m/s >> c; impossibile.

l’elettrone non può superare la velocità della luce; v < c, sempre,

per il secondo principio della relatività ristretta di Einstein.

Energia finale relativistica:

Ec = [moc^2 / radice(1 – v^2/c^2) ] – moc^2;

mo c^2 = energia a riposo.

e * DeltaV = Ec;

1,602 * 10^-19 * 5 * 10^5 = 8,01 * 10^-14 J; (Lavoro = energia cinetica finale)

moc^2 = (9,11 * 10^-31) * (3 * 10^8)^2 = 8,199 * 10^-14 J; (energia a riposo).

Ec + moc^2 = moc^2 / radice(1 – v^2/c^2);

radice(1 – v^2/c^2) = moc^2 / (Ec + moc^2);

1 – v^2/c^2) =[moc^2 / (Ec + moc^2)]^2;

v^2/c^2 = 1 – [moc^2 / (Ec + moc^2)]^2;

v^2/c^2 = 1 – [8,199 * 10^-14 /( 8,01 * 10^-14 + 8,199 * 10^-14)]^2 ;

v^2 / c^2 = 1 – [8,199 *10^-14 /1,621 * 10^-13]^2;

v^/c^2 = 1 – [0,5058]^2 = 1 – 0,2559;

v^2 = (1 – 0,2559) * c^2;

v = c * radicequadrata(0,744) = c * 0,863;

v = (3 * 10^8) * 0,863;

v = 2,59 * 10^8 m/s; (v elettone; v < c).

Moto di un elettrone in un campo elettrico. In questa situazione l’elettrone viene frenato dal campo in quanto l’elettrone è una particella negativa. Le linee di forza del campo vanno verso il polo negativo, l’elettrone si fermerà e verrà respinto dalle cariche negative.

Esercizio 2

Dal più grande acceleratore del mondo più dati del previsto - Fisica e Matematica - Scienza&Tecnica - ANSA.it

Un collisore è un particolare acceleratore di particelle in cui le particelle accelerate in versi opposti lungo traiettorie circolari vengono fatte collidere frontalmente con velocità uguali e opposte. Supponiamo di considerare un elettrone con velocità 𝑣=𝑥𝑐 (𝑐 indica la velocità della luce nel vuoto) nel sistema di riferimento del laboratorio, che collide frontalmente con un positrone (particella che ha la stessa massa dell’elettrone, ma carica opposta) che ha velocità uguale e opposta a quella dell’elettrone.

Scrivere la funzione che esprime l’energia cinetica relativistica degli elettroni nel sistema di riferimento del laboratorio. Scrivere l’equazione della fisica classica che permette di esprimere la velocità dell’elettrone misurata dal sistema di riferimento del positrone.
Nella teoria della relatività ristretta le trasformazioni di Galileo sono sostituite dalle trasformazioni di Lorentz.

Energia cinetica relativistica:

K = moc^2/[radice(1 – v^2/c^2)] – moc^2;

mo = massa a riposo;

Y = 1 /[radice(1 – v^2/c^2)]  = fattore gamma. 

K = moc^2 *(Y – 1)

Energia cinetica classica = 1/2 mo v^2;

Composizione velocità galileiana:

u’ = u – v;

u’ = u – (-u) = 2u; (velocità dell’elettrone vista dal sistema del positrone).

u’ = xc + xc = 2xc; se x = 0,5 o maggiore di 0,5, allora u’ raggiunge o supera la velocità della luce c; non è possibile.

Composizione relativistica:

u’ = (u – v) /[1 – uv/c^2];

u = xc, (velocità elettrone visto dal laboratorio);

v = – xc; (velocità positrone visto dal laboratorio);

u’ = (velocità elettrone visto dal sistema del positrone).

u’ = (xc + xc) / [1 + x^2c^2/c^2];

u'(x) = 2c x / (1 + x^2); x < 1; (f(x).

se x = 1 abbiamo due particelle a velocità c e questo non è mai verificato per particelle con massa.