La legge di gravitazione universale.
Isaac Newton (1643 – 1727), fu il primo a capire che la forza che fa cadere i corpi sulla superficie terrestre è la stessa che fa muovere la Luna sulla sua orbita intorno alla Terra: è la forza di attrazione che si esercita su corpi che possiedono massa.
Massa gravitazionale: capacità che ha un corpo di attrarre altre massa.
Due masse M1 ed M2 poste a distanza r, interagiscono a distanza; queste si attraggono con una forza uguale ed opposta, che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra esse.
La costante di proporzionalità G si chiama costante di gravitazione universale, e vale G = 6,67·10-11 Nm2/kg2: fu misurata con precisione da Henry Kavendish nel 1798, ha un valore estremamente piccolo, è la forza con cui si attraggono due masse da un kg ciascuna poste a distanza di un metro.
F = G·M1·M2 / r2 ; ( la forza si misura in Newton).
Bilancia di torsione di Cavendish
La mutua attrazione gravitazionale fra la sfera m e quella M (F) avvicinava le sfere facendo ruotare l’asta. In questo modo il filo di torsione veniva avvolto di un certo angolo. Più il filo si torceva maggiore era la forza che esso esercitava sull’asta che reggeva le sfere piccole finché la sua forza non equilibrava esattamente quella di attrazione gravitazionale. A questo punto l’asta smetteva di ruotare: misurando l’angolo di avvolgimento del filo si poté calcolare la forza di torsione esercitata e di conseguenza la forza di gravità F. F = G M m/r^2 con M e m le masse delle due sfere e r la loro mutua distanza, che sono tutte grandezze note. Una volta che il valore di G è conosciuto, si può ricavare la massa della Terra. Infatti, so che:
g = GMTerra/(RTerra)^2 = 9,81 m/s^2.
Conoscendo G (appena ricavato sopra) e sapendo il valore di RTerra=6340 km è possibile ricavare subito MTerra.
Campo gravitazionale
Si chiama campo gravitazionale la forza gravitazionale che agisce su una massa unitaria (1 kg).
g = F /m = G·M / r2
Sulla superficie terrestre dove r = 6,38 · 106 m, g vale 9,8 m/s2, poi diminuisce con il quadrato della distanza r dal centro della Terra. Si misura in N/kg. ( Si chiama anche accelerazione di gravità). Forza e campo gravitazionale sono solo attrattivi.
Anche il campo elettrico generato da una carica Q isolata nello spazio ha lo stesso andamento
( E = k·Q/r2),ed è la forza che agisce sull’unità di carica ( 1 Coulomb); si misura in N/C.
Eclissi di Sole – Stati Uniti 2017. Foto spettacolare di Luna e Sole.
La forza di gravità è una forza centrale, (centripeta).
F centripeta = m * v^2 / r;
F = G * M * m /r^2.
G = 6,67·10-11 N*m2/kg2
Esempio.
Un satellite è posto in orbita circolare attorno alla Terra ad un altezza h = 495 km. Il raggio della Terra è RT = 6,38 * 10^6 m e la sua massa è MT = 5,98 * 10^ 24 kg. Qual è la velocità v del satellite? [La distanza r tra il satellite e il centro della Terra è r = RT + h].
m v^2/(R + h) = G * Mterra * m / (R + h)^2;
– Forza agente su un corpo di massa 500 kg;
andamento della forza F(r), con r ≥ R terrestre.
F(r) = 6,67 * 10^-11 * (5,98 * 10^24 kg) * (500 kg) / r^2;
F(r) = 3,99 * 10^14 * 500 / r^2;
F(r) = 1,99 * 10^17 / r^2;
Per r = 0 m questa formula non ha senso.
La legge di Newton vale partendo dalla superficie terrestre dove r = R terrestre.
R = 6,38 * 10^6 m, (raggio della Terra).
I corpi sulla superficie, (anche noi stessi), vengono attratti da tutta la massa della Terra come se la massa fosse concentrata nel suo centro a distanza R dai corpi.
La funzione è un ramo di iperbole quadratica, (F(r) proporzionale 1/r^2 Per r >= R),è continua e tende a 0 per r che tende all’infinito.
il valore massimo si ha per r = raggio terrestre, poi la forza diminuisce e tende a 0 N.
F = [G M terra / R^2] * m ;
Se R = 6,38 * 10^6 m, tutti i corpi di massa m sono alla stessa distanza dal centro e vengono attratti:
F(R) = [6,67 * 10^-11 * (5,98 * 10^24 kg) / (6,38 * 10^6 )^2] * m;
F(R) = (9,8 * m) N; (valore massimo della forza). g = G * M / R^2 è circa 10 N/kg. (9,8).
G * M terra / R^2 = 9,8 m/s^2; (circa).
E’ l’accelerazione di gravità g = 9,8 m/s^2; (oppure N/kg).
Il peso dei corpi si calcola: F peso = G M m/ R^2 = m * g.
Quindi il corpo da m = 500 kg è soggetto alla forza:
F = 500 * 9,8 = 4900 N (circa).
Poi la forza diminuisce quando il corpo si allontana dalla Terra, tende a 0 per r che tende all’infinito.
Velocità di fuga dalla Terra:L’energia totale del corpo che deve allontanarsi dalla Terra deve essere 0 J per poter percorrere un’orbita aperta ed allontanarsi fino all’infinito dove l’energia totale sia 0 J, cioè: l’energia potenziale U = – G M m/R = 0 J, l’energia cinetica 1/2 m v^2 = 0 J. Uo + 1/2 m v^2 = 0; Uo = – G * Mterra * m / Rterra; – G * M * m / Rterra – 1/2 m * v^2 = 0; v fuga = √(2 * G * Mterra / Rterra) = 11200 m/s = 11,2 km/s. Esercizio1:Calcolare la velocità di fuga da un pianetadi massa 7,71*10^22 kg e raggio 1,65*10^6m . Esprimere la risposta in km/s.v fuga = radice( 2 * G * M / R); v fuga = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,71*10^22 / 1,65*10^6) = = radice(6,233 * 10^6) = 2497 m/s; circa 2500 m/s; v fuga in km /s = 2,500 km/s. E’ un pianeta piccolo come la Luna, la sua velocità di fuga è bassa. Sulla Terra è 11 km/s. Esercizio2:La nube di Oort si estende oltre i confini del Sistema Solare, fino a una distanza di circa 3 * 10^13 km dal Sole (circa 200 000 volte la distanza Terra-Sole), ed è formata da nuclei di comete composti di polveri e ghiaccio. A causa di perturbazioni indotte dal passaggio di altri corpi, una cometa può lasciare la nube di Oort e cadere verso il Sole. Calcolare la velocità con cui arriverebbe sulla superficie del Sole. Nella nube di Oort possiamo immaginare che l’energia cinetica delle comete sia 0 J, mentre l’energia potenziale vale: Uo = – G Msole * m / Ro; dove Ro = 3 * 10^13 km = 3 * 10^16 m. Quando invece una cometa arriva sulla superficie del Sole avrà energia cinetica 1/2 m v^2 ed energia potenziale U1 = – G Msole * m / Rsole. R sole = 6,7 * 10^8 m. Per la conservazione dell’energia: 1/2 m v^2 – G Msole * m / Rsole = – G Msole * m / Ro; 1/2 v^2 = G Msole * (1 / Rsole – 1/ Ro); v = radice quadrata[2 * G Msole * (1 / Rsole – 1/ Ro)]; v = radice quadrata[2 * 6,67 * 10^-11 * 2 * 10^30 * (1/6,7 * 10^8 – 1 / 3 * 10^16) ]; v = radicequadrata[3,982 * 10^11] = 6,31 * 10^5 m/s; v = 6,31 * 10^5 m/s * 3,6 km/h = 2,27 * 10^6 km/h. Esercizio 3: Un corpo di massa m viene lanciato verticalmente dalla superficie di un pianeta (massa pianeta = Mp, raggio pianeta = Rp ), con una velocità iniziale avente modulo vo = 1/3 · vfuga. Calcolare la quota massima h raggiunta (rispetto alla superficie del pianeta). Ricaviamo la v fuga: Uo = energia potenziale sulla superficie= – G Mp m / Rp 1/2 m vf^2 – G Mp m / Rp = 0; [all’infinito l’energia diventa 0 J]. vf = radice(2 G Mp / Rp); vo = 1/3 vf = 1/3 * radice(2 G Mp / Rp); Conservazione energia: nel punto più alto la velocità diventa 0 m/s. E cin in + Uo = U finale 1/2 m [1/3 * radice(2 G Mp /Rp)] ^2 – G Mp m / Rp = – G Mp m / (Rp + h); m si semplifica: 1/2 * [1/9 * (2 G Mp /Rp)] – G Mp / Rp = – G Mp / (Rp + h); G Mp si semplifica: 1/ (9 * Rp) – 1/Rp = – 1/ (Rp + h); – 8/(9 *Rp) + 1 / (Rp + h) = 0; mcm = 9 Rp (Rp + h); – 8 (Rp + h) + 9 Rp = 0; – 8 Rp – 8 h + 9 Rp = 0; Rp – 8 h = 0; h = Rp / 8, (altezza massima raggiunta). 4) Immagina che un asteroide, partito con velocità nulla da distanza infinita, cada diritto verso la terra senza subire l’influenza gravitazionale di altri corpi celesti. Con quale velocità l’asteroide colpisce la superficie terrestre? Energia totale all’infinito (r = infinito) = 0 J: Ec = 1/2 m v^2 = 0; U = – G M m / r = 0. L’energia si conserva e resta 0 J quando l’asteroide arriva sulla superficie terrestre a distanza r = Raggio terrestre dal centro della Terra. 1/2 m v^2 + U = 0 1/2 m v^2 – G M m / R = 0 v = radice( 2 *G * M / R) = = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) = = 11182 m/s = 11200 m/s = 11,2 km/s; (uguale alla velocità di fuga dalla Terra). v = 11,2 * 3600 s = 40320 km/h. Isaac Newton (1643-1727) La legge di gravitazione universale La Luna non cade sulla Terra perché la forza di gravità la
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Legge delle orbite: Prima legge di KepleroLa legge di Newton sulla gravitazione universale è una legge dinamica; prima di Newton la cinematica del moto dei pianeti era stata descritta da Giovanni Keplero (1571-1630) che aveva sintetizzato le innumerevoli osservazioni sulla posizione dei pianeti fatte da molti astronomi , tra cui Tycho Brahe (1546-1601), in tre leggi empiriche.L’Universo di Keplero è eliocentrico, cioè considera il Sole immobile e i pianeti che ruotano intorno ad esso, ma la posizione del Sole non è più centrale e le orbite dei pianeti non sono perfettamente circolari.
La prima legge riguarda la forma dell’orbita descritta I pianeti si muovono intorno al Sole percorrendo orbite ellittiche.
Il Sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse. Keplero è stato il primo a parlare di orbite ellittiche. La prima legge di Keplero è dimostrabile, come le altre tre,
Legge delle aree: seconda legge di Keplero
Il raggio vettore che collega un pianeta al Sole spazza
aree uguali in tempi uguali. Questa legge dice che il moto del pianeta non è uniforme.
La II legge di Keplero esprime, con altre parole, Si definisce momento angolare L il prodotto vettoriale
del raggio vettore r per la quantità di moto mv del satellite. L = r x mv La conservazione del momento angolare implica che, quando Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima,
Legge dei periodi: terza legge di Keplero
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione Per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo
di rivoluzione T è proporzionale al cubo della distanza media R del pianeta dal Sole.T2 / R3 = costante R è la distanza media dal Sole cioè (Rmax + Rmin) / 2 = semiasse maggiore ” a ” dell’ellisse.
Invertendo il rapporto: Velocità di fuga: E = 1/2 m V^2 – GMm/R ; L’energia totale di un corpo di massa m nelle vicinanze di un corpo più grande di massa M, deve essere < 0 se il corpo m rimane nel campo gravitazionale della massa M: la sua orbita sarà circolare o ellittica. Se E = 1/2 m v^2 – GMm/R = 0, oppure > 0 allora l’orbita sarà aperta, parabolica o iperbolica e il corpo m si allontanerà da M. Condizione per un’orbita aperta, si ricava v, che è la velocità di fuga del corpo: 1/2 m v^2 – GMm/R = 0 v = √(2 * GM/R); Velocità di fuga. Raggio-Terra = 6,38 * 10^6 m Per la Luna: Massa-Luna = 7,4 * 10^22 kg ; Raggio-Luna = 1,738 * 10^6 m v fuga = radquad(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,4 * 10^22 / 1,738 * 10^6) = 2383 m/s = 2,38 km/s Esercizio 1 1. Quanto vale g su un pianeta di massa tripla di quella della terra, 2- A che distanza dalla superficie terrestre deve orbitare 1) g = G * M / R^2 = 9,8 m/s^2 ; (Campo gravitazionale) g’ = G * 3M / (R/3)^3 = (G * M / R^2) * 3 / (1/9) = è un pianeta molto massiccio, quindi attrae molto di più della Terra. g’ = 1/5 g = 1,96 m/s^2 g’ = G * M / (Rterra +h)^2 Rterra + h = radquad(G * M/(1/5g) ) Rterra + h = radquad( 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 1,96) = altezza dalla superficie: Periodo T = 2 * pgreco * radquad ( l/g) Esercizio 2 Phobos, una delle lune di Marte orbita a una distanza di 9378 km, dal centro del pianeta rosso. Marte ha una massa di 6,42 * 10^23 kg. Qual è il periodo di Phobos? Terza legge di Keplero T = T = 27 575 s ; T = 27 575 / 3600 = 7,66 h = 7 h 39,6 minuti Deimos (Terrore) e Phobos (Paura) sono i due satelliti 3) Un satellite di massa 2*10^3 kg ruota intorno alla terra a soluzione: 4) A quale distanza della superficie della terra deve G x M x m / (Rt+ h)^2 = 1/3( G x M x m / (Rt)^2 ) semplificando 1 / (Rt+ h)^2 = 1/ (3 (Rt)^2) (Rt+ h)^2 = (3 (Rt)^2) Rt + h = Rt x radquad3 Esercizio su satellite artificiale terrestre:a) Calcolare il periodo di rotazione intorno alla terra di un satellite artificiale che si muove su un orbita
circolare ad una quota di 900 km, noti il raggio terrestre Rt=6,37 *10^3 km e la massa della terra Mt=5,98*10^24 kg. b) Determinare a quale altezza deve orbitare il satellite, affinché il suo periodo di rotazione sia di 24 ore, cioè sia geostazionario.
Soluzione:
m V^2 /(R+h) = GMm / (R+h)^2 ; Forza di gravitazione = Forza centripeta;
V = 2pgreco * (R+h) / T; T è il periodo;
Sostituiamo nella prima equazione;
m (massa satellite), si semplifica e otteniamo la terza Legge di Keplero:
4 * pgreco^2 / T^2 = GM (R+h)^3;
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