Un corpo di massa 10 kg è appoggiato su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale;
a) rappresentare graficamente la situazione;
b) indicare nel grafico la forza peso e le sue componenti nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano;
c) disegnare la reazione vincolare esercitata dal piano;
d) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione parallela al piano;
e) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione perpendicolare al piano.
Forza peso = m * g = 10 * 9,8 = 98 N; ( è la forza tratteggiata in figura)
Forza peso parallela: F// = m * g * sen30° = 98 x 0,5 = 49 N (Fpx in figura).
Forza peso perpendicolare = m * g * cos30° = 98 * 0,866 = 84,9 N (Fpy in figura).
La reazione vincolare Fv è verso l’alto, opposta alla F perpendicolare al piano.
2) Un operaio sta lavorando su un tetto inclinato di 36° rispetto all’orizzontale . Riesce a non scivolare grazie all’attrito fra le sue scarpe e il tetto. Il valore massimo della forza di attrito statico è 390 N.
Calcolare la massa dell’operaio.
La forza parallela al tetto del peso dell’operaio deve essere uguale alla forza d’attrito che lo frena.
Fattrito = ks * m * g * cos36°m g sen36° = ks * m * g * cos36°
ks = sen36° / cos36° = tan36° ,
ks = 0,73; (coefficiente attrito).
ks * m * g * cos36° = 390 N
m = 390 / (ks * g * cos36°)
m = 390 / 5,79 = 67,4 kg.
2 bis) Un oggetto parte da fermo da un altezza ho e scivola lungo un piano inclinato privo di attrito. Poi risale lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo di 45° con l’orizzontale. Sapendo che il coefficiente d’attrito vale 0,5 calcolare l’altezza massima raggiunta dall’oggetto sul secondo piano.
L’oggetto ha energia Uo = mgho, scende e l’energia diventa cinetica, se non c’è attrito, rimane uguale, si conserva.
Uo = mgho
Forza attrito = 0,5 * mg cos45°; la forza d’attrito fa perdere velocità, fa lavoro negativo e l’oggetto raggiunge una quota h1 < ho.
sen45° = h1 / S
L = Forza x Spostamento;
lo spostamento si trova facendo: S = h1/sen45°;
Lavoro forza attrito = F x Spostamento = 0,5 * mg cos45° * (h1) /sen45°
Lavoro forza attrito = 0,5 x mg x h1 (cos45° / sen45°)
La differenza di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza d’attrito.
cos 45° = sen 45° ; quindi cos45° / sen45°= 1
mgh1 = mgho – Lavoro Fattrito
mg ho – mg h1 = 0,5 * mg * h1 ; mg si semplifica, rimane:
ho – h1 = 0,5 * h1
h1+ 0,5 h1 = ho
1,5 h1 = ho
h1 = ho / 1,5 = ho / (3/2) = 2/3 x ho (nuova altezza raggiunta).
3. Un corpo di massa 8 Kg viene lanciato con una velocità di 1,4 m/s, da un’altezza di 1,3 m, lungo un piano inclinato di 45 gradi; il coefficiente d’attrito è di 0,35. Calcolare accelerazione di discesa e la velocità alla base del piano.
√
Sul piano inclinato le forze sono F parallela al piano e la forza d’attrito.
F// = mg sen45° = 8 x 9,8 x sen45° = 55,4 N
Fattrito = 0,35 x mg cos45° = 0,35 x 78,4 x 0,707 = 19,4 N (forza contraria al moto, frenante)
Fris = 55,4 – 19,4 = 36 N
accelerazione di discesa:
a = Fris / m = 36 / 8 = 4,5 m/s^2
L = Fris * S; L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 (teorema energia cinetica)
spostamento S = h / sen45° = 1,3 / 0,707 = 1,84 m
L = 36 * 1,84 = 66,2 J
1/2 m V^2 = L + 1/2 m Vo^2
1/2 m V^2 = 66,2 + 1/2 * 8 * 1,4^2 = 74 J
V = √(2 * 74/8) = 4,3 m/s
Forze agenti sul piano inclinato.
4. Come si trovano seno e coseno?
In un triangolo rettangolo:
sen(β) = cateto opposto /ipotenusa
sen(β) = Y / R;
allora: Y = R sen(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse y, verticale)
cos(β) = cateto adiacente / ipotenusa
cos(β) = X / R
X = R cos(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse x , orizzontale); vedi figura.
Esempio:
F = 100 N; β = 30°; Fx = 100 * cos30° = 86,6 N; Fy = 100 * sen30° = 50 N
5) Un carro attrezzi solleva una macchina usando il gancio sul davanti per poterla caricare. Quando la parte anteriore è sollevata di h = 1,2 m rispetto al suolo, un gadget che si trova a terra su un tappetino all’interno della macchina inizia a scivolare. Il coefficiente di attrito tra la superficie del tappetino e l’oggetto vale 0,32. Quanto è lunga la macchina?
Il gadget inizia a scivolare sul piano inclinato quando F//, (parallela) al piano inclinato dell’auto è uguale alla forza d’attrito.
α = tan^-1 (0,32) = 17,74°; (con la calcolatrice c’è il tasto tan^-1)
sen 17,74° = 0,305
Il seno è il rapporto fra altezza e ipotenusa; qui l’ipotenusa è la lunghezza L della macchina.
h / L = 0,305; L = h / 0,305 ;
L = 1,2 / 0,305 = 3,9 m ; (lunghezza macchina)
6) Una slitta percorre una discesa di 30 m e inclinata di 34°, con coefficiente d’attrito dinamico Kd = 0,3. Determinare la velocità con cui la slitta arriva in fondo alla discesa.
Forza risultante = (Forza parallela al piano) – (F attrito)
F parallela al piano = F// = m * 9,8 * sen 34° = (m * 5,48) N
Fattrito = Kd mg cos34° = 0,3 * m * 9,8 cos34° = (m * 2,44) N
F ris = (m * 5,48) – (m * 2,44) = (m * 3,04) N
Lavoro forza risultante = Energia cinetica finale
(F ris) * Spostamento = 1/2 m v^2; ( Spostamento = lunghezza pista = 30 m)
m * 3,04 * 30 = 1/2 m v^2; la massa m si semplifica e non serve.
1/2 * v^2 = 3,04 * 30 ;
v^2 = 2 * 3,04 * 30 = 182,4
v = √(182,4) = 13,5 m/s
7) Uno sciatore di massa 40 kg scende su una pista priva di attrito inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 1 m/s^2; (c) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 2 m/s^2.
Lo sciatore scende grazie alla forza peso parallela al piano inclinato e dovrebbe accelerare con una accelerazione:
g// = 9,8 * sen10° = 1,7 m/s^2
F// = m * g// = 40 * 1,7 = 68,1 N
a) Se scende con velocità costante vuol dire che il vento agisce con una forza uguale e contraria:
F vento = – 68,1 N; (se la somma delle forze è 0 N il corpo viaggia con velocità costante, primo principio della dinamica).
b) Se l’ accelerazione è 1 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira in senso contrario con una forza che fa diminuire l’accelerazione:
a = 1 – 1,7 = – 0,7 m/s^2 e frena il moto;
F vento = – 40 * 0,7 = – 28 N
c) Se l’ accelerazione è 2 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira nello stesso verso del moto dello sciatore, lo spinge e fa aumentare l’accelerazione di a = 2 – 1,7 = + 0,3 m/s^2
F vento = 40 * 0,3 = + 12 N
8) Un bambino di massa 35 kg è fermo su uno scivolo alto 1,80 m e lungo 3,70 m.
a) Se l’attrito con lo scivolo è trascurabile, con che forza si sta tenendo fermo?
b) qual è la forza se consideriamo un coefficiente di attrito statico tra il bambino e lo scivolo di 0,780?
Il bimbo pesa F = mg:
F = 35 * 9,8 = 343 N
Sul piano inclinato agisce la forza peso parallela al piano F//;
F// = F peso * sen(α);
F// = 343 * 0,486 = 167 N (il bambino si tiene fermo con questa forza).Se c’è attrito serve una forza minoreF attrito = 0,780 * 343 * cos(25,9° ) = 240,6 N (valore massimo), l’attrito è molto grande, quindi può bilanciare una forza fino al suo valore massimo cioè 240,6 N
Perciò il bimbo resta fermo senza applicare forze.
L’attrito agisce con una forza contraria pari a quella parallela che è 167 N, quindi il bambino resta in quiete.
9)Su un piano inclinato una scatola che pesa 20 N si trova in equilibrio a causa delle forze di attrito. Il piano è lungo 80 cm e alto 40 cm.
Calcolare quanto vale la forza di attrito statico.
All’equilibrio deve essere:
F parallela al piano inclinato = F attrito
F// = mg sen(α); mg = forza peso = 20 N
Fattrito = F//
sen(α) = h/L = 40/80 = 0,5 ; (è un angolo di 30°)
F attrito = 20 * 0,5 = 10 N ; (in verso contrario alla forza parallela al piano che farebbe scendere la scatola).
10) Una sciatrice scende giù per un pendio con inclinazione di 5,0° con una velocità iniziale di 15 m/s. Se il coefficiente di attrito tra lei e il pendio è di 0,18, dopo quanti metri si fermerà?
F risultante = m * a;
Frisultante = F// – Fattrito;
F// è la forza parallela al piano che fa scendere la sciatrice.
F// = m g sen 5° = m * 9,8 * 0,087 = m * 0,85 N
Fattrito = 0,18 * m g cos5° = m * 0,18 * 9,8 * 0,996 = m * 1,76 N
m * a = m * 0,85 – m * 1,76
la massa si semplifica.
L’attrito è maggiore della forza parallela al piano, quindi la sciatrice decelera.
a = 0,85 – 1,76 = – 0,91 m/s^2, decelerazione.
vo = 15 m/s
v = a * t + vo;
V finale = 0
0 = a * t + vo
a * t = – vo
t = – vo/a
t = – 15 / (- 0,91) = 16,5 secondi; tempo per fermarsi.
S = 1/2 a t^2 + vo t = 1/2 * (-0.91) * 16,5^2 + 15 * 16,5
S = – 124 + 248 = 124 m
11) Una forza di 12 N parallela a un piano inclinato di 30° spinge su per il piano un blocco con una velocità costante.
Se il coefficiente di attrito è 0,25, qual è la massa del blocco espressa in kg?
Forza che spinge verso l’alto: F = 12 N; forza positiva.
Forza peso parallela al piano: F// = m * g * sen30° = m * 9,8 * 0,5 = m * 4,9 N; questa forza frena il corpo, è verso il basso, è negativa
Fattrito: Fa = k * m * g * cos30° = 0,25 * m * 9,8 * 0,866 = m * 2,12 N (forza frenante, anch’essa negativa).
Se il blocco viaggia a velocità costante la somma delle forze è 0 N per il primo principio della dinamica di Newton:
Fris = 0 N, allora un corpo o resta in quiete o si muove con v costante.
+ 12 – m * 4,9 – m * 2,12 = 0
m * ( 4,9 + 2,12) = 12
m * 7,02 = 12
m = 12 / 7,02 = 1,71 kg; (circa 1,7 kg); massa del blocco.
12) Matteo deve caricare una scatola di mattoni di massa 150 kg su un camion, ad un’altezza da terra di 80 cm. Per farlo, lega i mattoni a un cavo per poi tirare il cavo lungo uno scivolo disposto tra il camion e la terra, senza attrito. Il cavo può sopportare una forza massima di 196 N
Calcolare la lunghezza minima dello scivolo perché il cavo non si spezzi.
Forza Peso mattoni: Fp = 150 * 9,8 = 1470 N
F// sul piano deve essere 196 N affinché non si rompa il cavo.
Fp * sen(angolo) = 196 N
sen(angolo) = 196/ Fp = 196 / 1470 = 0,133
sen(angolo= = h / L
h = 0.80 m
L = lunghezza scivolo
0,133 = 0,80 / L
L = 0,80 /0,133 = 6 metri ( lunghezza minima per non fare rompere il cavo).
13) Un vaso di fiori di massa 4,2 Kg viene appoggiato su un piano inclinato di lunghezza 2,0 m e altezza 0,4 m. Il vaso di fiori è in equilibrio sotto l’azione della forza d’attrito. Determina l’intensità della forza attrito che tiene in equilibrio il vaso di fiori. Determina il valore del coefficiente di attrito.
sen(angolo) = 0,4/2,0 = 0,2
F// = m * g * sen(angolo) = 4,2 * 9,8 * 0,2 = 8,23 N (forza parallela al piano verso il basso)
La forza d’attrito è uguale e contraria alla forza parallela se il corpo è in equilibrio, fermo.
F attrito = 8,23 N verso l’alto
F attrito = Ks * m * g * cos(angolo)
Ks * 4,2 * 9,8 * cos(angolo) = 8,23
angolo = sen^-1 (0,2) = 11,54°
cos(11,54°) = 0,980
Ks * 4,2 * 9,8 *0,980 = 8,23
Ks * 40,34 = 8,23
Ks = 8,23 / 40,34 = 0,20
14) Un uomo sta tenendo ferma una cassa di massa 50 Kg su un piano inclinato, esercitando su di essa una forza parallela al piano inclinato. Il piano inclinato è lungo 5 m e forma un angolo di 30° col piano orizzontale. Si trascuri la forza attrito. Determinare il valore della forza equilibrante applicata dall’ uomo.
F// = m * g * sen(30°)
F// = 50 * 9,8 * 0,5 = 490 * 0,5 = 245 N ( verso il basso, parallela al piano)
L’uomo deve esercitare una forza contraria alla forza parallela
15) Una poltrona è appoggiata sul pavimento. In quel punto sviluppa una reazione vincolare di 340 N. Determina la massa della poltrona.
La reazione vincolare è uguale al peso. Il peso verso il basso, la reazione vincolare verso l’alto. Disegnare due vettori uguali e di verso contrario, partendo dal centro della poltrona.
m = Fpeso / g = 340/9,8 = 34,7 kg; (massa).
16) Un lampadario di massa 4,3 Kg è sospeso al soffitto mediante una fune (dal peso trascurabile). Disegnare il diagramma di corpo libero. Determinare la tensione della fune. F peso = m * g = 4,3 * 9,8 = 42,14 N (forza peso verso il basso)
Tensione della fune: uguale alla forza peso, però verso l’alto. Disegna i due vettori che partono dal centro del lampadario uno verso l’alto e uno verso il basso.
17) Due blocchi di massa 2,0 kg e 7,0 kg sono
connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura sotto). I piani inclinati sono lisci. Trovare (a) l’accelerazione di ciascun blocco; (b) la tensione della fune.
a = 28,11/(2+7) = 4,02 m/s^2 ( verso destra, dalla parte del corpo m2 = 7 kg).
Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto):
T – F//1 = m1 * a; T = m1 * a + F//1;
T = 2 * 4,02 + 11,24 = 19,3 N.
18) Due blocchi di massa m2 = 2,0 kg verticale e m1 = 3,0 kg sul piano inclinato di 30°, sono connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura sotto).Coefficiente d’attrito sul piano = 0,1.
Trovare (a) l’accelerazione di ciascun blocco; (b) la Tensione della fune.
Poniamo che il sistema si muova dalla parte di m2 = 2 kg ed m1 salga verso l’alto. L’attrito è verso il basso come la forza parallela, negative entrambe.
Fattrito = 0,2 * m1 * g * cos30° = 0,1 * 3,0 * 9,8 * cos30° = 2,55 N
m2 * g – T = + m2 * a (scende)
– m1 * g * sen30° – Fattrito + T = + m1 * a (m1 sale verso l’alto, trainato da T);
T = + m2 *g – m2 * a
– m1 * g * sen30° – Fattrito + (m2 * g – m2 *a) = + m1 * a
– 3* 4,9 – 2,55 + 2 * 9,8 – 2 * a = 3 * a
– 2 * a – 3 * a = 14,7 + 2,55 – 19,6
– 5 * a = – 2,35
a = – 2,35/ (-5) = + 0,5m/s^2 Viene positiva, quindi il verso scelto è giusto;
T = 2 * (9,8 – 0,5) = 18,6 N (tensione lungo la fune)
m2 scende e trascina m1 verso l’alto sul piano inclinato.
18) Due corpi sul piano con attrito.
F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93N
F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 x 1 x 9,8 x 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N.
Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.
Forze sul corpo 1 frenanti, negative perché verso sinistra, Tensione T positiva.- 6,93 – 1,39
+ T = m1 * a ; accelerazione verso l’alto, positivaForze sul corpo 2
+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = a
12,81 – T = 4 * a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N
a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2
Due sferette hanno entrambe un eccesso di elettroni paria n= 2,4 * 10^ 12 elettroni. La distanza R = 37 cm tra le sferette è molto maggiore del loro raggio.
– Calcolare l’intensità della forza con cui le sferette si respingono.
La carica dell’elettrone (negativa), vale in valore assoluto 1,602 * 10^-19 C, come la carica del protone (positiva).
Legge di Coulomb:
F = K q1 * q2 / R^2 ; ( K costante nel vuoto, vale 9 * 10^9 N·m^2/C^2;
K si può scrivere come 1/(4 π εo),
dove εo viene chiamata costante dielettrica e nel vuoto vale:
εo = 8,85 · 10^-12 F/m; (oppure εo = 8,85 · 10^-12 C^2 /(N·m^2) )
q1 = q2 = q; allora:
F = K * q^2 / R^2; R = 0,37 m
q = (n elettroni) * (- 1,602 * 10^-19 C) =
= 2,4 ·*10^12 * ( – 1,602 * 10^-19 ) = – 3,84 · 10^-7 C
(le cariche sono negative, si respingono. Quando si calcola la forza, non si mettono i segni alle cariche, si prende il valore assoluto).
Forza di Newton; Forza di Coulomb. Sottraendo a due sfere di uguale massa, inizialmente scariche, 5,4 * 10^6 elettroni ciascuna, si genera una forza elettrica repulsiva che controbilancia la forza attrattiva gravitazionale. Calcola la massa delle due sfere trascurando la massa degli elettroni. [10 g]
Hai due sferette identiche di raggio 10 cm. In una mancano 4,50 * 10^14elettroni, nell’ altra sono stati aggiunti 3,40 * 10^14 elettroni. Le due sfere vengono messe a contatto. Indica:
a) Se dopo il contatto le due sfere hanno carica positiva o negativa.
b) Il valore della carica elettrica su ciascuna sfera dopo il contatto.
4. La forza attrattiva tra due cariche uguali, ma opposte, è di 2,5*10^-4 N quando le cariche sono poste nel vuoto a una distanza di 9 cm.
Determinare il valore delle cariche
La legge di Coulomb: F = K q1 q2 / R^2; (R in metri sempre).
Se le cariche sono uguali, nella formula scriviamo q · q = q^2
F = K · q^2 / R^2; q^2 = F · R^2/Kq = √( 2,5 · 10^-4 · 0,09^2 / 9 · 10^9 ) = 1,5 · 10^-8 C.
4 bis. Due cariche si attraggono con una forza di 1,5 N. Quale sarà la forza se la loro distanza viene ridotta a un nono del valore iniziale?
La Forza di Coulomb diminuisce con il quadrato della distanza. Aumenta con il quadrato della distanza: se la distanza diventa la metà, la forza diventa 4 volte maggiore, se la distanza triplica, la forza diventa 9 volte maggiore.
F = K q1 q2 / r^2; Se la distanza diminuisce di 9 volte, la forza aumenta di 9^2.
Se r1 = r/9; r1^2 = r^2 / 81; allora F1 = K q1 q2 / (r^2 / 81) = 81 · ( K q1 q2 / r^2).
F1 = 81 · 1,5 = 121,5 N
Campo Elettrico uniforme E; è la forza che agisce sull’unità di carica posta in un punto dello spazio.
E = F / q; F = q * E.
Numero 10)
F = q * E = – 6,5 * 10^-9 * ( +1,78 * 10^7) = – 0,116 N, (forza verso sinistra).
La forza è nel verso contrario al campo, quindi comprime la molla verso sinistra.
k * x = F;
x = F / k = 0,116 / 5,5 = 0,021 m = 2,1 cm; (compressione della molla).
Numero 11)
F = q * E;
1) F = (- 1) * 2 = – 2 N; (verso opposto al campo E).
2) F = (+ 1,5) * 2 = + 3 N; (stesso verso del campo E).
F = Q * E;
F = 0,37 * 10^-11 * 10 = 0,37 * 10^-10 N; (forza elettrostatica verso l’alto come il campo E);
F peso = m * g = 6,15 * 10^-15 * 9,8 = 6,03 * 10^-14 N (verso il basso);
F elettrostatica / F peso = 614;
La forza elettrostatica è 614 volte maggiore della Forza peso; quindi il peso si può trascurare.
a = F / m = 0,37 * 10^-10 / (6,15 * 10^-15) = 6016 m/s^2 ;
a = 6,0 * 10^3 m /s^2; (accelerazione verso l’alto).
5) Due palline cariche positivamente, di uguale massa m, sono appese nello stesso punto al soffitto di una stanza tramite due fili non conduttori di lunghezza L. A causa della repulsione elettrostatica le palline si allontanano di una distanza pari ad x ed i fili formano simmetricamente un angolo piccolo con la verticale. Se l’angolo è così piccolo da poter essere approssimato dal suo seno, determinare la carica Q presente su ogni pallina.
(L=122,0 cm | m=11,2 g | x = 4,7 cm).
sen(alfa) = (x/2) / L = 2,35/122 = 0,0193;
F peso = m g;
Forza peso Fx attrattiva lungo l’asse x:
Fx = m g tan(alfa).
Se alfa è piccolo tan(alfa) = sen(alfa).
Fx = (11,2 * 10^-3 kg) * 9,8 * 0,0193 = 2,12 * 10^-3 N;
Forza elettrostatica repulsiva: Forza di Coulomb.
Fe = k Q^2 / x^2;
Fe = Fx;
k Q^2 / x^2 = 2,12 * 10^-3;
Q^2 = 2,12 * 10^-3 * x^2 / k;
x = 0,047 m;
Q^2 = 2,12 * 10^-3 * 0,047^2 / 9 * 10^9 ;
Q = radicequadrata(5,199 * 10^16) = 2,28 * 10^-8 C. (Carica presente sulle palline).
5 bis) Si abbiano due sferette conduttrici uguali, l’una A fissa e l’altra B mobile, di massa m = 2,3 g, sospese nel vuoto mediante fili di lunghezza L=12 cm ad un punto O. Inizialmente le due sferette si toccano. Se si porta su ciascuna sferetta la carica q, la sferetta B si allontana da A e nella nuova posizione di equilibrio il filo di sospensione di B forma un angolo α = 60° con quello di A. Calcolare il valore della carica q.
Soluzione:
distanza r fra le cariche = L, il triangolo è equilatero.
La forza elettrostatica agisce lungo la congiungente le due cariche r.
Cariche dello stesso segno si respingono. Le cariche possono essere tutte e due positive o tutte due negative.
k q^2 / L^2 = (Forza peso lungo r) + (Tensione lungo r);
6. Pendolo conico: una carica appesa si muove attorno ad un’altra carica fissa.
F centripeta = T * sen45° + k q^2/r^2 ;
r = 50 * sen45° = 35,4 cm.
T = (F peso)/cos45° = 0,49 / 0,707= 0,69 N;F elettrostatice = 9*10^9 * (2,5 * 10^-6)^2 / (0,354)^2 = 0,449N;
Fcentripeta = 0,69*sen45° + 0,449 =0,94 N;
a centripeta = 0,94/0,050 = 18,8 m/s^2;
v^2/r = 18,8;
v = radice(18,8 * 0,354) = 2,58 m/s; T = 2 * 3,14 * 0.354 / 2,58 = 0,86 s; con cariche opposte che si attraggono.
Con le cariche uguali che si respingono:
F centripeta = T sen45° – k q^2/r^2 = 0,04 N; a = 0,04 / m = 0,82 m/s^2;
v = radice(0,82 * 0,354) = 0,54 m/S; T = 2 *3,14 * 0,354 / 0,54 = 4,12 s.
Nel pendolo conico (dove agisce solo la gravità), ci sono solo il peso e la tensione responsabili del moto. La forza centripeta è la somma vettoriale di Peso e Tensione . Il peso si scompone lungo il raggio e lungo il filo verso il basso. La Tensione dipende dal peso. La forza elettrostatica agisce solo lungo il raggio.
Pendolo conico con solo la forza di gravità agente: E’ il peso che fa girare il pendolo una volta messo in moto.5 bis. Due cariche, rispettivamente di 5,0 nC e 10 nC, sono a distanza di 8,0 cm. Volendo inserire una terza carica di intensità -3,0 nC sulla retta congiungente le due cariche iniziali, in che punto di tale retta deve essere posta la terza carica affinché essa sia in equilibrio?
x = – r +- radice(r^2 + r^2 ) = – r +- radice( 2 r^2 )
x1 = – 0,08 + radice(0,0128) = – 0,08 + 0,113 = 0,033 m = 3,3 cm (distanza di Q1 da q)
r – x1 = 8 – 3,3 = 4,7 cm ( distanza di Q2 = 10 * 10^-9 C da q),
x2 = – 0,08 – radice(0,0128) = – 0,08 – 0,113 = – 0,193 m = – 19,3 cm (negativa, esterna, la scartiamo
Quindi q deve porsi a 3,3 cm da Q1 = 5 ^ 10^-9 C
e a distanza r – x = 4,7 cm da Q2 = 10 * 10^-9 C
Sia Q1 che Q2 attraggono la carica q negativa, quindi q resta ferma.
F1 = 9 * 10^9 * 5 * 10^-9 * 3 * 10^-9 /0,033^2 = 1,2 * 10^-4 N
Spostando la carica negativa verso la lamina negativa, la sua distanza dal filo aumenta, il campo del filo E2 diminuisce, mentre il campo della lamina E1 è costante, resta lo stesso;
E1(lamina) > E2 (filo);
F1 = e * E1, repulsiva; il campo della lamina respinge l’elettrone con forza F1
F2 = e * E2, repulsiva; il campo del filo respinge l’elettrone con forza F2;
F1 > F2; l’elettrone si muoverà verso il filo, respinto dalla forza della lamina che è maggiore di quella del filo.
8) Nel vuoto due cariche negative, Q1, e 3 Q1, sono fissate tramite isolanti a 50 cm l’una dall’altra. Una terza carica viene posta sulla loro congiungente. A quale distanza deve essere posta e quale carica deve avere per mantenere la situazione di equilibrio? Il tipo di equilibrio, stabile o instabile, dipende dal segno della carica generica? Usa come riferimento la carica Q1. Generalizza per il caso Q1 e nQ1.
Q1 e 3Q1 hanno lo stesso segno. Una carica q posta fra le due cariche subirà due forze una in un verso e una in verso opposto. Quindi sarà in equilibrio instabile sia che sia + q, sia che sia – q. Tra Q1 e 3Q1 la distanza è 0,5 m
F = k Q q/r^2; forza di Coulomb.
k Q1 q / x^2 = k 3Q1 q / ( 0,5-x)^2
1/x^2 = 3 / (0,5 – x)^2
(0,5 – x)^2 = 3 x^2
3 x^2 = 0,25 + x^2 – x
2 x^2 + x – 0,25 = 0
x = (-1 +- radice(1 + 4 * 2 * 0,25) / 4
x = (-1 +-radice(3) )/4
x = (-1 + 1,73) / 4 = 0,183 m = 18,3 cm (distanza di q da Q1
50 – 18,3 = 32 cm (distanza di q da 3Q1)
Per Q ed nQ
1/x^2 = n / (0,5 – x)^2
x^2 = (0,5 – x)^2 / n.
9. Due sfere conduttrici identiche di carica Q=4,1 μC sono allineate verticalmente. La sfera sottostante è appoggiata su un piano e ha massa uguale a 15 g. A che distanza dovrebbe essere posta da quella sopra per riuscire a far “staccare” la sfera sottostante dal piano?
La forza di Coulomb deve essere uguale o leggermente maggiore della forza peso della sfera sottostante, affinché cominci a sollevarsi. Le due cariche avranno segno opposto per potersi attrarre.
Fpeso = m g = 0,015 kg · 9,8 = 0,147 N (verso il basso)
F Coulomb = K Q · Q / R^2 (verso l’alto)
mg = K Q · Q / R^2
mg = K Q^2 / R^2
R^2 = K Q^2 / (mg)
Q è 4,1 microCoulomb = 4,1 · 10^-6 C
R = √(K Q^2 / (mg) ) = √(9 · 10^9 · (4,1 · 10^-6)^2 /0,147) =√(1,029) = 1,01 m.
10) Una gocciolina d’acqua, presso la superficie terrestre, possiede una carica elettrica pari a -5e. Calcolare il diametro della goccia affinché resti in equilibrio nel campo elettrico terrestre.
In condizioni di bel tempo il campo elettrico in prossimità della superficie terrestre ha un valore medio di circa 120 V/m
E = – 120 V/m; (valore medio, negativo perché la Terra ha carica negativa).
q = – 5 * 1,602 * 10^-19 = – 8,01 * 10^-19 C.
La carica q, negativa viene respinta verso l’alto dalla forza elettrostatica. F = E * q è positiva verso l’alto.
La forza peso invece è verso il basso. Se le due forze sono uguali e contrarie in verso, la gocciolina non cade.
Diametro = 2 * r = 2,66 * 10^-5 cm = 2,66 * 10^-7 m
Diametro = 0,266 * 10^-6 m = 0,266 micrometri.
11) Una goccia d’inchiostro di massa m=7 µg e con carica negativa di modulo q =1,1 pC passa tra i piatti di deflessione della stampante, lunghi 1,2 cm, con velocità orizzontale vx=9m/s. I piatti sono carichi e producono un campo elettrico rivolto verso il basso E=4 x106N/C. Qual è la deflessione verticale della goccia di inchiostro all’uscita dai piatti?Forza elettrostatica:
Fe = q * E verso l’alto perché q è negativa.
Fe = 1,1 * 10^-12 * 4 *10^6 = 4,4 * 10^-6 N; verso l’alto.
F peso = m * g = (7 * 10^-9 kg) * 9,8 = 6,86 * 10^-8 N; verso il basso.
F ris = Fe – F peso = 4,33 * 10^-6 N,
accelerazione verticale verso l’alto:
a = F ris / m = 4,33 * 10^-6 / (7 * 10^-9) = 619 m/s^2;
vx = 9 m/s;
x = vx * t ;
t = x / vx = 0,012 / 9 = 1,33 * 10^-3 s; (tempo per percorrere la lunghezza dei piatti.
y = 1/2 a t^2 = 1/2 * 619 * (1,33* 10^-3)^2 = 5,5 * 10^-4 m;
y = 0,55 * 10^-3 m = 0,55 mm. Deflessione verticale verso l’alto.
Q2 = +3,0 * 10^-9 C, sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato L = 40 cm.
a) Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1nel vuoto.
b) Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (ε = 21).
Al centro del quadrato ora è posta una carica Q = – 3,0 x 10^-9 C. Determinare direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q. Soluzione:
F12 = F14 sono forze attrattive; Q1 viene attratta da Q2 e Q4;
Sulla carica negativa nel centro si sommano F1 ed F3. Le altre due forze sono uguali e contrarie, si annullano.
Distanza = metà diagonale. d = 0,40 * radice(2) / 2 = 0,20 * radice(2) m.
Q e Q1 sono negative, la forza è repulsiva.
F1 = 9 * 10^9 * 3,0 * 10^-9 * 2,0 * 10^-9 / [0,20 * radice(2) ]^2 ;
F1 = 6,75 * 10^-7 N; diretta da Q verso Q3, perché Q1 respinge Q.
F3 = 9 * 10^9 * 3,0 * 10^-9 * 3,0 * 10^-9 / [0,20 * radice(2) ]^2 ;
F3 = 10,125 * 10^-7 N, verso + Q3 che attrae – Q ;
F ris = F1 + F3 = (6,75 + 10,125) * 10^-7 = 16,9 * 10^-7 N = 1,7 * 10^-6 N.
13)Si determini il campo elettrico e il potenziale elettrico nel punto centrale del quadrato in figura, di lato L = 5,20 cm. Si assuma che q = 11,8 nC .
(εo= 8.85 * 10^-12 C^2 / Nm^2; ko = 1 / ( 4π εo ) = 9 * 10^9 N m^2/C^2).
I vettori campo devono partire dal punto al centro P. La distanza dalle cariche deve essere in metri. L = 0,0520 m
r è la distanza del centro dalle cariche, è metà diagonale del quadrato.
diagonale d = radice (L^2 + L^2) = radice (2 * 5,20^2) = radice(54,08) = 7,35 cm.
r = d/2 = 7,35/2 = 3,7 cm = 0,037 m
r = diagonale/2 = L * radice(2) /2 = 0,0520 * 0,707 = 0,037 m
Sono sulla diagonale ( + q , + 2q) in verso contrario, si sottraggono:
E12 = E2 – E1 = 7,23 * 10^5 N/C, (verso + q, in alto a sinistra)
Campo di – q, da P verso – q, campo entrante, negativo:
E3 = E1 = – 7,23 * 10^5 N/C
Campo di – 2q, da P verso – 2q, campo entrante:
E4 = – 2E3 = – 14,46 * 10^5 N/C
E3 ed E4 sono sull’altra diagonale, in verso contrario, si sottraggono in valore assoluto, senza segno:
E34 = E4 – E3 = 14,46 * 10^5 – 7,23 * 10^5 = 7,23 * 10^5 N/C, ( verso – 2q in alto a destra)
Somma dei due campi E12 + E34, fra essi c’è un angolo retto. Si sommano trovando la diagonale del quadrato che ha per lati i due vettori.
Er = radice (E12^2 + E34^2 ) = 10,22 * 10^5 N/C, diretto verso l’alto, partendo dal centro P.
Per il potenziale è più semplice, perché si sommano i potenziali con il loro segno, non sono vettori, sono scalari, cioè numeri, indicano l’energia per unità di carica nel punto P a distanza r. Le cariche negative producono potenziale negativo.
Potenziale V = k q1/r + k 2q/r – k q/r – k 2q/r = k 3q/r – k 3q/r = 0 Volt
(1 V = 1 J/C).
14. Quattro cariche puntiformi uguali q = 160 nanoCoulomb sono poste sui vertici di unquadrato di lato a.
Quale carica Qx deve essere posta al centro del quadrato perché ogni carica q sia soggetta a una forza risultante nulla?
Ogni carica positiva posta in un vertice è soggetta a tre forze dovute alle altre tre cariche positive. Le forze sono repulsive.
Sulla carica 1:
Fris = F12 + F14 + F13
F12 ed F14 sono uguali in modulo e vettori ad angolo retto si sommano con il teorema di Pitagora. Distanza r = a
F13 è lungo la diagonale.
Distanza r3 = a *radice(2) ; al quadrato diventa r3 = a^2 * 2
1 eV = 1,602 * 10^-19 J (energia che un elettrone acquista quando attraversa una differenza di potenziale di 1 Volt.
L (in eV) = + 3,204 * 10^-18 / (1,602 * 10^-19 ) = 20 eV.
9): Lavoro per formare una distribuzione di cariche.
I punti A, B, C e D sono nei vertici di un quadrato di lato a = 2cm.
Quanto lavoro si deve compiere per collocare una carica positiva q=5 *10^-6 C in ciascun vertice?
Il lavoro è uguale alla variazione di energia potenziale. All’infinito l’energia è 0 J
l’energia finale è la somma di tutte le energie U fra le cariche.
U = k q1q2/r
r è la distanza fra le cariche.
r = lato a = 0,02 m;
r = diagonale quadrato d = a * radice2 = 0,028 m.
U = k q1 q2/a + k q1 q3/d + k q1 q4/ a + k q2q3/a +
+ k q3q4/a + kq2q4/d;
U1 = k q1 q2/a = 9 * 10^9 * (5 * 10^-6)^2 / 0,02 = 0,225 / 0,02 = 11,25 J; (ci sono 4 termini con questo valore)
U2 = k q1 q3/d = 0,225 / 0,028 = 8,04 J; (ci sono 2 termini con questo valore).
U = 4 * 11,25 + 2 * 8,04 = 61,1 J
L = Delta U = 0 – 61,1 J
10 . Due sfere hanno stessa massa m e stessa carica Q, sono sospese allo stesso punto da due fili inestensibili con lunghezza L. Quando le sfere sono a riposo i pendoli risultano inclinati di angolo α rispetto alla verticale. Determinare la carica Q.
(m = 10 g; L = 0,8 m; α = 30°).
Felettrica + Forza peso = Diagonale del rettangolo che ha per lati i due vettori (Ris). Questa diagonale è uguale e contraria alla tensione lungo il filo, T, in modo che la somma dei vettori sia 0 N
quindi Fe = Fpeso * tan α ; Fe = 0,01 · 9,8 · tan30° = 0,057 N
Fe = K Q^2 /r^2; Q = √(Fe · r^2 / K)
r = 2 · L · senα = 2 · 0,8 · sen30° = 0,8 m
Q = √(0,057 · 0,8^2 / (9 · 10^9) ) = 2 · 10^-6 C.
11. Un elettrone si sposta da un punto A ad un punto B, distanti 2 metri, lungo la direzione e il verso di un campo elettrico uniforme e costante di modulo E=100 V/m. Determinare la differenza di potenziale, di energia potenziale elettrica e di energia cinetica dell’elettrone tra A e B. ( e = 1.6*10^-19 Coulomb).
Delta V = Va – Vb = E · d = 100 · 2 = 200 Volt; (differenza di potenziale)
( Intendiamo DeltaV in valore assoluto in quanto DeltaV = Vb – Va = – 200 V)
Va > Vb; le linee di forza del campo vanno da potenziale maggiore (polo positivo +), verso il potenziale minore (polo negativo -). Se l’elettrone negativo si sposta da A a B va verso il polo negativo, quindi viene frenato dal campo E.
Lavoro L del campo: L = Ua – Ub = – 3,2 · 10^-17 J < 0 è negativo perché l’elettrone viene rallentato nel suo moto.
Per il teorema dell’energia cinetica:
L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 ; il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica quindi
DeltaEc = – 3,2 · 10^-17 J ; la velocità dell’elettrone diminuisce.
Legge di Coulomb:
Due sferette uguali hanno perso 2,4 · 10^12 elettroni ciascuna. Si trovano a 37 cm di distanza.
Qual è la forza elettrostatica fra esse?
F = K q1 · q2 / R^2 ; ( K nel vuoto vale 9 * 10^9 Nm^2/C^2)
F = K · q^2 / R^2; R = 0,37 m; q1 = q2 = n · 1,602 · 10^-19 C;
12. Tre cariche elettriche sono disposte come in figura. q1 = q2 = – 2 C.
q1 è sull’asse orizzontale; q2 è in basso sull’asse verticale. La distanza L indicata in figura è pari 3 metri. Calcolare la forza esercitata sulla carica di q3 = -3 C .
Forza fra q3 = – 3 C e q1 = – 2 C sull’asse orizzontale, repulsiva, quindi q3 viene spinta verso destra nella figura lungo l’asse.
Distanza fra q2 = – 2 C sull’asse verticale e q3 = – 3 C ;
R23 = radicequadrata ( 4L^2 + L^2 ) = L x (√ 5) = 6,71 m
Fobliqua = F23 = 9 · 10^9 · 3 · 2 / (3 √5)^2 = 1,2 · 10^9 N repulsiva lungo R
R23 è l’ipotenuss del triangolo che ha per vertici O q2 q3. Consideriamo l’angolo
in q2. Il seno dell’angolo è il cateto opposto L diviso l’ipotenusa R23 = L radice(5)
F13 + Fx = (1,2 + 0,54) · 10^9 = 1,74 x 10^9 N (componente lungo l’asse orizzontale);
Fvertic = Fy = 1,07 · 10^9 N (componente lungo l’asse verticale) ;
Con il teorema di Pitagora:
Frisultante = (√(1,74^2 + 1,07^2) ) · 10^9 = 2,04 · 10^9 N
13. Perché si è stabilito che il verso della corrente elettrica sia opposto al reale movimento degli elettroni?
E’ stato Ampère a stabilire il verso. Non sapeva esistessero gli elettroni, scoperti da Thomson nel 1897. Per la nostra testa è più facile pensare a cariche positive che vanno dal polo + positivo, verso il polo – negativo, particelle che vanno in discesa da potenziale più alto verso potenziale più basso, come oggetti che cadono. Invece succede il contrario, elettroni che vanno dal – verso il +.
Ma ormai Ampère aveva definito la corrente, da tanto tempo, quindi è rimasta questa convenzione di comodo e nei circuiti si disegna il verso della corrente dal + al – .
14. In un condensatore a facce piane e parallele è immagazzinata un’energia di
1 microjoule. L’ area delle facce è di 25 mm^2 mentre la distanza tra le armature è di 0,5 mm
Trovare il valore del campo elettrico tra le armature del condensatore.
Energia accumulata = 1 x 10^-6 J ;
εo = 8,85 · 10^-12 F/m (costante del dielettrico del vuoto).
Energia = 1/2 C V^2 ; (lavoro di carica del condensatore).
C = εo · Area / d = (8,85 · 10^-12 ) · (25 ·10^-6 m^2) / ( 0,5 · 10^-3 m)
C = 4,425 · 10^-13 F
V ^2 = 2 · Energia /C
V = √( 2 · Energia /C) = √( 2 · 10^-6 / 4,425 · 10^-13 ) = 2126 V
15. Una sferetta di carica q è massa m è inserita all’interno di un condensatore a facce piane e parallele quadrate di lato L.
Quanta carica elettrica è necessario accumulare sulle armature perché la sferetta possa rimanere sospesa a mezz’aria in equilibrio?
Deve essere: Forza peso = Forza elettrostatica
mg = qE;
E = mg/q
Il campo fra le lamine del condensatore:
E = (densità di carica) / εo ;
( costante del dielettrico εo = 8,85 x 10^-12 F/m)
densità di carica: σ = (Carica Q) /Area = Q /L^2; Q = carica su una lamina.
E = Q / (L^2 * εo)
Q / (L^2 * εo) = mg/q
Q = (L^2 * εo) * mg / q
16.Due piastre in metallo di forma quadrata con lato L = 12 cm sono affacciate, parallele al suolo ed elettricamente cariche con carica Q = 9 · 10^-8 C. La lamina in alto è negativa.
Quale carica deve possedere un oggetto di massa m = 20 grammi posto fra le piastre per essere in equilibrio statico?
La forza peso deve essere uguale e contraria alla forza elettrica.
La forza peso è verso il basso: mg = 0,02 kg · 9,8 = 0,196 N
La forza elettrica deve essere verso l’alto: E · q = 0,196 N
E = sigma / εo; sigma è la densità di carica di una lamina:
q = mg / E = 0,196 / (7,06 ·10^5) = 2,78 · 10^-7 C
Se la piastra superiore è caricata negativamente (- Q), bisogna che q sia positiva per avere la forza attrattiva verso l’alto ed equilibrare la forza peso.
17.Un elettrone di muove di moto rettilineo uniforme con v =1,3 ·10^6 m/s. Esso entra in una regione di spazio dove è presente un campo elettrico uniforme di 10^2 V/m che lo rallenta fino a fermarsi. Qual è il verso del campo? Quanto lavoro compiono le forze del campo? Quale distanza percorre l’elettrone prima di fermarsi?
L’elettrone si muove lungo le linee di forza del campo che sono nello stesso verso della velocità. Le linee di forza vanno dal + verso il – e quindi l’elettrone viene rallentato fino a fermarsi perché respinto dal polo negativo.
Lavoro = 1/2 m Vfin^2 – 1/2 m Vo^2; Teorema energia cinetica ; Vfin = 0 m/s
L = 0 – 1/2 ·9,11 x 10^-31 · (1,3 · 10^6)^2 = – 7,7 · 10^-19 J (lavoro resistente)
F = e * E = -1,602 · 10^-19 · 10^2 = -1,602 · 10^-17 N (forza frenante)
F * Spostamento = Lavoro
Spostamento = L / F = 7,7·10^-19 / 1,602 · 10^-17 = 0,048 m = 48 mm
18. Un condensatore della capacità di 0,1 milliFarad è caricato sino ad immagazzinare un’energia elettrostatica di 0,5 J.
– Quanti elettroni sono stati trasportati (da una batteria) da una piastra all’altra del condensatore?
– Che differenza di potenziale vi è tra le due piastre del condensatore?
Lavoro di carica = Energia = 1/2 C V^2; oppure E = 1/2 Q^2/C
Q =√(2EC) =√(2 · 0,5 · 0,1 · 10^-3 ) = 0,01
numero elettroni N = 0,01 /(1,6 · 10^-19) = 6,25 · 10^-16 elettroni
C = Q / V;
V = Q / C = 0,01 / (0,1 · 10^-3) = 100 V.
19 ) Problema di fisica su potenziale elettrico,
Il campo E è un vettore perpendicolare alle superfici e va da valore maggiore verso il valore minore del potenziale.
E * d = Vo – V1,
d = distanza fra la superficie 0 V e la superficie 800 V.
Le superfici formano un angolo alfa con l’asse delle x, vedi figura sottostante:
tan(alfa) = 4,0/8,0 =0,5
alfa = tan^-1(0,5) =26,57°,
8 mm sull’asse x è l’ipotenusa, d è il cateto opposto ad alfa.
d = (8 mm) * sen(26,57°) = 3,58 mm = 3,58 * 10^-3 m,
E = (Vo – V1) / d;
E = (800 – 0) / 3,58 * 10^-3 = 2,23 * 10^5 V/m
d/4 = 3,58 * 10^-3 / 4 = 0,9 * 10^-3 m ( distanza fra due superfici (differenza 200V)
Distanza fra superfici di 100 V:
(8 intervalli fra 0 e 800 V):
d / 8 = 0,45 * 10^-3 m = 4,5 * 10^-4 m (distanza fra superfici – differenza di 100 Volt).