Postulati della Relatività speciale (1905)
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“Se non riesci a spiegare una teoria di fisica con parole semplici vuol dire che non l’hai capita” |
C = velocità della luce. Dal latino: velocità = “Celeritas – celeritatis” (terza declinazione)
Gli scienziati che hanno cambiato la scienza e la storia del XX secolo.
Solvay conference, 1924. Fourth Solvay Conference, Bruxelles , 1924, the theme was the electrical conductivity of metals.
Albert Einstein (1879-1955), partiva da due postulati:
- Primo postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
- Secondo postulato (invarianza della velocità della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo postulato è un’estensione di quello di Galilei. Il secondo postulato generalizza l’osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche (onde acustiche, onde sull’acqua, onde su una corda) si propagano con una velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell’eccitazione si muove rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio, rimosso l’etere inutile, è omogeneo e isotropo. Quindi non c’è bisogno di misurare la velocità della luce rispetto all’etere e non esiste un sistema assoluto.
A) Nulla può viaggiare a velocità superiori a quella della luce.
Due raggi di luce, emessi nello stesso istante di tempo dal Sole e dall’astronave Enterprise che si muove nello spazio a una certa velocità viaggiano alla velocità della luce (C=300.000 km/s). La velocità dell’astronave Entreprise e quella del fascio di luce non si sommano |
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Le velocità sono relative al sistema di riferimento in cui ci si trova. 1) Nell’immagine superiore Einstein è fermo e colpisce la palla da baseball che acquista una data velocità. 2) Sotto invece Einstein si muove su uno skateboard e colpisce la palla da baseball che acquista una velocità data dalla somma della velocità della mazza da baseball e dello skateboard. Le velocità si sommano. |
C = velocità della luce. Dal latino: velocità = “Celeritas – celeritatis” (terza declinazione)
Limite galileiano
Per velocità Vo molto piccole rispetto a quella della luce, le trasformazioni di Lorentz si riconducono a quelle di Galileo: le quali si ricavano facendo il limite delle trasformazioni di Lorentz per
c → ∞ , Vo / c→0.
Quindi per velocità piccole non si osservano più fenomeni come la perdita della contemporaneità, la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze, il che spiega perché nella vita quotidiana noi non osserviamo nessuno di questi fenomeni.
Le velocità si sommano, viste dal sistema di riferimento fisso.
Hendrik Antoon Lorentz, Nobel per la fisica 1902
Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928 – fisico olandese
Trasformazioni di Lorentz
x’ = (x – v t)/ √(1─ v^2/c^2)
y’ = y
z’ = z
t’ = [(t – ( v x /c^2)] / √(1─ v^2/c^2) .
le inverse diventano:
x = (x’ + v t’)/ √(1─ v 2/c2)
y = y’
z = z’
t = [(t’ + ( v x’ /c^2)] / √(1─ v2/c2) .
Conseguenze dei principi della relatività
Contrazione delle lunghezze di oggetti se visti in movimento da un sistema ritenuto fisso:
ΔL = ΔLo ·√(1─v2/c2) ;
DLo è la lunghezza propria misurata nello stesso tempo dall’osservatore solidale al sistema in cui si trova
Dilatazione dei tempi:
Δt =Δto/ √(1─v2/c2) ;
Δto è il tempo proprio nel sistema dove gli eventi avvengono nello stesso posto.
Esempio di applicazione:
Un razzo viaggia alla velocità di 0,6 c e passa accanto a una stazione spaziale nella quale un dispositivo elettronico rileva il suo passaggio. Appena la coda del razzo passa di fianco al dispositivo, questo emette un lampo di luce. La lunghezza del razzo, nel sistema di riferimento a esso solidale è Lo = 150 m.
– Dopo quanto tempo la luce raggiunge la prua del razzo, secondo un osservatore posto sul razzo?
– Dopo quanto tempo la luce raggiunge la prua del razzo, secondo un osservatore posto sulla stazione?
– A che distanza dalla stazione il raggio luminoso raggiunge la prua del razzo, nel sistema di riferimento della stazione?
Lunghezza propria misurata da chi è solidale al razzo:
Lo = 150 m;
velocità della luce c = 3 * 10^8 m/s.
- Delta to = 150 / c = 150 / (3 * 10^8) = 5 * 10^-7 s;
Per l’osservatore sulla stazione il razzo risulta contratto:
L = Lo * radice(1 – v^2/c^2)
L = 150 * radice[1 – (0,6c)^2/c^2 ] = 150 * radice(1 – 0,36);
L = 150 * radice(0,64) = 150 * 0,8 = 120 m;
radice(1 – v^2/c^2) = 1/gamma = 0,8.
trasformazioni di Lorentz:
t = (t’ + v * x’/c^2) / radice(1 – v^2/c^2)
Tempo misurato dalla stazione:
Delta t = [Delta to + v * Delta x’/c^2] / radice(1 – v^2/c^2);
Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * c * 150 /c^2] / 0,8;
Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * 150 / 3 * 10^8] / 0,8;
- Delta t = 8 * 10^-7 / 0,8 = 1 * 10^-6 s, (1 microsecondo).
Distanza dalla stazione della coda del razzo dopo t = 1 * 10^-6 s:
x = 0,6 * 3 * 10^8 * 1 * 10^-6 = 180 m;
La prua si trova a distanza x1 dalla stazione:
- x1 = x + L = 180 + 120 = 300 m = 3 * 10^2 m.
Composizione delle velocità :
In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva, ma in un sistema di riferimento in moto, sembra non conservarsi. La legge di composizione relativistica delle velocità non è quella galileiana:
u’ = u – vo
u = u’ + vo
( vo = velocità del sistema di riferimento in moto,
u = velocità vista dal sistema fisso,
u’ = velocità vista dal sistema in moto).
Relativisticamente la legge di composizione è:
u = (u’+ vo) /(1 + u’ * vo/c2) ;
la formula inversa è :
u’ = (u – vo) /(1 – u * vo/c2)
con questa formula la velocità della luce non si somma con altre velocità e non viene mai superata. Esempio: se u’ = c e vo = c, allora u vista dal sistema fisso, rimane c.
u = (c + c)/ (1+c2/c2) = 2c/2 = c
Esempio:
Tre fasci di particelle viaggiano uno dietro l’altro all’interno di un acceleratore di particelle. Il primo fascio ha velocità v1 = c/2 rispetto al secondo fascio, il quale ha velocità v2 = c/2 rispetto al terzo fascio; il terzo fascio ha velocità v3 = c/2 rispetto al sistema fisso del laboratorio.
Calcolare la velocità del primo fascio di particelle rispetto al laboratorio.
Secondo la composizione classica:
v = v’ + vo.
Il terzo fascio ha velocità v3 = c/2 rispetto al sistema fisso, quindi è la velocità vo;
il secondo fascio avrebbe velocità: v2 = c/2 + c/2 = c (impossibile).
il primo fascio avrebbe velocità: v1 = c/2 + c = 3/2 c (impossibile).
Bisogna fare la composizione relativistica di Einstein:
v = (v’ + vo) / (1 + v’ vo/c^2);
Per il secondo fascio:
v2 = (c/2 + c/2) / ( 1 + c^2/4 / c^2) = c / (1 + 1/4);
v2 = c / (5/4) = 4/5 * c; (velocità rispetto al laboratorio).
Per il primo fascio:
v1 = (v3 + v2) / (1 + v3 * v2) /c^2 );
v1 = (c/2 + (4/5 c) / ( 1 + c/2 * 4/5 c/c^2);
v1 = (13/10 * c) / (1 + 4/10 ) = 13/10 * c / 14/10;
v1 = 13/10 * 10/14 * c = 13 /14 * c; (velocità del primo fascio rispetto al laboratorio).
Le velocità sono sempre inferiori a c.
v1= 13/14 *c;
v2 = 4/5 * c;
v3 = 1/2 * c.
Orologio a luce
Due osservatori, uno nella stazione S e l’altro su un treno superveloce S’ che si muove a velocità v rispetto alle rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cioè la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento.
Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d; un raggio luminoso che si muove lungo l’asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi ed il tempo occorrente per l’andata ed il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell’orologio.
Il periodo dell’orologio (misurato da un osservatore in quiete rispetto all’orologio) è
T0 = 2 d / c
L’intervallo di tempo T0 rappresenta la separazione temporale tra due eventi: l’evento partenza e l’evento arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore.
Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla.
La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio.
Poiché sia nel riferimento S, sia nel riferimento S’ ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento.
Ma cosa avviene se l’osservatore nella stazione S prova a fare una misura di tempo mediante l’orologio a luce che si trova nel treno S’?
Per l’osservatore in S, l’orologio si muove con velocità v lungo le rotaie, quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d. Poiché la luce ha sempre velocità c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T’ dell’orologio in moto è allora (per S):
Il periodo T dell’orologio in moto è maggiore del tempo proprio T0: l’orologio in moto batte quindi un tempo più lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ciò non è affatto vero per il passeggero sul treno che anzi può, per la stessa ragione, affermare che è l’orologio nella stazione a essere più lento!
In questa affermazione che può sembrare paradossale c’è tutto il significato del principio di relatività: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l’orologio in moto rallenta.
BH^2 = AB^2 – AH^2
(C Δto)^2 = (C Δt)^2 – ( v Δt)^2
C^2 (Δto)^2 = C^2 (Δt)^2 – v^2 (Δt)^2
C^2 (Δto)^2 = C^2 (Δt)^2( 1 – v^2 /C^2)
(Δto)^2 = (Δt)^2 ( 1 – v^2 /C^2)
(Δt) = (Δto) / ( 1 – v^2 /C^2)
Δto è il tempo proprio all’interno del sistema con separazione spaziale nulla, dove gli eventi avvengono nello stesso luogo, mentre sono in moto rispetto ad un altro sistema ritenuto fisso e quindi avvengono in luoghi diversi. In questo sistema il tempo è Δt e risulta dilatato rispetto al tempo proprio Δto.
(Δt) > (Δto)
Le conseguenze fisiche di queste trasformazioni sono enormi e rivoluzionarie. Notiamo che spazio e tempo appaiono in un qualche modo “mescolati”
Contrazione delle lunghezze:
DL = DLo ·√(1─v2/c2)
ΔL è la distanza vista in movimento (contratta);
Dilatazione dei tempi:
Δt =Δto/ √(1─v2/c2) ;
Δto è il tempo proprio nel sistema dove gli eventi avvengono nello stesso posto.
Se la velocità v del sistema di riferimento è molto elevata il tempo si dilata (rallenta) e le distanze si contraggono per un osservatore esterno, fisso rispetto al sistema in moto con velocità v.
la velocità V è la stessa.
L = Lo * √(1 – v^2/c^2) ;
Lo/2 = Lo * √(1- v^2/c^2) ;
√(1- v^2/c^2) = 1/2
1 – v^2/c^2 = 1/4 ;
v^2/c^2 = 1 – 1/4
v^2/c^2 = 3/4
v^2 = 3/4* c^2;
v = radicequadrata(3/4 c^2) = 0,866 * c.
Il paradosso dei gemelli
L’esperimento ideale è questo. Ci sono due gemelli, A rimane “fermo” sulla Terra. L’altro, B, sale su una navicella che viaggia con una velocità prossima a quella della luce. Dopo un po’ di tempo B inverte la rotta e torna dal gemello A sulla Terra. La teoria di Einstein prevede che A sia più vecchio di B.
Questo è quello che la gente comune pensa sia il “paradosso dei gemelli”. Ma il paradosso non è questo. Il paradosso segue dal fatto che uno dei postulati della relatività ristretta di Einstein (così come nella relatività Galileiana) afferma che tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti. Dunque il ragionamento fatto da A (B si muove poi ritorna) potrebbe essere fatto da B (A si muove e poi ritorna). In questo caso B sarebbe più vecchio di A: ecco il paradosso!
La soluzione del paradosso consiste nell’osservare che A e B non sono equivalenti perché B quando parte, quando inverte il moto e quando ritorna sulla Terra compie dei moti accelerati che A non compie. I conti provano che, per questo, B sarà più giovane di A e non viceversa.
Spiegazione intuitiva del rallentamento del tempo:
se sei di fronte a un orologio e questo si allontana da te, un raggio di luce proveniente dall’orologio arriverà a te più tardi.
Quindi se l’orologio si allontana con velocità prossime a quelle della luce, vedi l’orologio scorrere molto lentamente, e se si allontana esattamente alla velocità della luce vedi l’orologio fermo, perchè nessun raggio ti raggiungerà mai.
Esempio 1 : a quale velocità V devi viaggiare per raggiungere una stella che dista 50 anni luce dalla Terra, se quando la raggiungi sei più vecchio di 40 anni?
La distanza S è 50C; Dt è l’intervallo di tempo che scorre nel sistema fisso. Dto è l’intervallo di tempo proprio che scorre all’interno dell’astronave che viaggia verso la stella, pari a 40 anni.
Nel sistema fisso della Terra Dt = S /V = 50C / V
Dt = Dto / √(1─V2/C2) ; allora
50C / V = 40 / √(1─V2/C2) ;
50C = 40V /√(1─V2/C2) ;
(50C/40)2 = V2 / √(1─V2/C2) ;
25/16 C2(1─V2/C2) = V2
25/16 C2 – 25/16 V2 = V2
25C2 = 16 V2 + 25 V2
25 C2 = 41 V2
V = C√(25/41) = √(0,609) C = 0,78C
Esempio 2:
Una nave spaziale entra nel sistema solare muovendosi verso il sole a velocitàcostante rispetto ad esso. Secondo il suo orologio di bordo, il tempo trascorso tra l’istante in cui attraversa l’orbita di Giove e l’istante in cui attraversa quella di Marte è di 45 minuti. A quale velocità viaggia l’astronave verso il sole? Il raggio dell’orbita di Giove è 778 x 10^9 m e quello dell’orbita di Marte è 228 x 10^9 m.
S =(778 – 228) x 10^9 m = 550 x 10^9 m; Dto = 45 x 60 = 2700 s (tempo proprio)
Dt = Dto / √(1─V2/C2) : allora Dt = S / V ;
550 x 10^9 / V = 2700 / √(1─V2/C2)
550 x 10^9 x √(1─V2/C2) = 2700 x V
3,025 x 10^18 x ( 1 – V2/C2) = (2700 x V )^2
3,025 x 10^23 x C2 – 3,025 x 10^23 xV2 = 7,29 x 10^6 x C2V2
3,025 x 10^23 xV2 + 7,29 x 10^6 x C2V2 = 3,025 x 10^23 x C2
V2 = 3,025 x 10^23 x C2 /9,586 x 10^23 = 0,3155 C2
V = 0,56 C
Esercizio 3 : Un astronauta si propone di raggiungere una stella distante 5 anni-luce.
Calcolare:
– la velocità della navicella spaziale rispetto alla Terra in modo che la durata del viaggio, misurata dall’orologio dell’astronauta, sia di un anno;
-la durata del viaggio secondo un osservatore terrestre.
t = to / radquad(1 -V^2/C^2)
to = 1 anno; t = Spazio / Velocità(astronauta) ; Spazio = 5(anni luce) x C
t = 5C/ V
5C/V = 1 / radquad(1 -V^2/C^2)
V / 5C = radquad(1 – V^2/C^2)
V^2 / 25C^2 = 1 – V^2/C^2
V^2 /25C^2 + V^2/C^2 =1
V^2 + 25 V^2 = 25 C^2
V^2 (1 + 25) = 25 C^2
V^2 = 25 C^2/ (1 + 25)
V = 5 C / (radquad( 1 + 25) = 5C/5,099 = 0,98 C
t = S / V = 5 x C / 0,98 C = 5,102 anni.
Effetto Doppler Relativistico
z = redshift; la frequenza dell’onda elettromagnetica (f emessa) diminuisce se la sorgente si allontana con velocità v. L’osservatore percepisce una frequenza minore.
f’ = frequenza percepita; f = frequenza emessa dalla sorgente.
f percepita < f emessa; f percepita risulta spostata verso il rosso.
z = f / f’ – 1; (redshift); Continua a leggere