Prendiamo un condensatore piano carico posizionato orizzontalmente su un piano. L’armatura sottostante sia carica negativamente. positivamente l’altra. Una particella carica che entri orizzontalmente nello spazio del condensatore devia verso l’alto se è negativa, verso il basso se è positiva.
Immergiamo il condensatore in un campo magnetico B1 entrante nella pagina. Le linee di forza del campo B1 sono perpendicolari a V. Per effetto della forza di Lorentz le particelle cariche sono deviate: le positive verso l’alto, le negative verso il basso, secondo la regola della mano destra.
Per le particelle che mantengono rettilinea la loro traiettoria la prima forza sarà uguale alla seconda. La prima è una forza di natura elettrostatica e sarà F=qE (in valore assoluto); la seconda è di tipo magnetico, è la forza di Lorentz, F=qVB1 sen(alfa) (in valore assoluto), se alfa = 90° F = qVB1)). Uguagliando le due forze, semplifichiamo la q e otteniamo
V=E/B1.
Da qui segue che agendo sui valori di E e di B1 si possono selezionare le particelle di una determinata velocità. In genere si pone uno schermo forato davanti al condensatore di modo che attraversino il foro solo le particelle della velocità cercata.
Se la particella selezionata entra in un secondo campo B2, possiamo ricavare la massa della particella, o il raggio della traiettoria circolare.
Esercizio 1:
Un protone (massa mp, carica e ), un deutone (massa 2mp, carica q = e ) e una particella alfa (massa 4mp, carica 2e ), dopo essere stati accelerati dalla stessa d.d.p. V, entrano in una regione dove è presente un campo magnetico uniforme B.
Le particelle, per effetto del campo magnetico, seguono delle traiettorie circolari. Calcolare il raggio delle orbite del deutone e della particella alfa in funzione del raggio dell’orbita del protone rp.
La forza di Lorentz è una forza centripeta:
q v B = m v^2/r;
q B = m v / r;
r = m v / q B;
1/2 m v^2 = q * DeltaV;
v^2 = 2 q * DeltaV / m;
velocità delle particelle:
per il protone, q = e; massa = m:
vp = radice[2 * e * DeltaV /m] = radice(2) * radice [e * DeltaV /m];
per il deutone: md = 2m, q = e;
1/2 (2m) vd^2 = e * DeltaV;
vd = radice( e * DeltaV / m);
vd = vp / radice(2);
vd = vp * radice(2) / 2; velocità del deuterio;
Per la particella alfa: mα = 4 m; q = 2e;
1/2 * 4m * (vα)^2 = 2e * DeltaV;
m * (vα)^2 = e * DeltaV;
vα = radice[e * DeltaV /m] = vp / radice(2) ;
vα = vp * radice(2) / 2;
r = m v / (q B);
raggi delle particelle:
protone: massa = m, q = e;
rp = m vp / (e B); raggio del protone;
deuterio: massa = 2m, q = e; vd = vp * radice(2) / 2;
rd = 2m * [vp * radice(2)]/ (2 * e * B);
rd = radice(2) * m vp /(e B);
rd = rp * radice(2); raggio della traiettoria deutone del deuterio;
per la particella α; mα = 4 m; q = 2e; vα = vp * radice(2) / 2;
1/2 * 4m * (vα)^2 = 2e * DeltaV;
m * (vα)^2 = e * DeltaV;
vα = radice[e * DeltaV /m];
rα = 4m * vp * radice(2) / (2 * 2e * B) = radice(2) * [m * vp /(e B)]
rα = rp * radice(2); (raggio della traiettoria particella α).
rα = rd;
rα = rp * radice(2); raggio della traiettoria particella alfa.
Esercizio 2
Un fascio di protoni da 1,30 keV non viene deflesso quando attraversa una regione in cui sono presenti un campo elettrico di intensità E = 5,0 kV/m e un campo magnetico B.
Il vettore velocità dei protoni, il campo magnetico ed il campo elettrico sono mutuamente perpendicolari.
- Calcolare l’intensità del campo magnetico B.
- Se il campo elettrico viene rimosso, quanto valgono il raggio della traiettoria, la frequenza di rivoluzione e il periodo del moto risultante dei protoni?
Se il fascio non viene deflesso vuol dire che la forza elettrostatica F1 = q * E è uguale alla forza di Lorentz F2 = q v B , dovuta al campo magnetico B;
q * v * B = q * E;
B = E / v;
Energia cinetica Ec = 1/2 m v^2 = 1,30 keV = 1300 eV;
1 eV = 1,602 * 10^-19 J, (energia di un elettrone di carica e che attraversa 1 Volt di differenza di potenziale);
1/2 m v^2 = 1300 * 1,602 * 10^-19 = 2,082 * 10^-16 J;
v = radicequadrata(2 Ec / m) = radice[2 * 2,082 * 10^-16 /(1,672 * 10^-27)];
v = radice(2,491 * 10^11) = 4,99 * 10^5 m/s;
B = E/v = 5000 / (4,99 * 10^5) = 0,0100 T = 10,0 milliTesla.
Se E viene rimosso, rimane solo la forza di Lorentz che è centripeta e fa muovere il protone di moto circolare uniforme;
q v B = m v^2/r;
r = m v / (q B); raggio;
r = 1,672 * 10^-27 * 4,99 * 10^5 / (1,602 * 10^-19 * 0,0100);
r = 0,521 m = 52,1 cm;
Periodo T:
T = 2 π r / v;
T = 2 * 3,14159 * 0,521 / (4,99 * 10^5) = 6,56 * 10^-6 s;
T = 6,56 microsecondi;
f = 1/T = 1/(6,56 * 10^-6);
f = 1,524 * 10^5 Hz; frequenza, numero di giri al secondo;
la velocità angolare ω non si misura in Hertz, ma in rad/s; il testo è ignorante…
ω = 2 * π * f = 2 * π * 1,524 * 10^5 = 9,58 * 10^5 rad/s;
ω = 9,6 * 10^5 rad/s.