Errori sulle misure
Esempio 1):
Il valore medio di una lunghezza L , ottenuto da diverse misure ottenute è 3,271 cm. La misura più piccola è 3,1 cm mentre la più grande è 3,4 cm. Come deve essere scritto il risultato finale?
L = ( 3,3 +- 0,2) cm.
Esempio 2): Con un metro si misura la lunghezza di un banco, ottenendo i seguenti risultati: 78,9 cm ; 79,0 cm ; 78,7 cm ; 80,1 cm ; 80,0 cm ; 79,2 cm ; 80,3 cm.
a) Calcola il valore medio di queste misure.
b) Calcola l’errore assoluto di queste misure.
c) come deve essere scritto correttamente il risultato della misura?
d) Calcola l’errore relativo percentuale. Che informazioni dà questa grandezza? (precisione di misura).
2) Sono sette misure, si fa la somma, si divide per 7. Il risultato deve avere una sola cifra decimale come i dati.
X medio = ( 78,9 + 79,0 + 78,7 + 80,1 cm ; 80,0 + 79,2 + 80,3) / 7 =556,2 / 7 = 79,5 cm
b) Errore assoluto = semidispersione.
Delta X = (Xmax – Xmin) / 2 = (80,3 – 78,7 ) / 2 = 1,6 / 2 = 0,8 cm
c) Misura : X = (79,5 +- 0,8) cm
errore relativo er = (Delta X) / X = 0,8/79,5 = 0,01 ; (1%)
d) Se il banco fosse lungo 100 cm avremmo un errore di 1 cm.
errore % = 0,01 * 100 /100 = 1/100 = 1% (misura abbastanza precisa, ma non troppo).
Esempio 3): Un compagno misura con un metro a nastro la lunghezza di un’aula e dà come risultato L =5,786 m. Come esprimi il valore della lunghezza come miglior stima (cioè tenendo conto dell’incertezza di misura)?
Dipende dalla sensibilità del metro.
l = 5,786 m si può leggere se il metro ha sensibilità del millimetro.
l = (5,786 +- 0,001) m.
Un metro a nastro (rotella metrica o metro da sarta), di solito “legge” il mezzo centimetro (0,05 m è la sensibilità), quindi la misura del compagno non può essere data in quel modo. Sarà:
L = (5,80 +- 0,05) m.
Esempio 4):
Volume del contenitore del latte
(capacità = 1 litro = 1 dm^3)
a = 70 mm, b = 70 mm, c = 196 mm ; le misure sono state fatte con un righello che ha la sensibilità di 1 mm, quindi l’errore assoluto sulle misure è di 1 mm.
Misure in centimetri con errore a = (7,0 +/- 0,1) cm ; b = (7,0 +/- 0,1) cm ; c = (19,6 +/- 0,1) cm
V = a * b * c = 70 * 70 * 196 = 960 400 mm^3 = 960,4 cm^3 = 0,9604 dm^3 < 1 litro;
il risultato del prodotto deve avere il numero di cifre significative che compaiono nel fattore con il minore numero di queste cifre.
7,0 ha due cifre significative, quindi il risultato sarà
V = 960 cm^3; le cifre significative sono 2; 9 e 6; 0 non è significativo.
Errore relativo sulla misura: Er = (ΔV) / V
Er = (ΔV) / V = (Δa) / a + (Δb) / b + (Δc) / c
Errore rel. = 0,1/7,0 + 0,1/7,0 + 0,1 / 19,6 = 0,0337 ;
Errore percentuale = 0,0337 x 100 / 100 = 3,4 %
Errore assoluto sul volume
0,034 x 960 cm^3 = 32,64 cm^3 = 33 cm^3 ;
V = ( 960 +- 33 ) cm^3 = (0,960 +- 0,033) dm^3
Volume di un contenitore cilindrico
Volume = (area_base) * altezza = π * R^2 * h
raggio = (2,6 +/- 0,1) cm ; 2 cifre significative
h = (13,4 +/-0,1) cm; 3 cifre significative
V = (pgreco) * r ^2 * h = 3,14 * 2,6^2 * 13,4 = 284, 6 cm^3 con due cifre significative diventa: V = 280 cm^3
Errore relativo sulla misura:
Er = (ΔV) / V = (ΔR) / R + (ΔR) / R + (Δh) / h
Errore rel. = 0,1/2,6 + 0,1/2,6 + 0,1 / 13,4 = 0,0843 ;
Errore percentuale = 0,0843 * 100 / 100 = 8,4 %
Errore assoluto sul volume
ΔV = (Errore relativo) * Volume
0.084 * 280 cm^3 = 24 cm^3
V = ( 280 +/- 24 ) cm^3 = (0,28 +/- 0,024) dm^3
Calcolo di volumi:
1 – All’interno di una fioriera di sezione rettangolare di lati 50 cm e 42 cm , cadono 6 mm di pioggia.
Calcola il volume di acqua raccolta, in metri e poi esprimilo in litri.
2- Un bambino mette una sferetta di raggio 3 cm dentro una scatola metallica di dimensioni (10 cm) * (10 cm) * ( 5,1 cm). Poi riempie la scatola di acqua.
Calcola il volume di acqua necessario a riempire la scatola.
1) Volume = 50 * 42 * 0,6 = 1260 cm^3
in m^3: ci sono due posti fa cm^3 e m^3, bisogna dividere per 1000, (moltiplicare per 10^-3) per ogni salto di misura).
1260 cm^3 * 10^-6 = 1,26 * 10^-3 m^3
1litro = 1 dm^3; da cm^3 a dm^3 c’è un posto, si moltiplica per 10^-3
1260 cm^3 * 10^-3 = 1,26 litri.
2) Volume scatola = 10 * 10 * 5,1 = 510 cm^3
volume sfera = 4/3 * (π) * R^3 = 113 cm^3
Volume acqua = 510 – 113 = 397 cm^3
Cilindro
Laboratorio
Densità di un cilindro metallico
raggio = (2,3 +/- 0,1)cm; h = ( 5,6 +/- 0,1) cm
Volume = (π) * r^2 * h = 93,07 cm^3 = 93 cm^3
massa = (241+/-1) g
densità = 241/93 = 2,6 g/cm^3 ( è alluminio)
Errore rel. (volume) = 0,1/2,3 + 0,1/2,3 + 0,1 / 5,6 = = 0,105 ;
Errore percentuale = 0,105 *100 /100 = 10,5 %
Errore relativo sulla densità
(si sommano gli errori relativi su massa e volume)
Errore rel. (densità) = 1/241 + 0,105 = 0,109
Errore assoluto sulla denstità = 0,109 * 2,59 = 0,28 g / cm^3
densità cilindro = ( 2,6 +/- 0,3 ) g / cm^3
La densità nel Sistema di misura internazionale si misura in kg/m^3.
L’alluminio ha una densità di 2700 kg/m^3
Misura sperimentale di volume:
Per determinare il volume di un corpo di forma irregolare lo si immerge in un recipiente cilindrico pieno di acqua avente la sezione di
(15, 6 +- 0,3) cm^2. Tenendo presente che il livello dell’acqua si innalza di (1, 4+- 0,1 ) cm, esprimere la misura del volume del corpo con l’indicazione dell’errore.
Volume del corpo = Area_base * dislivello
Volume = 15,6 * 1,4 = 21,8 cm^3 = 22 cm^3 (2 cifre significative)
Errore relativo = 0,3/15,6 + 0,1/1,4 = 0,09
Errore assoluto = (Errore relativo) * Volume
Errore assoluto = 0,09 * 22 = 1,98 cm^3—> si arrotonda a 2 cm^3
risultato con 2 cifre significative, come il dato dell’innalzamento h = 1,4 cm, che ha due sole cifre significative. V = ( 22 +- 2) cm^3 (
12,70 mm ± 0,05 mm,
16,85 mm ± 0,05 mm.
Sapendo che la tessera è a forma di parallelepipedo rettangolo calcolare il volume con l’ errore assoluto.
[Ris.: V = (5,24 ± 0,05) cm^3]
Volume = 12,70 * 16,85 * 24,50 = 5243 mm^3
Errore relativo = 0,05/12,70 + 0,05/16,85 + 0,05/24,50 = 0,00895
Errore assoluto = 0,00895 * 5243 = 46,90 mm^3V = (5243 +- 47) mm^3
V = (5,243 +- 0,047) cm^3
– Calcolare il valore della sua massa
– Calcolare la sua incertezza.
Volume = 3,05^3 = 28,4 cm^3
densità = (2960 ± 60)kg/m³. = 2,960 +- 0,060 ) g/cm^3 ( conosciuta fino al grammo, quindi il risultato neo può essere più preciso del grammo).
massa = densità x volume
massa = 2,960 x 28,4 = 83,98 grammi = 84,1 grammi
errore relativo Er = Delta m / m
Er = 3 x (0,05/3,05) + 0,060/2,960) = 0,0694
errore assoluto
Delta m = Er x m = 0,0694 x 84,1 = 5,84 g = 58,4 grammi
massa in grammi = (84,1 +- 58,4) g
in kg = (84 x 10^-3 +- 6 x 10^-3 ) kg
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Cifre significative di un numero
- Tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative.
- gli zeri compresi tra cifre non nulle sono cifre significative.
esempio: gli zeri del numero seguente (tutti) sono significativi 4506002 - gli zeri che precedono la prima cifra significativa (cifra non nulla) non sono cifre significative.
esempio: in 0,0012, gli zeri del numero non sono cifre significative (il numero in questione ha due sole cifre significative); - Gli zeri finali sono significativi solo se presente la virgola (o punto decimale in inglese).
esempio: in 13900 gli zeri del numero non sono significativi, invece in 13900,0 tutti gli zeri (prima e dopo la virgola) sono significativi.
- se gli zeri sono compresi tra altri numeri, come nel caso di 32004, si considerano come cifre significative;
- se gli zeri si trovano all’inizio di un numero, come in 0,0032, non sono considerati cifre significative; 0,0032 ha due cifre significative;
- se gli zeri si trovano alla fine di un numero, allora:
- se è presente la virgola, come in 320,0, tutti gli seri sono cifre significative;
320,0 ha 4 cifre significative;- se non è presente la virgola, come in 3200, non sono considerati cifre significative.
- se è presente la virgola, come in 320,0, tutti gli seri sono cifre significative;
Regole per addizioni e sottrazioni
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Regole per moltiplicazione e divisione
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S.I. Sistema Internazionale: le unità di misura fondamentali.
Il S.I. prevede 7 grandezze fondamentali e ne definisce le unità di misura:
Grandezza | Unità di misura |
Simbolo |
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Intervallo di tempo | secondo | s |
Lunghezza | metro | m |
Massa | chilogrammo | kg |
Temperatura | kelvin | K |
Quantità di sostanza | mole | mol |
Intensità di corrente elettrica | ampere | A |
Intensità luminosa | candela | cd |
Origine dei nomi delle unità di misura
secondo |
Abbreviazione per minuto secondo. Il minuto è un’unità di misura sessagesimale per gli angoli e per il tempo (unità non legalmente autorizzata dal S.I.). Dal latino minutum, participio passato di minuere = rendere più piccolo. Si distinguono:
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metro | Dal greco méetron, latino metrum = misura (in senso generale, non specificatamente di lunghezza). Il termine metro viene usato in varie accezioni nel Medio Evo e nel Rinascimento. Il 26-5-1791 l’Accademia francese delle Scienze propone il termine metro per l’unità di lunghezza, definita come la frazione 1/10000000 dell’arco di meridiano dal polo all’equatore. |
kilogrammo | Da kilo + grammo = 1000 grammi. Il termine grammo (francese gramme) fu introdotto con il significato attuale dalla riforma metrica francese di fine 700. Deriva dal tardo latino gramma = 1/24 di oncia. |
kelvin | Dal nome del fisico inglese William Thomson, lord Kelvin (Belfast 1824 – Neterhall 1907). Professore di fisica all’Università di Glasgow, presidente della Royal Society. Ha dato contributi fondamentali alla ricerca nel campo della termodinamica. |
ampère | Dal nome del fisico e matematico francese André-Marie Ampère (Lione 1775 – Marsiglia 1836). Professore di matematica all’Ecole Polytechnique e di fisica al Collège de France. Ha dato un contributo fondamentale alla comprensione e sistemazione teorica dell’elettrodinamica. |