Piano inclinato:
Sfera – scivolo
La condizione di distacco dalla sfera si verifica quando la velocità diventa tale che la forza centripeta richiesta supera la forza perpendicolare contro il piano della sfera, quindi il corpo si stacca dal piano e segue la tangente.
Le forze presenti sono: il peso del corpo m * g,
la reazione vincolare Fn = m g cos α.
e la forza centripeta m * v^2/R. Il corpo si stacca quando la reazione vincolare diventa nulla, cioè quando la componente del peso lungo la radiale eguaglia la forza centripeta.
La condizione di distacco si verifica quando la velocità diventa tale che la centripeta richiesta supera la forza perpendicolare contro il piano della sfera, quindi il corpo si stacca dal piano e segue la tangente:
m g cos α = m v^2/r
v^2 = r g cos α (1)
Per calcolare la velocità utilizziamo la legge di conservazione dell’energia. In corrispondenza di un angolo α il corpo è sceso di un tratto:
h = r – r cos α = r ( 1 – cos α)
Quindi:
m g h = m g r (1 – cos α);
m g r (1 – cos α) = 1/2 m v^2 (2)
Combinando la (1) e la (2) otteniamo:
m r g cos α /r = 2 m g (1 – cos α)
cos α = 2 – 2 cos α
3 cos α = 2
cos α = 2/3
α = cos^-1 (2/3) = 48,2°. (angolo di distacco in assenza di attrito).
Per piano inclinato si intende una macchina semplice costituita da una superficie piana disposta in modo da formare un angolo θ maggiore di 0° e minore di 90° rispetto alla verticale, direzione su cui agisce la forza peso m * g.
g = 9,8 m/s^2, accelerazione di gravità.
Piano inclinato di Galileo
Un disegno di George Gamow (1902-1968) che rappresenta Galileo alle prese con il piano inclinato.
(in fondo alla pagina ci sono esercizi svolti su piano inclinato e corpi legati).
Piano inclinato
Forza peso parallela al piano = m * g * sen(θ);
Forza peso perpendicolare al piano = m * g * cos(θ);
questa forza viene bilanciata da N, forza normale verso l’alto del piano, è la reazione del piano inclinato.
Forza normale al piano: N = m * g * cos(θ).
Forza d’attrito:
f = K * m * g * cos(θ); ( sempre contraria al moto).
K è il coefficiente d’attrito (statico o dinamico) che dipende dai materiali a contatto. Statico, Ks se il corpo parte da fermo, dinamico, Kd, se il corpo è già in movimento. Ks > Kd
Legge del moto accelerato ( in discesa, senza attrito):
S = 1/2 * (g//) * t^2 + vo * t
Esempio:
PIANO INCLINATO SCABRO
HO UN CORPO CHE SALE SU UN PIANO INCLINATO A 36° SCABRO CON VELOCITàA’ INIZIALE V0 = 10 m/s E CON ATTRITO; QUINDI I COEFFICIENTI SONO Ks = 0,35 E Kd = 0,25. QUANDO E DOVE SI FERMA IL BLOCCO? SE TORNA INDIETRO IN QUANTO TEMPO?
Forza parallela al piano: F// = – mg sen36° = – m * 5,76 (forza frenante)
Fris = – m ( 1,98 + 5,76) = – m x 7,74 N
decelerazione a = Fris/m = – 7,74 m/s^2
V = a * t + Vo, quando si ferma V = 0
– 7,74 * t + 10 = 0
t = 10/7,74 = 1,29 s (tempo per fermarsi)
S = 1/2 * (-7,74) x 1,29^2 + 10 * 1,29 = 6,46 m ; h = 6,46 * sen36° = 3,8 m (di altezza)
riparte verso il basso? Sì perchè
Fattrito statico = – 0,35 * mg x*cos36° = – m * 2,77 N ( frenante all’indietro)
F// = mg sen36° = m * 5,76 N ( verso il basso, fa cadere il corpo)
Fris = m * ( 5,76 – 2,77) = m * 2,99 N ( il corpo scende, si muove verso il basso)
Fattrito dinamico = – 0,25 * mg cos36° = – m * 1,98 N ( forza frenante verso l’alto)
Fris = m * ( 5,76 – 1,98) = m * 3,78 N (verso il basso)
a = 3,78 m/s^2
S = 1/2 a t^2
t = radquad( 2 * S / a) = radquad( 2 * 6,46 / 3,78) = 1,85 s ( tempo per scendere)
(in salita si ferma prima perchè attrito e forza parallela hanno lo stesso verso e sono frenanti entrambe).
Pendenza di una strada
Pendenza = tan(angolo) = 10/100 |
– Si dice che una strada che si alza di 1 metro per ogni 100 metri percorsi sul piano orizzontale ha pendenza dell’1%. Alcuni tratti di strada di una tappa del Giro d’Italia hanno una pendenza del 6% . Qual è l’angolo formato da questi tratti di strada con il piano orizzontale?
La pendenza di una strada è il rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente; (è la tangente dell’angolo X).
tan(angolo) = altezza / base
tan(angolo) = 6/100 = 0,06
angolo = arctan(0,06) = 3,43°
– Un automobilista sta guidando su una lunga strada inclinata.
Dopo 2,40 km nota che i segnali stradali a fianco della carreggiata indicano che la sua altitudine è aumentata di 160 m.
a) Qual è l’angolo che la strada forma con il piano orizzontale?
b) Quanta strada deve ancora percorrere se vuole aumentare la sua altitudine di altri 45 m?
a) sen(angolo) = h/ipotenusa
h = 160 m ; ipotenusa = 2400 m
sen(angolo) = 160/2400 = 0,0667
angolo = arcsen(0,0667 = 3,82°
b) h’ = 160 + 45 = 205 m
205/ipotenusa = sen3,82°
ipotenusa = 205/sen3,82° = 205/0,0667 = 3075 m
Strada da percorrere = 3075 – 2400 = 675 m
Esercizi sul piano inclinato
1) La rampa di carico di un magazzino permette di superare un dislivello di 1,5 m. Su di essa è fermo un carello, la cui massa è di 130 kg. Per trattenere il carrello occore esercitare una forza , parallela alla rampa, di 91 N.
Qual è la lunghezza della rampa?
F// = mg sen(angolo)
sen(angolo) = 91/ (130 * 9,8) = 91/1274 = 0,0714
sen(angolo) = h/L
L = h/sen(angolo)
L = 1,5/0,0714 = 21 metri.
Determinare:
a) il tempo impiegato ad arrivare all’altezza massima (tempo di salita);
b) lo spazio percorso sul piano inclinato;
c) il tempo di discesa; Una pallina di massa m risale un piano inclinato di 45° che ha un coefficiente di attrito dinamico k = 0,3. La velocità iniziale Vo della pallina è 20 m/s.Risultati: a) 2.2 s; b) 22.4 m; c) 3 s;