Velocità di fuga dalla Terra:
L’energia totale del corpo che deve allontanarsi dalla Terra
deve essere 0 J per poter percorrere un’orbita aperta ed allontanarsi fino all’infinito dove l’energia totale sia 0 J, cioè:
l’energia potenziale U = – G M m/R = 0 J,
l’energia cinetica 1/2 m v^2 = 0 J.
Uo + 1/2 m v^2 = 0;
Uo = – G * Mterra * m / Rterra;
– G * M * m / Rterra – 1/2 m * v^2 = 0;
v fuga = √(2 * G * Mterra / Rterra) = 11200 m/s = 11,2 km/s.
Esercizio1:
Calcolare la velocità di fuga da un pianeta
di massa 7,71*10^22 kg e raggio 1,65*10^6m . Esprimere la risposta in km/s.
v fuga = radice( 2 * G * M / R);
v fuga = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,71*10^22 / 1,65*10^6) =
= radice(6,233 * 10^6) = 2497 m/s; circa 2500 m/s;
v fuga in km /s = 2,500 km/s.
E’ un pianeta piccolo come la Luna, la sua velocità di fuga è bassa.
Sulla Terra è 11 km/s.
Esercizio2:
La nube di Oort si estende oltre i confini del Sistema Solare, fino a una distanza di circa 3 * 10^13 km dal Sole (circa 200 000 volte la distanza Terra-Sole), ed è formata da nuclei di comete composti di polveri e ghiaccio. A causa di perturbazioni indotte dal passaggio di altri corpi, una cometa può lasciare la nube di Oort e cadere verso il Sole. Calcolare la velocità con cui arriverebbe sulla superficie del Sole.
Nella nube di Oort possiamo immaginare che l’energia cinetica delle comete sia 0 J, mentre l’energia potenziale vale:
Uo = – G Msole * m / Ro;
dove Ro = 3 * 10^13 km = 3 * 10^16 m.
Quando invece una cometa arriva sulla superficie del Sole avrà energia cinetica 1/2 m v^2 ed energia potenziale U1 = – G Msole * m / Rsole.
R sole = 6,7 * 10^8 m.
Per la conservazione dell’energia:
1/2 m v^2 – G Msole * m / Rsole = – G Msole * m / Ro;
1/2 v^2 = G Msole * (1 / Rsole – 1/ Ro);
v = radice quadrata[2 * G Msole * (1 / Rsole – 1/ Ro)];
v = radice quadrata[2 * 6,67 * 10^-11 * 2 * 10^30 * (1/6,7 * 10^8 – 1 / 3 * 10^16) ];
v = radicequadrata[3,982 * 10^11] = 6,31 * 10^5 m/s;
v = 6,31 * 10^5 m/s * 3,6 km/h = 2,27 * 10^6 km/h.
Esercizio 3:
Un corpo di massa m viene lanciato verticalmente dalla superficie di un pianeta (massa pianeta = Mp, raggio pianeta = Rp ), con una velocità iniziale avente modulo vo = 1/3 · vfuga.
Calcolare la quota massima h raggiunta (rispetto alla superficie del pianeta).
Ricaviamo la v fuga:
Uo = energia potenziale sulla superficie= – G Mp m / Rp
1/2 m vf^2 – G Mp m / Rp = 0; [all’infinito l’energia diventa 0 J].
vf = radice(2 G Mp / Rp);
vo = 1/3 vf = 1/3 * radice(2 G Mp / Rp);
Conservazione energia: nel punto più alto la velocità diventa 0 m/s.
E cin in + Uo = U finale
1/2 m [1/3 * radice(2 G Mp /Rp)] ^2 – G Mp m / Rp = – G Mp m / (Rp + h);
m si semplifica:
1/2 * [1/9 * (2 G Mp /Rp)] – G Mp / Rp = – G Mp / (Rp + h);
G Mp si semplifica:
1/ (9 * Rp) – 1/Rp = – 1/ (Rp + h);
– 8/(9 *Rp) + 1 / (Rp + h) = 0;
mcm = 9 Rp (Rp + h);
– 8 (Rp + h) + 9 Rp = 0;
– 8 Rp – 8 h + 9 Rp = 0;
Rp – 8 h = 0;
h = Rp / 8, (altezza massima raggiunta).
4) Immagina che un asteroide, partito con velocità nulla da distanza infinita,
cada diritto verso la terra senza subire l’influenza gravitazionale di
altri corpi celesti.
Con quale velocità l’asteroide colpisce la superficie terrestre?
Energia totale all’infinito (r = infinito) = 0 J:
Ec = 1/2 m v^2 = 0;
U = – G M m / r = 0.
L’energia si conserva e resta 0 J quando l’asteroide arriva sulla superficie terrestre a distanza r = Raggio terrestre dal centro della Terra.
1/2 m v^2 + U = 0
1/2 m v^2 – G M m / R = 0
v = radice( 2 *G * M / R) =
= radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) =
= 11182 m/s = 11200 m/s = 11,2 km/s; (uguale alla velocità di fuga dalla Terra).
v = 11,2 * 3600 s = 40320 km/h.
Isaac Newton (1643-1727)
La Luna e la mela sono soggette alla forza di gravitazione.
La legge di gravitazione universale
La Luna non cade sulla Terra perché la forza di gravità la
mantiene su un’orbita approssimativamente circolare.
Quanto vale g nel punto in cui si trova la Luna alla
distanza r = 384000 km?
mg = m * v2 / R ; m si semplifica
rimane
g = v2 / r ; v = 2πr/T ; T luna = 28 giorni = 2,42 * 10^6 s;
(Ris: g = 0,0026 m/s^2 )
g = G * M / R^2
è il campo gravitazionale, diminuisce con il quadrato
della distanza
sulla superficie terrestre vale 9,8 m/s^2.
Moltiplicando il campo per la massa m si ottiene la
forza di gravità F = m * g.
m * g = G *M * m / R2 .
Esempio 1:
Quanto peserà un corpo su un altro pianeta sapendo che sulla terra
pesa 98 N e il raggio e la massa di quel pianeta sono la metà
di quelli della Terra?
g del pianeta = G * (M/2) / (r/2)^2 = G * M/2 / (r^2/4)
G (M/2) * 4 / r^2 = 2 * G * M / r^2;
g pianeta = 2 * (g terra);
sul pianeta il corpo peserà il doppio. La massa non cambia,
m = 98/9,8 = 10 kg.
Fpeso = m * 2 g = 196 N.
Cerere a confronto con la Luna
Cerere, massa
M = 7 * 10^20 kg.
Quale attrazione
esercita su una persona di massa 80 kg posta a 10 000 km di
distanza, supponendo il raggio di Cerere 500 km?
F = 6,67*10-11 * 7*1020 * 80 / (1,05 *10^7)^2
F = 0,034 N
Esempio 2:
Un’astronave viaggia lungo una linea dell’equatore terrestre alla velocità di 10000 km/h. Sapendo che la massa della Terra è 5,976*10^24 kg e il raggio dell’equatore vale 6,378*10^6 m, calcolare a quale quota dalla superficie terrestre deve trovarsi l’astronave affinché gli astronauti si trovino in assenza di peso.
La forza centripeta deve essere uguale alla forza di gravità.
m V^2/ (R+h) = G M m /(R+h)^2; m è la massa dell’astronave, si semplifica.
V^2 = G M /(R+h)
R+h = G M / V^2
V = 10000 /3,6 = 2778 m/s
R+h = 6,67 x 10^-11 x 5,976*10^24 / 27778^2 = 51,65 x 10^6 m
h = 51,65 x 10^6 – R = 51,65 x 10^6 – 6,378*10^6 = 45,27 x 10^6 m ( circa 45000 km)
Prima velocità cosmica.
La prima velocità cosmica, è quella velocità che un corpo deve possedere per entrare in orbita circolare attorno ad un corpo celeste, a distanza pari al raggio. Affinché ciò accada, la forza centripeta del corpo di massa m che si muove di moto circolare uniforme attorno al corpo celeste di massa M deve essere uguale alla forza di attrazione gravitazionale tra i due corpi (legge del moto circolare uniforme). Imponendo l’uguaglianza tra le due forze si ottiene v= prima velocità cosmica.
La forza di gravità è una forza centripeta:
m * v^2/R = G * M * m / R^2;
v = radicequadrata( G * M / R);
Prima velocità cosmica sul pianeta TERRA: (7900 m/s).
Con questa velocità un corpo compirebbe un giro completo intorno
alla Terra se non ci fosse attrito e atmosfera.
v = radice (6,67 *10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38*10^6) = radice(6,252 * 10^7) =
7907 m/s = 7,9 * 10^3 m/s = 7,9 km/s.
Esempio 3:
Un satellite di massa 50 kg orbita attorno al pianeta Crutone ogni 6 h.
Il modulo della forza gravitazionale esercitata da Crutone sul satellite è di 80 N.
- Che raggio R ha l’orbita?
- Che energia cinetica possiede il satellite?
- Qual è la massa M di Crutone?G * M * m / R^2 = 80 N;
(forza di gravità fra la massa M di Crutone e e la massa del satellite m = 50 kg)
La forza di gravità è una forza centripeta:
m * V^2/R = G * M * m / R^2; R è il raggio dell’orbita, distanza fra il satellite e il centro del pianeta.
V ^2 = G * M / R;
V = radice quadrata(G * M / R)
T = 2 * pgreco * R / V
T = 2 * pgreco * R /( radice quadrata(G * M / R) )
T^2 = 4 * pgreco^2 * R^2 / (G * M / R)
T^2 / R^3 = 4 * pgreco^2 / (G * M) ; abbiamo ricavato la terza legge di Keplero.
T = 6 h = 6 * 3600 s = 21600 s
Abbiamo due equazioni:
1) G * M * m / R^2 = 80;
2) R^3 = T^2 * G * M / (4 * pgreco^2 )
ricaviamo M dalla prima:
M = 80 * R^2 / (G * m ); sostituiamo nella seconda:
R^3 = T^2 * G * (80 * R^2 / (G * m )) / (4 * pgreco^2 )
R = T^2 * 80 / (m * 4 * pgreco^2 )
R = 21600^2 * 80 / (50 * 4 * 3,14^2)
R = 1,89 * 10^7 m ; ( R = 1,89 * 10^4 km = 18900 km);
M = 80 * R^2 / (G * m ) = 80 * (1,89 * 10^7 )^2 / (6,67* 10^-11* 50)
M = 8,58 * 10^24 kg
è un pianeta piccolo e molto denso.
V = 2 * 3,14 * R / T = 6,28 * (1,89 * 10^7) /21600 = 5500 m/s
Ecinetica = 1/2 m V^2 = 1/2 * 50 * 5500^2 = 7,56 * 10^8 J
Esempio 4)
Su un pianeta X viene sparato un proiettile con velocità iniziale pari a 45 m/s e con inclinazione di 30 ° rispetto all’orizzontale.
Il proiettile tocca terra ad una distanza x = 490 m dal punto iniziale.
Calcolare la massa M del pianeta sapendo che il suo raggio è pari a 4,45 *10^6 m.
Tempo di volo del proiettile = 2 * voy / g;
voy = vo * sen30° = 45 * 0,5 = 22,5 m/s;
gittata: x = vox * (tempo di volo);
vox = 45 * cos 30° = 38,97 m/s; (velocità orizzontale).
x = 490 m;
tempo di volo = 490 / 38,97 = 12,57 s;
2 * voy / g = 12,57 s;
g = 2 * voy / 12,57 = 2 * 22,5/12,57 = 3,58 m/s^2 (gravità del pianeta).
g = G * M / R^2
Massa del pianeta:
M = g * R^2 / G = 3,58 * (4,45 *10^6)^2 / (6,67 * 10^-11) =
= 10,6 * 10^23 kg.
L’energia totale del corpo deve essere 0 J per poter percorrere un’orbita aperta ed allontanarsi fino all’infinito dove U = 0 J e 1/2 m v^2 = 0 J.
Uo + 1/2 m v^2 = 0;
Uo = – G * Mterra * m / Rterra;
– G * M * m / Rterra – 1/2 m * v^2 = 0;
v fuga = √(2 * G * Mterra / Rterra) = 11200 m/s = 11,2 km/s.
Esercizio1:
Calcolare la velocità di fuga da un pianeta di massa 7,71*10^22 kg e raggio 1,65*10^6m . Esprimere la risposta in km/s.
v fuga = radice( 2 * G * M / R);
v fuga = radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 7,71*10^22 / 1,65*10^6) = radice(6,233 * 10^6) = 2497 m/s; circa 2500 m/s;
v fuga in km /s = 2,500 km/s.
E’ un pianeta piccolo come la Luna, la sua velocità di fuga è bassa.
Sulla Terra è 11 km/s.
Esercizio2:
Immagina che un asteroide, partito con velocità nulla da distanza infinita, cada diritto verso la terra senza subire l’influenza gravitazionale di altri corpi celesti. Con quale velocità l’asteroide colpisce la superficie terrestre?
Energia totale all’infinito (r =infinito) = 0 J:
Ec = 1/2 m v^2 = 0;
U = – G M m / r = 0.
L’energia si conserva e resta 0 J quando l’asteroide arriva sulla superficie terrestre a distanza r = Raggio terrestre dal centro della Terra.
1/2 m v^2 + U = 0
1/2 m v^2 – G M m / R = 0
v = radice( 2 *G * M / R) =
= radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / 6,38 * 10^6) =
= 11182 m/s = 11200 m/s = 11,2 km/s; (uguale alla velocità di fuga dalla Terra).
v = 11,2 * 3600 s = 40320 km/h.
Velocità di fuga dalla Terra.
v = radice quadrata( 2 * G * Mterra / Rterra);
Un razzo di massa 510 kg poco dopo del lancio nello spazio ha un energia cinetica di 2,21 * 10^10 J. Riesce a sfuggire al campo terrestre?
1/2 * 510 * v^2 = 2,21 * 10^10 J
v = radice(2 * 2,21 * 10^10 /510) = 9309 m/s = 9,31 km/s(velocità del razzo).
La velocità di fuga dalla gravità terrestre è:
v = radice( 2 G Mterra / RTerra) =
= radice(2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 *10^24 / 6,38 * 10^6) =
= 11182 m/s = 11,2 km/s
Per sfuggire all’attrazione della Terra occorre una velocità di fuga pari a 11200 m/s,
quindi v = 9310 m/s non è una velocità sufficiente.
Una spettacolare immagine inviata da Voyager 1. La Luna di Giove, Io proietta la sua ombra perfetta sul grande pianeta. (Foto del 1979).
Satelliti Iridium
Iridium è un sistema di satelliti per telecomunicazioni il cui nome deriva
dall’elemento iridio che nella tavola periodica degli elementi è il 77.
Il progetto iniziale prevedeva la messa in orbita di 77 satelliti su orbite
circolari a 500 km di altezza, fra loro sincronizzati in modo da creare
una rete di satelliti che, in ogni punto, poteva mettere in contatto telefonico
due punti qualsiasi sulla superficie terrestre. In realtà solo 66 satelliti
sono stati resi operativi, il consorzio che gestiva questa rete satellitare
ha attraversato momenti difficili in quanto il sistema ha dei costi elevati
che non tutti i potenziali utenti possono sostenere.
Ieri sera ho visto delle strane luci nel cielo e mi chiedevo cosa fossero?
Flares:
Potrebbero essere satelliti artificiali. Ce ne sono una marea. Se colpiti dal sole al tramonto brillano per qualche secondo come stelle, poi scompaiono.
Un Iridium flare è un fenomeno ottico visibile ad occhio nudo sulla sfera celeste, causato da satelliti artificiali in orbita intorno alla terra, in particolar modo dai satelliti Iridium.
Accade quando le loro antenne riflettono la luce del Sole direttamente verso la Terra, creando un fascio di luce in movimento veloce in grado di illuminare una striscia ampia di una decina di chilometri (e lunga centinaia) sulla superficie terrestre. Questi flash possono essere molto luminosi (facilmente di magnitudine -4, e fino alla magnitudine –8, ma eccezionalmente possono arrivare alla –9,5). Possono essere osservati persino di giorno, sapendo bene dove si verificheranno.
Pianeti del sistema solare
https://www.facebook.com/JustEatingRealFood/videos/710540989073338/?pnref=story |