Soluzione proposta:
xCM = (MA xA + MB xB)/(MA +MB);
1 U A = 1,5 * 10^11 m; (distanza Terra Sole).
Poniamo xA = 0 UA;
xB = 84 UA;
xCM = 0,63 Ms * 84 / (0,63 + 0,70) = 39,79 UA; il centro di massa è più vicino ad A che é un po’ più massiccia della B.
xCM = 39,79 * (1,5 * 10^11 m) = 5,97 * 10^12 m; partendo da A;
RA = 5,97 * 10^12 m ; (distanza di A dal Centro di Massa CM);
RB = 84 UA – 39,79 UA = 44,21 UA = 6,63 * 10^12 m; (distanza di B dal CM).
La forza di attrazione fra le due stelle è la stessa; legge di gravitazione:
F = G * MA * MB / (R^2);
R = 84 UA = 1,26 * 10^13 m; distanza fra le due stelle;
La forza è centripeta, verso il centro di massa;
Fcentripeta su A = MA * (omega)^2 * RA; (per la stella A, RA = 5,97 * 10^12 m);
Fcentripeta su B = MB* (omega)^2 * RB; (per la stella B);
Per la stella A:
G * MA * MB / (R^2) = MA * (omega)^2 * RA; (1);
MB = 0,63 * Msole = 0,63 * 2,0 * 10^30 = 1,26 * 10^30 kg;
ricaviamo omega^2; semplifichiamo MA
omega^2 = G MB /(R^2 * RA);
omega^2 = 6,67 * 10^-11 * (1,26 * 10^30) / [(1,26 * 10^13)^2 * 5,97 * 10^12 ];
omega^2 = 8,867 * 10^-20;
omega = radicequadrata( 8,867 * 10^-20) = 2,98 * 10^-10 rad/s;
omega = 2 pigreco / T;
T = 2 pigreco / omega = 6,28 / (2,98 * 10^-10 ) = 2,11 * 10^10 s;
T = periodo in anni: 1 anno = 365 giorni * 24 h * 3600 s = 365 * 86400 s
T = 2,11 * 10^10 s / (365 * 86400 s) = 669 anni circa. ( Periodo di rivoluzione intorno al centro di massa).
Esempio: Sirio A e Sirio B, un altro sistema binario:
Consideriamo il moto perfettamente circolare: Fcentripeta = m v^2 / R.
Moto circolare di Sirio A intorno al centro di massa:
mA = 2,14 masse solari = 2,14 * 2 * 10^30 = 4,28 *10^30 kg;
FA = mA * (a centripeta) = mA * vA^2 / rA; forza centripeta;
rA = 6,43 * 1,5 * 10^11 = 9,65 * 10^11 m;
(a centripeta) = vA^2 / rA = (3,85* 10^3)^2 / (6,43 * 1,5 * 10^11) = 1,537 * 10^-5 m/s^2
FA = m * a;
FA = 4,28 * 10^30 * 1,537 * 10^-5 = 6,58 * 10^25 N; Forza che Sirio B esercita su A;
Sirio A esercita la stessa forza su Sirio B;
FB = FA = F;
F = G * mA * mB / R^2; legge di gravitazione;
(rA + rB) = R distanza fra le due stelle;
mB = 1,03 masse solari = 1,03 * 2 * 10^30 = 2,06 * 10^30 kg;
Forza di attrazione fra le due stelle: (legge di Newton);
G * mA * mB / R^2 = 6,58 *10^25 N; legge di gravitazione;
G = 6,67 *10^-11 N * m^2 / kg^2;
R = radicequadrata[G * mA * mB/ (6,58 *10^25)];
R = radice(8,94 * 10^24) = 2,99 *10^12 m; distanza fra le due stelle A e B;
il centro di massa è più vicino a Sirio A che è più massiccia;
mA ed mB girano intorno al centro di massa, mA a distanza rA, mB a distanza rB, più lontano dal centro di massa;
rA = 9,65 * 10^11 m;
rB = R – rA = 2,99 * 10^12 – 9,65 * 10^11;
rB = 2,03 * 10^12 m; (raggio dell’orbita di Sirio B);
mB * vB^2/rB = 6,58 * 10^25 N;
vB^2 = 6,58 * 10^25 * rB / mB;
vB = radice quadrata[ 6,58 * 10^25 * 2,03 * 10^12 / (2,06 * 10^30)];
vB = radice(6,47 * 10^7) = 8044 m/s = 8,04 km/s; (velocità di SirioB).
2° esercizio:
Determinare il valore numerico della accelerazione di gravità g sulla
superficie della Terra e alla quota della stazione orbitante ISS. ( La stazione viaggia a una velocità media di 27600 km/h, completando 15,5 orbite al giorno e viene mantenuta in orbita ad una quota compresa tra 330 e 410 km.
Legge di Gravitazione:
F = G * M terra * m / (Rterra)^2;
F = m * g = Forza peso.
g = G * M terra / (Rterra)^2; (sulla superficie terrestre, R = 6380 km = 6,38 * 10^6 m)
g = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,38 * 10^6)^2 = 9,799 m/s^2 = 9,8 m/s^2;
g è l’accelerazione di gravità.
h = 400 km circa dalla superficie, altezza della Stazione Internazionale.
R = 6,38 * 10^6 + 4 * 10^5 = 6,78 * 10^6 m;
g = G * M terra / R = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,78 * 10^6)^2;
g = 8,7 m/s^2; accelerazione di gravità sulla ISS.
Poiché la stazione gira intorno alla Terra questa accelerazione è centripeta, mantiene la stazione sull’orbita; chi è all’interno si trova in assenza di peso perché continuamente in caduta libera verso il centro della Terra. Si dice che in un sistema in rotazione esiste una forza centrifuga (forza inerziale, cioè apparente in un sistema in rotazione, sistema accelerato non inerziale) che annulla la forza centripeta.
3) Un satellite artificiale in orbita geostazionaria ruota intorno alla Terra restando sempre sopra lo stesso punto della superficie terreste. Sapendo che il raggio medio della terra è Rt=6,37 * 10^6 m e che il satellite si trova una quota di 36000 km sopra la superficie terrestre, trovare:
a. Quanto tempo impiega il satellite a compiere uno spostamento angolare di 60°;
b. La velocità e l’accelerazione centripeta del satellite;
Un satellite geostazionario ha un periodo di 24 h (1 giorno), come il periodo di rotazione terrestre, in modo da rimanere sempre sullo stesso punto della superficie terrestre.
T = 24 h = 24 * 3600 s = 86400 s;
Rt=6,37 * 10^6 m;
h = 36 000 km = 36 000 000 m = 3,6 * 10^7 m;
Distanza dal centro della Terra, raggio dell’orbita:
R = Rt + h = 6,37 * 10^6 + 3,6 * 10^7 m = 4,24 * 10^7 m; ((circa 42 400 km).
omega = 2 pigreco / T = 6,28 / 86400 = 7,27 * 10^-5 rad/s; (velocità angolare);
alfa = omega * t;
alfa = 60° = pigreco/3 rad = 1,047 rad;;
t = alfa/ omega;
t = 1,047 /(7,27 * 10^-5) = 14404 s;
in ore:
t = 14404 / 3600 = 4 h; (1/6 del periodo);
essendo 60° = 1/6 dell’angolo giro, il satellite impiegherà 1/6 di 24 h.
v = omega * R = 7,27 * 10^-5 * 4,24 * 10^7;
v = 3082 m/s = 3,1 km/s (circa);
v = 3082 * 3,6 = 11100 km/h.
a centripeta = omega^2 * R ;
a = (7,27 * 10^-5)^2 * 4,24 * 10^7 = 0,22 m/s^2;
0,22 m/s^2 è il valore dell’accelerazione di gravità g se ci troviamo quella distanza R dalla Terra.
4) La cometa di Halley
Distanza media dal Sole: semiasse maggiore dell’ellisse.
r1 = distanza in afelio; r2 = distanza in perielio;
r1 > r2
r medio:
r = (r1 + r2) / 2 = a semiasse maggiore dell’ellisse
m v^2 / r = G M *m / r^2;
v^2 = G M / r;
v = 2 pigreco * r / T;
4 pigreco^2 *r^2 / T^2 = G M / r;
r^3 /T^2 = G M /(4 pigreco^2); 3a legge di Keplero;
r = radicecubica(G M T^2 / 39,478);
T = 75,8 anni = 75,8 * 365 giorni * 86400 s = 2,39 * 10^9 s;
r = radicecubica[6,67 * 10^-11 * 1,99 * 10^30 * (2,39 * 10^9)^2 / 39,478];
r = radicecubica[1,92 * 10^37] = 2,68 * 10^12 m;
(r = a = 2,68 * 10^12 m ; semiasse maggiore dell’ellisse).
In UA: a = 2,68 * 10^12 / 1,5 * 10^11 = 17,9 UA.
in perielio:
r2 = 0,596 UA; r2 = 0,596 * 1,5 * 10^11 = 8,94 * 10^10 m;
v2 = 54,5 km/s = 54500 m/s; velocità in perielio.
r1 + r2 = 2 a;
r1 = 2a – r2 = 2 * 2,68 * 10^12 – 8,94 * 10^10;
r1 = 5,27 * 10^12 m; (distanza della cometa in afelio);
r1 = 5,27 * 10^12 / 1,5 * 10^11 = 35,1 UA; in afelio.
Si conserva il momento angolare; il momento della quantità di moto è costante perché il momento della forza M = r * F * sen(angolo), è nullo in quanto è una forza centrale che agisce lungo r e l’angolo fra F ed r è 0.
r1 * m * v1 = r2 * m * v2;
velocità v1 in afelio:
v1 = r2 * v2 / r1 = 8,94 * 10^10 * 54,5 /(5,27 * 10^12);
v1 = 0,924 km/s = 924 m/s.
Quando la cometa è in afelio la sua velocità diminuisce, diventa minima, in perielio è massima.
Lavoro su automobili, mobilità, ambiente, qualità della vita, messaggi ingannevoli su libertà, natura, pressione delle auto sul pianeta di Teodoro Forcellini.
https://drive.google.com/file/d/1CVUL3yrr07fWD4IXhlEmvqLODuOsar_G/view
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