Legge sperimentale di Biot e Savart: (nel vuoto) Bo = Ko · i / R
(B è direttamente proporzionale alla intensità di corrente ed è inversamente proporzionale alla distanza R dal filo), la costante dipende dal mezzo ed è Ko = μo/(2π), = 2 * 10^-7 N /A2
μo = 1,26·10^-6 N/A^2, è detta permeabilità magnetica del vuoto.
Prima regola della mano destra: ci dice il verso del campo B prodotto da una corrente i. Il pollice indica il verso della corrente. Le altre dita che si chiudono indicano il verso delle linee di forza del campo B.
1) Un filo rettilineo infinitamente lungo è percorso da una corrente pari a 43 A. Calcolare il modulo del campo magnetico generato ad una distanza pari a 6 cm dal filo.
B = Ko * i / R; (legge di Biot- Savart).
Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).
B = 2 * 10^-7 * 43 / 0,06 = 1,43 * 10^-4 T = 0,14 mT.
2. Un secondo filo infinitamente lungo è posto, parallelamente al primo, dalla parte opposta rispetto al punto P ed è percorso da una corrente uguale e concorde rispetto al primo filo. Quanto vale ora il campo magnetico nel punto P che si trova fra i due fili alla stessa distanza?
I due campi sono uguali ed opposti perché le correnti hanno lo stesso verso quindi si sottraggono e a distanza uguale si annullano. Il campo risultante è 0 T.
3) Campo magnetico risultante nel punto P:
Due lunghi fili rettilinei sono orientati perpendicolarmente alla pagina, come è mostrato nella figura. La corrente in un filo è I1 = 3,0 A e punta verso l’interno della pagina, mentre la corrente nell’altro filo è I2 = 4,0 A e punta verso l’esterno della pagina. Determina l’intensità, la direzione e il verso del campo magnetico risultante nel punto P.
Campo magnetico generato da una corrente i in un filo:
Legge sperimentale di Biot e Savart: (nel vuoto) Bo = Ko · i / r
B è direttamente proporzionale alla intensità di corrente ,
è inversamente proporzionale alla distanza r dal filo, la costante dipende dal mezzo,
Ko = μo/(2π), = 2 * 10^-7 N /A2
μo = 1,26·10-6 N/A2, è detta permeabilità magnetica del vuoto.
i1 = 3,0 A entrante; i2 = 4,0 A; uscente
distanza dal punto P:
r1 = 5,0 cm = 0,050 m; r2 = 0,050 *radice(2) = 0,071 m (diagonale del quadrato di lato 0,05 m);
B1 = 2 * 10^-7 * 3,0 / 0,05 = 1,2 * 10^-5 Tesla; diretto verso destra,
B1 ha linee di forza circolari con verso orario;
B2 = 2 * 10^-7 * 4,0 / 0,071 = 1,13 * 10^-5 Tesla;
diretto a sinistra, inclinato a 45° sotto la direzione orizzontale.
B2 ha linee di forza circolari con verso antiorario;
Fra B1 e B2 c’è un angolo di 180° – 45° = 135°;
B risultante = radicequadrata(B1^2 + B2^2 + 2 * B1 * B2 * cos135°);
B ris = radice[1,2^2 + 1,13^3 + 2 * 1,2 * 1,13 * (- 0,707)] * 10^-5 = 0,89 * 10^-5 T;
B ris = 8,9 * 10^-6 T = 8,9 microTesla;
Disegno:
l’angolo a sotto l’asse orizzontale:
sen(a) = B2 sen45° / (B ris) = 1,13 * 10^-5 * 0,707 / (0,89 * 10^-5);
sen(a) = 1,13 * 0,707 / 0,89 = 0,898;
a = arcsen(0,898) = 63,85° sotto l’asse orizzontale.
4. Si considerino due fili rettilinei e paralleli distanti 7 mm l’uno dall’altro. Nei due fili scorre la stessa corrente i, ma in verso opposto. Quanto deve valere i perché nel punto medio tra i due fili il campo magnetico abbia intensità di 8 mT?
B1 = B2 = Ko * i / R; legge di Biot- Savart
Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).
B1 + B2 = B = 8 * 10^-3 T; se le correnti hanno verso contrario i due campi si sommano nel punto medio fra i due fili perché i due campi B1 e B2 hanno lo stesso verso.
R = 3,5 mm = 3,5 * 10^-3 m ; (distanza del punto medio)
2 * Ko i / R = B
i = B * R / (2 * Ko)
i = 8 * 10^-3 * (3,5 x 10^-3) / (2 * 2 * 10^-7)
i = 70 A
B = μο * i/ (2πR )
B1 e B2 hanno la stessa direzione e verso opposto. Ko = μo/(2π) = 2 * 10^-7 N/A^2
R1 = 0,0139 m; R2 = 0,009 m
B = B1 – B2 = Ko * (i1/R1 – i2/R2) = 2*10^-7 * (12,6/0,0139 – 2,8/0,009) = 1,191*10^-4 T
B = 0,12 * 10^-3 T = 0,12 mT.
5 Due fili rettilinei molto lunghi distano 0,12 m. Nei fili scorrono due correnti di 8 A inverso opposto.
- Calcolare il campo magnetico nei punti A e B della figura.
Se le correnti hanno verso opposto i fili si respingono, nel punto B fra i due fili i campi hanno lo stesso verso, si sommano, sono entranti nel foglio:
(B risultante) = B1 + B2;
nel punto A invece i campi hanno verso opposto, si sottraggono B1 entra nel foglio, B2 esce dal foglio..
μo = 1,26 * 10-6 N/A2, è detta permeabilità magnetica del vuoto.
B = μo * i /(2π r); legge di Biot – Savart;
μo/(2π) = 2 * 10^-7 N /A2
r è la distanza dal filo.
Nel punto B in mezzo ai fili i due campi entrano nel foglio;
r = 0,060 m; B1 = B2 perché le correnti sono uguali, i = 8 A.
B risultante = B1 + B2 = 2 * ( 2 * 10^-7 * 8 / 0,060 ) = 2 * 2,67 * 10^-5 = 5,33 * 10^-5 T; entrante nel foglio.
Nel punto A esterno; nel tuo disegno le linee di forza di B1 “girano” in senso orario nel punto A entrano nel foglio.
Le linee di B2 girano in senso antiorario; in A escono dal foglio.
r1 = 0,15 m;
r2 = 0,030 m;
B1 = 2 * 10^-7 * 8 / 0,15 = 1,07 * 10^-5 T, entrante nel foglio;
B2 = 2 * 10^-7 * 8 / 0,030 = 5,33 * 10^-5 T, uscente dal foglio;
B risultante = B2 – B1 = 5,33 * 10^-7 – 1,07 * 10^-5 = 4,3 * 10^-5 T ; (uscente dal foglio).
B1 in P entra nel foglio; B2 va verso il basso. Sono perpendicolari fra loro.
B risultante si ottiene con il teorema di Pitagora.
B1 = Ko * i1 / R1
Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).
B1 = 2 * 10^-7 * 0,800 /0,22 = 7,27 * 10^-7 T
B2 = 2 * 10^-7 * 0,500 /0,30 = 3,33 * 10^-7 T (da P1 verso il basso)
Bris = radicequadrata( (7,27^2 + 3,33^2) * 10^-14 ) = 8,00 * 10^-7 T
B2 verso il basso lo mettiamo con il segno negativo.
angolo α:
tan α = B2/B1 = – 3,33/7,27 = – 0,458
α = tan^-1(- 0,458) = – 24,6°
Se la velocità di deriva degli elettroni vale 1,7 * 10^-5 m/s, qual è il numero di elettroni di conduzione per unità di volume? Determinare inoltre il valore della resistività e la resistenza del filo.
Resistenza :
R = V / i = 25 * 10^-3 V / 730 * 10^-3 A = 0,034 OhmR = ρ * L / AreaArea = π * Raggio^2 = 3,14 * (0,5 * 10^-3)^2 = 7,85 * 10^-7 m^2resistività ρ = R * Area / L = 0,034 * 7,85 * 10^-7 / 6,0 = 4,45 * 10^-9 Ohm metroCarica in un secondo:Q = 0,730 C/snumero elettroni al secondo : n = 0,730 / 1,6 * 10^-19 = 4,56 * 10^18 elettroni/s
Area * velocità = Volume/secondo = 7,85 * 10^-7 * 1,7 * 10^-5 = 1,33 * 10^-11 m^3/s
n / Volume = 4,56 * 10^18 /1,33 * 10^-11 = 3,43 * 10^29 elettroni/m^3
1 m^3 = 10^9 mm^3
numero di elettroni per ogni mm^3:
3,43 * 10^29 / 10^9 mm^3 = 3,43 * 10^20 elettroni/mm^3
8) Un filo di rame, lungo 1,0 m e di sezione 1,0 mm^2, è attraversato da una corrente di 2,8 A e ai suoi capi c’è una d.d.p. di 5,0 * 10^-2 V.
b) Qual è la differenza percentuale rispetto alla resistenza che avrebbe lo stesso filo di rame alla temperatura di 20°C?
c) A quale temperatura sta funzionando il circuito?
a) R = V/i = 0,050/2,8 = 0,018 Ohm
seconda legge di Ohm: R = ρ* L / Area
ρ* L / Area = 0,018
ρ = 0,018*1/ (1* 10^-4 m^2) = 180 Ohm *m
b) resistività rame a 20° ρo= 170 Ohm * m
differenza = 180 – 170 = 10 Ohm * m
differenza % = 10/170 * 100 = 5,9 %
α =3,95 · 10^-3 1/Kρ = ρo + ρo * α * ( T – 20°)ρo * α * ( T – 20°) = ρ – ρo
170 * 3,95 · 10^-3 * ( T – 20°) = 180 – 1700,672 * ( T – 20°) = 10T – 20° = 10/0,672T = 20° + 14,9° = 34,9° ; (circa 35°).
9. In un filo di rame di sezione 0,008 cm^2 circola una corrente di 0,1 A. Tenuto conto che la densità di elettroni è circa pari a 8 * 10^28 elettroni /m^-3,
– quale è l’ordine di grandezza della velocità media con cui si spostano gli elettroni nel filo (velocità di deriva)?
i = Q / Δt
v = L / Δt = Velocità di deriva degli elettroni;
Volume = Area * L
Volume attraversato in un secondo:
Volume / Δt = Area * (L / Δt) = Area * v
Corrente i:
Q / Δt = e * n * area * L /Δt
i = e * n * area * v
n = 8 * 10^28 elettroni/m^3;
Area = 0,008 cm^2 = 8 * 10^-3 cm^2 = 8 * 10^-7 m^2;
v = i / ( e * n *Area) = 0,1 / (1,6 * 10^-19 * 8 * 10^28 * 8 * 10^-7)
v = 0,1 / 10240 = 9,8 * 10^-6 m/s = 9,8 micron/s.
10. Il primo di due lunghi fili, appoggiati su un piano liscio orizzontale, lunghi ciascuno 6,5 m e paralleli tra loro, trasporta una corrente di 45 A. Questi sono collegati, a metà lunghezza, meccanicamente ma non elettricamente, da una molla a riposo, lunga 5,0 cm con costante elastica k=16 N/m. Vogliamo comprimere la molla di 4,0 mm. Calcola l’intensità e il verso della corrente che dovrebbe scorrere nel secondo filo. Che verso hanno gli elettroni di conduzione nel secondo filo?
F = Ko * i1 * i2 * L / d; forza fra due fili percorsi da corrente.
Due fili si attraggono se le correnti hanno stesso verso.
Forza di compressione della molla che si deve comprimere di 4,0 mm = 0,004 m:
F = K * x = 16 *0,004 = 0,064 N
Ko = 2 * 10^-7 N/A^2
d = 5 cm = 0,05 m; L = 6,5 m;
i2 = F * d / (Ko * i1 * L)
i2 = 0,064 * 0,05 / ( 2 * 10^-7 * 45 * 6,5) = 54,7 A
La corrente i2 deve avere lo stesso verso di i1, così i fili si avvicinano e comprimono la molla. Gli elettroni si muovono in verso contrario al verso che per convenzione diamo alle correnti. Gli elettroni vanno verso il polo positivo. Noi diciamo invece che la corrente va dal polo positivo + verso il polo negativo -. (Per convenzione).
11) Due fili metallici aventi massa per unità di lunghezza pari a λ=1.00 g/cm sono sospesi tramite cavi inestensibili di massa trascurabile lunghi 0,50 m. I cavi sono attaccati allo stesso supporto cosicché i fili di alluminio sono inizialmente affiancati sul piano orizzontale. Ad un certo istante, nei fili di alluminio viene fatta scorrere una corrente i. La corrente scorre in senso opposto nei due fili. Essi si allontanano in modo tale che i cavi di sospensione formino tra di loro un angolo θ=3.00°. Determinare il valore del modulo della corrente I.
Correnti di verso opposto si respingono con la legge di Ampère:
F =(Ko i1·i2·L) /d (legge di Ampère);
Ko = μo/(2π)
L = lunghezza dei fili conduttori in cui scorre corrente.
d = distanza fra i fili.
Ko = μo/(2π);
μo= (4 π) ·10-7 = 1,26 ·10-6 N/A^2 ; (permeabilità magnetica del vuoto)
Ko = μo/(2π)= 2 · 10-7 N/A^2
angolo: θ/2 =3.00° / 2 = 1,5°
tan 1,5° = F / mg
F = mg * tan 1,5° ;
massa: m = λ * Lunghezza filo alluminio
F = λ * L * g * tan1,5°
Lunghezza cavi di sospensione = 0,5 m;
distanza fra i fili conduttori: d = 0,5 * (sen1,5°) * 2;
i1 *i2 = F * d / (KoL); L = lunghezza dei fili metallici in cui scorre corrente;
i1 * i2 = λ * L * g * tan1,5° * 0,5 * (sen1,5°) * 2 / (2 · 10^-7 * L) ; L si semplifica
i1 = i2 = i
λ=1,00 g/cm = 100 g / m = 0,1 kg/m
i^2 = 0,1 * 9,8 * tan1,5° * 0,5 * (sen1,5°) * 2 / (2 · 10^-7) = 3359 A^2
i = radicequadrata(3359) = 58 A.
Forza elettromotrice indotta: f.e.m. = – d Φ / d t
12) Un’asta lunga L = 0,25 m cade a causa della forza peso per h = 4 m in un campo magnetico B perpendicolare alla caduta dell’asta. B=0,5 T.
Calcolare la differenza di potenziale all’istante t, che corrisponde al momento in cui la sbarretta ha percorso 4 metri.
h = 1/2 g t^2
t = radice(2 * h / g) = radice(2 * 4 /9,8) = 0,904 s (tempo che l’asta impiega a cadere).
f.e.m. = – Delta (Flusso) / Deltat
Flusso = B * Area
Area che l’asta attraversa cadendo = L * h
A = 0,25 * 1/2 g t^2
Flusso del campo: Φ = B * L * h = 0,5 * 0,25 * 1/2 g t^2;
Φ =0,6125 * t^2;
d(Φ) / dt = 2 * 0,6125 * t = 1,225 *t
t = 0,904 s;
V (t) = 1,225 * 0,904 = 1,12 V.
13)
Area triangolo:
A = b * h / 2;
b = L * sen(at/2) * 2; (base triangolo);
angolo = at = [pigreco/6] * t ; (pigreco /6 corrisponderà a 30° al tempo 1 s)
base: b = L * sen(a* t/2) * 2;
h = L * cos(at/2);
Area = 2* L * sen(at/2) * L * cos(at/2) * 1/2;
Area: A= L^2 * [sen(at/2) * cos(at/2)];
Facciamo la derivata:
dA / dt = L^2 * [cos(at/2) * a/2 * cos(at/2) + sen(at/2) * (- sen(at/2) * a/2];
dA / dt = L^2 * a/2 * [cos^2(at/2) – sen^2(at/2)];
[cos^2(at/2) – sen^2(at/2)] = cos(2 * at/2) = cos(at);
a = pigreco/6.
a/2 = pigreco/12
dA / dt = (L^2 * a/2 ) * cos(at); (Variazione area triangolo); dt= 1 secondo.
dA / dt = 10^2 * [pigreco /12] * cos(pigreco/6) = 100 * 0,262 * 0,866 = 22,67 cm^2/s;
dA/dt = 2,267 * 10^-3 m^2/s
Delta Flusso / Deltat = B * dA/dt= 0,64 * 2,267 * 10^-3 = 1,45 * 10^-3 V;
fem indotta = – DeltaFlusso / Delta t = 1,45 * 10^-3 Volt; (in valore assoluto).
i = fem / R;
i = 1,6 mA = 1,6 * 10^-3 A;
R = fem / i = 1,45 * 10^-3 / (1,6 * 10^-3) = 0,91 Ohm; (resistenza totale).
R1 =0,91 / 2 = 0,45 Ohm; (resistenza di una sbarretta sola).
14) Esercizio: moto di un protone all’interno di un campo magnetico B
La velocità avrà due componenti: v perpendicolare e v parallela.
v perpendicolare, la chiamiamo vy, fa muovere il protone di moto circolare; v parallela la chiamiamo vx darà il passo in avanti per il moto lungo il solenoide.
m (vy)^2 / r = q (vy) B;
m (vy) /r = q B;
r = 5,00 cm = 0,050 m;
vy = q B r / m = 1,602*10^−19 * 8,2*10^-2 *0,050/ (1,672*10^−27);
vy = 3,93 * 10^5 m/s; (velocità verticale).
vy = v * sen70°;
v = vy / sen70° = 3,93 * 10^5 / 0,940 = 4,2 * 10^5 m/s; (velocità del protone)
vx = v * cos70° = 4,2 * 10^5 * 0,342 = 1,43 * 10^5 m/s; (velocità orizzontale).
Modulo della velocità:
|v| = radicequadrata(vx^2 + vy^2) = radice(1,43^2 + 4,2^2) * 10^5 ;
|v| = radice(19,68) * 10^5 = 4,4 * 10^5 m/s, (velocità del protone).
Tempo per percorrere una circonferenza, periodo del moto:
T = 2 pgreco * r / vy = 6,28 * 0,05 /(3,93 * 10^5) = 8,0 * 10^-7 s;
T = 0,8 microsecondi, (periodo).
Avanza lungo l’asse del solenoide con velocità vx;
tempo per uscire dal solenoide lungo L = 0,42 m
t = L / vx = 0,42 / (1,43 * 10^5) = 2,94 * 10^-6 s, (tempo all’interno del solenoide, tempo impiegato per uscire).
Numero di eliche (giri) che il protone effettua all’interno del solenoide:
n = t / T = 2,94 * 10^-6 / 8,0 * 10^-7 = 3,7 giri. (Numero di giri prima di uscire).