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Un corpo di massa 10 kg è appoggiato su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale;
a) rappresentare graficamente la situazione;
b) indicare nel grafico la forza peso e le sue componenti nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano;
c) disegnare la reazione vincolare esercitata dal piano;
d) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione parallela al piano;
e) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione perpendicolare al piano.
Forza peso = m * g = 10 * 9,8 = 98 N; ( è la forza tratteggiata in figura)
Forza peso parallela: F// = m * g * sen30° = 98 x 0,5 = 49 N (Fpx in figura).
Forza peso perpendicolare = m * g * cos30° = 98 * 0,866 = 84,9 N (Fpy in figura).
La reazione vincolare Fv è verso l’alto, opposta alla F perpendicolare al piano.
2) Un operaio sta lavorando su un tetto inclinato di 36° rispetto all’orizzontale . Riesce a non scivolare grazie all’attrito fra le sue scarpe e il tetto. Il valore massimo della forza di attrito statico è 390 N.
- Calcolare la massa dell’operaio.
La forza parallela al tetto del peso dell’operaio deve essere uguale alla forza d’attrito che lo frena.
Fattrito = ks * m * g * cos36°m g sen36° = ks * m * g * cos36°
ks = sen36° / cos36° = tan36° ,
ks = 0,73; (coefficiente attrito).
ks * m * g * cos36° = 390 N
m = 390 / (ks * g * cos36°)
m = 390 / 5,79 = 67,4 kg.
2 bis) Un oggetto parte da fermo da un altezza ho e scivola lungo un piano inclinato privo di attrito. Poi risale lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo di 45° con l’orizzontale. Sapendo che il coefficiente d’attrito vale 0,5 calcolare l’altezza massima raggiunta dall’oggetto sul secondo piano.
L’oggetto ha energia Uo = mgho, scende e l’energia diventa cinetica, se non c’è attrito, rimane uguale, si conserva.
Uo = mgho
Forza attrito = 0,5 * mg cos45°; la forza d’attrito fa perdere velocità, fa lavoro negativo e l’oggetto raggiunge una quota h1 < ho.
sen45° = h1 / S
L = Forza x Spostamento;
lo spostamento si trova facendo: S = h1/sen45°;
Lavoro forza attrito = F x Spostamento = 0,5 * mg cos45° * (h1) /sen45°
Lavoro forza attrito = 0,5 x mg x h1 (cos45° / sen45°)
La differenza di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza d’attrito.
cos 45° = sen 45° ; quindi cos45° / sen45°= 1
mgh1 = mgho – Lavoro Fattrito
mg ho – mg h1 = 0,5 * mg * h1 ; mg si semplifica, rimane:
ho – h1 = 0,5 * h1
h1+ 0,5 h1 = ho
1,5 h1 = ho
h1 = ho / 1,5 = ho / (3/2) = 2/3 x ho (nuova altezza raggiunta).
3. Un corpo di massa 8 Kg viene lanciato con una velocità di 1,4 m/s, da un’altezza di 1,3 m, lungo un piano inclinato di 45 gradi; il coefficiente d’attrito è di 0,35. Calcolare accelerazione di discesa e la velocità alla base del piano.
√
Sul piano inclinato le forze sono F parallela al piano e la forza d’attrito.
F// = mg sen45° = 8 x 9,8 x sen45° = 55,4 N
Fattrito = 0,35 x mg cos45° = 0,35 x 78,4 x 0,707 = 19,4 N (forza contraria al moto, frenante)
Fris = 55,4 – 19,4 = 36 N
accelerazione di discesa:
a = Fris / m = 36 / 8 = 4,5 m/s^2
L = Fris * S; L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 (teorema energia cinetica)
spostamento S = h / sen45° = 1,3 / 0,707 = 1,84 m
L = 36 * 1,84 = 66,2 J
1/2 m V^2 = L + 1/2 m Vo^2
1/2 m V^2 = 66,2 + 1/2 * 8 * 1,4^2 = 74 J
V = √(2 * 74/8) = 4,3 m/s
Forze agenti sul piano inclinato.
4. Come si trovano seno e coseno?
In un triangolo rettangolo:
sen(β) = cateto opposto /ipotenusa
sen(β) = Y / R;
allora: Y = R sen(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse y, verticale)
cos(β) = cateto adiacente / ipotenusa
cos(β) = X / R
X = R cos(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse x , orizzontale); vedi figura.
Esempio:
F = 100 N; β = 30°; Fx = 100 * cos30° = 86,6 N; Fy = 100 * sen30° = 50 N
5) Un carro attrezzi solleva una macchina usando il gancio sul davanti per poterla caricare. Quando la parte anteriore è sollevata di h = 1,2 m rispetto al suolo, un gadget che si trova a terra su un tappetino all’interno della macchina inizia a scivolare. Il coefficiente di attrito tra la superficie del tappetino e l’oggetto vale 0,32. Quanto è lunga la macchina?
Il gadget inizia a scivolare sul piano inclinato quando F//, (parallela) al piano inclinato dell’auto è uguale alla forza d’attrito.
F// = mg sen(α)
Fattrito = 0,32 * mg cos(α)
mg sen(α) = 0,32 * mg cos(α); semplifichiamo mg; resta:
sen(α) = 0,32 cos(α)
sen(α) / cos(α) = 0,32
tan(α) = 0,32; (tangente dell’angolo).
α = tan^-1 (0,32) = 17,74°; (con la calcolatrice c’è il tasto tan^-1)
sen 17,74° = 0,305
Il seno è il rapporto fra altezza e ipotenusa; qui l’ipotenusa è la lunghezza L della macchina.
h / L = 0,305; L = h / 0,305 ;
L = 1,2 / 0,305 = 3,9 m ; (lunghezza macchina)
6) Una slitta percorre una discesa di 30 m e inclinata di 34°, con coefficiente d’attrito dinamico Kd = 0,3. Determinare la velocità con cui la slitta arriva in fondo alla discesa.
Forza risultante = (Forza parallela al piano) – (F attrito)
F parallela al piano = F// = m * 9,8 * sen 34° = (m * 5,48) N
Fattrito = Kd mg cos34° = 0,3 * m * 9,8 cos34° = (m * 2,44) N
F ris = (m * 5,48) – (m * 2,44) = (m * 3,04) N
Lavoro forza risultante = Energia cinetica finale
(F ris) * Spostamento = 1/2 m v^2; ( Spostamento = lunghezza pista = 30 m)
m * 3,04 * 30 = 1/2 m v^2; la massa m si semplifica e non serve.
1/2 * v^2 = 3,04 * 30 ;
v^2 = 2 * 3,04 * 30 = 182,4
v = √(182,4) = 13,5 m/s
7) Uno sciatore di massa 40 kg scende su una pista priva di attrito inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 1 m/s^2; (c) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 2 m/s^2.
Lo sciatore scende grazie alla forza peso parallela al piano inclinato e dovrebbe accelerare con una accelerazione:
g// = 9,8 * sen10° = 1,7 m/s^2
F// = m * g// = 40 * 1,7 = 68,1 N
a) Se scende con velocità costante vuol dire che il vento agisce con una forza uguale e contraria:
F vento = – 68,1 N; (se la somma delle forze è 0 N il corpo viaggia con velocità costante, primo principio della dinamica).
b) Se l’ accelerazione è 1 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira in senso contrario con una forza che fa diminuire l’accelerazione:
a = 1 – 1,7 = – 0,7 m/s^2 e frena il moto;
F vento = – 40 * 0,7 = – 28 N
c) Se l’ accelerazione è 2 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira nello stesso verso del moto dello sciatore, lo spinge e fa aumentare l’accelerazione di a = 2 – 1,7 = + 0,3 m/s^2
F vento = 40 * 0,3 = + 12 N
8) Un bambino di massa 35 kg è fermo su uno scivolo alto 1,80 m e lungo 3,70 m.
Il bimbo pesa F = mg:
F = 35 * 9,8 = 343 N
F// = F peso * sen(α);
sen(α) = 1,80 / 3,70 = 0,486; α = sen^-1 (0,486) = 25,9°;
F// = 343 * 0,486 = 167 N (il bambino si tiene fermo con questa forza).Se c’è attrito serve una forza minoreF attrito = 0,780 * 343 * cos(25,9° ) = 240,6 N (valore massimo), l’attrito è molto grande, quindi può bilanciare una forza fino al suo valore massimo cioè 240,6 N
Perciò il bimbo resta fermo senza applicare forze.
L’attrito agisce con una forza contraria pari a quella parallela che è 167 N, quindi il bambino resta in quiete.
9) Su un piano inclinato una scatola che pesa 20 N si trova in equilibrio a causa delle forze di attrito. Il piano è lungo 80 cm e alto 40 cm.
Calcolare quanto vale la forza di attrito statico.
All’equilibrio deve essere:
F parallela al piano inclinato = F attrito
F// = mg sen(α); mg = forza peso = 20 N
Fattrito = F//
sen(α) = h/L = 40/80 = 0,5 ; (è un angolo di 30°)
F attrito = 20 * 0,5 = 10 N ; (in verso contrario alla forza parallela al piano che farebbe scendere la scatola).
10) Una sciatrice scende giù per un pendio con inclinazione di 5,0° con una velocità iniziale di 15 m/s.
Se il coefficiente di attrito tra lei e il pendio è di 0,18, dopo quanti metri si fermerà?
F risultante = m * a;
Frisultante = F// – Fattrito;
F// è la forza parallela al piano che fa scendere la sciatrice.
F// = m g sen 5° = m * 9,8 * 0,087 = m * 0,85 N
Fattrito = 0,18 * m g cos5° = m * 0,18 * 9,8 * 0,996 = m * 1,76 N
m * a = m * 0,85 – m * 1,76
la massa si semplifica.
L’attrito è maggiore della forza parallela al piano, quindi la sciatrice decelera.
a = 0,85 – 1,76 = – 0,91 m/s^2, decelerazione.
vo = 15 m/s
v = a * t + vo;
V finale = 0
0 = a * t + vo
a * t = – vo
t = – vo/a
t = – 15 / (- 0,91) = 16,5 secondi; tempo per fermarsi.
S = 1/2 a t^2 + vo t = 1/2 * (-0.91) * 16,5^2 + 15 * 16,5
S = – 124 + 248 = 124 m
11) Una forza di 12 N parallela a un piano inclinato di 30° spinge su per il piano un blocco con una velocità costante.
Se il coefficiente di attrito è 0,25, qual è la massa del blocco espressa in kg?
Forza che spinge verso l’alto: F = 12 N; forza positiva.
Forza peso parallela al piano: F// = m * g * sen30° = m * 9,8 * 0,5 = m * 4,9 N; questa forza frena il corpo, è verso il basso, è negativa
Fattrito: Fa = k * m * g * cos30° = 0,25 * m * 9,8 * 0,866 = m * 2,12 N (forza frenante, anch’essa negativa).
Se il blocco viaggia a velocità costante la somma delle forze è 0 N per il primo principio della dinamica di Newton:
Fris = 0 N, allora un corpo o resta in quiete o si muove con v costante.
+ 12 – m * 4,9 – m * 2,12 = 0
m * ( 4,9 + 2,12) = 12
m * 7,02 = 12
m = 12 / 7,02 = 1,71 kg; (circa 1,7 kg); massa del blocco.
12) Matteo deve caricare una scatola di mattoni di massa 150 kg su un camion, ad un’altezza da terra di 80 cm. Per farlo, lega i mattoni a un cavo per poi tirare il cavo lungo uno scivolo disposto tra il camion e la terra, senza attrito. Il cavo può sopportare una forza massima di 196 N
Calcolare la lunghezza minima dello scivolo perché il cavo non si spezzi.
Forza Peso mattoni: Fp = 150 * 9,8 = 1470 N
F// sul piano deve essere 196 N affinché non si rompa il cavo.
Fp * sen(angolo) = 196 N
sen(angolo) = 196/ Fp = 196 / 1470 = 0,133
sen(angolo= = h / L
h = 0.80 m
L = lunghezza scivolo
0,133 = 0,80 / L
L = 0,80 /0,133 = 6 metri ( lunghezza minima per non fare rompere il cavo).
13) Un vaso di fiori di massa 4,2 Kg viene appoggiato su un piano inclinato di lunghezza 2,0 m e altezza 0,4 m. Il vaso di fiori è in equilibrio sotto l’azione della forza d’attrito. Determina l’intensità della forza attrito che tiene in equilibrio il vaso di fiori. Determina il valore del coefficiente di attrito.
sen(angolo) = 0,4/2,0 = 0,2
F// = m * g * sen(angolo) = 4,2 * 9,8 * 0,2 = 8,23 N (forza parallela al piano verso il basso)
La forza d’attrito è uguale e contraria alla forza parallela se il corpo è in equilibrio, fermo.
F attrito = 8,23 N verso l’alto
F attrito = Ks * m * g * cos(angolo)
Ks * 4,2 * 9,8 * cos(angolo) = 8,23
angolo = sen^-1 (0,2) = 11,54°
cos(11,54°) = 0,980
Ks * 4,2 * 9,8 *0,980 = 8,23
Ks * 40,34 = 8,23
Ks = 8,23 / 40,34 = 0,20
14) Un uomo sta tenendo ferma una cassa di massa 50 Kg su un piano inclinato, esercitando su di essa una forza parallela al piano inclinato. Il piano inclinato è lungo 5 m e forma un angolo di 30° col piano orizzontale. Si trascuri la forza attrito. Determinare il valore della forza equilibrante applicata dall’ uomo.
F// = m * g * sen(30°)
F// = 50 * 9,8 * 0,5 = 490 * 0,5 = 245 N ( verso il basso, parallela al piano)
L’uomo deve esercitare una forza contraria alla forza parallela
15) Una poltrona è appoggiata sul pavimento. In quel punto sviluppa una reazione vincolare di 340 N. Determina la massa della poltrona.
La reazione vincolare è uguale al peso. Il peso verso il basso, la reazione vincolare verso l’alto. Disegnare due vettori uguali e di verso contrario, partendo dal centro della poltrona.
m = Fpeso / g = 340/9,8 = 34,7 kg; (massa).
16) Un lampadario di massa 4,3 Kg è sospeso al soffitto mediante una fune (dal peso trascurabile). Disegnare il diagramma di corpo libero. Determinare la tensione della fune. F peso = m * g = 4,3 * 9,8 = 42,14 N (forza peso verso il basso)
Tensione della fune: uguale alla forza peso, però verso l’alto. Disegna i due vettori che partono dal centro del lampadario uno verso l’alto e uno verso il basso.
F//1 = 2 * g * sen35°= 11,24 N;
F//2 = 7 * g * sen 35° = 39,35 N
Fris = F//2 – F//1;
Fris = 39,35 – 11,24 = 28,11 N;
(m1 + m2) * a = 28,11;
a = 28,11/(2+7) = 4,02 m/s^2 ( verso destra, dalla parte del corpo m2 = 7 kg).
Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto):
T – F//1 = m1 * a; T = m1 * a + F//1;
T = 2 * 4,02 + 11,24 = 19,3 N.
F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93N
F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 x 1 x 9,8 x 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N.
Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.
Forze sul corpo 1 frenanti, negative perché verso sinistra, Tensione T positiva.- 6,93 – 1,39
+ T = m1 * a ; accelerazione verso l’alto, positivaForze sul corpo 2
+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = a
12,81 – T = 4 * a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N
a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2