Le Jet d’eau di Ginevra. Fluidodinamica di Bernoulli.

Il getto d’acqua di Ginevra (una fontana a getto di acqua verticale) raggiunge l’altezza di 140 metri. Trovare la pressione della conduttura che alimenta il getto nel tratto sotterraneo collocato a 3 metri sotto l’ugello che origina il getto.

Jet d'eau

 

Il teorema di Bernoulli dice che:

P1 + 1/2 d V1^2 + dgh1 = P2 + 1/2 d V2^2 + dgh2

Alla base, dentro il condotto V1 = 0 m/s;
h1 è sotto il livello dell’acqua, quindi sarà negativa  h1 = – 3 m.

In cima al getto nel punto più alto V2 = 0 m/s;
(tutti i corpi lanciati verso l’alto si fermano nel punto più alto, prima di iniziare la caduta verso il basso).
P2 = Po = pressione atmosferica, h2 = 140 m.

P1 + d g (-h1) = P2 + d g h2;
P1 = P2 + d g (h2 + h1)

P2 = Po  = pressione atmosferica = 1,013 * 10^5 Pa

h2 = 140 metri;  h1 = – 3 m

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (h2 – h1); in Pascal.

Per avere le atmosfere si divide il risultato ottenuto per Po = 1,013 * 10^5 Pa

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (140 – ( -3) ) = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * 143;

P1 = 1,013* 10^5 + 14,014 * 10^5 = 15,03 * 10^5 Pa; (pressione nel condotto alla base).

P1 = 15,03 * 10^5 / (1,013 * 10^5) = 14,8 atm;  (quasi 15 atm).

Energia: esercizi ed esempi.

energia-meccanica

Domanda sulla conservazione dell’energia:
1) Se un corpo di massa m=10 kg viene lasciato cadere da un altezza h = 10 m, qual è la sua velocità finale? E la sua energia cinetica finale? In virtù di quale legge siamo in grado di calcolare tali valori?
-A. Per la legge di conservazione dell energia abbiamo v=10 m/s. K=200 J.
-B. Per la legge della conservazione dell energia meccanica abbiamo v = 14 m/s. K= 980 J.
-C. Per la legge della conservazione della quantità di moto abbiamo v=14 m/s. K=980 J.
-D. Nessuna delle risposte precedenti.

Risposta B). Per la legge della conservazione dell’energia meccanica:

1/2 m v^2 = mgh

v = radice(2 g h) = radice( 2 * 9,8 * 10 ) = 14 m/s

Ec = 1/2 m v^2 = 1/2 * 10 * 14^2 = 980 J

energi

 

pisa

 

Esercizio 1:

Un modellino di automobile di massa m = 85 g viene spinto lungo una pista orizzontale da una molla di costante elastica k=150 N/m, inizialmente compressa di x =7,8 cm. La guida orizzontale termina con un quarto di circonferenza verticale. Gli attriti sono trascurabili.
1) a che altezza massima arriva il modellino?
2) spiegare se è necessario trattare separatamente i due casi seguenti:
– il modellino esce dal punto più alto della guida;
-il modellino non supera il punto più alto della guida;

mollaSoluzione:

L’energia elastica della molla diventa energia cinetica e poi energia potenziale. L’energia si conserva in assenza di attriti.
x = compressione molla = 0,078 m
1/2 k x^2 = 1/2 * 150 * 0,078^2 = 0,456 J
Energia potenziale U = m g h
m * g * h = 0,456

h = 0,456 /(m * g) = 0,456 / (0,085 * 9,8) = 0,55 m (altezza massima raggiunta)

Se il raggio del quarto di circonferenza è minore di 55 cm, allora il modellino esce dalla guida.
Se il raggio del quarto di circonferenza è maggiore di 55 cm, allora il modellino non esce, si ferma e ridiscende.

 

Teorema dell’energia cinetica :

 Il lavoro che una forza compie quando agisce su un corpo di massa m, libero di muoversi,  è uguale alla variazione di energia cinetica.

 L  = 1/2mv – 1/2mvo2         (L = Ecfin – Eciniz )

   Si ricava da 

L = F · S = m · a ·(1/2 a t2 + vo·t) ;

sostituendo ad a il valore:  a = (v – vo) /t .

L = F · S = m · (v – vo) /t  · (1/2 ((v – vo) /t) · t2 + vo·t)

Esempio 1:

Un automobile di massa m = 1300 kg viaggia ad una velocità Va =10 m/s.  Accelera e in uno spazio S = 200 m la sua velocità diventa Vb = 50 m/s. Calcolare il lavoro  della forza motrice F, l’intensità della forza e l’accelerazione. (Trascuriamo gli attriti).
(ris:  L = 1,56 *10^6 J;  F = 7800 N; a = 6 m/s^2)
auto-rossa-

L = 1/2 * 1300 * (50^2 – 10^2) = 1,56 * 10^6 J
F = L / S = 7600 N;  a = F / m = 6 m/s^2

 

Esempio 2
Un corpo che viaggia alla velocità di 20 m/s, viene fermato da una forza
F =  5 * 10^4 dyn, dopo aver percorso uno spazio di 40 m.
La massa del corpo è?  (Ris.: 100 g)

1 Newton = 10^5 dyn; la dyn è unità di misura C.G.S. che non si usa più.
F = – 5 * 10^4 dyn/ 10^5 = – 0,5 N; è una forza frenante, quindi la poniamo negativa

L = Forza * spostamento = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2   
(teorema energia cinetica)
Vfinale = 0 m/s
0 – 1/2 m Vo^2 = – 0,5 * 40
1/2 * m * 20^2 = 20
m = 20 * 2 / 400 = 0,1 kg = 100 g

Se non si conosce il teorema del lavoro = variazione energia cinetica, occorre usare la cinematica, ( è più laborioso).

Leggi del moto uniformemente accelerato:
S = 1/2 * a * t^2 + Vo * t
V = a * t + Vo

a * t + 20 = 0
Ricavi    a = – 20/t e lo sostituisci in S:
40 = 1/2 * (-20/t) * t^2 + 20 * t
40 = – 10 * t + 20 * t
t = 40/10 = 4 s;  tempo per fermarsi.
a = – 20/4 = – 5 m/s^2
m = F /a = – 0,5 / (- 5 ) = 0,1 kg = 100 g.

 

3) In un parco giochi, un bambino di massa m = 25 kg scende per uno scivolo lungo           S = 7,0 m inclinato di 20° rispetto al suolo orizzontale. Considerando un coefficiente d’attrito dinamico kd = 0,30,  determinare il lavoro compiuto dalla forza di attrito e la velocità di arrivo al suolo del bambino supponendo che esso parta da fermo.
scivolo

Fattrito = 0,30 * m g cos20°

Fattrito = 0,30 * 25 * 9,8 * cos20° = 69,1 N

Lavoro F attrito :
L attrito = 69,1 * 7,0 = 483,7 J; questo lavoro è resistente, fa perdere energia, quindi viene considerato negativo.

h = 7,0 * sen20° = 2,39 m = 2,4 m

Lavoro forza peso: L = mgh = 25 * 9,8 * 2,4 = 588,0 J

Lavoro della forza risultante = L – L att = 588,0 – 483,7 = 104,3 J

velocità iniziale vo = 0 m/s;

1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2 = 104,3 J (teorema energia cinetica);

1/2 m v^2 = 104,3 J

v = √(2 * 104,3/25) = 2,9 m/s

4)  1 Joule è l’energia necessaria per sollevare di 1 metro un oggetto che pesa 1 N. Quale oggetto può pesare un Newton?

Il Joule è un’unità di energia o lavoro, molto piccola.

Fpeso = massa * g

g = 9,8 m/s^2 = accelerazione di gravità sulla Terra

Fpeso = 1 N

massa = 1 / g = 1 / 9,8 = 0,102 kg

La forza di 1 Newton corrisponde al peso di 102 grammi di materia qui sulla Terra.

Es: 1 hg di mortadella; circa 100 grammi. (es: un quaderno piccolo).

Se si solleva a velocità costante una massa di 100 grammi per 1 metro si svolge il lavoro di 1 Joule.

1 Joule = 1 / 4,186 = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J;

1 kcal = 4186 J

Esercizi su tensione – reazione vincolare – giro della morte

Tag

Esercizio 1) 

Un blocco di   M=3 kg in quiete su un piano orizzontale con coefficiente d’attrito  μ=0,4, è legato ad una fune ideale; all’altro capo della fune è legata una massa m = 5 kg che scende verticalmente dal piano.
a) Calcolare la velocità della massa m nel momento in cui ha percorso 1,5  metri dal bordo del tavolo piano.

b) Calcolare la tensione della fune fra le masse.

L’ accelerazione delle masse è la stessa, perché i due corpi sono legati e si muovono insieme.

a = Forza risultante /(massa totale)

Forze agenti:
Fattrito agente su M;  Fattr = 0,4 * 3 * 9,8 = 11,76 N (sarà negativa perché frenante)

La forza peso su M, (Mg) viene annullata dalla reazione del piano Fn verso l’alto, (vedere figura sopra).

Forza peso su m:
F(peso m) = 5 * 9,8 = 49 N (questa forza fa muovere i due corpi di moto accelerato).

F risultante = 49 + ( – 11,76) = 37,24 N

a = 37,24 / (3+5) = 4,66 m/s^2

V = a * t + Vo;       Vo = 0 m/s; manca il tempo di caduta.
S = 1/2  a  t^2
t = √(2 * S / a ) = √( 2 * 1,5/4,66) = 0,8 s
V = 4,66 * 0,8 = 3,74 m/s.

b) Per trovare la Tensione, considerare i corpi separatamente e sommare le forze che agiscono su ciascuno.
Forze sul corpo di massa m che cade verticalmente: Peso e tensione, sommate con il loro segno danno la forza risultante su m.

mg – T = ma
T = mg – ma

T = 5 * (9,8 – 4,66) = 5 * 5,14 = 25,7 N

Forze sul corpo M:

T – Fattrito = M * a

T = M * a – Fattrito = 3 * 4,66 + 11,76 = 25,7 N

 

Esercizio 2)

corpi legati

 

a)
μ1 = 0,50;
μ2 = 0,30;  coefficienti d’attrito.

Fattrito1 = m1 * g * 0,50 = 8,0 * 9,8 * 0,50 = 39,2 N

Fattrito2 = m2 * g * 0,30 = 6,0 * 9,8 * 0,30 = 17,64 N
T1 = tensione della fune che traina  in avanti sul corpo 1
T2 = tensione della fune che traina in avanti sul corpo 2;

Sul corpo 2 agiscono T2 in avanti e l’attrito2 che agisce all’indietro:
T2 + ( – m2 * g * 0,30 ) = m2 * a

Sul corpo 1 agiscono T1 in avanti, T2 e l’attrito1 all’indietro

T1 + (- T2) + ( – m1 * g * 0,50) = m1 * a

Sul terzo corpo appeso m, agiscono la tensione T1 verso l’alto e la forza peso m*g verso il basso.
T1 + ( – m * g) = m * a;

se l’accelerazione a = 0, allora il sistema si muove a velocità costante:

T2 – 6,0 * 9,8 * 0,30 = 0

T1 – T2 – 8,0 * 9,8 * 0,50 = 0

T1 – m * 9,8 = 0

T2 – 17,64 = 0;  Allora:

b)  T2 = 17,64 N ;  Tensione della fune sul corpo 2.

Sostituiamo T2 nella seconda equazione.

T1 – (17,64) – 39,2 = 0
T1 – 17,64 – 39,2 = 0

T1 = 17,64 + 39,2 = 56,84 N

T1 = m * 9,8 ;

m = 56,84 /9,8 = 5,8 kg.

c) Se la fune si spezza , il corpo m1 si arresta prima di m2 a causa del maggior attrito agente su m1 pari a 39,2 N ; la fune tra m1 ed m2 si allenta perché m2 continua a muoversi e si ferma dopo m1 a causa del minore attrito pari a 17,64 N.

Esercizio 3)


Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso), la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito che agisce in verso contrario al moto;

Sul corpo 2 agisce F//2 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito;

F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93 N
F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 * 1 * 9,8 * 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N

Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.

Forze sul corpo m1 frenanti, negative perché verso il basso, Tensione T positiva verso l’alto.
– F//1 – Fattr1 + T = m1 * a
–  6,93 – 1,39 + T = (1 kg) * a ; accelerazione verso l’alto, positiva

Forze sul corpo m2, si muove verso il basso positivo, Tensione e attrito negative:

+ F//2 –  Fattr2 – T = (4 kg) * a;

+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = 1 * a
12,81 – T = 4*a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4*T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N

a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2

T = 1 * a + 8,32;
T = 0,88 + 8,32 = 9,2 N

 

Esercizio 4)

Altalena
altal                 Immagine correlata

La corda di un’ altalena può sopportare una tensione massima di 800 N senza rompersi. Nella situazione iniziale l’ altalena è ferma in posizione verticale, poi viene tirata indietro in modo da formare un angolo di 60° con la direzione verticale. Qual è la massa della persona più pesante che può usare questa altalena?

La massima tensione della corda si ha quando l’altalena passa nel punto più basso a velocità massima

F(tensione) = mg + mV^2/L;     L è la lunghezza della corda

occorre trovare V con la conservazione dell’energia:

mgh = 1/2mV^2

h = L – L * cos60° = L *(1 – 0,5) = 0,5*L

V^2 = 2g * 0,5L

Ftensione = m * g + m *(2g * 0,5L) /L ;     (L si semplifica e non serve).

800 = m * g + m * g

2mg = 800

m = 800/2g = 800 / ( 2 * 9,8) = 40,82 kg

 

Esercizio 5): tensione di una fune

Risultati immagini per peso su fune in tensione

Un uomo sul filo ha una massa di 60 kg. Qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?

T = forza di tensione
Forza verso l’alto per sostenere il peso:
T * sen 10* ci dà metà della componente verso l’alto;

2 T * sen 10°  = Fpeso;

T = Fpeso/(2 sen10°) = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N

Oppure con il teorema di Carnot, la forza peso è pari alla forza verso l’alto che è la somma delle due tensioni:

 Fp = √(T^2 + T^2 + 2T^2cos160°);  fra le due tensioni c’è un angolo di 160°

Fpeso =√(2T^2 + 2T^2cos160°) )= √(2T^2 (1 + cos160°) ) ;
Fpeso^2 = 2T^2 (1 + cos160°)

T = Fpeso / ( √(2 (1 + cos160°) )  = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N

Esercizio 6): Pendolo semplice – Tensione
pendolosempl

Un oggetto di massa 450 g appeso a un filo inestensibile di lunghezza 90 cm, oscilla rispetto alla posizione di equilibrio verticale: quando passa per la posizione di equilibrio, la velocità dell’oggetto è 1,84 m/s.
–  Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso della traiettoria?
–  E quanto vale la tensione quando l’oggetto raggiunge il punto più alto della sua traiettoria?

Nel punto più basso la forza centripeta è la forza risultante:

m * V^2 / L = Tensione – Fpeso

Tensione = m * V^2/L + m * g; ( la tensione è massima)

Tensione = 0,450 * 1,84^2 /0,9 + 0,450 * 9,8 = 6,1 N

Il corpo possiede energia cinetica che diventa energia potenziale nel punto più alto.

E = 1/2 m V^2 = mgh

h = V^2/2g = 0,17 m; (altezza all’estremità dell’oscillazione). L è l’ipotenusa del triangolo rettangolo dove il cateto adiacente all’angolo massimo dell’oscillazione è L – h.

cos(angolo) = (L – h) / L = ( 0,9 – 0,17) / 0,9 = 0,808

angolo = arcos (0,808) = 36°

Nel punto più alto l’oggetto è fermo, non c’è forza centripeta.

Quindi: Tensione = Fpeso * cos(angolo)

Tensione = 0,450 * 9,8 * 0,808 = 3,56 N

Esercizio 7) : Giro della morte – Reazione della rotaia su un carrello.
Un carrello di massa m scende senza attrito da un altezza h percorrendo un binario che in un tratto centrale descrive una circonferenza verticale di raggio R.
Per h=4R.   Determinare:
– la velocità massima raggiunta
– la forza normale N (cioè perpendicolare) che la rotaia esercita sul carrello nel punto più basso della traiettoria circolare. Questa forza è la reazione della pista.
– la forza normale N che la rotaia esercita sul carrello nel punto più alto della traiettoria circolare.

giro della morte        giromorte2

1/2 m V^2 = mgh ; mgh è l’energia che possiede il carrello e che si conserva;

h = 4R

V = √(2gh)

V = √( 2g4R) = √(8gR)

V^2 = 8gR

Nel punto più basso la forza N che la rotaia esercita sul carrello è la somma fra la forza centripeta e la forza peso.

N = mV^2 /R + mg = m 8gR / R + mg = 8mg + mg = 9mg. (Reazione normale della rotaia verso l’alto).

Nel punto più alto la forza perpendicolare N che la rotaia esercita sul carrello è la differenza fra la forza centripeta e la forza peso.

La velocità del carrello V1 diminuisce perché sale a quota h1.

h1 = diametro della circonferenza = 2R.

U = mg4R = energia potenziale iniziale.1/2 m V1^2 + mgh1 = mg4R;

1/2 m V1^2 + mg2R = mg4R;

V1 =√(2 * (g4R – g2R) ) =√( g4R)

N = mV1^2 /R – mg = m 4gR / R – mg = 4mg + mg = 3mg;

(nel punto più alto la reazione della rotaia è verso il basso)

 

Esercizio 8) Piano inclinato, giro della morte, attrito, energia elastica della molla.

 

giro morte esercizio

1) Energia potenziale iniziale Uo = mgho; ho = 6 m

Uo = 5 * 9,8 * 6 = 294 J

2) L’energia potenziale diventa tutta energia cinetica (in assenza di attrito).

1/2 m v^2 = 294 J

v = radicequadrata(2 * 294/5) = 10,84 m/s;

la velocità v resta costante in orizzontale se non c’è attrito.

3) La traiettoria circolare ha raggio r = 1,5 m; diametro = 3 m.

Nel punto più alto della traiettoria circolare (h1 = 2 * raggio = 3 metri), il carrellino possiede energia cinetica e potenziale. La somma deve fare sempre 294 J, se non c’è attrito.

1/2 * m * v1^2 + m * g * h1 = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + (5 * 9,8 * 3) = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + 147 = 294

2,5 * v1^2 = 294 – 147

v1^2 = 147 /2,5

v1 = radice(58,8) = 7,67 m/s ; (velocità nel punto più alto).

4) Reazione R della pista: in alto le forze sono verso il basso e sono Forza peso m * g, Reazione R. La loro somma ci dà la forza centripeta

Fcentripeta = m * g + R

m * v^2/r = m * g + R

R = m * v^2/r – m * g = 5 * 7,67^2/1,5 – 5 * 9,8

R = 196 – 49 = 147 N

5) lavoro L = Fattrito * Spostamento

L = (0,30 * 5 * 9,8) * 10 = 14,7 * 10 = 147 J; questo lavoro è negativo perché la forza è frenante.
(L = – 147 J è l’energia persa per il lavoro della forza d’attrito).

6) L = 1/2 m (v fin)^2 – 1/2 m (v iniz)^2; teorema energia cinetica
Viniziale è la v del punto 2 perché il carrellino scende e ritorna a quota 0 metri;

v iniz = 10,84 m/s

– 147 = 1/2 * 5 * (Vfin)^2 – 1/2 * 5 * 10,84^2

– 147 = 2,5 * (Vfin)^2 – 294

2,5 * (v fin)^2 = 294 – 147

v fin = √(147/2,5) = 7,67 m/s;   (velocità con cui il carrellino arriva sulla molla).

7) L’energia del carrellino diventa energia elastica della molla U = 1/2 K x^2

1/2 * 800 * x^2 = 1/2 m (v fin)^2

x^2 = 147 * 2 / 800 = 0,368

x = √(0,368) = 0,6 m= 60 cm ; (compressione della molla).

 

 

 

 

 

Esercizi sul movimento (cinematica e dinamica)

1. Un auto parte da ferma con un’accelerazione di 2,7 m/s^2. Nello stesso istante un camion con velocità costante 57 km/h la sorpassa. Dopo quanto tempo l’auto raggiungerà il camion? 

camion

 

S1 = 1/2 * a * t^2 ; ( legge del moto uniformemente accelerato dell’auto).

S2 = v * t ; (legge del moto uniforme del camion);

v = 57 * 1000 / 3600 = 57/3,6 = 15,83 m/s; (velocità camion in m/s).

S2 = 15,83 * t.  ( Risolviamo il sistema delle due equazioni del moto S1 ed S2, metodo del confronto).

S1 = S2; ( posizione in cui si trovano insieme, auto e camion).

1/2 * 2,7 * t^2 = 15,83 * t

1,35 + t^2 – 15,83 *  t = 0

t * ( 1,35 t – 15,83) = 0

t1 = 0 s; (soluzione di partenza)

1,35 t – 15,83 = 0

t2 = 15,83 / 1,35 = 11,7  s;  ( tempo in cui l’auto raggiunge il camion).

2.  Uno scooter viaggia alla velocità Vo =  50 km/h.  Quando è a 25 m da un semaforo che diventa rosso, il ragazzo rallenta con un’accelerazione costante di -3,5 m/s². 

– Quanto tempo impiega a fermarsi ?
– Riesce a fermarsi di oltrepassare la linea del semaforo?
– Quanto dovrebbe essere  l’accelerazione costante dello scooter per fermarsi proprio sulla linea del semaforo?
ragazza-scooter            scooter

Vo = 50 km/h = 50 * 1000 / 3600 = 50 / 3,6 = 13,89 m/s

a = – 3,5 m/s^2

Si deve fermare, quindi V = 0 m/s; (velocità finale nulla).

V = a t + Vo

at + Vo = 0

– 3,5 * t + 13,89 = 0

t = 13,89 / 3,5 = 3,97 s (tempo per fermarsi).

Legge del moto uniformemente accelerato per trovare lo spazio percorso:

S = 1/2 a t^2 + Vo t

S = 1/2 * (-3,5) * 3,97^2 + 13,89 * 3,97 = 27,6 m;

(non riesce a fermarsi in 25 metri, percorre più spazio).

Ci vuole maggiore decelerazione.

a * t + 13,89 = 0

a = – 13,89 / t

1/2 a t^2 + 13,89 t = 25

1/2 * (- 13,89/t) * t^2 + 13,89 * t = 25

– 6,95 * t + 13,89 * t = 25

6,95 * t = 25

t = 25 / 6,95 = 3,6 s ; (tempo richiesto per fermarsi).

a = – 13,89 / 3,6 = – 3,86 m/s^2 ; (accelerazione richiesta per fermarsi in 25 metri).

3.  Un’automobile di massa m = 1000 kg viaggia alla velocità iniziale Vo =  90 km/h e in un intervallo di tempo Δt = 20 s rallenta fino a 72 km/h. Qual è la sua decelerazione? Quanto vale la forza frenante?
auto-rossa-

a = ΔV / Δt

a = ( Vfinale – Vo) / Δt

Le velocità vanno in m/s.

Vo = 90 * 1000 /3600 = 90 / 3,6 = 25 m/s

Vfinale = 72 / 3,6 = 20 m/s

Δt = 20 s

a = (20 – 25) / 20 = – 5/20

a = – 0,25 m/s^2

F = m * a

F = 1000 * (- 0,25) = – 250 N; (forza frenante)

 

4. Un aeroplano parte da fermo e accelera sulla pista coprendo 600 m in 12 s. Quanto vale la sua accelerazione in m/s^2 ?

S = 1/2 a t^2

a = 2 * S / t^2 = 2 * 600 / 12^2 = 8,33 m/s^2

 

5. Una auto viaggia alla velocità di 90 km/h e inizia a rallentare. Dopo 18 s raggiunge la velocità di 36 km/h Calcola l’accelerazione media dell’auto in tale intervallo di tempo.

Definizione di accelerazione:

a = ( Vfin – Viniz) / t

Velocità in m/s:

Vo = 90 * 1000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s (V iniziale)

V = 36 / 3,6 = 10 m/s ( V finale)

a = ( 10 – 25) / 18 = – 15/18 = – 0,83 m/s^2 (negativa perché è una decelerazione).

 

6.  Se parto con un missile e tengo sempre una accelerazione di 1 g, 
dopo quanto tempo raggiungerò la velocità della luce?

v = a * t

t = v / a

v = C = 3 * 10^8 m/s

a = g = 9,8 m/s^2

t = 3 * 10^8 / 9,8 = 3,06 * 10^7 secondi

t in ore, 1 ora = 3600 s

3,06 * 10^7 / 3600 = 8503,4 ore

in giorni:

8503,4 / 24 = 354,3 giorni
ci vuole quasi 1 anno. Ma la teoria della relatività dice che non è possibile raggiungere la velocità C.

 

7. Il tempo di caduta di un grave dipende dalla sua massa?

Nella legge del moto accelerato, la massa del corpo non compare.

S = 1/2 a t^2

a è l’accelerazione che dipende dalla forza agente

a = F / m; come si vede la massa del corpo divide la forza.

Nel caso di caduta, F è la forza di gravitazione: F = G * M * m / R^2

a = g

g = F / m = 9,8 m/s^2.

F dipende dalla massa della Terra M, dal raggio della Terra R e dalla massa m del corpo, ma dividendo per m, la massa del corpo che cade si semplifica.

L’accelerazione di gravità si chiama

g = G * M / R^2 = 9,8 m/s^2;  (sulla superficie terrestre).

S = 1/2 g t^2

t = radice(2 * S / g)

la massa m del corpo non interviene.

 

8. Un’ auto viaggia a velocità vo = 18 km/h per un tempo t1 = 30 s, poi accelera con  un’accelerazione a = 1 m/s^2 per un tempo t2 = 15 s. Poi frena e in t3 = 20 secondi si ferma.
Calcolare lo spazio percorso percorso dall’auto. 

vo = 18/3,6 = 5 m/s;   (velocità iniziale).

Per t1 = 30 s l’auto viaggia di moto uniforme ( S = vo * t1).

S1 = 5 * 30 = 150 m

Poi accelera; legge del moto accelerato per t2 = 15 s:  S2 = 1/2 * a * (t2)^2 + vo * t2.

S2 = 1/2 * 1 * 15^2 + 5 * 15 = 187,5 m

La velocità aumenta nel tempo t2 con la legge:

v2 = a * t2 + vo = 1 * 15 + 5 = 20 m/s

In t3 = 20 secondi si ferma:

v finale = 0
a * t3 + v2 = 0

a * 20 + 20 = 0

a = – 20/20 = – 1 m/s^2 decelerazione.

S3 = 1/2 a (t3)^2 + (v2) * t3

S3 = 1/2 * (- 1) * 20^2 + 20 * 20 = 200 m (spazio di frenata).

Spazio percorso:
S = S1 + S2 + S3 = 150 + 187,5 + 200 = 537,5 m

 

 

Esercizi su Lavoro ed Energia

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  1. Un punto materiale di massa m = 9 kg è lasciato libero di cadere, da fermo, lungo una guida  dalla posizione A, all’altezza di h = 5 m, come in figura. guida molla

Dopo la discesa urta una molla di costante elastica k = 2000 N/m.
La compressione massima della molla è di 0.2 m.
La guida è priva di attrito eccetto che nella zona di lunghezza L = 5 m tra i punti B e C.

Il corpo dopo aver compresso la molla torna verso destra passando nuovamente sulla parte scabra della guida. Esso:
A. Si ferma 3.1 m a destra del punto C.
B. Si ferma 50 cm a destra del punto C.
C. Oltrepassa il punto B e giunge ad una altezza di 1 m.
D. Oltrepassa il punto B e giunge ad una altezza di 0.5 m.

Soluzione:
Energia iniziale; energia potenziale gravitazionale:  Uo= mgh

Uo = 9 * 9,8 * 5 = 88,2 * 5 = 441 J

Energia finale; energia potenziale elastica;  U1 = energia elastica della molla compressa

U1 = 1/2 K X^2 = 1/2 * 2000 * 0,2^2 = 40 J

Energia persa per attrito: Delta E = 40 – 441 = – 401 J (lavoro fatto dalla forza d’attrito)

Il corpo riparte dopo aver compresso la molla con velocità Vo ed energia cinetica
Ecin = 1/2 m Vo^2.

1/2 m Vo^2 = 40 J

Lavoro forza d’attrito = – 401 J

Fattrito = – 401 / 5 = – 80,2 N

L = 1/2 m V1^2 – 1/2 m Vo^2; V1 sarà la velocità finale, se il corpo si ferma V1 = 0 m/s

Percorrerà un tratto S prima di fermarsi:
Teorema dell’energia cinetica: L = 1/2 m (V1)^2 – 1/2 m (Vo)^2;

Lavoro = Forza * Spostamento.
F * S = Efin – Eo

– 80,2 * S = 1/2 m V1^2 – 40

– 80,2 * S = 0 – 40
S = – 40 / ( – 80,2) = 0,5 m ;
percorre 0,5 m all’interno del tratto CB dove c’è la forza d’attrito e poi si ferma, quindi si ferma a destra del punto C, a 50 cm da C.

Risposta B.

 

2.  Un automobile di massa complessiva m = 1300 kg viaggia ad una velocità Vo = 130 km/h.
Frena improvvisamente bloccando le ruote con un coefficiente di attrito dinamico asfalto-gomma pari a μ = 0,8.

frenata

Determinare:
1) Spazio di frenata
2) Tempo di frenata
3) Modulo dell’accelerazione

Vo = 130/3,6 = 36,1 m/s

V = 0 m/s (velocità finale)

Teorema energia cinetica:

F * S = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2

Fattrito * S = 0 – 1/2 m V^2

Fattrito = – 0,8 * Fpeso = – 0,8 * 1300 * 9,8 = – 10192 N

– 10192 * S = – 1/2 * 1300 * 36,1^2

S = 847086,5 / 10192 = 83 m

a = F / m = – 10192 / m = – 7,84 m/s^2 (accelerazione frenante dovuta alla forza d’attrito);

a = (V – Vo ) / t

t = (V – Vo) / a = ( 0 – 36,1) / (- 7,84) = 4,6 s (tempo di frenata)

conoscendo il tempo si può trovare di nuovo lo spazio di frenata, data la legge del moto accelerato:
S = 1/2 a t^2 + Vo t = 1/2 * ( – 7,84) * 4,6^2 + 36,1 * 4,6 = 83 m

 

3.  Un corpo di massa 9,2 Kg, appoggiato ad una molla di costante elastica K = 2,7 N/m , compressa di X = 0,85 m, viene rilasciato su un piano orizzontale senza attrito; ad un certo punto incontra un piano orizzontale con attrito dinamico μ= 0,37. Quanto spazio percorre su questo piano prima di fermarsi?

molla

Energia potenziale elastica della molla: Uo = 1/2 K X^2

Uo = 1/2 * 2,7 * 0,85^2 = 0,98 J ; questa energia si trasforma in energia cinetica del corpo che parte con velocità Vo.

1/2 m Vo^2 = 0,98 J

F attrito = – 0,37 * m g = 0,37 * 9,2 * 9,8 = – 33,36 N (forza d’attrito, frenante, la poniamo negativa, fa lavoro resistente).

V finale del corpo = 0 m/s; si ferma per l’attrito.

L = F * S

L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2; (teorema dell’energia cinetica)

F * S = 0 – 0,98

– 33, 36 * S = 0 – 0,98

S = – 0,98 / (- 33,36) = 0,03 m = 3 cm

Esercizi su campo magnetico e intensità di corrente. Leggi di Ohm (esercizi 5 – 6)

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Legge sperimentale di Biot e Savart: (nel vuoto) Bo = Ko · i / R

(B è direttamente proporzionale alla intensità di corrente  ed è inversamente proporzionale alla distanza R dal filo), la costante dipende dal mezzo ed è Ko = μo/(2π), = 2 * 10^-7 N /A2
μo = 1,26·10^-6 N/A^2, è detta permeabilità magnetica del vuoto.

Risultati immagini per due fili percorsi da corrente opposta

  1.  Un filo rettilineo infinitamente lungo è percorso da una corrente pari a 43 A. Calcolare il modulo del campo magnetico generato ad una distanza pari a 6 cm dal filo.
    B = Ko * i / R;   (legge di Biot- Savart).
    Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).
    B = 2 * 10^-7  * 43 / 0,06 = 1,43 * 10^-4 T = 0,14 mT
  2.  Un secondo filo infinitamente lungo è posto, parallelamente al primo, dalla parte opposta rispetto al punto P ed è percorso da una corrente uguale e concorde rispetto al primo filo. Quanto vale ora il campo magnetico nel punto P  che si trova fra i due fili alla stessa distanza?
    I due campi sono uguali ed opposti perché le correnti hanno lo stesso verso quindi si sottraggono e a distanza uguale si annullano. Il campo risultante è 0 T.
    correnti 2
  3.   Si considerino due fili rettilinei e paralleli distanti 7 mm l’uno dall’altro. Nei due fili scorre la stessa corrente i, ma in verso opposto. Quanto deve valere i perché nel punto medio tra i due fili il campo magnetico abbia intensità di 8 mT?

B1 = B2 = Ko * i / R; legge di Biot- Savart
Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).

B1 + B2 = B = 8 * 10^-3 T; se le correnti hanno verso contrario  i due campi si sommano nel punto medio fra i due fili perché  i due campi B1 e B2 hanno lo stesso verso.

R = 3,5 mm = 3,5 * 10^-3 m ; (distanza del punto medio)

2 * Ko i / R = B

i = B * R / (2 * Ko)

i = 8 * 10^-3 * (3,5 x 10^-3) / (2 * 2 * 10^-7)

i = 70 A

correnti

Correnti dello stesso verso si attraggono, correnti di verso contrario si respingono.

 

4.  I due fili rettilinei mostrati in figura, sono tra loro perpendicolari e sono percorsi da due correnti, le cui intensità sono rispettivamente i1 = 12,6 A e i2 =2,8 A. Calcolare il campo magnetico nel punto P indicato in figura, sapendo che esso dista 13,9 mm dal filo 1 e 9,0 mm dal filo 2. Si esprima il risultato in T.

B = μο * i/ (2πR )

B1 e B2 hanno la stessa direzione e verso opposto.  Ko = μo/(2π) = 2 * 10^-7 N/A^2

R1 = 0,0139 m;  R2 = 0,009 m

B = B1 – B2 =  Ko * (i1/R1 – i2/R2) = 2*10^-7 * (12,6/0,0139 – 2,8/0,009) = 1,191*10^-4 T

B = 0,119 * 10^-3 TCon due cifre significative:
B = 0,12  * 10^-3 T = 0,12 mT.
5)  Correnti perpendicolari fra loro.
esercizio

B1 in P entra nel foglio; B2 va verso il basso. Sono perpendicolari fra loro.

B risultante si ottiene con il teorema di Pitagora.

B1 = Ko * i1 / R1

Ko = 2 * 10^-7 N/A^2 ; ( è la permeabilità magnetica, Ko = μo/(2π).

B1 = 2 * 10^-7 * 0,800 /0,22 = 7,27 * 10^-7 T

B2 = 2 * 10^-7 * 0,500 /0,30 = 3,33 * 10^-7 T (da P1 verso il basso)

Bris = radicequadrata( (7,27^2 + 3,33^2) * 10^-14 ) = 8,00 * 10^-7 T

B2 verso il basso lo mettiamo con il segno negativo.

angolo α:
tan α  = B2/B1 = – 3,33/7,27 = – 0,458

α = tan^-1(- 0,458) = – 24,6°

6) Quando le due estremità di un filo metallico, di lunghezza 6,0 m e diametro 1,0 mm, vengono mantenute a una d.d.p. uguale a 25 mV, il filo è attraversato da una corrente di 730 mA.
Se la velocità di deriva degli elettroni vale 1,7 * 10^-5 m/s, qual è il numero di elettroni di conduzione per unità di volume? Determinare inoltre il valore della resistività e la resistenza del filo.
          filo
Resistenza :
R = V / i = 25 * 10^-3 V / 730 * 10^-3 A = 0,034 OhmR = ρ * L / AreaArea = π * Raggio^2 = 3,14 * (0,5 * 10^-3)^2 = 7,85 * 10^-7 m^2resistività  ρ = R * Area / L = 0,034 * 7,85 * 10^-7 / 6,0 = 4,45 * 10^-9 Ohm metro

Carica in un secondo:

Q = 0,730 C/s

numero elettroni al secondo : n = 0,730 / 1,6 * 10^-19 = 4,56 * 10^18 elettroni/s

Area * velocità = Volume/secondo = 7,85 * 10^-7 * 1,7 * 10^-5 = 1,33 * 10^-11 m^3/s

n / Volume = 4,56 * 10^18 /1,33 * 10^-11 = 3,43 * 10^29 elettroni/m^3

1 m^3 = 10^9 mm^3

numero di elettroni per ogni mm^3:

3,43 * 10^29 / 10^9 mm^3 = 3,43 * 10^20 elettroni/mm^3

7) Un filo di rame, lungo 1,0 m e di sezione 1,0 mm^2, è attraversato da una corrente di 2,8 A e ai suoi capi c’è una d.d.p. di 5,0 * 10^-2 V.
circuito

a) Calcolare la resistenza del filo.
b) Qual è la differenza percentuale rispetto alla resistenza che avrebbe lo stesso filo di rame alla temperatura di 20°C?
c) A quale temperatura sta funzionando il circuito?

a)   R = V/i = 0,050/2,8 = 0,018 Ohm

seconda legge di Ohm: R = ρ* L / Area

ρ* L / Area = 0,018

ρ = 0,018*1/ (1* 10^-4 m^2) = 180 Ohm *m

b) resistività rame a 20° ρo= 170 Ohm * m

differenza = 180 – 170 = 10 Ohm * m

differenza % = 10/170 * 100 = 5,9 %

c) Coefficiente di temperatura a 20°C : α20 per il rame;
α =3,95 · 10^-3 1/Kρ = ρo + ρo * α * ( T – 20°)ρo * α * ( T – 20°) = ρ – ρo
170 * 3,95 · 10^-3 * ( T – 20°) = 180 – 1700,672 * ( T – 20°) = 10

T – 20° = 10/0,672

T = 20° + 14,9° = 34,9° ; (circa 35°).

8. Il primo di due lunghi fili, appoggiati su un piano liscio orizzontale, lunghi ciascuno 6,5 m e paralleli tra loro, trasporta una corrente di 45 A. Questi sono collegati, a metà lunghezza, meccanicamente ma non elettricamente, da una molla a riposo, lunga 5,0 cm con costante elastica k=16 N/m.Vogliamo comprimere la molla di 4,0 mm. Calcola l’intensità e il verso della corrente che dovrebbe scorrere nel secondo filo. Che verso hanno gli elettroni di conduzione nel secondo filo?

F = Ko * i1 * i2 * L / d;   forza fra due fili percorsi da corrente.

Due fili si attraggono se le correnti hanno stesso verso.

Forza di compressione della molla che si deve comprimere di 4,0 mm = 0,004 m:

F = K * x = 16 *0,004 = 0,064 N

Ko = 2 * 10^-7 N/A^2

d = 5 cm = 0,05 m; L = 6,5 m;

i2 = F * d / (Ko * i1 * L)

i2 = 0,064 * 0,05 / ( 2 * 10^-7 * 45 * 6,5) = 54,7 A

La corrente i2 deve avere lo stesso verso di i1, così i fili si avvicinano e comprimono la molla. Gli elettroni si muovono in verso contrario al verso che per convenzione diamo alle correnti. Gli elettroni vanno verso il polo positivo. Noi diciamo invece che la corrente va dal polo positivo + verso il polo negativo -. (Per convenzione).

correnti 2

 

Esercizi sulla forza centripeta e moto circolare

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  1. La terra ( Rt=6380 km) compie una rotazione completa in 24 h. Considera un oggetto di massa 50 kg posto all’equatore.
    Calcola la forza centripeta che subisce l’oggetto e calcolane il rapporto con la forza di gravità a cui è soggetto.

    accelerazione centripeta ac = v^2/R

    v = 2 * π * R / T; T = 24 h * 3600 s = 86400 s; R = 6380 000 m = 6,38 * 10^6 m

    v = 2 * π * 6,38 * 10^6 / 86400 = 464 m/s

    ac = 464^2 / (6,38 * 10^6) = 0,034 m/s^2

    Fc = m * ac = 50 * 0,034 = 1,7 N

    Fpeso = m * g = 50 * 9,8 =490 N

    rapporto Fp / Fc = 288

    La forza peso è 288 volte maggiore della forza centripeta, quindi non ci accorgiamo di essere su un sistema in rotazione, però il nostro peso è leggermente minore a causa della forza centripeta.

     centripeta2          animaz-satellite

  2. Una forza centripeta di modulo F mantiene un modello di aereo su una traiettoria circolare di raggio R con velocità V. Per dimezzare il raggio della traiettoria mantenendo la stessa velocità bisogna applicare una forza centripeta di modulo:

    a) 4F ;     b) 2F  ;       c) F  ;      d) F/2

     F = m * V^2/R

    m V^2 = F * R

    Se R dimezza e vogliamo che V resti la stessa la forza F’ deve aumentare

    m V^2 = F’ * R/2

    F’ * R/2 = F * R; (R si semplifica) :

    F’ * 1/2 = F

    F’ = 2 F

    Bisogna raddoppiare la forza centripeta; risposta b)

    acvt
  3. Su un treno è posto un pendolo, di lunghezza L = 0,4 m e massa m=0,5 kg, appeso al soffitto. A un certo istante, il treno inizia a curvare, percorrendo la curva, di raggio R=100 m, con velocità costante pari a V = 54 km/h.
    a. In che direzione si dispone il pendolo (in condizione statiche, cioè supponendo che non oscilli) rispetto al treno durante la curva?
    b. Quanto vale la tensione del filo, nelle condizioni del punto (a)?
    c. Se il pendolo può sopportare una tensione massima pari a Tmax=15 N, quale sarebbe il massimo angolo che formerà il pendolo rispetto alla verticale affinché il pendolo non si rompa? E la massima velocità del treno?
    d. Come cambierebbe la tensione del filo se il treno, all’inizio della curva, stesse anche accelerando con accelerazione tangenziale costante pari ad at=3 m/s^2 ?

V = 54 km/h = 54 / 3,6 = 15 m/s;
R = 100 m

accelerazione centripeta del treno in curva:
a = V^2/R = 15^2 / 100 = 2,25 m/s^2

Il pendolo si inclina verso l’esterno della curva come se ci fosse una accelerazione centrifuga verso l’esterno, in realtà si inclina per poter fare aumentare la tensione del filo che lo deve mantenere in curva. La forza centripeta infatti è la somma vettoriale di tensione T lungo il filo obliquo e del peso mg verticale, guarda la figura: disegna la forza centripeta sul raggio verso il centro della curva. Si forma un triangolo rettangolo, T è l’ipotenusa.

F centripeta = 0,5 * 2,25 = 1,125 N (verso l’interno della curva)
Fpeso = 0,5 * 9,8 = 4,9 N (verso il basso)

T è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la Forza peso e la Forza centripeta.

T = √(4,9^2 + 1,125^2) = 5,03 N

angolo:

tan(angolo) = Fc / Fp = 1,125 /4,9 = 0,230

angolo = tan^-1(0,230) = 13° rispetto alla verticale.

Massima tensione:
T max = 15 N
Se T aumenta vuol dire che il treno va più veloce e aumenta la forza centripeta e l’accelerazione centripeta.

Fc = √( 15^2 – 4,9^2) = 14,18 N

Fc / Tmax = sen(angolo max)

sen(angolo max) = 14,18 / 15 = 0,945

angolo max = sen^-1(0,945) = 71° (rispetto alla verticale).
Fc = m * a; Fc = m * V^2/R

V^2 / R = Fc / m = 14,18 / 0,5 = 28,36 m/s^2 (accelerazione centripeta).
V^2 / 100 = 28,36
V = √(28,36 * 100) = 53,3 m/s = 53 ,3 * 3,6 = 192 km/h (massima velocità del treno).
pendolo

4. Una puleggia ha diametro d = 0,4 m e raggiunge il regime di 400 giri al minuto in 20 secondi. Quindi viene frenata e si ferma dopo aver fatto 60 giri dal momento in cui inizia la fase di decelerazione.
Calcolare le accelerazioni tangenziale e angolare nelle due fasi di accelerazione e decelerazione.

 a = ( V – Vo) / t ( accelerazione tangenziale)
V = velocità tangenziale
V = ω * R
Le misure tangenziali si ricavano da quelle angolari, moltiplicandole per il raggio R = 0,2 m.
ωo = 0 rad/s ( velocità angolare iniziale)
(ω fin) = 2 * π * f; ( f è la frequenza)
f = 400giri/min = 400 / 60 s = 6,67 Hzω fin = 2 * 3,14 * 6,67 = 41,9 rad/s (velocità angolare finale).α (alfa), in fase di accelerazione.
accelerazione angolare α:α = (ω fin – ωo) / t = (41,9 – 0) / 20 = 2,09 rad/s^2; (accelerazione angolare)accelerazione tangenziale a:a = α * R = 2,09* 0,2 = 0,42 m/s^2Quando frena:
si ferma dopo 60 giri; sono 60 angoli giri; 1 angolo giro = (2 π) radianti60 giri ; angolo = 60 * 2 * (3,14) = 377 rad

Moto decelerato: ωo = 41,9 rad/s; ω fin = 0 rad/s

Abbiamo due equazioni del moto:
angolo = 1/2 α t^2 + ωo t

α = (ω fin – ωo) / t = – ωo) / t = – 41,9 / t

377 = 1/2 * ( – ωo / t ) * t^2 + ωo * t

377 = 1/2 * ( – 41,9) * t + 41,9 *t

377 = – 20,95 * t + 41,9 * t

377 = 20,95 * t

t = 377 / 20,95 = 18 s (si ferma in 18 secondi)

α = – 41,9 / 18 = – 2,3 rad/s^2 ( decelerazione angolare)

a = α * R = – 2,3 * 0,2 = – 0,47 m/s^2 (decelerazione tangenziale)

puleggia

5.  Un pilota vuole far compiere al suo aereo, del peso complessivo di 19600 N, il giro della morte ad una velocità di 300 Km/h. (a) Determinare il massimo raggio possibile della traiettoria circolare. (b) Calcolare la spinta verticale che in tali condizioni devono esercitare i motori dell’aereo nel punto più basso. (c) Se la velocità raddoppia, che valore assume il raggio massimo?

Il giro della morte è possibile se nel punto più alto

m V^2 / R = mg; la forza centripeta deve essere uguale o maggiore alla forza peso.

V^2 / R = g

R = V^2 / g

V = 300 km/h = 300 / 3,6 = 83,33 m/s

R = 83,33^2 / 9,8 = 708,6 m

m = 19600 / 9,8 = 2000 kg; (massa aereo)
Spinta verticale nel punto più basso: somma delle due forze, centripeta e peso.

F spinta = m V^2/R + mg = 2000 x 83,33^2/708,6 + 19600 = 19600 + 19600 = 39200 N

con V doppia:

R = (2 V)^2 / g = 166,67^2/9,8 = 2834 m (quadruplica).

giro
6. Un punto materiale si muove con un accelerazione angolare costante α su una circonferenza di raggio R =  0,5 m. Dopo aver percorso un angolo θ = 0,6 rad a
partire dalla quiete (ωo = 0 rad/s),  ha raggiunto la velocità angolare di ω = 10 rad/s. Determinare l’accelerazione angolare e l’accelerazione periferica in quell’istante.
Accelerazione angolare α; il moto è accelerato.
ωfinale:  ω = 10 rad/s
α = (ω – ωo) /tα = 10/t1/2 α t^2 + (ωo) t = (angolo percorso)1/2 * 10/t * t^2 = 0,65 * t = 0,6t = 0,6 / 5 = 0,12 s

α = 10 / 0,12 = 83,3 rad/s^2 (accelerazione angolare).

a = α * R = 83,3 * 0,5 = 41,6 m/s^2 (accelerazione periferica, tangenziale)

circolare7

 

7. Una ruota di raggio R = 75 cm ruota con accelerazione angolare costante
α =  0,2 rad/s^2. All’istante iniziale la ruota è ferma (ωo = 0 rad/s) . Determinare la velocità angolare ω, la velocità tangenziale e il numero di giri percorsi dopo 12 secondi.

angolo percorso θ, il moto è accelerato.

θ = 1/2 α t^2

θ = 1/2 * 0,2 * 12^2 = 14,4 radianti (rad)

ω = α * t = 0,2 * 12 = 2,4 rad/s (velocità angolare);

V = ω * R = 2,4 * 0,75 = 1,8 m/s

Numero di giri: un giro completo è 2 * π rad = 6,28 rad

N = 14,4 / 6,28 = 2,3 giri;  (fatti in 12 secondi).

ruota

Moto circolare e armonico:

Animationarmon

8) Perché la forza centripeta nel punto più alto del giro della morte deve essere come minimo uguale al peso? Perché la reazione vincolare deve essere maggiore uguale a 0?

Nel moto circolare verticale esiste la forza centripeta Fc che è data dalla somma della forza peso Fp e della reazione vincolare Fr che può essere la tensione di una corda o la spinta di una pista.

Nel punto più basso della traiettoria:

Fc = Fr – Fp; quindi la reazione vincolare Fr = Fc + Fp; nel punto più basso la reazione è molto alta e il corpo sembra pesare di più.

Nel punto più alto le forze sono tutte verso il basso:

Fc = Fr + Fp; quindi la reazione vincolare è Fr = Fc – Fp

Freazione diventa 0 quando Fcentripeta = Fpeso; se Fpeso > Fcentripeta allora il corpo cade.

m V^2/R > = mg

V > =√(g R); R è il raggio; g è l’accelerazione 9,8 m/s^2

giro morte

 

9)  All’interno di un parco di divertimenti si vuole costruire una nuova attrazione. Gli ingegneri vogliono capire quanto potrà essere grande la circonferenza del giro della morte affinché le vetture non cadano giù sapendo che la velocità con cui esse inizieranno a percorrere il giro sarà 14 m/s. In assenza di attrito, determinare il raggio massimo che può avere un giro della morte.

Nel punto più alto della circonferenza, per poter completare il giro, deve essere: Forza centripeta maggiore o uguale alla forza peso.

m V^2 / R ≥ mg

V = √(g R)

Nel punto in basso c’è solo energia cinetica:

1/2 m Vo^2.
(Vo = 14 m/s).

Nel punto più alto h = 2R, c’è anche energia potenziale mgh = mg(2R):

1/2 m V^2 + mg (2R) = 1/2 m Vo^2
V^2 = g R

1/2 ( g R) + g (2R) = 1/2 *14^2

1/2 g R + 2 g R = 98

5/2 g R = 98

R = 2/5 * 98 / g = 196 / ( 5 * 9,8 ) = 4 m; (raggio massimo, se non c’è attrito). 

 

Esercizi su interferenza della luce

Tag

Esperimento di Young: La luce attraversa una doppia fenditura e forma una figura di interferenza su uno schermo.
interferenza-rosso

verde

interferenza

  1. In un esperimento di Young la figura di interferenza di due fenditure separate da una distanza d = 3,5 x 10^-3 mm, si forma su uno schermo posto a distanza L = 2,00 m. La luce monocromatica usata ha una lunghezza d’onda λ = 470 nm.
    a) Determina la distanza fra le prime due frange laterali (scure) e il massimo centrale.
    b) Calcola la distanza fra le prime due frange luminose simmetriche ai lati del massimo centrale, se il rapporto L/d triplica.
    c) Calcola la distanza fra le prime due frange luminose se l’esperimento viene condotto in acqua e la luce si propaga quindi in acqua dalle fenditure fino allo schermo.

C’è un massimo centrale sullo schermo a distanza L dalla metà distanza d fra le due fenditure dove c’è l’interferenza costruttiva. Poi di lato al massimo centrale ci sono due zone buie, sopra e sotto il massimo centrale, dove c’è interferenza distruttiva.

Y = distanza verticale sullo schermo dal centro del massimo centrale, fino al centro della frangia considerata.
L distanza dello schermo.
Y/L = tanα circa uguale a senαλ = lunghezza d’onda

d Y / L = (n + 1/2) λ; interferenza distruttiva ( frange buie sullo schermo per  valori di n).

n = 0 ; prima frangia scura.

Y = 1/2 λ * L / d

Y = 1/2 x 470 x 10^-9 x 2 / (3,5 x 10^-6 m) = 0,134 m

Distanza fra le due frange scure = 2 Y

2Y = 0,134 x 2 = 0,269 m = 26,9 cm

Interferenza costruttiva: frange luminose

d Y / L = nλ;

Se triplica L / d = 3 x ( 2 / 3,5 x 10^-6 = = 3 x 5,714 x 10^5 = 1,714 x 10^6

Y = λ * L / d = 470 x 10^-9 x 1,714 x 10^6 = 0,806 m

2 Y = 2 x 0,806 = 1,61 m

Se mettiamo l’acqua, la lunghezza d’onda diminuisce, perché diminuisce la velocità della luce. indice di rifrazione dell’acqua = 1,33
Velocità e lunghezza d’onda sono direttamente proporzionali perché V = λ x f; f è la frequenza della luce, è costante in ogni mezzo di propagazione.
Velocità in acqua = C / 1,33 = 3 x 10^8 / 1,33 = 2,26 x 10^8 m/s
λ’ = nuova lunghezza d’onda in acqua

facciamo una proporzione:

V = λ’ = C : λ
V : λ’ = C : 470 x 10^-9
λ’ = (V / C ) x 470 x 10^-9 = 0,752 x 470 x 10^-9 = 3,53 x 10^-7 m ( nuova lunghezza d’onda in acqua).

Y = 3,53 x 10^-7 x 2 / 3,5 x 10^-6 = 0,202 m (distanza della prima frangia luminosa dal max centrale).

2 Y = 0,404 m = 40,4 cm; (distanza fra le prime due frange luminose).

 

deltal
I percorsi non sono paralleli, ma si fa una approssimazione in quanto lo schermo è molto distante rispetto alla distanza d fra le fenditure.

Young

 

2)  Diffrazione della luce attraverso una fenditura

Trovare l’ampiezza della fenditura attraverso la quale un raggio di luce monocromatico di frequenza 5,3 • 10^14 Hz genera una prima banda scura spostata di 4,00•10^-3 gradi sullo schermo, rispetto alla posizione centrale.

La differenza di cammino delle onde secondarie generate dal bordo superiore della fenditura e dal suo punto medio è pari a:
a/2 sinθ.

a è la larghezza della fenditura.
Se questa differenza di cammino è pari a mezza lunghezza d’onda, λ/2, si avrà interferenza distruttiva delle due onde. Ci vuole λ.

C = λ x f; C = 3 x 10^8 m/s; velocità della luce.

λ = 3 x 10^8 / ( 5,3 x 10^14) = 5,66 x 10^-7 m

a/2 sinθ = m λ/2

a sin θ = mλ; per m = 1 si ha la prima banda scura.

a = λ / sinθ = 5,66 x 10^-7 / sin(4,00 x 10^-3° ) = 8,1 x 10^-3 m = 8,1 mm

diffrazione fend

Esercizi sul moto di particelle in un campo magnetico

Forza di Lorentz = q V B senα; è massima se α = 90°  (velocità e campo B perpendicolari fra loro).

lavorolorentzlorentz (1)Lorentz 2

I puntini rossi cerchiati indicano un campo B uscente dalla pagina. La forza è verso sinistra perpendicolare a velocità V e campo B.
campoentrante
Le crocette verdi indicano il campo B entrante nella pagina. (Regola mano destra. Palmo aperto: il pollice indica il vettore velocità della particella (o il verso della corrente i), le quattro dita a 90° con il pollice indicano il vettore B, il vettore forza F = qVxB esce dal palmo della mano per le cariche positive. Per le cariche negative la forza cambia verso.
manodestra

 

  1.  In un tubo a vuoto viene prodotto un fascio di particelle di carica +3e e massa 1,15·10^(-26) kg, precedentemente accelerate tramite una differenza di potenziale pari 6000 V. Le particelle cariche introdotte nel tubo vengono deflesse da un campo magnetico perpendicolare al fascio. Sapendo che il raggio di curvatura è 2,50 cm, calcolare la velocità con cui le particelle entrano nel tubo e l’intensità del vettore induzione magnetica deflettente B. [Ris: 7,08·10^5 m/s;  0,678T]q (ΔV) = 1/2 mV^2;      q = 3e = 3 x 1,602 x 10^-19 C = 4,806 x 10^-19 C
    V = √(2 qΔV / m) =√( 2 x (4,806 x 10^-19) x 6000 /1,15 x 10^-26 )
    V = 7,08 x 10^5 m/s
    F = m V^2/R; la forza centripeta è la Forza di Lorentz: F = q V B
    qVB = mV^2/R;     (in metri R = 0,025 m ).
    B = mV / (Rq) = 1,15 x 10^-26 x 7,08 x 10^5 / ( 0,025 x 4,806 x 10^-19 ) = 0,678 T
    spettro2
  2.   Durante un esperimento di fisica nucleare si analizza un isotopo del
    litio (Z=3)
    con uno spettrografo (o spettrometro) di massa. Nello spettrometro i nuclei di litio attraversano un campo magnetico di modulo 0,70 T con una
    velocità 2,3·10^7 m/s perpendicolare al campo e percorrono una
    semicirconferenza di raggio 105 cm.
    Qual è la massa dell’isotopo? Assumendo e=1,602·10^(-19) C e sapendo
    che la massa di un nucleone è circa 1,7·10^(-27) kg, quanti neutroni contiene ? [1,5·10^(-26) kg; 6 neutroni]
    spettrometro
    m V^2 / R = q V B;          (Zinco Z = 3)     q = + 3e = 4,806 x 10^-19 C

   m = q B R / V = 4,806 x 10^-19 x 0,70 x 1,05 / (2,3 x 10^7 ) = 1,54 x 10^-26 kg

Numero di nucleoni : Massa totale / (massa di un nucleone)

N = 1,54 x 10^-26 / (1,7 x 10^(-27)) = 9 nucleoni

Lo zinco ha nel nucleo 3 protoni, quindi i neutroni sono 9 – 3 = 6

6 neutroni.

 

3.  Qual è la forza massima che un campo magnetico di 1 T può esercitare su un elettrone la cui energia è 10KeV?
Lorentz_forceCampo B uscente verso di noi. Velocità verso destra. L’elettrone negativo devia verso l’alto.

F = q *v * B;  forza di Lorentz.
q = 1,6 *10^-19 C; l’elettrone deve avere velocità perpendicolare al campo B per avere forza massima.

1 eV = 1 Volt * e- = 1 * 1,6 * 10^-19 J;   massa elettrone = 9,11 * 10^-31 kg

1/2 m v^2 = Ec    ;  Ec = 10000 eV

v = √(Ec * 2 /m)

v = √ ( 10000 * 1,6 * 10^-19 * 2 / 9,11 * 10^-31 ) =
V = √( 3,51 * 10^15) = 5,93 * 10^7 m/s

F = 1,6 * 10^-19 * 5,93 * 10^7 * 1  = 9,48 * 10^-12 N

 

4.  Un protone è accelerato da fermo da una differenza di potenziale ΔV = 3000 Volt. Con la velocità raggiunta, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico, perpendicolare alla velocità. Se si vuole che la traiettoria abbia un raggio R = 50 cm, calcolare il valore del campo B.

lorentz su protone
Campo B entrante nel foglio. Moto circolare. Forza centripeta  Fc = m V^2/R

Soluzione:

q * (ΔV) = 1/2 m v^2

velocità v = √(2*q * ΔV/m) = √( 2 * 1,6 *10^-19 * 3000/1,67 * 10^-27) =
= 7,58 * 10^5 m/s

Forza di Lorentz

q * v * B = mv^2/R ; R = 0,5 metri

B = mv/(qR) = 1,67 * 10^-27 * 7,58 * 10^5 / (1,6 * 10^-19 * 0,5) =

=1,58 * 10^-2 Tesla

B = 0,0158; (= 15,8 mT; milliTesla)

 

5. Un protone in moto con velocità pari a 5 * 10 ^6 m/s si muove in un campo magnetico uniforme uscente dalla pagina e di modulo 30 G; qual è il raggio di curvatura della traiettoria descritta dal protone?

R = m v /(q B);

B deve essere in Tesla non in Gauss.
1 G = 10^-4 T;

B = 30 G = 30 * 10^-4 T = 3 * 10^-3 T

R = 1,67 * 10^-27 kg * 5 * 10^6 / (1,6 * 10^-19 C * 3 * 10^-3 T)

R = 17,4 m

6. Un elettrone si muove perpendicolarmente ad un campo magnetico B=4,6 *10^-3 T, descrivendo una traiettoria circolare di raggio pari a 2,8 mm.
Calcolare la velocità dell’elettrone e il tempo necessario per completare un’orbita. Se il campo magnetico non fosse perpendicolare al piano dell’orbita, cosa accadrebbe all’elettrone? (massa elettrone 9,11 * 10^-31 kg, carica elettrica elettrone 1,6 * 10^-19 C)

F = q V B;   (Forza di Lorentz; è una forza centripet).

F = m V^2/R ; R = 2,8 mm = 2,8 * 10^-3 metri

m V^2/R = q V B;   ricaviamo V

m V / R = q B

V = q B R / m = 1,6 * 10^-19 * 4,6 *10^-3 * 2,8 * 10^-3 / ( 9,11*10^-31)

V = 2,26 * 10^6 m/s

V = 2 π R / T

T = 2 π R / V = 2 * 3,14 * 2,8 * 10^-3 / (2,26 *10^6) = 7,78 * 10^-9 s = 7,78 nano secondi

Se B non fosse perpendicolare alla velocità dell’elettrone, il moto non sarebbe circolare, ma elicoidale.

elicaan                2 regola mano destra.
decadimento-radon
Decadimento del Radon 222; diventa Polonio 218 emettendo una particella alfa.

7. Una particella α, composta di due protoni e due neutroni, si muove alla velocità
v =  1,0 * 10^6 m/s, ed entra in un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla direzione di moto della particella e di intensità B = 0,12 T.
Calcolare il raggio R della traiettoria descritta dalla particella α.

Forza di Lorentz:

F = q v B

è una forza centripeta;   Fc = m v^2/R

q v B = m v^2/R;      (si semplifica una v).

R = m v / (q B)
massa della particella α;  m = 2 * massaprotone + 2 * massaneutrone
m = 6,645 *10^–27 kg;
la particella ha carica positiva pari a due protoni.
q = 2 * 1,602 * 10^-19 = 3,204 * 10^-19 C ;
R = m v / (q B)

R = (6,645 *10^–27 * 1,0 * 10^6) / (3,204 * 10^-19 * 0,12)

R = 0,17 m = 17 cm

Selettore di velocità: le crocette indicano il campo magnetico B entrante nel piano, B perpendicolare a E.

Se  q * E = q * v * B, allora la particella viaggia in linea retta.
selettore velocità La particella si muove in linea retta se

8.  Alcune sferette cariche considerate puntiformi, sono inserite in quiete all’interno di una zona dove è presente un campo elettrico di intensità E1=100 V/m . Le sferette sono caratterizzate da diversi valori del rapporto q/m, (carica diviso massa). Il campo elettrico E1 viene attivato per un tempo  Δt = 2,0 s.  Successivamente  le sferette transitano in un selettore di velocità dove sono presenti un campo elettrico E2 = 20 V/m e un campo magnetico B = 0,1 T perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di moto delle sferette.

Calcolare per quale valore di q/m le sferette escono dal selettore senza essere deviate.(Ris.: 1,0 C/kg).

Le sferette acquistano accelerazione e velocità nel campo E1 nel tempo Δ t = 2 secondi.

F = q * E;      a = F / m

a = (q/m) * E

v = (q/m) * E * Delta t = (q/m) * 100 * 2 = 200 *(q/m)

E2 = 20 V/m; B = 0,1 T

Forza di Lorentz:
F1 = q v B = q *200 * (q/m) * 0,1 = 20 (q^2/m);  fa deviare le particelle in un verso.

Forza del campo E2:
F2 = 20 * q ;  fa deviare le particelle in verso opposto

Se F1 ed F2 sono uguali ed opposte le particelle viaggeranno in linea retta e usciranno dal selettore.

20 * (q^2/m) = 20 * q

q^2 / m = q; dividendo per q:

q/m = 1 C/kg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esercizi sul piano inclinato

  1. Un corpo di massa 10 kg è appoggiato su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale;

    a) rappresentare graficamente la situazione;

    b) indicare nel grafico la forza peso e le sue componenti nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano;

    c) disegnare la reazione vincolare esercitata dal piano;

    d) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione parallela al piano;

    e) calcolare il modulo della componente della forza peso nella direzione perpendicolare al piano.

piano

Forza peso = m x g = 10 x 9,8 = 98 N; ( è la forza tratteggiata in figura)

Forza peso parallela: F// = m x g x sen30° = 98 x 0,5 = 49 N (Fpx in figura).

Forza peso perpendicolare = m x g x cos30° = 98 x 0,866 = 84,9 N (Fpy in figura).

La reazione vincolare Fv è verso l’alto, opposta alla F perpendicolare al piano.

 

2)  Un oggetto parte da fermo da un altezza ho e scivola lungo un piano inclinato privo di attrito. Poi risale lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo di 45° con l’orizzontale. Sapendo che il coefficiente d’attrito vale 0,5 calcolare l’altezza massima raggiunta dall’oggetto sul secondo piano.

inclin
L’oggetto ha energia Uo = mgho, scende e l’energia diventa cinetica, se non c’è attrito, rimane uguale, si conserva.

Uo = mgho

Forza attrito = 0,5 x mg cos45°; la forza d’attrito fa perdere velocità, fa lavoro negativo e l’oggetto raggiunge una quota h1 < ho.
sen45° = h1 / S
L = Forza x Spostamento;
lo spostamento si trova facendo:   S = h1/sen45°;

Lavoro forza attrito = F x Spostamento = 0,5 x mg cos45° x (h1) /sen45°
Lavoro forza attrito = 0,5 x mg x h1 (cos45° / sen45°)

La differenza di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza d’attrito.

cos 45° = sen 45° ;  quindi cos45° / sen45°= 1

mgh1 = mgho – Lavoro Fattrito

mg ho – mg h1 = 0,5 x mg x h1 ;    mg si semplifica, rimane:

ho – h1 = 0,5 x h1

h1+ 0,5 h1 = ho

1,5 h1 = ho

h1 = ho / 1,5 = ho / (3/2) = 2/3 x ho (nuova altezza raggiunta).

 

3. Un corpo di massa 8 Kg viene lanciato con una velocità di 1,4 m/s, da un’altezza di 1,3 m,  lungo un piano inclinato di 45 gradi; il coefficiente d’attrito è di 0,35. Calcolare accelerazione di discesa e la velocità alla base del piano.

pallina

Sul piano inclinato le forze sono F parallela al piano e la forza d’attrito.

F// = mg sen45° = 8 x 9,8 x sen45° = 55,4 N

Fattrito = 0,35 x mg cos45° = 0,35 x 78,4 x 0,707 = 19,4 N (forza contraria al moto, frenante)

Fris = 55,4 – 19,4 = 36 N

accelerazione di discesa:

a = Fris / m = 36 / 8 = 4,5 m/s^2

L = Fris * S;         L = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2 (teorema energia cinetica)

spostamento S = h / sen45° = 1,3 / 0,707 = 1,84 m

L = 36 x 1,84 = 66,2 J

1/2 m V^2 = L + 1/2 m Vo^2

1/2 m V^2 = 66,2 + 1/2 x 8 x 1,4^2 = 74 J

V = √(2 x 74/8) = 4,3 m/s

 

Forze agenti sul piano inclinato.

piano

 

4. Come si trovano seno e coseno?

In un triangolo rettangolo:

sen(β) = cateto opposto /ipotenusa

sen(β) = Y / R;

allora: Y = R sen(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse y, verticale)

cos(β) = cateto adiacente / ipotenusa

cos(β) = X / R

X = R cos(β) ; ( Se R è il vettore forza, si trova la sua componente sull’asse x , orizzontale); vedi figura.

Esempio:
F = 100 N; β = 30°; Fx = 100 x cos30° = 86,6 N; Fy = 100 x sen30° = 50 N

seno

5) Un carro attrezzi solleva una macchina usando il gancio sul davanti per poterla caricare. Quando la parte anteriore è sollevata di h = 1,2 m rispetto al suolo, un gadget che si trova a terra su un tappetino all’interno della macchina inizia a scivolare. Il coefficiente di attrito tra la superficie del tappetino e l’oggetto vale 0,32. Quanto è lunga la macchina? 
carro attr

Il gadget inizia a scivolare sul piano inclinato quando F//, (parallela) al piano inclinato dell’auto è uguale alla forza d’attrito.

F// = mg sen(α)

Fattrito = 0,32 x mg cos(α)

mg sen(α) = 0,32 x mg cos(α); semplifichiamo mg; resta:

sen(α) = 0,32 cos(α)

sen(α) / cos(α) = 0,32

tan(α) = 0,32; (tangente dell’angolo).

α = tan^-1 (0,32) = 17,74°; (con la calcolatrice c’è il tasto tan^-1)

sen 17,74° = 0,305

Il seno è il rapporto fra altezza e ipotenusa; qui l’ipotenusa è la lunghezza L della macchina.

h / L = 0,305; L = h / 0,305 ;

L = 1,2 / 0,305 = 3,9 m ; (lunghezza macchina)

6) Una slitta percorre una discesa di 30 m e inclinata di 34°, con coefficiente d’attrito dinamico Kd = 0,3. Determinare  la velocità con cui la slitta arriva in fondo alla discesa.

slitta

Forza risultante = (Forza parallela al piano) – (F attrito)

F parallela al piano = F// = m x 9,8 x sen 34° = (m x 5,48) N

Fattrito = Kd mg cos34° = 0,3 x m x 9,8 cos34° = (m x 2,44) N

F ris = (m x 5,48) – (m x 2,44) = (m x 3,04) N

Lavoro forza risultante = Energia cinetica finale

(F ris) x Spostamento = 1/2 m v^2;    ( Spostamento = lunghezza pista = 30 m)

m x 3,04 x 30 = 1/2 m v^2;      la massa m si semplifica e non serve.

1/2 x v^2 = 3,04 x 30 ;

v^2 = 2 x 3,04 x 30 = 182,4

v = √(182,4) = 13,5 m/s

7) Uno sciatore di massa 40 kg scende su una pista priva di attrito inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 1 m/s^2; (c) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 2 m/s^2.

sciatore

Lo sciatore scende grazie alla forza peso parallela al piano inclinato e dovrebbe accelerare con una accelerazione:

g// = 9,8 x sen10° = 1,7 m/s^2
F// = m x g// = 40 x 1,7 = 68,1 N

a) Se scende con velocità costante vuol dire che il vento agisce con una forza uguale e contraria:
F vento = – 68,1 N; (se la somma delle forze è 0 N il corpo viaggia con velocità costante, primo principio della dinamica).

b) Se l’ accelerazione è 1 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira in senso contrario con una forza che fa diminuire l’accelerazione:
a = 1 – 1,7 = – 0,7 m/s^2 e frena il moto;
F vento = – 40 x 0,7 = – 28 N

c) Se l’ accelerazione è 2 m/s^2 (e invece dovrebbe essere 1,7 m/s^2) vuol dire che il vento tira nello stesso verso del moto dello sciatore, lo spinge e fa aumentare l’accelerazione di a = 2 – 1,7 = + 0,3 m/s^2
F vento = 40 x 0,3 = + 12 N

 

8)  Un bambino di massa 35 kg è fermo su uno scivolo alto 1,80 m e lungo 3,70 m.

a) Se l’attrito con lo scivolo è trascurabile, con che forza si sta tenendo fermo?
b) qual è la forza se consideriamo un coefficiente di attrito statico tra il bambino e lo scivolo di 0,780?
scivolo
Il bimbo pesa  F = mg:
F = 35 x 9,8 = 343 N

Sul piano inclinato agisce la forza peso parallela al piano F//

F// = F peso x sen(α)

sen(α) = 1,80 / 3,70 = 0,486; α = sen^-1 (0,486) = 25,9°

F// = 343 x 0,486 = 167 N (il bambino si tiene fermo con questa forza).

Se c’è attrito serve una forza minore

F attrito = 0,780 x 343 x cos(25,9° ) = 240,6 N (valore massimo), l’attrito è molto grande, quindi può bilanciare una forza fino al suo valore massimo cioè 240,6 N

Perciò il bimbo resta fermo senza applicare forze.

L’attrito agisce con una forza contraria pari a quella parallela che è 167 N, quindi il bambino resta in quiete.

9) Su un piano inclinato una scatola che pesa 20 N si trova in equilibrio a causa delle forze di attrito. Il piano è lungo 80 cm e alto 40 cm.
Calcolare quanto vale la forza di attrito statico.

piano

All’equilibrio deve essere:

F parallela al piano inclinato = F attrito

F// = mg sen(α); mg = forza peso = 20 N

Fattrito = F//

sen(α) = h/L = 40/80 = 0,5 ; (è un angolo di 30°)

F attrito = 20 x 0,5 = 10 N ; (in verso contrario alla forza parallela al piano che farebbe scendere la scatola).