Atomo di Bohr. Esercizi.

 

 

atomo idrogeno

 

Raggio dell’atomo di idrogeno :  r = 5,29 * 10^-11 m =  0,53 Ångström.

  1. Nell’atomo di idrogeno l’elettrone gira intorno al proprio nucleo secondo un’orbita che si può considerare circolare.

 

  • Quale distanza percorre l’elettrone in un intervallo di tempo di 0,1 s?

 

Se immaginiamo che l’elettrone si muova su un’orbita circolare  intorno al protone la forza di Coulomb va considerata come  una forza centripeta.

Fc = m v^2/r;

m v^2 / r = K e * e  / r^2
r = 5,29 * 10^-11 m;  m = 9,11 * 10^-31 kg;
e = carica dell’elettrone = 1,602 * 10^-19 C;

Ricaviamo la velocità dell’elettrone:

v = radicequadrata(K e^2 / r m)=
= radicequadrata[9 * 10^9 * (1,602 * 10^-19)^2 / (5,29*10^-11* 9,11 * 10^-31 ) ] =
= radicequadrata(4,793 * 10^-12) = 2,189 * 10^6 m/s;
in t = 0,1 s, percorre:
S =  v * t = 2,189 * 10^6 * 0,1 = 2,19 * 10^5 m; (219 km).
L’atomo+di+Bohr

Postulati+del+modello+atomico+di+Bohr

 

2)  L’elettrone di un atomo di idrogeno, descritto con il modello di Bohr, si muove  su un’orbita lunga C = 5,31 * 10^-9 m.

– Calcola l’accelerazione centripeta dell’elettrone per l’orbita percorsa.
– Quanto vale l’accelerazione centripeta per lo stato fondamentale?

m v^2/r = K * e^2 / r^2
r = C / (2pgreco) =5,31 * 10^-9 /6,28 = 8,46 * 10^-10 m
v = radqquad( K *q^2 / (m r) )
v = radquad( 9 * 10^9 * (1,6 * 10^-19)^2 / (9,11 * 10^-31 * 8,46 * 10^-10 ) ) =
v = 5,47 * 10^5 m/s
a = v^2/r = (5,47 * 10^5) ^2 / 8,46 * 10^-10 = 3,53 * 10^20 m/s^2.

Per lo stato fondamentale dell’atomo di Bohr, porre il raggio ro = 5,29 * 10^-11 m
e rifare i calcoli:

v^2 = K *q^2/(m * ro) = 4,78 * 10^12;       (v = 2,19 * 10^6 m/s).

a = v^2/ro

v^2 = K *q^2/(m * ro)

a = [K *q^2/(m * ro) ]/ ro = Kq^2/(m * ro^2) = 9,04 * 10^22 m/s^2

 

3) Perché gli elettroni non cadono sul nucleo? La loro carica è opposta a quella dei protoni.
Mentre nella meccanica classica l’energia è un continuo, la meccanica quantistica prevede la possibilità che ci siano solo certi valori (livelli) dell’energia accessibili al sistema. (L’energia è quantizzata).

Atomo semiclassico di Bohr
Per l’elettrone esistono stati permessi (o stazionari) e stati proibiti; sulle orbite stazionarie l’elettrone ha energia stazionaria e quindi non irradia, in contrasto con le previsioni della fisica classica.
L’elettrone emette (o assorbe) energia solo se scende (o sale) da un’orbita permessa ad un’altra permessa. La transizione avviene emettendo o assorbendo un fotone di frequenza f proporzionale alla differenza di energia ΔE tra i due stati stazionari. La relazione che lega la frequenza del fotone al salto energetico è la relazione quantistica ΔE = h * f

La teoria ondulatoria di De Broglie fornirà al modello atomico di Bohr una convincente ragione teorica, associando all’elettrone una lunghezza d’onda di dimensioni atomiche.

Se si abbandona l’idea di una particella classica che ruota su un’orbita per sostituirla con quella di un’onda stazionaria che si chiude perfettamente su tale orbita, si deve accettare che sono possibili solo le orbite con circonferenza multipla della lunghezza d’onda associata.

Come varia la forza di gravità all’interno e all’esterno della Terra

bucot12

 

Si vede dal grafico che l’accelerazione di gravità diminuisce con il quadrato della distanza r > R all’esterno della Terra. Il valore massimo della forza si ha sulla superficie terrestre dove g = 9,8 m/s^2.  invece all’interno della Terra la gravità diminuisce in modo proporzionale al diminuire della distanza dal centro della Terra e diventa 0 al centro della Terra per r = 0 m.

 

tunnel

Esempio 1: Supponiamo che uno speleologo di  massa m = 70 kg scavi un tunnel che scende fino a 100 km sotto la superficie terrestre. Assumendo che la simmetria sferica della Terra non venga alterata e che la densità terreste rimanga costante, quanto vale la forza di attrazione gravitazionale che agisce sullo speleologo in fondo al tunnel?

R = 6380 km = 6,38 * 10^6 m; (raggio terrestre);

Massa Terra = 5,98 * 10^24 kg;

G = 6,67 * 10^-11 N m^2/kg/2 (costante di gravitazione universale).

r = R – 100 = 6280 km; (distanza dello speleologo dal centro della Terra)

m = massa terrestre che attrae l’uomo che si trova a 6280 km dal centro della Terra.

m = densità * Volume;

densità terra:  ρ = M(terra) / (4/3pgreco R^3);

immaginiamo la densità costante, la Terra omogenea di raggio R.

ρ = 5,98 * 10^24 / (4/3 * pgreco * (6,38 * 10^6)^3 ) = 5497,3 kg/m^3

Volume della massa attraente = 4/3 pgreco r^3;

solo la massa m che sta al di sotto dell’uomo lo attrae:

m = (densità Terra) x Volume:

m = ( M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) ) x 4/3 pgreco r^3 ;

m = M(terra) r^3/R^3;

F = G * m * (m uomo) / r^2;

F = G * (M(terra) * r^3 / R^3 )* (m uomo) / r^2;

r^3 / r ^2 = r

F = G * (M(terra)/R^3) * r * (m uomo);

Si vede dalla formula che la forza all’interno della Terra dipende da r, cresce e diminuisce  con r.

Calcolo le costanti:
G * (M(terra)/R^3) = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,38 * 10^6)^3 = 1,536 * 10^-6

F = 1,536 * 10^-6 * 70 * r = 1,536 * 10^-6 * 70 * 6,28 * 10^6 = 675 N = 6,75 * 10^2 N

Sulla superficie l’uomo pesa F = 70 * 9,8 = 686 N

 

Sulla superficie e all’esterno della Terra la forza F è: 

F = G * (Mterra) * (m uomo) / r^2

con r maggiore o uguale a R.

Esempio 2:

tunnel2

Moto di una pallina che viene fatta cadere nel tunnel che attraversa la Terra:

La pallina si muoverà di  moto armonico attraverso il tunnel.

Viene attratta fino ad arrivare al centro aumentando la sua velocità. Al centro della Terra la forza si annulla, la pallina prosegue, ma viene decelerata dalla forza di gravità fino alla superficie dove di nuovo ricomincia a cadere verso il centro della Terra.

Quindi la pallina si muoverà su e giù di moto armonico.

Legge del moto armonico: L’accelerazione è proporzionale alla posizione r.

a = – (costante) * r;
la costante è la pulsazione omega al quadrato,  ω

a = – ω^2 * r;
(l’accelerazione è proporzionale allo spostamento r, e in verso contrario)
a = F / m(pallina)
m = massa terrestre che attrae la pallina che cade
verso il centro della terra:
m = densità * volume;
ρ = M(terra) / (4/3pgreco R^3);
immaginiamo la densità costante, la Terra omogenea
di raggio R).
Volume della massa attraente = 4/3 pgreco r^3;
solo la massa m che sta sotto la pallina la attrae
verso il centro.
m = ρ *  Volume
m = (M(terra) / (4/3pgreco R^3 ) ) x 4/3 pgreco r^3 = M(terra) r^3/R^3F = – G * m * m(pallina)/r^2;

r è la distanza dal centro della terra, diminuisce fino a diventare 0.

a = F / m(pallina)a = – G * m * m(pallina)/r^2 / m(pallina) =
= G x m /r^2 ;

a = – G * M(terra) r^3/R^3 / r^2
a = – (G * M(terra) / R^3) * r;
a = – ω^2 * r; 
L’accelerazione di gravità che è un’accelerazione centripeta. Al centro della Terra vale 0 poi cresce con r all’interno della Terra.  Assume valore massimo sulla superficie:
a = – G * M / R^2 = – 9,8 m/s^2 = g

 

 

Esercizi sulla legge di Archimede – Galleggiamento

ballmongolfiere

Galleggiamento del corpo umano

Il corpo di Alessandro, di massa 85,0 kg è immerso in acqua di mare (d=1030 kg/m^3)

ed emerge solo per il 4% del suo volume.

a) determina la sua densità media.

b) se dopo un’inspirazione emerge per il 7% del suo volume, qual è ora la sua densità?

V immerso = 96% del volume totale= 0,96 * Vtotale
Fpeso = m *g = 85 * g
Farchimede = F peso (galleggia)
(d acqua) * Vimmerso * g = 85 * g
(d acqua) *(0,96 * Vtotale) = 85
Vtotale = 85 /( (d acqua) * 0,96)
Vtotale = 85 /(1030 * 0,96) = 0,086 m^3 = 86 dm^3
densità corpo = 85 / 0,086 = 988 kg/m^3
Se emerge del 7% il volume immerso diventa  93% = 0,93 * Vtotale
Vtotale = 85 / (1030 * 0,93) = 0,0887 m^3
densità corpo = massa / volume = 85 / 0,0887 = 958 kg/m^3 (diminuisce per l’aria inspirata).

mar_morto_galleggiarearchim

 

  1. Esercizio sul galleggiamento del ghiaccio in acqua:

Un cubetto di ghiaccio di densità 930 kg/m^3 emerge in parte dalla superficie dell’acqua contenuta nella vaschetta.
Se la densità dell’acqua è 1000 kg/m^3,qual è la percentuale di ghiaccio immerso rispetto al volume totale del cubetto?

La forza di Archimede deve essere uguale alla forza peso mg.

Farchim = Fpeso

densitàH20 x (Volume_immerso) x g = densitàghiaccio x (Volume_totale) x g

g si semplifica.

(Volume_immerso) / (Volume_totale) = densitàghiaccio / densitàH20

Vimm / Vtot = 930/1000 = 0,93 = 93%

 

2. Una sfera d’acciaio cava con il diametro esterno lungo 10 cm, galleggia in acqua restando immersa per 2/3 del suo volume. Qual è la misura del raggio della cavità?

ACQUA

densità acciaio = 7,8 * 10^3 kg/m^3

La spinta di Archimede è uguale alla forza peso della sfera. Quindi possiamo trovare la massa dalla sfera.

Farchim = densità acqua * g * Vimmerso;

densità = 1 kg/dm^3; raggio = 5 cm = 0,5 dm

Vimm = 2/3 * 4/3 * pgreco * R^3 = 8/9 * 3,14 * 0,5^3 = 0,349 dm^3

FArchim = 1 * 9,8 * 0,349  = 3,42 N
Massa = 3,43/9,8 = 0,349 kg
Volume totale sfera = 4/3 pgreco R^3 = 0,524 dm^3
Volume = Massa/densità;

(densità acciaio = 7,8 kg/dm^3 , meglio usare queste unità di misura visto che il volume non è grande, meglio i dm^3,  basta togliere tre zeri alla densità in kg/m^3)

Volume dell’acciaio che costituisce la sfera = Massa / densità acciaio =

= 0,349 /7,8 = 0,045 dm^3

Volume della sfera con cavità = 0,524 dm^3, togliamo a questo volume, il volume dell’acciaio che costituisce la superficie e troviamo il volume della cavità.

Volume cavità = 0,524 – 0,045 = 0,479 dm^3

4/3 pgreco (Rinterno)^3 = 0,479

Rinterno = radcubica (3/4 * 0,479 /pgreco) =radcubica (0,114) = 0,485 dm = 4,85 cm

 

3. In una vasca parzialmente piena d’acqua galleggia un pezzo di ghiaccio di massa          m = 50 kg.  Trascurando l’effetto di evaporazione, quando il ghiaccio avrà completato la fusione, il livello dell’acqua nella vasca sarà aumentato, diminuito o sarà rimasto invariato?

iceberg

Rimane invariato.

Farch = Fpeso
Farch = (d acqua) * g * (Vimmerso )

Fpeso = m * g = 50 * g

1 * Vimmerso = 50

Vimmerso = 50 litri o dm^3

Volume totale ghiaccio = massa / densità = 50 / 0,9 = 55,55 litri o dm^3

Vesterno di ghiaccio = 5,55 dm^3

Quando fonde diventa acqua, densità 1 kg/dm^3 e il suo volume diminuisce, la parte esterna non ci sarà più, diminuisce proprio di 5,55 dm^3. Diventa 50 kg di acqua. La massa non cambia.

Volume ghiaccio fuso = massa / (d acqua) = 50 kg / 1 = 50 dm^3

come il volume immerso di ghiaccio prima della fusione. Quindi il livello dell’acqua non cambia.

4. Un corpo di volume ignoto, appeso a un dinamometro, fa segnare  100 N. Se il corpo viene immerso completamente in acqua il dinamometro segna 75,5 N. Calcolate il volume V del corpo e la sua densità.

Risultati immagini per spinta di archimede

Forza peso = mg = 100 N

m = 100/9,8 = 10,2 kg

In acqua pesa meno perché c’è la spinta di Archimede : è la differenza fra i due pesi.

FArc = 100 – 75,5 = 24,5 N

Farc = (densità acqua) * (Vimmerso) * g; densità acqua = 1 kg/dm^3

Vimmerso = 24,5/(1 * 9,8) = 2,5 dm^3 (è il volume del corpo)

densità corpo = m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3

(oppure  moltiplicando per 1000 = 4080 kg/m^3).

 

5.  Quanti palloncini di elio riuscirebbero a sollevare una persona di 80 kg?

palloncini

L’elio ha una densità di 0,18 kg/m^3.  L’aria ha una densità di 1,29 kg/m^3, quindi l’elio galleggia in aria. Per la spinta di Archimede:
(densità aria) * g * (Volume totale) = Forza peso da sollevareForza peso da sollevare = (massa_uomo * g) + (massa_palloni_elio * g) == 80 * g + (densità elio) * (Volume totale) * gF Archimede = F peso

1,29 * (Volume totale) * g = 80 * g + 0,18 * (Volume totale) * g ; g = 9,8 m/s^2 si semplifica

Volume totale = 80 / (1,29 – 0,18)= 80 /1,11 = 72,1 m^3; ( non ho considerato la massa degli involucri dei palloni)

Se aggiungiamo 10 kg di gomma dei palloncini:

volume totale = (80 + 10) /1,11= 81,1 m^3 di elio

Se ogni palloncino ha un volume di 20 litri = 0,02 m^3

N * 0,02 = 81,1

N = 81,1/0,02 = 4055 palloncini.

 

Risultati immagini per corpo immerso in acqua legato sul fondo

6)  Un cubo di sughero (densità sughero= 0,22 g/cm^3),  di lato l = 30 cm è completamente immerso in un recipiente di acqua ed è trattenuto da una fune ancorata al fondo del recipiente.

  • Calcolare il valore della tensione della corda che lo trattiene.

Forze che agiscono su un corpo immerso in un fluido

Sul cubo di sughero agisce la forza peso verso il basso m * g, la spinta di Archimede verso l’alto   (Fa = (dacqua) * g * Vimmerso).
Se non fosse legato salirebbe verso l’alto sotto l’azione della forza risultante:

Volume immerso = 30^3 = 27000 cm^3;

massa sughero: m = 0,22 * 27000 = 5940 g = 5,94 kg

Fpeso = 5,94 * 9,8 = 58,21 N; (verso il basso)

massa acqua spostata = 1 g/cm^3 * 27000 = 27000 g = 27 kg

Fa = 27 * 9,8 = 264,6 N; (verso l’alto)

Fris = Fa – Fp= 264,6 – 58,21 = 206,39 N; (verso l’alto).

La corda lo tiene fermo con una forza contraria verso il basso:

(Forza di tensione) – 206,39 = 0

Forza di tensione = 206,39 N.

Rifrazione della luce – Riflessione totale

Tag

Rifrazione:

1) Il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie stanno sullo stesso piano
2)    sen i / sen r  = n2/n1 .
n2 : indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto al primo.
n1 = 1 per l’aria e il vuoto  sen i / sen r = v1/v2 ;
v1 = velocità nel primo mezzo. v2 = velocità nel secondo mezzo.

rifrazione (1)

 

 

 

 

 

 

 

Riflessione  – Riflessione totale                                   
1) Il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie stanno sullo stesso piano.
2)  l’angolo di incidenza i è uguale all’angolo di riflessione r.   
i = r

rifrazione_riflessione

 

riflessionetotale (33K)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Riflessione totale: Quando il raggio luminoso passa dall’acqua all’aria, cioè da un mezzo più denso ad uno meno denso, si allontana dalla normale alla superficie. Questo fatto è causa di un fenomeno importante che va sotto il nome di riflessione totale. Siccome l’angolo di rifrazione è maggiore dell’angolo di incidenza, aumentando progressivamente l’angolo di incidenza arriveremo ad un angolo limite  lin prossimità del quale l’angolo di
rifrazione diventa uguale a 90°.

 

Angolo limite nel caso aria-acqua:

sin L / / (sin 90°) = naria / nacqua ;   da cui
sin L= 1 / 1.33 = 0,75

 Angolo limite = 49°.

Quando l’angolo d’incidenza è maggiore di 49° il raggio rifratto scompare e rimane solo il raggio riflesso.

In altre parole la superficie di separazione tra l’acqua e l’aria si comporta come se fosse uno specchio. Questo fenomeno prende il nome di riflessione totale.

totale (4K)

 

Esercizio 1)

Una lastra di vetro (indice di rifrazione n= 1,50) si trova immersa in un liquido trasparente di indice di rifrazione n. Un raggio di luce colpisce la superficie laterale della lastra di vetro con un angolo di incidenza di 60° e prosegue internamente ad essa, fino a incontrare l’altra faccia perpendicolare.

Qual è il massimo valore dell’indice di rifrazione n del liquido perché avvenga il fenomeno della riflessione totale internamente alla lastra? (1,13)

Quanto vale l’angolo limite in tali condizioni? (40,9°)

totale

Il raggio entra lateralmente con angolo di 60° rispetto alla normale e viene rifratto secondo la legge di Snell :

sen60° / sen r = 1,5 / n;

sen r = 0,866 * n / 1,5

poi , il raggio, prosegue nel vetro incontrando con angolo (90° – r) con la normale, la faccia “perpendicolare” alla precedente.

L’angolo  90° – r deve essere l’angolo limite L, così si avrà la riflessione TOTALE , cioè ASSENZA di raggio “rifratto” nel liquido. Il raggio riflette all’interno del vetro.

sen L = n/1,5

sen(90° – r) = sen L

sen(90° – r) = cos r

cos r = n / 1,5;

cos r * 1,5 = n

sen r = 0,866 * n / 1,5;

sen r = 0,866 /1,5 * cos r  * 1,5

sen r / cos r = 0,866

tan r = 0,866 ;  r = arctan(0,866) = 40,9°

n = 1,5 * cos(40,9°) = 1,13.

 

Esercizi di statica dei fluidi. Archimede

mar_morto_galleggiare
Galleggiamento nel Mar Morto.

archim

Archimede di Siracusa (Ἀρχιμήδης), –  (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.).

Principio di Archimede : 
Un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta  (dal basso verso l’alto) di intensità uguale al peso del  fluido spostato dalla parte immersa del corpo. Il punto di applicazione della forza di Archimede, detto centro di spinta, si trova sulla stessa linea della variazione della pressione su cui si trova  il centro di massa del fluido spostato dal corpo immerso.

Tale forza è detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica (anche se  non riguarda solo i corpi immersi in acqua, ma in qualunque altro fluido – liquido o gas).

 Iceberg: galleggia in acqua perché la forza di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso del corpo:   F Archimede = F peso

                                                   iceberg

 

galleggiamento

Da dove nasce la forza di Archimede FA (Spinta verso l’alto) ?  La spinta di Archimede è dovuta al fatto che la pressione di un fluido cresce al crescere della profondità del fluido. La pressione per la legge di Stevino è P = ρ g h, dipende dalla profondità h.
Consideriamo un cilindro di altezza h completamente immerso                                                 in un liquido di densità ρ.

 

cilindro

 

La pressione P1, agendo sulla base superiore S, genera la forza diretta verso il basso                  F1 = P1*S.

Analogamente, la pressione P2, agendo sulla base inferiore S, genera la forza verso l’alto          F2 = P2*S.
Le forze dirette verso destra sono equilibrate da forze uguali dirette verso sinistra, perché la pressione ad una data profondità è uguale in tutti i punti del fluido. Poiché la pressione cresce al crescere della profondità, la forza verso l’alto è maggiore della forza verso il basso e, di conseguenza, il liquido applica al cilindro una forza risultante
F Arc (cioè la spinta di Archimede) orientata verso l’alto:

 F Arc = P2 * S – P1*  S = ( P2 – P1) * S = (ρ *g * h2 –  ρ * g * h1) * S ;

ponendo h = h2 – h1:

F Arc = ρ * g * h * S  => ponendo h * S = Volume immerso

FArc = ρ * g * V(immerso);

F Archimede = (densità fluido) * g * (Volume del corpo immerso).

ESERCIZI

1) Un corpo di volume ignoto, appeso a un dinamometro, fa segnare   100 N.

Se il  corpo viene immerso completamente in acqua il dinamometro segna 75,5 N.

Calcolare il volume V del corpo e la sua densità ρ.

 

alluminio

 

 

Forza peso = m*g = 100 N

m = (Forza peso) / g;

m = 100/9,8 = 10,2 kg

In acqua pesa meno perché c’è la spinta di Archimede : è la differenza fra i due pesi.

FArc = 100 – 75,5 = 24,5 N

Farc = (densità acqua) * (Vimmerso) * g;   (densità acqua = 1 kg/dm^3);

Vimmerso = 24,5 / (1 * 9,8) = 2,5 dm^3 (è il volume del corpo)

densità corpo ρ = Massa / Volume ; ρ = m / V

Forza peso = m * g = 100 N

m = (Forza peso) / g = 100/9,8 = 10,2 kg

densità corpo = m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3 (oppure x1000 = 4080 kg/m^3)

= m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3 ;

oppure moltiplicando per 1000:   ρ = 4080 kg/m^3);

 

2)  In un recipiente galleggia in acqua un cubo di legno con densità 0,6 g/cm^3 e lato 10 cm.
Calcolare di  quanto emerge il cubo dall’ acqua ed il lavoro che deve essere fatto per immergere completamente il cubo in acqua.

bloccolegno

FArc = F peso  (condizione di galleggiamento)

(densità acqua) * g * Vimm = (densità legno) * g * (V totale)
Vimm/ V tot = (densità legno) / (densità acqua)

V imm = (0,6/1) * V tot
Abase * h(immersa) = 0,6 * Abase * (h tot)
h imm = 0,6 * 10 = 6 cm;     quindi emerge di 10 – 6 = 4 cm.
Lavoro = forza risultante * Spostamento.

Forza ris = FArchim – Forza peso
FArc = 1 * 9,8 * (1 dm)^3 = 9,8 N
F peso = 0,6 * 9,8 * 1 = 5,88 N

F ris = 9,8 – 5,88 = 3,92 N , verso l’alto, per cui il legno emerge di 4 cm

Per spingerlo giù, occorre una forza che parte da valore 0 N fino al valore  massimo di 3,92 N; allora prendiamo la forza media F = 3,92 / 2 = 1,96 N
deve scendere di 0,04 m
L = 1,96 * 0,04 = 0,078 J

3)  Un blocco di alluminio (densità 2,65 g/cm^3) di massa 1 kg è sospeso ad un filo con il quale viene immerso completamente in un contenitore pieno di acqua.
Calcolare la tensione del filo quando il blocco è  totalmente immerso.

dina

 

Frisultante = Tensione

Fris = Fpeso – F(Archimede)

Fpeso = m * g;
F(Archimede) = (densità H2O) * g * Volume corpo

Volume = 1 kg/ (2,65 kg/dm^3) = 0,377 dm^3
Densità H2O = 1 kg/dm^3
Fris = 1 * 9,8 – 1 * 9,8 * 0,377 = 9,8 – 3,69 = 6,1 N ( verso il basso);
La tensione del filo sarà uguale e contraria alla forza risultante
Tensione filo = F ris;

Tensione = 6,1 N ; la tensione del filo deve essere uguale a 6,1 N ; (verso l’alto).

 

4) Una sfera cava di raggio esterno R=10,0 cm galleggia per metà in un recipiente pieno di acqua (densità acqua=1 g/cm^3) . È fatta di un sottile strato di ferro
(densità ferro =7,9 g/cm^3) e di spessore x . Calcolare la massa della sfera e lo spessore x dello strato.

sfera

Volume sfera = 4/3 * 3,14 * 10^3 = 4187 cm^3

Se galleggia per metà il volume immerso è

Vimm = 4187/2 = 2094 cm^3

Forza archimede = forza peso;

d acqua * g * Vimm = m * g; (g si semplifica).

1 g/cm^3 * 2094 cm^3 = m

m sfera = 2094 grammi

Volume strato di ferro = m / densità = 2094 / 7,9 = 265 cm^3

Volume cavità sfera = 4187 – 265 = 3922 cm^3

Raggio cavità = radicecubica(3922 * 3 / (4 * 3,14) ) = radicecubica(936,3) = 9,78 cm

Spessore x = 10 – 9,78 = 0,22 cm

 

5) Una sfera di densità ρ= 0,7 g/cm^3 è trattenuta da un filo in un recipiente pieno di acqua ad una profondità d = 0,5 m dalla superficie libera.
Trascurando la resistenza dell’ acqua e le forze di tensione superficiale, si determini la massima altezza h raggiunta dalla sfera sopra il livello dell’ acqua una volta che sia lasciata libera di muoversi tagliando il filo che la trattiene. 

ACQUA

FArchimede = (densitàacqua) * g * (Volumesfera)

Fpeso = 0,7 * (Volumesfera) * g

Frisultante =  F Archimede – F peso:

F risultante = 1 * g * (Volumesfera) – 0,7 * (Volumesfera) * g

divido per la massa della sfera  :  m = 0,7 * (Volumesfera)

così si trova l’accelerazione a con cui sale:

a = Fris/ m = ( (1/0,7)  * g  ) – g

a = 9,8 / 0,7 –  9,8 = 14 – 9,8 = 4,2 m/s^2

La sfera sale per 0,5 metri con questa accelerazione e raggiunge velocità Vo con cui esce dall’acqua.

0,5 = 1/2 * 4,2 * t^2;   t = radicequadr(2 * 0,5 /4,2) = 0,49 s
Vo = 4,2 * t
Vo = 4,2 * 0,49 = 2 m/s;

Fuori dall’acqua, agisce solo la forza peso, non c’è più la forza di Archimede, l’energia cinetica iniziale diventa energia potenziale. Si ferma nel punto più alto h. (Vfinale = 0)

m g h = 1/2 m Vo^2

h = Vo^2 / (2g) = 2^2 / 19,6 = 0,2 m = 20 cm.

 

6) La corona di Gerone II                            Eùreka, perfetto del verbo eurisko, significa «ho trovato»

Corona simile a quella ordinata da Gerone II                                           eureca

Una corona d’ oro di 2 kg, ha un  un volume di 190 cm^3. La densità della corona risulta quindi di 10,52*10^3 kg/m^3 (non è oro puro). Supporre che la corona di cui si parla sia costituita da una miscela di ottone e oro:

– che percentuale della massa della corona è oro puro?

Dalla densità così bassa si capisce che è quasi tutto ottone. L’oro ha una densità molto più alta.
densità ottone = 8,4 kg/dm^3;   densità oro = 19,3 kg/dm^3

M = densità * Volume

M(Au) + M(ottone) = 2 kg

V(Au) + V(ottone) = 0,190 dm^3

8,4 * V(ottone) + 19,3 * V(Au) = 2

V(ottone) = 0,190 – V(Au)

8,4 * (0,190 – V(Au) ) + 19,3 * V(Au) = 2

1,596 – 8,4 * V(Au) + 19,3 * V(Au) = 2

10,9 * V(Au) = 2 – 1,596

V(Au) = 0,404/10,9 = 0,037 dm^3 = 37 cm^3
V(ottone) = 0,190 – 0,037 = 0,153 dm^3 = 153 cm^3
Massa ottone = 8,4 * 0,153 = 1,29 kg

in percentuale: (1,29 / 2 )* 100 = 0,64 * 100 = 64% (di ottone)

 

Percentuale oro = 1 – 0,64 = 0,36;

massa oro = 36%

zattera

 

7) Due ragazzi costruiscono una zattera con tronchi di legno (d = 550 kg/m^3), di diametro pari a 38 cm. La zattera ha dimensioni 1,8 m e 2,6 m. I ragazzi hanno massa complessiva di 90 kg. 

  • La zattera riuscirà a galleggiare in acqua. Quale sarà la parte di volume che emergerà dall’acqua?

Volume zattera = Area base * h

h è il diametro dei tronchi = 0,38 m

Volume zattera = 2,6 * 1,8 * 0,38 = 1,778 m^3

Condizione di galleggiamento:

Forza peso totale zattera = Forza di Archimede

massa zattera = d * Volume = 550 * 1,778 = 978 kg;

Forza peso zattera  = 978 * g Newton;

(g è l’accelerazione di gravità).

Aggiungiamo la massa dei ragazzi.

Forza peso totale = (978 + 90) * g = 1068 * g;

F Archimede = massa di acqua spostata * g =

= (densità acqua) *Volume immerso * g

densità acqua = 1000 kg/m^3;

1000 * Vimmerso * g = 1068 * g;

g viene semplificata.

1000 * Vimmerso  = 1068 ;

Vimmerso = 1068 /1000 = 1,068 m^3;

Volume esterno = 1,778 – 1,068 = 0,71 m^3 (restano fuori dall’acqua).

altezza esterna= 0,71 / Area base = 0,71 /(1,8 * 2,6)

h esterna = 0,71 / 4,68 = 0,15 m = 15 cm

Galleggia, ma fuori dall’acqua resta poca altezza.

 

Moto circolare-curva inclinata-rotazione terrestre

  1. Si deve progettare una curva inclinata in modo tale che un’automobile possa percorrerla alla velocità di 10 m/s senza fare affidamento sull’attrito tra le gomme e l’asfalto. Per via dei vincoli urbanistici, il raggio della curva deve essere di 24 m. Di quale angolo dovrà essere inclinata la curva che devono progettare?
    curva
    N * cos(β) = Forza peso;
    N * cos(β) = m g
    N = m g / cos(β)N * sen(β) = Forza centripeta
    N * sen(β) = m * v^2/R(m g /cosβ ) * sen(β) = m * v^2/Rsen(β) / cos(β) = tan(β)m * g * tan(β) = m * v^2/R;m si semplifica.tan(β) = v^2/(g * R ) = 10^2 /(9,8 * 24) = 0,425

    β = tan^-1(0,425) = 23°

  2.  Si determini il modulo della velocità tangenziale di un punto solidale con la superficie terrestre, supponendo che la Terra sia una sfera di raggio
    R terra =6380 km = 6,380 * 10^6 m.
    – Si ricavi l’espressione dell’accelerazione centripeta in funzione della latitudine φ;
    – si stimi il rapporto tra il modulo dell’accelerazione di gravità g e il modulo dell’accelerazione centripeta a.latitudine      latitudine.latitud
    r = (Rterra) * cos φ.

    v = 2 * 3,14 * r / T = ω * r;T = 24 ore = 86400 s;
    ω = 2 * 3,14 / (86400 s) = 7,272 * 10^-5 rad/s

    r dipende dalla latitudine alfa: al polo angolo alfa = 90°; all’equatore alfa = 0°;

    r = (Rterra) * cos(φ) = (6,380 * 10^6 m ) * cos(φ)

    v = ω* r = (7,272 * 10^-5) * (6,380 * 10^6  * cos(φ);
    accelerazione centripeta: a =ω^2 * (Rterra * cos(φ) ) ;

    a = (7,272 * 10^-5)^2 * 6,380 * 10^6 *cos(φ)

    a = 0,034 * cos(φ)

    all’equatore cos(0°) = 1

    a = 0,034 m/s^2

    al polo cos(90°) = 0

    a = 0 m/s^2

    g / a = 9,81 / (0,034 cos(φ ) = 288 / cos(φ)

    g è 288 volte maggiore di a all’equatore dove a ha valore massimo
    in quanto cos(90°) = 1.

    Il nostro peso è leggermente minore in quanto si ottiene facendo la differenza vettoriale fra il vero peso (in viola nella figura, la forza di gravità) e la forza centripeta (in rosso verso il centro). La forza centripeta è piccolissima, quindi non la percepiamo e non ci accorgiamo di essere in un sistema rotante, non inerziale.

    centripeta2

3)  Calcolare le grandezze caratteristiche del moto  che la Terra compie intorno al Sole (il raggio medio dell’orbita è R= 1,5*10^8 km, il tempo che impiega a percorrere l’orbita è di T= 365 giorni, immaginiamo che il moto sia circolare e uniforme).

R = 1,5 * 10^11 m

T = 365 * 24 h * 60 min * 60 s = 3,154 * 10^7 s

velocità angolare: 2 pgreco/T

omega = 2 * 3,14 / T = 6,28 / 3,154 * 10^7 = 1,99 * 10^-7 rad/s

velocità tangenziale media : v = 2 pgreco R / T = omega * R

v = 1,99 * 10^-7 * 1,5 * 10^11 = 29900 m/s (circa 30000 m/s = 30 km/s);

accelerazione centripeta: a = v^2/R

a = 29900 ^2 / (1,5 * 10^11 ) = 6 * 10^-3 m/s^2 = 0,006 m/s^2 ;
(l’accelerazione è molto piccola, quindi non ci accorgiamo di viaggiare in curva, è come se viaggiassimo di moto rettilineo a velocità costante).

 

4) Perché la forza centripeta nel punto più alto del giro della morte deve essere come minimo uguale al peso? Perché la reazione vincolare deve essere maggiore uguale a 0?Nel moto circolare verticale esiste la forza centripeta Fc che è data dalla somma della forza peso Fp e della reazione vincolare Fr che può essere la tensione di una corda o la spinta di una pista.
Nel punto più basso della traiettoria: Fc = Fr – Fp; quindi la reazione vincolare Fr = Fc + Fp; nel punto più basso la reazione è molto alta e il corpo sembra pesare di più.Nel punto più alto le forze sono tutte verso il basso:Fc = Fr + Fp; quindi la reazione vincolare è Fr = Fc – Fp

Freazione diventa 0 quando Fcentripeta = Fpeso; se Fpeso > Fcentripeta allora il corpo cade.

m V^2/R > = mg

V > =√(g R); R è il raggio; g è l’accelerazione 9,8 m/s^2

giro morte

 

Le Jet d’eau di Ginevra. Fluidodinamica di Bernoulli, Torricelli.

  1. Il getto d’acqua di Ginevra (una fontana a getto di acqua verticale) raggiunge l’altezza di 140 metri. Trovare la pressione della conduttura che alimenta il getto nel tratto sotterraneo collocato a 3 metri sotto l’ugello che origina il getto.

Jet d'eau

 

Il teorema di Bernoulli dice che:

P1 + 1/2 d V1^2 + dgh1 = P2 + 1/2 d V2^2 + dgh2

Alla base, dentro il condotto V1 = 0 m/s;
h1 è sotto il livello dell’acqua, quindi sarà negativa  h1 = – 3 m.

In cima al getto nel punto più alto V2 = 0 m/s;
(tutti i corpi lanciati verso l’alto si fermano nel punto più alto, prima di iniziare la caduta verso il basso).
P2 = Po = pressione atmosferica, h2 = 140 m.

P1 + d g (-h1) = P2 + d g h2;
P1 = P2 + d g (h2 + h1)

P2 = Po  = pressione atmosferica = 1,013 * 10^5 Pa

h2 = 140 metri;  h1 = – 3 m

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (h2 – h1); in Pascal.

Per avere le atmosfere si divide il risultato ottenuto per Po = 1,013 * 10^5 Pa

P1 = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * (140 – ( -3) ) = 1,013 * 10^5 + 1000 * 9,8 * 143;

P1 = 1,013* 10^5 + 14,014 * 10^5 = 15,03 * 10^5 Pa; (pressione nel condotto alla base).

P1 = 15,03 * 10^5 / (1,013 * 10^5) = 14,8 atm;  (quasi 15 atm).

 

2)  Quanto vale il termine cinetico della pressione per un  flusso di sangue                     (d = 1040 kg/m^3), pari a  10 cm^3 /s in un vaso sanguigno del diametro di 3,0 mm?

 

sangue

Occorre trovare la velocità.
Pressione cinetica = 1/2 d v^2.
Portata Q = 10 cm^3/s
Q = Area * velocità

raggio r = 1,5 mm
Area = 3,14 * r^2 = 3,14 * 1,5^2 = 7,07 mm^2 = 7,07 * 10^-6 m^2; (Area del vaso in m^2);

Q = 10 * 10^-6 m^3/s;  (portata)

velocità v = Q / Area = 10 * 10^-6 / (7,07 * 10^-6) = 1,41 m/s

Pressione cinetica = 1/2 d v^2 = 1/2 * 1040 * 1,41^2 = 1034 Pa

 

3)  Un tubo di un impianto per il trasporto idrico ha una portata di 1200 Litri/minuto. Il tubo ha un diametro di 12 cm (punto A) che va a restringersi sino a 9 cm (punto B);  la pressione dell’acqua in A è Pa = 3,5 *10^5 Pa, mentre in B vale Pb = 3,0 *10^5 Pa.

Calcolare il dislivello tra le due sezioni del tubo. 

bernoulli1

 

 

L’acqua ha una densità d = 1000 kg/m^3

Portata Q = = 1200 /60 = 20 litri/s = 20 * 10^-3 m^3/s

A1 = 3,14 * (6 cm)^2 = 113,1 cm^2 = 113,1 * 10^-4 m^2

A2 = 3,14 * (4,5 cm)^2 = 63,6 cm^2 = 63,6 * 10^-4 m^2

Q = A * v = 20 * 10^-3 m^3/s
A1 * v1 = A2 * v2

va = Q / A1
va = (20 * 10^-3 m^3/s) / (113,1 * 10^-4 m^2) = 1,77 m/s ( nel punto A)

vb = (20 * 10^-3 m^3/s) / (63,6 * 10^-4 m^2) = 3,14 m/s ( nel punto B)

Pa + 1/2 dva^2 + dgha = Pb + 1/2 dvb^2 + dghb

d g hb – d g ha = Pa + 1/2 d va^2 – Pb – 1/2 d vb^2

d g (hb – ha) = Pa  – Pb + 1/2 d va^2  – 1/2 d vb^

 

hb – ha = (Pa – Pb) / (d g) + (va^2 – vb^2) / (2 g)

hb – ha =  (3,5 *10^5 – 3,0 *10^5) / (1000 * 9,8) + ( 1,77^2 – 3,14^2) / 19,6

hb – ha = 5,102 -0,343 = 4,76 m

 

4) Bernoulli e Torricelli: Velocità con cui un fluido esce da un foro di un serbatoio di sezione grande rispetto alla sezione del foro. 

Si trovi il volume d’acqua che in un minuto esce da un’enorme serbatoio attraverso un foro di 1 cm di diametro posto 3 m sotto la superficie libera dell’acqua.

Ci vuole Bernoulli e si ricava il teorema di Torricelli: ( v = √(2 g h).

P1 + 1/2 d v1^2 + d g h1 = Po + 1/2 d vo^2 + d g ho

In alto nel punto zero vo = 0 m/s circa ; ho = h1 + 3 metri; Po = P1 = pressione atmosferica, si semplifica nell’equazione. Perciò rimane:

1/2 d v1^2 + d g h1 = + d g (h1 + 3); anche d = densità, si semplifica

v1 = radicequadrata(2 * g * 3) = radice quadrata(58,8) = 7,67 m/s

( v = radicequadrata(2g(ho-h1) ) è la formula che si usa subito)

Volume = portata * tempo

Area = pigreco * R^2; R = 0,5 cm= 0,5 * 10^-2 m

portata = Area * velocità = pigreco * (0,5 * 10^-2)^2 * 7,67 = 6,024 * 10^-4 m^3/s

Volume = 6,024 * 10^-4 * 60 s = 0,036 m^3 = 36 dm^3 = 36 litri

(1 dm^3 = 1 litro)

Energia: esercizi ed esempi.

energia-meccanica

Domanda sulla conservazione dell’energia:
1) Se un corpo di massa m=10 kg viene lasciato cadere da un altezza h = 10 m, qual è la sua velocità finale? E la sua energia cinetica finale? In virtù di quale legge siamo in grado di calcolare tali valori?
-A. Per la legge di conservazione dell energia abbiamo v=10 m/s. K=200 J.
-B. Per la legge della conservazione dell energia meccanica abbiamo v = 14 m/s. K= 980 J.
-C. Per la legge della conservazione della quantità di moto abbiamo v=14 m/s. K=980 J.
-D. Nessuna delle risposte precedenti.

Risposta B). Per la legge della conservazione dell’energia meccanica:

1/2 m v^2 = mgh

v = radice(2 g h) = radice( 2 * 9,8 * 10 ) = 14 m/s

Ec = 1/2 m v^2 = 1/2 * 10 * 14^2 = 980 J

energi

 

pisa

 

Esercizio 1:

Un modellino di automobile di massa m = 85 g viene spinto lungo una pista orizzontale da una molla di costante elastica k=150 N/m, inizialmente compressa di x =7,8 cm. La guida orizzontale termina con un quarto di circonferenza verticale. Gli attriti sono trascurabili.
1) a che altezza massima arriva il modellino?
2) spiegare se è necessario trattare separatamente i due casi seguenti:
– il modellino esce dal punto più alto della guida;
-il modellino non supera il punto più alto della guida;

mollaSoluzione:

L’energia elastica della molla diventa energia cinetica e poi energia potenziale. L’energia si conserva in assenza di attriti.
x = compressione molla = 0,078 m
1/2 k x^2 = 1/2 * 150 * 0,078^2 = 0,456 J
Energia potenziale U = m g h
m * g * h = 0,456

h = 0,456 /(m * g) = 0,456 / (0,085 * 9,8) = 0,55 m (altezza massima raggiunta)

Se il raggio del quarto di circonferenza è minore di 55 cm, allora il modellino esce dalla guida.
Se il raggio del quarto di circonferenza è maggiore di 55 cm, allora il modellino non esce, si ferma e ridiscende.

 

Teorema dell’energia cinetica :

 Il lavoro che una forza compie quando agisce su un corpo di massa m, libero di muoversi,  è uguale alla variazione di energia cinetica.

 L  = 1/2mv – 1/2mvo2         (L = Ecfin – Eciniz )

   Si ricava da 

L = F · S = m · a ·(1/2 a t2 + vo·t) ;

sostituendo ad a il valore:  a = (v – vo) /t .

L = F · S = m · (v – vo) /t  · (1/2 ((v – vo) /t) · t2 + vo·t)

Esempio 1:

Un automobile di massa m = 1300 kg viaggia ad una velocità Va =10 m/s.  Accelera e in uno spazio S = 200 m la sua velocità diventa Vb = 50 m/s. Calcolare il lavoro  della forza motrice F, l’intensità della forza e l’accelerazione. (Trascuriamo gli attriti).
(ris:  L = 1,56 *10^6 J;  F = 7800 N; a = 6 m/s^2)
auto-rossa-

L = 1/2 * 1300 * (50^2 – 10^2) = 1,56 * 10^6 J
F = L / S = 7600 N;  a = F / m = 6 m/s^2

 

Esempio 2
Un corpo che viaggia alla velocità di 20 m/s, viene fermato da una forza
F =  5 * 10^4 dyn, dopo aver percorso uno spazio di 40 m.
La massa del corpo è?  (Ris.: 100 g)

1 Newton = 10^5 dyn; la dyn è unità di misura C.G.S. che non si usa più.
F = – 5 * 10^4 dyn/ 10^5 = – 0,5 N; è una forza frenante, quindi la poniamo negativa

L = Forza * spostamento = 1/2 m V^2 – 1/2 m Vo^2   
(teorema energia cinetica)
Vfinale = 0 m/s
0 – 1/2 m Vo^2 = – 0,5 * 40
1/2 * m * 20^2 = 20
m = 20 * 2 / 400 = 0,1 kg = 100 g

Se non si conosce il teorema del lavoro = variazione energia cinetica, occorre usare la cinematica, ( è più laborioso).

Leggi del moto uniformemente accelerato:
S = 1/2 * a * t^2 + Vo * t
V = a * t + Vo

a * t + 20 = 0
Ricavi    a = – 20/t e lo sostituisci in S:
40 = 1/2 * (-20/t) * t^2 + 20 * t
40 = – 10 * t + 20 * t
t = 40/10 = 4 s;  tempo per fermarsi.
a = – 20/4 = – 5 m/s^2
m = F /a = – 0,5 / (- 5 ) = 0,1 kg = 100 g.

 

3) In un parco giochi, un bambino di massa m = 25 kg scende per uno scivolo lungo           S = 7,0 m inclinato di 20° rispetto al suolo orizzontale. Considerando un coefficiente d’attrito dinamico kd = 0,30,  determinare il lavoro compiuto dalla forza di attrito e la velocità di arrivo al suolo del bambino supponendo che esso parta da fermo.
scivolo

Fattrito = 0,30 * m g cos20°

Fattrito = 0,30 * 25 * 9,8 * cos20° = 69,1 N

Lavoro F attrito :
L attrito = 69,1 * 7,0 = 483,7 J; questo lavoro è resistente, fa perdere energia, quindi viene considerato negativo.

h = 7,0 * sen20° = 2,39 m = 2,4 m

Lavoro forza peso: L = mgh = 25 * 9,8 * 2,4 = 588,0 J

Lavoro della forza risultante = L – L att = 588,0 – 483,7 = 104,3 J

velocità iniziale vo = 0 m/s;

1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2 = 104,3 J (teorema energia cinetica);

1/2 m v^2 = 104,3 J

v = √(2 * 104,3/25) = 2,9 m/s

4)  1 Joule è l’energia necessaria per sollevare di 1 metro un oggetto che pesa 1 N. Quale oggetto può pesare un Newton?

Il Joule è un’unità di energia o lavoro, molto piccola.

Fpeso = massa * g

g = 9,8 m/s^2 = accelerazione di gravità sulla Terra

Fpeso = 1 N

massa = 1 / g = 1 / 9,8 = 0,102 kg

La forza di 1 Newton corrisponde al peso di 102 grammi di materia qui sulla Terra.

Es: 1 hg di mortadella; circa 100 grammi. (es: un quaderno piccolo).

Se si solleva a velocità costante una massa di 100 grammi per 1 metro si svolge il lavoro di 1 Joule.

1 Joule = 1 / 4,186 = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J;

1 kcal = 4186 J

Esercizi su tensione – reazione vincolare – giro della morte

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fune torri

San Marino, 3 agosto 2019. Funambolo fra le Torri.
316 metri di fune fra prima e seconda torre, una camminata sul vuoto.
La tensione della fune si ottiene conoscendo l’angolo che la fune forma con l’orizzontale quando si flette verso il basso d Y metri sotto l’azione del peso m * g. Dalla foto si può approssimare un valore Y = 2 metri.  senα = 2 / 163 = 0,0122;  m = 70 kg.

2 * T * senα = m * g;  T = m * g / (2 * senα ) = (70 kg) * 9,8 / (2 * 0,0122) = 28115 N.
(Vedi esercizio 5).

Esercizio 1) 

Un blocco di   M=3 kg in quiete su un piano orizzontale con coefficiente d’attrito  μ=0,4, è legato ad una fune ideale; all’altro capo della fune è legata una massa m = 5 kg che scende verticalmente dal piano.
a) Calcolare la velocità della massa m nel momento in cui ha percorso 1,5  metri dal bordo del tavolo piano.

b) Calcolare la tensione della fune fra le masse.

L’ accelerazione delle masse è la stessa, perché i due corpi sono legati e si muovono insieme.

a = Forza risultante /(massa totale)

Forze agenti:
Fattrito agente su M;  Fattr = 0,4 * 3 * 9,8 = 11,76 N (sarà negativa perché frenante)

La forza peso su M, (Mg) viene annullata dalla reazione del piano Fn verso l’alto, (vedere figura sopra).

Forza peso su m:
F(peso m) = 5 * 9,8 = 49 N (questa forza fa muovere i due corpi di moto accelerato).

F risultante = 49 + ( – 11,76) = 37,24 N

a = 37,24 / (3+5) = 4,66 m/s^2

V = a * t + Vo;       Vo = 0 m/s; manca il tempo di caduta.
S = 1/2  a  t^2
t = √(2 * S / a ) = √( 2 * 1,5/4,66) = 0,8 s
V = 4,66 * 0,8 = 3,74 m/s.

b) Per trovare la Tensione, considerare i corpi separatamente e sommare le forze che agiscono su ciascuno.
Forze sul corpo di massa m che cade verticalmente: Peso e tensione, sommate con il loro segno danno la forza risultante su m.

mg – T = ma
T = mg – ma

T = 5 * (9,8 – 4,66) = 5 * 5,14 = 25,7 N

Forze sul corpo M:

T – Fattrito = M * a

T = M * a – Fattrito = 3 * 4,66 + 11,76 = 25,7 N

 

Esercizio 2)

corpi legati

 

a)
μ1 = 0,50;
μ2 = 0,30;  coefficienti d’attrito.

Fattrito1 = m1 * g * 0,50 = 8,0 * 9,8 * 0,50 = 39,2 N

Fattrito2 = m2 * g * 0,30 = 6,0 * 9,8 * 0,30 = 17,64 N
T1 = tensione della fune che traina  in avanti sul corpo 1
T2 = tensione della fune che traina in avanti sul corpo 2;

Sul corpo 2 agiscono T2 in avanti e l’attrito2 che agisce all’indietro:
T2 + ( – m2 * g * 0,30 ) = m2 * a

Sul corpo 1 agiscono T1 in avanti, T2 e l’attrito1 all’indietro

T1 + (- T2) + ( – m1 * g * 0,50) = m1 * a

Sul terzo corpo appeso m, agiscono la tensione T1 verso l’alto e la forza peso m*g verso il basso.
T1 + ( – m * g) = m * a;

se l’accelerazione a = 0, allora il sistema si muove a velocità costante:

T2 – 6,0 * 9,8 * 0,30 = 0

T1 – T2 – 8,0 * 9,8 * 0,50 = 0

T1 – m * 9,8 = 0

T2 – 17,64 = 0;  Allora:

b)  T2 = 17,64 N ;  Tensione della fune sul corpo 2.

Sostituiamo T2 nella seconda equazione.

T1 – (17,64) – 39,2 = 0
T1 – 17,64 – 39,2 = 0

T1 = 17,64 + 39,2 = 56,84 N

T1 = m * 9,8 ;

m = 56,84 /9,8 = 5,8 kg.

c) Se la fune si spezza , il corpo m1 si arresta prima di m2 a causa del maggior attrito agente su m1 pari a 39,2 N ; la fune tra m1 ed m2 si allenta perché m2 continua a muoversi e si ferma dopo m1 a causa del minore attrito pari a 17,64 N.

Esercizio 3)


Sul corpo 1 agisce F//1 ( verso il basso), la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito che agisce in verso contrario al moto;

Sul corpo 2 agisce F//2 ( verso il basso) e la Tensione T ( verso l’alto) e l’attrito;

F//1 = m1 * g sen45°= 1 * 9,8 * 0,707 = 6,93 N
F//2 = m2 * g * sen30° = 4 * 9,8 * 0,5 = 19,6 N
Fattrito 1 = 0,2 * m1 * g * cos45° = 0,2 * 1 * 9,8 * 0,707 = 1,39 N
Fattrito2 = 0,2 * 4 * 9,8 * cos 30° = 6,79 N

Il corpo m2 scende e trascina il corpo m1 verso l’alto.

Forze sul corpo m1 frenanti, negative perché verso il basso, Tensione T positiva verso l’alto.
– F//1 – Fattr1 + T = m1 * a
–  6,93 – 1,39 + T = (1 kg) * a ; accelerazione verso l’alto, positiva

Forze sul corpo m2, si muove verso il basso positivo, Tensione e attrito negative:

+ F//2 –  Fattr2 – T = (4 kg) * a;

+ 19,6 – 6,79 – T = m2 * a ; attrito e Tensione sono forze negative, frenano il corpo 2 che scende
– 6,93 – 1,39 + T = 1 * a
+ 19,6 – 6,79 – T = 4 * a
– 8,32 + T = 1 * a
12,81 – T = 4*a
12,81 – T = 4 * ( – 8,32 + T )
12,81 – T = – 33,28 + 4*T
5T = 46,09T = 46,09 / 5 = 9,2 N

a = – 8,32 + T = – 8,32 + 9,2 = 0,88 m/s^2

T = 1 * a + 8,32;
T = 0,88 + 8,32 = 9,2 N

 

Esercizio 4)

Altalena
altal                 Immagine correlata

La corda di un’ altalena può sopportare una tensione massima di 800 N senza rompersi. Nella situazione iniziale l’ altalena è ferma in posizione verticale, poi viene tirata indietro in modo da formare un angolo di 60° con la direzione verticale. Qual è la massa della persona più pesante che può usare questa altalena?

La massima tensione della corda si ha quando l’altalena passa nel punto più basso a velocità massima

F(tensione) = mg + mV^2/L;     L è la lunghezza della corda

occorre trovare V con la conservazione dell’energia:

mgh = 1/2mV^2

h = L – L * cos60° = L *(1 – 0,5) = 0,5*L

V^2 = 2g * 0,5L

Ftensione = m * g + m *(2g * 0,5L) /L ;     (L si semplifica e non serve).

800 = m * g + m * g

2mg = 800

m = 800/2g = 800 / ( 2 * 9,8) = 40,82 kg

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Esercizio 5): tensione di una fune

Risultati immagini per peso su fune in tensione

Un uomo sul filo ha una massa di 60 kg. Qual è la forza di tensione della fune che lo sostiene, se la fune si flette di 10°?

T = forza di tensione
Forza verso l’alto per sostenere il peso:
T * sen 10* ci dà metà della componente verso l’alto;

2 T * sen 10°  = Fpeso;

T = Fpeso/(2 sen10°) = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N

Oppure con il teorema di Carnot, la forza peso è pari alla forza verso l’alto che è la somma delle due tensioni:

 Fp = √(T^2 + T^2 + 2T^2cos160°);  fra le due tensioni c’è un angolo di 160°

Fpeso =√(2T^2 + 2T^2cos160°) )= √(2T^2 (1 + cos160°) ) ;
Fpeso^2 = 2T^2 (1 + cos160°)

T = Fpeso / ( √(2 (1 + cos160°) )  = 60 * 9,8 / 0,347 = 1695 N.
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Esercizio 6) :  Trave

Una trave di massa 20,0 kg e lunga 3,00 m è incernierata a un muro,
mentre l’altro estremo è tenuto in posizione orizzontale da una fune  di acciaio lunga 5,00 m.
(1) Calcolare la tensione T della fune.
(2) Calcolare le componenti orizzontale e  verticale della reazione R della cerniera al muro.

trave

cos(angolo) = 3/5 = 0,6

angolo che la fune forma con l’asse X:

angolo = cos^-1(0,6) = 53° ; (127° rispetto all’asse X)Somma dei momenti = 0

La forza peso, mg,  agisce verso il basso nel punto medio: r = 1,5 m; La tensione T agisce a distanza 3 m dal punto incernierato.- mg *1,5 + 3 * T * sen35° = 0

– 20 * 9,8 * 1,5 + 1,72 * T = 0

T = 294 / 1,72 = 171 N

Tx = 171 * cos35 = 140 N

Ty = 171 * sen35° = 98 N

Somma delle forze = 0

lungo y:

+ Ty – mg + Ry = 0

Ry = mg – Ry = 196 – 98 = 98 N

lungo x:

Rx = Tx = 140 N

Reazione cerniera al muro:

R = Radice(98^2 + 140^2) = 170,9 N

inclinazione:

tan(angolo) = Ry/Rx= 98 /140 = 0,7

angolo = tan^-1(0,7) = 35°

 

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Esercizio 7):  Un asta rigida omogenea di lunghezza L e massa 5,1 Kg è poggiata
su un sostegno con attrito ed è tenuta in equilibrio tramite una fune
ideale, come mostrato in figura. Calcolare la tensione della fune e
la forza totale esercitata dal sostegno sull’asta.
trave2
Somma dei momenti = 0 Nm
Somma delle forze = 0 NCalcoliamo i momenti rispetto a O; mg = 5,1 * 9,8 = 49,9 N è il peso, verso il basso, r = L/4 da O. La tensione T agisce a 3/4 L da O.- 49,9 * L/4 + T * (3/4) L * sen (180° – 35°) = 0L si semplifica.- 49,9 / 4 + 3/4 * T * 0,574 = 00,430 T = 12,48T = 12,48/ 0,430 = 29,0 N

Tx = T * cos35° = 23,8 N, verso destra

Ty = T * sen35° = 16,6 N, (verso l’alto)

Somma forze verticali:
Reazione sostegno, verso l’alto.

Ry – mg + Ty = 0

Ry = 49,9 – 16,6 = 33,3 N

Rx = Tx = 23,8 N (verso sinistra)

R = radice(33,3^2 + 23,8^2) = 40,9 N
angolo di R:
tan(angolo) = Ry/Rx = 1,399
angolo = 54° (nord – ovest) : 126° con l’asse X.

Esercizio 8) :   Pendolo semplice – Tensione
pendolosempl

Un oggetto di massa 450 g appeso a un filo inestensibile di lunghezza 90 cm, oscilla rispetto alla posizione di equilibrio verticale: quando passa per la posizione di equilibrio, la velocità dell’oggetto è 1,84 m/s.
–  Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso della traiettoria?
–  E quanto vale la tensione quando l’oggetto raggiunge il punto più alto della sua traiettoria?

Nel punto più basso la forza centripeta è la forza risultante:

m * V^2 / L = Tensione – Fpeso

Tensione = m * V^2/L + m * g; ( la tensione è massima)

Tensione = 0,450 * 1,84^2 /0,9 + 0,450 * 9,8 = 6,1 N

Il corpo possiede energia cinetica che diventa energia potenziale nel punto più alto.

E = 1/2 m V^2 = mgh

h = V^2/2g = 0,17 m; (altezza all’estremità dell’oscillazione). L è l’ipotenusa del triangolo rettangolo dove il cateto adiacente all’angolo massimo dell’oscillazione è L – h.

cos(angolo) = (L – h) / L = ( 0,9 – 0,17) / 0,9 = 0,808

angolo = arcos (0,808) = 36°

Nel punto più alto l’oggetto è fermo, non c’è forza centripeta.

Quindi: Tensione = Fpeso * cos(angolo)

Tensione = 0,450 * 9,8 * 0,808 = 3,56 N

Esercizio 9) : Giro della morte – Reazione della rotaia su un carrello.
Un carrello di massa m scende senza attrito da un altezza h percorrendo un binario che in un tratto centrale descrive una circonferenza verticale di raggio R.
Per h=4R.   Determinare:
– la velocità massima raggiunta
– la forza normale N (cioè perpendicolare) che la rotaia esercita sul carrello nel punto più basso della traiettoria circolare. Questa forza è la reazione della pista.
– la forza normale N che la rotaia esercita sul carrello nel punto più alto della traiettoria circolare.

giro della morte        giromorte2

1/2 m V^2 = mgh ; mgh è l’energia che possiede il carrello e che si conserva;

h = 4R

V = √(2gh)

V = √( 2g4R) = √(8gR)

V^2 = 8gR

Nel punto più basso la forza N che la rotaia esercita sul carrello è la somma fra la forza centripeta e la forza peso.

N = mV^2 /R + mg = m 8gR / R + mg = 8mg + mg = 9mg. (Reazione normale della rotaia verso l’alto).

Nel punto più alto la forza perpendicolare N che la rotaia esercita sul carrello è la differenza fra la forza centripeta e la forza peso.

La velocità del carrello V1 diminuisce perché sale a quota h1.

h1 = diametro della circonferenza = 2R.

U = mg4R = energia potenziale iniziale.1/2 m V1^2 + mgh1 = mg4R;

1/2 m V1^2 + mg2R = mg4R;

V1 =√(2 * (g4R – g2R) ) =√( g4R)

N = mV1^2 /R – mg = m 4gR / R – mg = 4mg + mg = 3mg;

(nel punto più alto la reazione della rotaia è verso il basso)

 

Esercizio 10):   Piano inclinato, giro della morte, attrito, energia elastica della molla.

 

giro morte esercizio

1) Energia potenziale iniziale Uo = mgho; ho = 6 m

Uo = 5 * 9,8 * 6 = 294 J

2) L’energia potenziale diventa tutta energia cinetica (in assenza di attrito).

1/2 m v^2 = 294 J

v = radicequadrata(2 * 294/5) = 10,84 m/s;

la velocità v resta costante in orizzontale se non c’è attrito.

3) La traiettoria circolare ha raggio r = 1,5 m; diametro = 3 m.

Nel punto più alto della traiettoria circolare (h1 = 2 * raggio = 3 metri), il carrellino possiede energia cinetica e potenziale. La somma deve fare sempre 294 J, se non c’è attrito.

1/2 * m * v1^2 + m * g * h1 = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + (5 * 9,8 * 3) = 294

(1/2 * 5 * v1^2) + 147 = 294

2,5 * v1^2 = 294 – 147

v1^2 = 147 /2,5

v1 = radice(58,8) = 7,67 m/s ; (velocità nel punto più alto).

4) Reazione R della pista: in alto le forze sono verso il basso e sono Forza peso m * g, Reazione R. La loro somma ci dà la forza centripeta

Fcentripeta = m * g + R

m * v^2/r = m * g + R

R = m * v^2/r – m * g = 5 * 7,67^2/1,5 – 5 * 9,8

R = 196 – 49 = 147 N

5) lavoro L = Fattrito * Spostamento

L = (0,30 * 5 * 9,8) * 10 = 14,7 * 10 = 147 J; questo lavoro è negativo perché la forza è frenante.
(L = – 147 J è l’energia persa per il lavoro della forza d’attrito).

6) L = 1/2 m (v fin)^2 – 1/2 m (v iniz)^2; teorema energia cinetica
Viniziale è la v del punto 2 perché il carrellino scende e ritorna a quota 0 metri;

v iniz = 10,84 m/s

– 147 = 1/2 * 5 * (Vfin)^2 – 1/2 * 5 * 10,84^2

– 147 = 2,5 * (Vfin)^2 – 294

2,5 * (v fin)^2 = 294 – 147

v fin = √(147/2,5) = 7,67 m/s;   (velocità con cui il carrellino arriva sulla molla).

7) L’energia del carrellino diventa energia elastica della molla U = 1/2 K x^2

1/2 * 800 * x^2 = 1/2 m (v fin)^2

x^2 = 147 * 2 / 800 = 0,368

x = √(0,368) = 0,6 m= 60 cm ; (compressione della molla).

Esercizio 11:
Il pilota di un aereo compie il “giro della morte” volando ad una velocità v=600 Km/h e descrivendo una circonferenza di raggio r=500m.
Determinare:
a) qual è il valore dell’accelerazione centripeta alla quale è sottoposto;
b) quanto vale la forza esercitata dal sedile sul pilota quando esso si trova nel punto più alto  A, se la massa del pilota vale 80 Kg;
c) qual è il verso della forza centripeta in A;
d) qual è il verso della forza centripeta nel punto più basso  B;
e) quanto vale in B (punto più basso), la forza esercitata dal sedile sul pilota.

a) v = 600 /3,6 = 167 m/s

ac = v^2/r = 167^2/500 = 55,8 m/s^2

b) Nel punto più alto A le forze agenti sono tutte verso il centro della circonferenza, tutte verso il basso, quindi tutte con lo stesso segno:
Forza peso Fp, Forza di reazione sedile R, Forza centripeta Fc;

La forza centripeta è la forza risultante fra Forza peso e Reazione del sedile.

Fp = 80 * 9,8 = 784 N; verso il basso.

Fcentripeta: Fc = m * ac = 80 * 55,8 = 4464 N (verso il centro della circonferenza).

Fc = Fpeso +  R

R = Fc – Fp = 4464 – 784 = 3680 N ; (reazione del sedile).

c) La forza centripeta è sempre verso il centro della circonferenza, nel punto più alto è diretta verso il basso.

d) La forza centripeta nel punto più basso è verso l’alto.

d) Nel punto più basso B le forze non hanno lo stesso verso come in A: la forza centripeta è verso l’alto.

Fp verso il basso; Fc verso il centro della circonferenza, verso l’alto; R verso l’alto.

Fc = R – Fp

R = Fc + Fp = 4464 + 784 = 5248 N; (la reazione del sedile è maggiore nel punto più basso).

giro

Esercizio 12:
Un corpo di massa  m2 = 4 kg è appeso a un capo di un filo inestensibile e di massa trascurabile che ruota attorno a un cilindro di raggio 9 cm e massa  m1 =12 kg libero di ruotare attorno al proprio asse, mantenuto fisso in posizione orizzontale. L’altro capo del filo è fissato a un punto della superficie del cilindro. Se il corpo cado, il cilindro ruota attorno al proprio asse. Inizialmente il sistema è mantenuto in equilibrio. A un certo istante viene rilasciato e il blocco si muove verso il basso. Calcolare:
a) l’accelerazione del blocco;
b)la velocità angolare del cilindro nell’istante in cui il blocco ha percorso una distanza di 2 m dal punto di partenza;
c) l’energia cinetica totale del sistema nello stesso istante.

carrucola-con-massa

 

 

m2 = 4 kg;   m1 = 12 kg; r = 0,09 m.

T = forza di tensione del filo sul cilindro

Momento della forza: agente sul cilindro : M = r * T

M = I * alfa; alfa = accelerazione angolare;
alfa = a / r
I = momento d’inerzia cilindro = 1/2 * (m1) * r^2;

I = 1/2 * 12 * 0,09^2 = 0,0486 kg m^2

I * a / r = T * r
dividiamo per r, ricaviamo T:

T = I * a / r^2; (tensione verso l’alto, la poniamo negativa con il segno -).

Fpeso = m2 * g = 4 * 9,8 = 39,2 N ( forza peso verso il basso, positiva +)

La forza risultante è verso il basso: Fris = m2 * a

m2 * g – T = m2 * a

m2 * g – ( I * a / r^2) = m2 * a

m2 * g = ( I * a / r^2) + m2 * a

39,2 = a * (I / r^2 + m2)

39,2 = a * (0,0486/8,1*10^-3 + 4)

39,2 = a * (6 + 4)

a = 39,2/10 = 3,92 m/s^2 (accelerazione lineare).

alfa = a / r = 3,92 / 0,09 = 43,56 rad/s

Velocità angolare omega; ω = alfa * t

1/2 * a * t^2 = S metri; ( moto di caduta del blocco da 4 kg)

t = radice(2 * S / a) = radice( 2 * 2 / 3,92) = 1,01 s; (tempo di caduta)

ω = 43,56 * 1,01 = 44 rad/s; (velocità angolare del cilindro)

velocità del blocco che cade:

v = a * t = 3,92 * 1,01 = 3,96 m/s

Energia cinetica blocco E2:

E2 = 1/2 * m2 * 3,96^2 = 1/2 * 4 * 15,68 = 31,36 J

Energia cilindro che ruota E1:

E1 = 1/2 * I * ω^2 = 1/2 * 0,0486 * 44^2 = 47,04 J

E cinetica sistema = E2 + E1 = 31,36 + 47,04 = 78,4 J

 

Esercizio 13:   Una giovane ginnasta ha una massa m=45 kg e si appende all’estremità inferiore di una fune appesa a un soffitto. La corda può sopportare fino a una tensione di modulo 530 Newton, oltre questo valore la fune si spezza. La ginnasta parte da ferma da una posizione in cui la fune forma un angolo alfa con la direzione verticale e comincia oscillare. Trascura l’attrito con l’aria la massa della fune.
Determinare l’ampiezza massima che deve avere l’angolo alfa affinché la fune non si spezzi.

Fpeso = 45 * 9,8 = 441 N

La fune può sopportare 530 N.

Se la ginnasta dondola, nel punto più basso dell’oscillazione la forza risultante deve essere 530. Nel punto centrale dell’oscillazione la tensione è la somma di forza peso più forza centripeta

Ft = mg +m v^2/L

m v^2/L = 530 – 441 = 89 N
L è la lunghezza della corda;

all’estremità dell’oscillazione la ginnasta si solleva di h: l’energia potenziale diventa cinetica nel punto centrale in basso.
m g h = 1/2 mv^2

h = L – L cos(angolo)

v^2 = 2 g L * ( 1 – cos(angolo) )

m v^2/R = 89

m * 2 * g * L * ( 1 – cos(angolo) ) / L = 89; L si semplifica.

( 1 – cos(angolo) = 89 / (m 2 g ) = 89 / (45 * 2 * 9,8)
( 1 – cos(angolo) = 89 / 882

cos(angolo) = 1 – 89/882 = 0,899

angolo = arcos(0,899) = 26° ; (angolo massimo per non rompere la corda).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esercizi sul movimento (cinematica e dinamica)

1. Un auto parte da ferma con un’accelerazione di 2,7 m/s^2. Nello stesso istante un camion con velocità costante 57 km/h la sorpassa. Dopo quanto tempo l’auto raggiungerà il camion? 

camion

 

S1 = 1/2 * a * t^2 ; ( legge del moto uniformemente accelerato dell’auto).

S2 = v * t ; (legge del moto uniforme del camion);

v = 57 * 1000 / 3600 = 57/3,6 = 15,83 m/s; (velocità camion in m/s).

S2 = 15,83 * t.  ( Risolviamo il sistema delle due equazioni del moto S1 ed S2, metodo del confronto).

S1 = S2; ( posizione in cui si trovano insieme, auto e camion).

1/2 * 2,7 * t^2 = 15,83 * t

1,35 + t^2 – 15,83 *  t = 0

t * ( 1,35 t – 15,83) = 0

t1 = 0 s; (soluzione di partenza)

1,35 t – 15,83 = 0

t2 = 15,83 / 1,35 = 11,7  s;  ( tempo in cui l’auto raggiunge il camion).

2.  Uno scooter viaggia alla velocità Vo =  50 km/h.  Quando è a 25 m da un semaforo che diventa rosso, il ragazzo rallenta con un’accelerazione costante di -3,5 m/s². 

– Quanto tempo impiega a fermarsi ?
– Riesce a fermarsi di oltrepassare la linea del semaforo?
– Quanto dovrebbe essere  l’accelerazione costante dello scooter per fermarsi proprio sulla linea del semaforo?
ragazza-scooter            scooter

Vo = 50 km/h = 50 * 1000 / 3600 = 50 / 3,6 = 13,89 m/s

a = – 3,5 m/s^2

Si deve fermare, quindi V = 0 m/s; (velocità finale nulla).

V = a t + Vo

at + Vo = 0

– 3,5 * t + 13,89 = 0

t = 13,89 / 3,5 = 3,97 s (tempo per fermarsi).

Legge del moto uniformemente accelerato per trovare lo spazio percorso:

S = 1/2 a t^2 + Vo t

S = 1/2 * (-3,5) * 3,97^2 + 13,89 * 3,97 = 27,6 m;

(non riesce a fermarsi in 25 metri, percorre più spazio).

Ci vuole maggiore decelerazione.

a * t + 13,89 = 0

a = – 13,89 / t

1/2 a t^2 + 13,89 t = 25

1/2 * (- 13,89/t) * t^2 + 13,89 * t = 25

– 6,95 * t + 13,89 * t = 25

6,95 * t = 25

t = 25 / 6,95 = 3,6 s ; (tempo richiesto per fermarsi).

a = – 13,89 / 3,6 = – 3,86 m/s^2 ; (accelerazione richiesta per fermarsi in 25 metri).

3.  Un’automobile di massa m = 1000 kg viaggia alla velocità iniziale Vo =  90 km/h e in un intervallo di tempo Δt = 20 s rallenta fino a 72 km/h. Qual è la sua decelerazione? Quanto vale la forza frenante?
auto-rossa-

a = ΔV / Δt

a = ( Vfinale – Vo) / Δt

Le velocità vanno in m/s.

Vo = 90 * 1000 /3600 = 90 / 3,6 = 25 m/s

Vfinale = 72 / 3,6 = 20 m/s

Δt = 20 s

a = (20 – 25) / 20 = – 5/20

a = – 0,25 m/s^2

F = m * a

F = 1000 * (- 0,25) = – 250 N; (forza frenante)

 

4. Un aeroplano parte da fermo e accelera sulla pista coprendo 600 m in 12 s. Quanto vale la sua accelerazione in m/s^2 ?

S = 1/2 a t^2

a = 2 * S / t^2 = 2 * 600 / 12^2 = 8,33 m/s^2

 

5. Una auto viaggia alla velocità di 90 km/h e inizia a rallentare. Dopo 18 s raggiunge la velocità di 36 km/h Calcola l’accelerazione media dell’auto in tale intervallo di tempo.

Definizione di accelerazione:

a = ( Vfin – Viniz) / t

Velocità in m/s:

Vo = 90 * 1000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s (V iniziale)

V = 36 / 3,6 = 10 m/s ( V finale)

a = ( 10 – 25) / 18 = – 15/18 = – 0,83 m/s^2 (negativa perché è una decelerazione).

 

6.  Se parto con un missile e tengo sempre una accelerazione di 1 g, 
dopo quanto tempo raggiungerò la velocità della luce?

v = a * t

t = v / a

v = C = 3 * 10^8 m/s

a = g = 9,8 m/s^2

t = 3 * 10^8 / 9,8 = 3,06 * 10^7 secondi

t in ore, 1 ora = 3600 s

3,06 * 10^7 / 3600 = 8503,4 ore

in giorni:

8503,4 / 24 = 354,3 giorni
ci vuole quasi 1 anno. Ma la teoria della relatività dice che non è possibile raggiungere la velocità C.

 

7. Il tempo di caduta di un grave dipende dalla sua massa?

Nella legge del moto accelerato, la massa del corpo non compare.

S = 1/2 a t^2

a è l’accelerazione che dipende dalla forza agente

a = F / m; come si vede la massa del corpo divide la forza.

Nel caso di caduta, F è la forza di gravitazione: F = G * M * m / R^2

a = g

g = F / m = 9,8 m/s^2.

F dipende dalla massa della Terra M, dal raggio della Terra R e dalla massa m del corpo, ma dividendo per m, la massa del corpo che cade si semplifica.

L’accelerazione di gravità si chiama

g = G * M / R^2 = 9,8 m/s^2;  (sulla superficie terrestre).

S = 1/2 g t^2

t = radice(2 * S / g)

la massa m del corpo non interviene.

 

8. Un’ auto viaggia a velocità vo = 18 km/h per un tempo t1 = 30 s, poi accelera con  un’accelerazione a = 1 m/s^2 per un tempo t2 = 15 s. Poi frena e in t3 = 20 secondi si ferma.
Calcolare lo spazio percorso percorso dall’auto. 

vo = 18/3,6 = 5 m/s;   (velocità iniziale).

Per t1 = 30 s l’auto viaggia di moto uniforme ( S = vo * t1).

S1 = 5 * 30 = 150 m

Poi accelera; legge del moto accelerato per t2 = 15 s:  S2 = 1/2 * a * (t2)^2 + vo * t2.

S2 = 1/2 * 1 * 15^2 + 5 * 15 = 187,5 m

La velocità aumenta nel tempo t2 con la legge:

v2 = a * t2 + vo = 1 * 15 + 5 = 20 m/s

In t3 = 20 secondi si ferma:

v finale = 0
a * t3 + v2 = 0

a * 20 + 20 = 0

a = – 20/20 = – 1 m/s^2 decelerazione.

S3 = 1/2 a (t3)^2 + (v2) * t3

S3 = 1/2 * (- 1) * 20^2 + 20 * 20 = 200 m (spazio di frenata).

Spazio percorso:
S = S1 + S2 + S3 = 150 + 187,5 + 200 = 537,5 m

 

9)  Giulio gioca a biglie e tira la sua biglia lungo il piano orizzontale, la biglia si ferma dopo aver percorso uno spazio s = 2,5 metri. Tra il piano orizzontale e la biglia c’è attrito, l’attrito ha un’intensità di 0,45 N e il coefficiente d’attrito è di 0,2. Calcola la massa della biglia,la potenza sviluppata dalla forza d’attrito e la velocità iniziale della biglia (con il teorema dell’energia cinetica).

piste-in-sabbia

m = Fattrito / ( 0,2 * g) = 0,45 / (0,2 * 9,8) = 0,23 kg(circa).

Lavoro = F * S = – 0,45 * 2,5 = – 1,125 J ( lavoro resistente dell’attrito che è una forza frenante, quindi contraria allo spostamento).

L = 1/2 m v^2 – 1/2 m vo^2; v finale = 0 m/s

– 1,125 = 0 – 1/2 * 0,23 * vo^2; cambiamo segno.

1,125 = 1/2 * 0,23 * vo^2

vo = radicequadrata(2 * 1,125 / 0,23 ) = 3,13 m/s

Potenza = L / t

t = tempo per fermarsi; moto decelerato; a = Fattrito / m = – 0,45 / 0,23 = – 1,96 m/s^2

v = a * t + vo

a * t + vo = 0

t = – vo/a = – 3,13 / (- 1,96) = 1,6 s

potenza in valore assoluto, senza segno negativo:

P = 1,125 / 1,6 = 0,7 Watt ; ( è una potenza dovuta al lavoro di una forza che trasforma l’energia cinetica in energia termica).