Esercizi di termodinamica- cicli. Legge di Mayer

  1. Un gas biatomico compie un ciclo termodinamico costituito da tre trasformazioni reversibili:

AB isoterma ,

BC isocora,

CA adiabatica . (vedi figura).

Sapendo che VB = 3 VA, sapendo che il calore specifico di un gas biatomico è : cv = 5/2 R; cp = 7/2 R

calcolare il rendimento η del ciclo termodinamico.

Vb = 3 Va;

Lavoro isoterma: (Ta costante),

LAB = n R Ta ln(3 Va / Va) = n R Ta ln(3).

Gas biatomico cv = 5/2 R; cp = 7/2 R;

gamma = cp/cv = 7/5.



Adiabatica Pc * Vc^gamma = Pa * Va^gamma.

Vc = Vb = 3 Va;

Pb = 1/3 Pa;

Pc = Pa * (Va/Vc)^gamma;

Pc = Pa * (1/3)^(7/5);

Pc = Pa * 0,215

isocora:

Pb/Tb = Pc/Tc;

Tb = Ta;

Tc = Pc * Ta / Pb ;

Tc = 0,215 * Pa * Ta / (1/3 Pa) = 0,215 * 3 = 0,645 * Ta.

Lavoro adiabatica = – cv n (Ta – Tc) = 

= – 5/2 R n (Ta – 0,645 Ta) = – 5/2 R n Ta * 0,355;

rendimento η = L / Qassorbito.

Q assorbito solo nell’isoterma da A a B.

η = [n R Ta ln(3) – 5/2 R n Ta * 0,355] / n R Ta ln(3) ;

n R Ta si semplifica, resta:

η = [ln(3) – 5/2 * 0,355] / ln(3) = (1,1 – 0,89) / 1,1;

η = 0,21 / 1,1 = 0,19 = 19%.

Trasformazioni termodinamiche:

Trasformazione isoterma: P1 V1 = P2 V2; Q = L = n R T ln(V2/V1)
Adiabatica: Q = 0 J. P1 * V1^gamma = P2 * V2^gamma; L = – DeltaU = – cv n DeltaT.
Isocora: L = 0 J ; P1/T1 = P2/T2. L = DeltaU = cv n DeltaT.

ISOBARA – Legge di Mayer

Isobara: P = costate. Q = L + DeltaU = P * DeltaV + cv n DeltaT.

Lavoro nell’isobara per un gas monoatomico cv = 3/2 R J/Kmol:

P * DeltaV = n R DeltaT; per la legge dei gas perfetti.

Q = L + DeltaU = n R DeltaT + cv n DeltaT;
Q = n R DeltaT + 3/2 R n DeltaT;

R + 3/2 R = 5/2 R = cp calore specifico a pressione costante.

cp = cv + R; Legge di Mayer.

Q = cp * n * DeltaT.

2) Una macchina termica ha un rendimento che vale 8,4 %, pari al 72 % di quello di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature, la cui differenza è di 35°C.

> calcolare le temperature delle due sorgenti ;

> calcolare il coefficiente di prestazione di un frigorifero che operi invertendo il ciclo della macchina termica ideale di Carnot.

0,72 * (r Carnot) = 0,084;

r Carnot = 0,084 / 0,72 = 0,12 (rendimento macchina di Carnot).

T2 – T1 = 35°C; una differenza di 35°C rimane 35 K anche in Kelvin perché le due scale sono centigrade.

(T2 – T1) / T2 = 0,12

35 / T2 = 0,12;

T2 = 35 / 0,12 = 292 K; (circa = 2,9 * 10^2 K)

T2 – T1 = 35;

T1 = 292 – 35 = 257 K; ( circa = 2,6 * 10^2 K).

Il coefficiente di prestazione è l’inverso del rendimento.

cop = T1 / (T2 – T1) = 257 / 35 = 7,3.

Ciclo di Carnot: due isoterme + due adiabatiche; massimo rendimento che dipende dalle due temperature in gioco: rendimento = (T2 – T1) / T2

3) Un recipiente cilindrico contiene 11 * 10^23 atomi di neon.
Il gas si espande isotermicamente alla temperatura di 350 K fino a raggiungere un volume pari al doppio di quello iniziale. Successivamente viene riscaldato di 20°C mantenendo la pressione costante di 1,1 atm.

– Calcolare il lavoro svolto durante tutta la trasformazione.

– Calcolare la variazione di energia interna totale.

– Calcolare il calore totale assorbito o ceduto.

Isoterma AB + isobara BC.

gas neon, è un gas raro.

  MM = 20,18 grammi (ha 10 protoni  e 10 neutroni, totale 20 particelle pesanti).

N = 11* 10^23 atomi;

numero di moli: 

n = N / (N avogadro) = 11 * 10^23 / 6,022 * 10^23;

n = 1,83 moli di gas neon, il gas è monoatomico.

R = 8,31 J/molK;

cv = 3/2 * R J/molK; cp = 5/2 * R J/molK;

Isoterma AB:  Q = L = n R T ln(V2/V1);

V2 = 2 V1;  V2 / V1 = 2;

L AB = 1,83 * 8,31 * 350 * ln(2) = 3689 J = 3,7 kJ.

P = 1,1 atm = 1,1 * 1,013 * 10^5 Pa = 1,114 * 10^5 Pa;

TB = 350 K

L’aumento di DeltaT = 20°C è lo stesso anche in Kelvin.

TC = 350 K +DeltaT = 370 K;

Q isobara = L + DeltaU = P * DeltaV + cv n DeltaT;

P * DeltaV = n R DeltaT 

Lavoro isobara = n R (Tfin – To) =1,83 * 8,31 * (370 – 350);

L isobara = 304,15 J = 0,304 kJ;

Lavoro = 3,7 + 0,304 = 4,0 kJ; (lavoro totale).

DeltaU isoterma = 0 J perché non aumenta la temperatura.

DeltaU Isobara = cv n DeltaT = 3/2 * 8,31 * 20 = 249 J;

Q isobara = L + DeltaU = 304 + 249 = 553 J;

Q isoterma = L = 3689 J;

Q assorbito = Q isoterma + Q isobara,

Q ass = 3689 + 553 = 4242 J = 4,24 kJ. 

Esercizi sul moto rettilineo, moto di un grave lanciato verso l’alto.

Legge del moto rettilineo uniforme: v = costante.

S = v * (t – to) * So.

Legge del moto uniformemente accelerato:

v = a * (t – to) + vo;   (legge della velocità).

a = (v – vo) / (t – to);  (accelerazione).

S = 1/2 a t^2 + vo * t * So;   (legge dello spazio percorso).

Berlino, oro e record del mondo nei 100 m per Usain Bolt: 9″58.

Il precedente primato Bolt lo aveva ottenuto alle Olimpiadi di Pechino del 2008 correndo in 9,69 s. Argento per l’americano Tyson Gay in 9,71 s, bronzo per l’altro giamaicano Asafa Powell in 9,84 s

finale dei 100 m a Berlino – 16 agosto 2009.

L’accelerazione è la variazione di velocità nell’unità di tempo:

a = (v-vo) / (t – to)     si misura in m/s^2.

Il 16 agosto 2009 a Berlino, Bolt ha corso i 100 m in un tempo t = 9,58 s, record del mondo.

1) Calcolare la velocità media in m/s e in km/h. 

v media = s/t = 100 / 9,58 = 10,44 m/s.

  ( Ris :  10,44 m/s; 37,58 km/h).

Ma Bolt ha raggiunto una velocità finale molto maggiore.

Supponendo che Bolt abbia mantenuto un moto accelerato per un tempo t1 = 4 s e che  il suo moto sia stato uniforme per il rimanente tempo t2 = 5,58 s,

  • calcolare l’accelerazione a,
  • lo spazio S1 di accelerazione,
  • la velocità raggiunta alla fine della fase di accelerazione,
  • lo spazio S2 percorso con tale velocità.

Ris :  ( a =3,3 m/s^2; S1 =26,4 m; V = 13,2 m/s = 47,5 km/h: S2 = 73,7 m).

Impostare il seguente sistema: 

S1 = 1/2  a  t1^2   ;                S1 = 1/2 * a * 4^2 = 8 * a;

S2 = V * t2                               S2 = 5,58 * v

v = a * t1                                 V = 4 * a

S1 + S2 = 100                          

Soluzione:

S1 = 1/2 a t1^2; (moto accelerato).

S1 = 1/2 a * 4^2;

S1 = 1/2 * a * 16 ;S1 = 8 * a;

S2 = v * t2; (moto uniforme).

S2 = 5,58 * v ;

v = a * t1 ;

v = a *4, (velocità raggiunta nei primi 4 secondi).

S2 = 5,58 * a * 4 = 22,32 * a;

S1 + S2 = 100;

8 * a + 22,32 * a = 100;

30,32 * a = 100;

a = 100 / 30,32 = 3,3 m/s^2;

v = a * t1 = 3,3 * 4 = 13,2 m/s; (velocità raggiunta);

in km/h: v =  13,2 m/s = 13,2 * 3,6 = 47,52 km/h.

S1 = 8 * 3,3 = 26,4 m;

S2 = 100 – 26,4 = 73,6 m.

Esercizio 1

Attachment image

vo = 0 m/s;

v = 97,2 km/h = 97200 m / 3600 s = 97,2 / 3,6 = 27 m/s;

a = (v – vo) / t = 27/9,00 = 3 m/s^2; accelerazione.

v = 3 * t, con t da 0 s a 9,00 s.

S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 3 * 9^2 = 121,5 m; (Spazio percorso).

Poi moto uniforme, con v = 27 m/s:

S = v * t;

t = S / v = 297 /27 = 11,00 s. (Tempo di moto uniforme).

ultimo tratto decelera: a = – 1,5 m/s^2; v finale = 0.

v = a * t + vo;

v = – 1,5 * t + 27;

– 1,5 * t + 27 = 0;

t = 27/1,5 = 18,00 secondi; (tempo per fermarsi).

S = 1/2 * (- 1,5) * 18^2 + 27 * 18 = 243 m; (spazio di frenata).

Tempo totale = 9,00 + 11,00 + 18,00 = 38,00 s.

S totale = 121,5 + 297 + 243 = 661,5 m.

Grafico del moto: velocità – tempo.

Lo spazio percorso in metri è dato anche dall’area sotto il grafico, (area del trapezio):

S = (38 + 11) * 27 / 2 = 661,5 m.

moto

Esercizio 2

Scrivere la legge della velocità per il moto rappresentato dal grafico in figura.

– Calcolare la distanza percorsa nell’intervallo di tempo fra 1,0 s e 2,0 s.

Soluzione= 20 m

Attachment image

La velocità aumenta nel tempo, c’è accelerazione costante.

vo = 5 m/s;      v finale: v = 25 m/s.

a = (v – vo) / (t – to) = (25 – 5) / (2,0 – 0);

a = 20/2,0 = 10 m/s^2;

v = 10 * t  + 5;  legge del moto per la velocità.

Lo spazio lo si può calcolare come area sotto il grafico della velocità. E’ l’area di un trapezio: le basi sono le velocità, l’altezza è il tempo.

v1= 10 * 1 + 5 = 15 m/s;

v2 = 10 * 2 + 5 = 25 m/s; come si legge dal grafico.

S = (v1 + v2) * (t2 – t1) / 2 = (15 + 25) * 1,0 / 2 = 20 m.

Oppure con la legge del moto dello spazio:

S = 1/2 a (t- to)^2 + vo * (t – to).

vo  al tempo 1,0 s = 15 m/s;

S = 1/2 * 10 * (2,0 – 1,0)^2 + 15 * 1,0 = 5 * 1,0 + 15 = 20 m.

Esercizio 3

La legge oraria di una persona che si sta muovendo in bicicletta è:

x= 6,0 m + (4,5 m/s) * t.

a. Dove si trova la bicicletta al tempo  t = 2,0 s?

b. Per quale valore del tempo t, la bicicletta si trova in x = 24 m?

x = xo + v * t ; legge del moto.

a) t = 2,0 s:

x = 6,0 + 4,5 * 2,0 = 6,0 + 9,0 = 15 m; posizione della bici.

b) x = 24 m; trovare il tempo t.

6,0 + 4,5 * t = 24;

4,5 * t = 24 – 6,0;

4,5 * t = 18;

t = 18 / 4,5 = 4,0 secondi.  ( Dopo 4 secondi la bici ha percorso 18 metri, aggiungendo i 6,0 m della posizione iniziale, la bici si troverà a 24 m).

Esercizio 4

Quanto è lungo un treno (dalla motrice fino all’ultimo vagone) se attraversa completamente  un ponte lungo 200 m in 13,0 s, ad una velocità costante di 80,0 km/h?

v = 80 km/h = 80000/ 3600 = 80/3,6 = 22,22 m/s;

S =v * t;

In t = 13,0 s; il treno percorre tutto il ponte, + tutta la sua lunghezza L;

v * t = L + 200.

22,2 * 13,0 = L + 200;

288,6 = L + 200;

L = 288,6 – 200 = 88,6 m, lunghezza del treno.

ponte

Esercizio 5 – quattro semplici esempi a), b), c), d):

a) Un’auto accelera costantemente per 10 s con accelerazione a uguale a 4 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 6 m/s determinare la sua velocità finale.

v = a * t + vo;

v = 4 * 10 + 6 = 46 m/s.

b) Un’auto viaggia a una velocità di 144 km/h. Quanto tempo impiega a fermarsi se i freni forniscono una decelerazione costante di 5 m/s^2 . Quanto spazio percorre prima di fermarsi?

vo = 144 km/h = 144 000 m/3600 s = 40 m/s;

v = – 5 * t + 40;

v = 0 m/s; velocità finale.

– 5 * t + 40 = 0

t = – 40 / (-5) = 8 s; tempo per fermarsi.

Legge del moto:  S = 1/2 a * t^2 + vo t;

S = 1/2 * (-5) * 8^2 + 40 * 8 = 160 m.

c) Un’auto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione uguale a a = 5 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 10 m/s, qual è la sua velocità dopo 3 s ?

v = 5 * 3 + 10 = 25 m/s.

d) Un’automobile parte da ferma con accelerazione costante uguale a 5 m/s^2 .

a) Calcolare la velocità raggiunta dopo 4 s.

b) Calcolare quanto tempo è necessario per raggiungere la velocità di 108 km/h

c) Rappresentare con un diagramma velocità-tempo il moto dell’auto.

v = a * t = 5 * 4 = 20 m/s;

v finale = 108 km/h = 108 000 m / 3600 s = 108 / 3,6 = 30 m/s.

v = a * t;

t = v / a = 30 / 5 = 6 secondi.

5) vo = 288 km/h = 288 / 3,6 = 80 m/s;

v finale  = 0; t = 4 secondi.

a * t + 80 = 0;

a = – 80 / 4 = – 20 m/s^2.

vel-tem

Esercizio 6:

Una particella in moto lungo l’asse delle x si muove con accelerazione costante da x = 2,0 m a x = 8,0 m in un intervallo di 2,5 s.
La velocità della particella a x = 8,0 m è 2,8 m/s.

  • Qual è l’accelerazione durante l’intervallo considerato?
  • Qual è la velocità iniziale?

x = 1/2 a t^2 + vo * t + xo;  (legge del moto accelerato).

xo = 2,0 m;

v = a * t + vo;   (legge del moto accelerato per la velocità).

v = 2,8 m/s;

t = 2,5 s;

vo = v – a * t;

vo = 2,8 – a * t;

8,0 = 1/2 * a * 2,5^2 + (2,8 – a * 2,5) * 2,5 + 2,0;

8,0 – 2,0 = 3,125 * a + 7,0 – 6,25 * a;

6,0 – 7,0 = – 3,125 * a;

a = – 1 / (- 3,125) = 0,32 m/s^2; accelerazione).

vo = 2,8 – 0,32 * 2,5 = 2,0 m/s; (velocità iniziale).

Esercizio 7:

lancio

v = g * t + vo ;

g = – 9,8 m/s^2; (accelerazione di gravità rivolta verso il basso).

– Tempo di salita: è il tempo per raggiungere la quota massima; si pone v = 0 e si ricava t:


g t + vo  = 0

t(salita) = – vo  / g =  -15,00 / – 9,8 = 1,53 s;
altezza massima:
y = 1/2 g t^2 + v * t; (moto accelerato);
y max = 1/2 * (-9,8) * 1,53^2 + 15 * 1,53 = 11,5 m;
Tempi a 8 metri.
– 4,9 * t^2 + 15,00 * t = 8;
4,9 t^2 – 15,00*t  + 8 = 0;

t = [15 +- radice(15^2 – 4 * 4,9 * 8) ] /(2 * 4,9) ;t = [15 +-radice(68,2)]/9,8 = [15 +- 8,26]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (15 – 8,26) / 9,8 = 6,74/9,8 = 0,69 s; (in salita).

t2 = (15 + 8,26) / 9,8 = 23,26/9,8 = 2,37 s (in discesa).

Tempo di volo. Si pone  y = 0 m.

1/2 g t^2 + v * t = 0;

1/2 * (-9,8) * t^2 + 15,00 * t = 0;

4,9 t^2 – 15,00 t = 0

t * ( 4,9 t – 15,00) = 0

t1 = 0 s; (alla partenza).

t2 = 15,00 / 4,9 = 3,06 s; (al ritorno; t volo = 2 * t salita).

v finale = – 9,8 *  3,06 + 15,00 = – 30,00 + 15,00 = – 15,00 m/s.

Torna a terra con la stessa velocità di partenza cambiata di segno, cioè rivolta verso il basso.

Esercizio 8 :

Un oggetto viene lanciato verticalmente verso l’ alto con una velocità iniziale          vo = 90 km/h.

Determinare i due istanti in cui si trova ad un’altezza di 30 m dal suolo e qual è la velocità dell’oggetto in tali istanti. 

vo = 90 000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s; (velocità iniziale).

h = 30 m;

1/2 * (- 9,8) * t^2 + 25 * t = 30.

Troviamo il tempo t:

– 4,9 * t^2 + 25 * t – 30 = 0

4,9 t^2 – 25 t + 30 = 0

t = [25 +- radice(25^2 – 4 * 4,9 * 30) ] /(2 * 4,9) ;

t = [25 +-radice(37)]/9,8 = [25 +- 6,08]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (25 – 6,08) / 9,8 = 18,92/9,8 = 1,93 s;

(quando è in salita);

Ripassa a 30 m in discesa:

t2 = (25 + 6,08) / 9,8 = 3,17 s.

v1 = – 9,8 * 1,93 + 25 = + 6,1 m/s, (quando sale).

v2 = – 9,8 * 3,17 + 25 = – 6,1 m/s, (quando scende, stessa velocità però verso il basso).

Esercizio 9:

Un oggetto, lanciato verticalmente verso l’alto, ha una velocità di 18 m/s, quando raggiunge un quarto della sua massima altezza al di sopra del punto di lancio.

  • Qual è la velocità iniziale (di lancio) dell’oggetto?

    Applichiamo la conservazione dell’energia :

    m *g * hmax = 1/2 m vo^2;

    h max = vo^2/(2g);

    l’energia è la stessa in ogni punto.

    m * g * h max = m* g* (hmax/4) + 1/2 * m * 18^2

    la massa m si semplifica;

    g *  vo^2/(2g) = g * vo^2/(8g) + 1/2 18^2

    vo^2 / 2 – vo^2/8 = 162

    3/8 vo^2 = 162

    vo = radice(162*8/3) = radice(432) = 20,8 m/s.

Esercizio 10:

Una biglia di massa 0,5 Kg viene lasciata libera di cadere da una discesa di altezza incognita. Sapendo che la biglia alla fine della discesa raggiunge una velocità di 1,5 m/s, determinare l’altezza della discesa.

La biglia parte da ferma, poi accelera per l’accelerazione di gravità g = 9,8 m/s^2.

Con la conservazione dell’energia:

Energia potenziale iniziale = Energia cinetica finale.

m g h = 1/2 m v^2;

h = v^2/(2 * g) = 1,5^2 / (2 * 9,8) = 0,11 m = 11 cm.

m g h è l’energia potenziale.

1/2 m v^2 è l’energia cinetica.

Se non si conosce la conservazione, allora utilizziamo le leggi del moto accelerato:

v = g * t;

v = 9,8 * t;

t = v / 9,8 = 1,5/9,8 = 0,153 s ( tempo di caduta)

h = 1/2 * g * t^2; 

h = 1/2 * 9,8 * 0,153^2 = 0,11 m.

Flusso del campo magnetico – Forza elettromotrice indotta. Campo di una spira. Esercizi.

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La legge di Faraday descrive il manifestarsi di una  forza elettromotrice causata dal moto di una spira in un campo magnetico, e descrive la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.

L’intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire. E’ questa variazione che genera la f.e.m. indotta.

 Il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola come il flusso del campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

ΦB = B *A * cosα;
flusso supflussosup2

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A.

B = B * dA;
ΦB = d ΦB.

L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m2

Legge di Faraday-Neumann: la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

f.e.m. = – dΦ / dt.

Esempio 1:

Una barra di lunghezza L = 2 m si muove alla velocità v = 20 m/s chiudendo un circuito di resistenza complessiva pari a R = 5 Ω come in figura.

Nel piano dove si muove la barra è presente un campo magnetico ortogonale al piano, uniforme e diretto verso l’alto verso l’alto con intensità B = 0,5 T.

Calcolare

1) Modulo della forza magnetica sulla barra L.

2) Potenza dissipata sulla resistenza R.

Attachment image

f.e.m. indotta = – (Δ Φ)/Δ t; 

(legge dell’induzione di Faraday, terza legge di Maxwell).

[flusso del campo B] = B * Area.

L’area attraversata da B varia nel tempo, la barra percorre una distanza S = v *Δ t, che cresce nel tempo, quindi il flusso aumenta:

Area = L * S = L * v * Δ t:

Area = 2 * 20 * Δ t = 40 * Δ t

f.e.m. indotta ε = – B * 40 * Δ t / Δ t;

ε = – 0,5 * 40 = – 20 V; (segno – perché la forza elettromotrice si oppone alla variazione del flusso).

Prendiamo il valore assoluto:

i = V / R = 20 / 5 = 4 A;

F = i B L = 4 * 0,5 * 2 = 4 N; (verso l’alto del foglio).

Potenza:

P = i^2 * R = 4^2 * 5 = 80 Watt;

oppure P = V^2/R = 20^2/5 = 80 W.

Esempio 1 bis:

Un magnete viene avvicinato rapidamente ad una spira circolare di raggio 50 cm. Se l’intensità del campo magnetico attraverso la bobina passa da 500 mT a 100 mT in 0,25 s,  quanto vale la forza elettromotrice indotta?

f.e.m. = – delta(ΦB)/deltat

ΦB = B * S = B * pgrecoR^2

delta(ΦB) = (100 *10^-6 – 500 * 10^-6) * 3,14 * 0,5^2 = – 400 * 10^-6 * 0,785= -3,14 * 10^-4 Wb (Tesla * m^2)

f.e.m. = – ( – 3,14 * 10^-4) /0,25 = 1,26 * 10^-3 Volt.

Esempio 2:

Attachment image

f.e.m. (indotta) = – (Delta Φ) / (Delta t)

Il Flusso del campo B varia da Φo = 0 Tm^2 iniziale fino al valore finale quando tutta l’area è all’interno del campo:

area finale = 4 * 4 = 16 cm^2 = 16 * 10^-4 m^2.

Flusso finale  Φ = B * Area = 4,50 * 10^-4 * 16 * 10^-4 =

= 7,20 * 10^-7 Tm^2.

Delta Φ = 7,20 * 10^-7 Tm^2 – 0;

Delta t = S / v = 4,00 cm / (1,00 cm/s) =  4,00 secondi.

V = – 7,20 * 10^-7 / 4,00 = – 1,80 * 10^-7 Volt.

Esempio 2 bis:

Una bobina rettangolare è formata da 12 avvolgimenti. Le sue dimensioni sono 15 cm larga e 5 cm alta. La sua resistenza totale è di 2 ohm . Un campo magnetico di 2,50 T è diretto perpendicolarmente al piano della bobina.Il campo magnetico viene ridotto ad un valore di 1 T in 3 ms . Trovare la corrente indotta nella bobina.

forza elettromotrice indotta = f.e.m.

f.e.m. = – deltaΦ/delta t

Flusso: Φ = B * area * numero di avvolgimenti ;

area in m^2 Area = 15 * 5 = 75 cm^2 = 75 * 10^-4 m^2

deltaΦ = (B1 – Bo) * area * N = (1 – 2,50) * 75 * 10^-4 * 12 = – 0,135 Weber

f.e.m. = 0,135 / (3 * 10^-3) = 45 Volt

corrente indotta:

i = f.e.m. / R = 45/2 = 22,5 Ampère.

Esempio 3:

Attachment image

Area di una spira = 3,14 * (0,025)^2 = 1,96 * 10^-3 m^2

Flusso: Φ = B * Area.

f.e.m. = N * (DeltaFlusso)/ Deltat

Delta Φ / Delta t =

= (0,50 – 0,15) *(1,96 * 10^-3 /(3,2 * 10^-3 s) = 0,214 V;

Per N spire:

f.e.m. = N * 0,214 = 30 * 0,214 = 6,4 V.

i = f.e.m. / R = 6,4 / 10 = 0,64 A .

Campo al centro di una spira percorsa da corrente i :

B = μo * i / (2 R);

μo = 1,26 * 10^-6 T m/A =   permeabilità magnetica del vuoto.

spira2

campospira

Esempio 4):  Campo al centro di due  spire.

Due spire circolari, entrambe di raggio R = 10 cm, sono disposte perpendicolarmente fra loro e sono percorse da correnti di uguale intensità. Sapendo che l’induzione magnetica B risultante nel centro comune delle due spire è 4,4 * 10^−5 T,

  • calcolare l’intensità di corrente che percorre le due spire.

B = μo * i / (2R); campo al centro di una spira, perpendicolare alla spira.

μo = 1,26 * 10^-6 Tm/A.

Se le due spire sono perpendicolari anche i due campi B1 e B2 sono perpendicolari fra loro.

B1 = B2; se la corrente è la stessa.

La somma si ottiene con il teorema di Pitagora;

B ris = radice(B^2 + B^2) = B * radice(2) = 4,4 * 10^-5 T;

B = 4,4 * 10^-5 / radice(2) = 3,11 * 10^-5 T; (campo di una sola spira).

R = 0,1 m; raggio di una spira.

μo * i / (2R) = 3,11 * 10^-5;

i = 3,11 * 10^-5 * 2 R / μo =

= 3,11 * 10^-5 * 2 * 0,1/1,26 * 10^-6  = 4,94 A; (circa 5 A).

i = 5 A.

Esercizi semplici sulla rifrazione della luce. Angolo limite

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prismaPrisma – Spettro della luce bianca, rifrazione nel vetro.

rifrazione (1)

  1. In un materiale di composizione ignota la luce viaggia a 2,6 * 10^8 m/s. Un raggio di luce che viaggia nell’aria colpisce il materiale con un angolo di 45°.
    – Calcolare l’angolo di rifrazione del raggio.

sen i / senr = v1/v2;    (legge della rifrazione).

v1 = c = 3 * 10^8 m/s; velocità della luce in aria o nel vuoto.

v2 = 2,6*10^8 m/s; velocità della luce nel materiale.

sen45° / sen r = 3 * 10^8 / 2,6*10^8

sen45° / sen r = 3/2,6;

sen r = sen45° * 2,6/3 = 0,707 * 0,866 ;

sen r = 0,613;

r = sen^-1 (0,613) = 37,8° = 38°.

rifrazione (1)

2.  La velocità di propagazione di un raggio di luce in una soluzione è 1,95 * 10^8 m/s.

  • Qual è l’indice di rifrazione della soluzione?
  • Calcolare  il valore dell’angolo limite rispetto all’aria.

n21 = v1/v2;   indice di rifrazione della soluzione rispetto al primo mezzo(aria).

v1 = c;

n21 = 3 * 10^8 / 1,95 * 10^8 = 1,54.

Angolo limite L: il raggio parte dalla soluzione e non riesce a passare nell’aria, rifrange a 90°.

senL/ sen90° = 1 / 1,54;

1 è l’indice di rifrazione dell’aria, 1,54 è l’indice di rifrazione della soluzione.

sen L = 0,649,

L = sen^-1(0,649) = 40,5°.

riflessione-totale

 

3. Un raggio luminoso penetra in una soluzione biologica con un certo angolo e viene rifatto con un angolo di 45,0°. Sapendo che l’indice di rifrazione è 1,25,

  • determinare l’angolo di incidenza.
  • Qual è la velocità di propagazione della luce nella soluzione?

sen i / sen45° = n2 / n1 ; (legge della rifrazione).

sen i / sen45° = 1,25 / 1

sen i = 1,25 * sen45° = 0,884

i = sen^-1(0,884) = 62,1°

n = indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto all’aria: n  = v1/v2

n = c / v2 = 1,25

v2 = c / 1,25 = 3 * 10^8 / 1,25 = 2,4 * 10^8 m/s.

Elettroforo di Volta

elettroforo

L’elettroforo, detto anche elettroforo di Volta, è un generatore  elettrostatico in grado di accumulare una piccola quantità di  carica elettrica. Ideato da Alessandro Volta intorno al 1775  durante i suoi studi sull’elettricità  ha anche ora utilità didattica.

È costituito da un disco di materiale conduttore (chiamato scudo, di solito di alluminio) che si impugna attraverso un manico isolante e viene utilizzato in abbinamento ad una superficie in materiale isolante, per esempio ebanite  o anche materiale plastico e ad un panno di lana con cui si strofina energicamente il disco isolante.
Il disco isolante si carica  negativamente in quanto la lana gli cede elettroni. Sul disco isolante si pone il disco metallico.

Sul disco metallico posto sull’isolante si separano le cariche. L’isolante di solito si elettrizza negativamente quindi nel disco metallico posto sopra, gli elettroni si allontanano e vengono in superficie;

quando tocchiamo con un dito il disco metallico, gli elettroni migrano nel nostro corpo e il disco resta carico positivamente perché gli abbiamo portato via una certa quantità di elettroni.

Quando il disco è scarico, lo rimettiamo sul disco isolante e ripetiamo l’operazione, il disco metallico si carica  di nuovo.

elettrof1

 

 

 

Esercizi su intensità di corrente

  1. Un conduttore è percorso da una corrente i = 3,2 µA.
    Il numero di elettroni che attraversa una sezione trasversale qualsiasi del conduttore in 100 s è:

a) 5,1*10^-23

b) 5,1*10^15

c) 2,0*10^15

d) 2,0*10^-23.

(Indicare la risposta corretta e giustificarla).

i = 3,2 * 10^-6 A = 3,2 * 10^-6 C/s

e- = 1,602 * 10^-19 C (carica di un elettrone).

i / e = numero di elettroni /secondo;

3,2 * 10^-6 / 1,602 * 10^-19 = 2,0 * 10^13 elettroni/s;

N (in 100 secondi) = 2,0 * 10^13 * 100  = 2,0 * 10^15 elettroni ;

risposta c).

 

2.  Un filo elettrico è attraversato da 6,0 * 10^18 elettroni in un minuto.

  • Qual è l’intensità di corrente che attraversa il filo?
  • Quanta carica attraversa il filo elettrico in un giorno?

risultati:  16 mA ; 1,4 * 10^3 C;

i = Delta Q / Delta t

 
DeltaQ = n * e = 6,0 * 10^18 * 1,602 * 10^-19 Coulomb.
 
DeltaQ = 0,96 Coulomb
 
Deltat = 1 minuto * 60 s;
i = 0,96 / 60 = 0,016 A = 16 milliA;
 
 
Carica in un giorno:
DeltaQ = i * t
 
t = 24 h * 3600 s = 86400 s
 
Delta Q = 0,016 * 86400 = 1382 C = 1,4 * 10^3 C.
 

 

L’intensità di corrente nei conduttori solidi
L’intensità di corrente elettrica è uno spostamento ordinato di cariche elettriche che si ha in un conduttore quando ai suoi estremi viene applicata una d.d.p.

L’ intensità di corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo; 

      i = Δq/Δt

( E’  la derivata prima, rispetto al tempo della funzione q(t)) .

E’  una grandezza fisica, la sua unita’ di misura è l’ Ampere (A). (Nel sistema internazionale è una misura fondamentale, come il metro, il kg, il secondo). 1 A = 1 C/1sec. I portatori di carica in un metallo sono gli elettroni esterni degli atomi: questi elettroni, delocalizzati, sono liberi di muoversi da un atomo all’ altro. Invece gli ioni positivi occupano i nodi del reticolo cristallino e possono compiere piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio, per agitazione termica, ostacolano quindi il moto delle cariche e sono responsabili della resistenza elettrica  R che gli elettroni incontrano quando si muovono all’interno di un conduttore. Gli elettroni si muovono da punti a potenziale minore, verso punti a potenziale maggiore, in verso contrario al campo (dal – al +).  Per convenzione invece il verso della corrente è quello dal + al – , come se fossero cariche positive a spostarsi. Questo perchè, quando si cominciò a studiare le correnti, non si conosceva ancora l’ esistenza dell’ elettrone, scoperto da    Joseph John Thomson (1856-1940), intorno al 1897. Ebbe il premio Nobel nel 1906.

 

verso convenzionale della intensità di corrente.

 

 

circuitoelettrico1

3) Calcolare il valore dell’intensità di corrente i che scorre in un conduttore dove la velocità di deriva dei portatori di carica (elettroni) è:

vd =2 * 10^-4 m/s e la sezione circolare è S = 5 mm^ 2. [Si ipotizzi che la densità di portatori sia pari a n = 5 * 10^28 elettroni / m^3 ].

i = Q / t = Coulomb/s;

i = e * n * A * vd;

e = 1,602 * 10^-19 C.

e * n = Carica /m^3 = Q/m^3 = Coulomb/m^3

A * vd = Volume/secondo = m^3/s;

i = C / m^3 *  (m^3/s) = C / s = Ampére.

A = 5 mm^2 = 5 * 10^-6 m^2.

i = 1,602 * 10^-19 * 5 * 10^28 * (5 * 10^-6) * 2 * 10^-4;

i = 8,1 A.

Decadimento di una sostanza radioattiva.

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La radioattività, o decadimento radioattivo, è un insieme di processi fisico nucleari attraverso i quali alcuni  nuclei atomici instabili o radioattivi  decadono, in un tempo detto tempo di decadimento, in nuclei di energia inferiore raggiungendo uno stato di maggiore stabilità con emissione di radiazioni ionizzanti rispettando i principi di conservazione di massa ed energia e della quantità di moto. Il processo continua  nel tempo fino a quando gli elementi  prodotti, a loro volta radioattivi, non raggiungono uno stato finale stabile. 

Decadimenti radioattivi

decad

 

Legge del decadimento:

dN/dt = – λ  * t;

λ è la costante di decadimento tipica di ogni sostanza radioattiva. Soluzione dell’equazione differenziale:

N = No * e ^( – λ * t);

 

Oltre alla costante di decadimento λ il decadimento radioattivo è caratterizzato da un’altra costante chiamata vita media. Ogni atomo vive per un tempo preciso prima di decadere e la vita media rappresenta appunto la media aritmetica sui tempi di vita di tutti gli atomi della stessa specie. La vita media viene rappresentata dal simbolo τ, legato a λ dalla relazione:

τ = 1/ λ ;  (tempo di vita media).

Tempo di dimezzamento t(1/2) = τ;
il tempo di dimezzamento ci dice dopo quanto tempo saranno decaduti un numero di atomi pari alla metà del totale ed è legato alla vita media λ.
No/2 = No * e^(- λ * t);
ln(No/2) = ln(No) –  (λ * t)

ln(No) – ln(2) =  ln(No) –  (λ * t) ;

ln(2) = λ * t;
quindi:

 t(1/2) = ln(2) /λ;

λ = ln(2) / t(1/2).

Sostanze che vengono usate in radioterapia.

Lo iodio viene usato per le malattie della tiroide.

Per lo iodio 131:   tempo di dimezzamento = 8,1 giorni; 
λ = ln(2) / 8,1 = 0,693/8,1 = 0,08557
Dopo 1 giorno:
N / No = e^ (- 0,0857 *1) = 0,918 = 91,8%;
Dopo 15 giorni:
N / No = e^(-0,0857 * 15) = 0,277 = 27,7 %
Il samario 153 viene impiegato per trattare le metastasi ossee.
Per il samario 153:  tempo di dimezzamento= 1,95 gg.
λ = ln(2) /1,95 = 0,35546
Dopo 4 giorni:
N / No = e^(- λ * t) = e^(-0,35546 * 4) = 0,241 = 24,1%;
dopo 20 giorni:  N/No = e^(-0,35546 * 20) = 0,00082 = 0,082%.

Il suono (scala dei decibel) – Effetto Doppler esercizi

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,

 

1 )   Livello sonoro  beta = 10 * Log (I / Io); 

(il Logaritmo è in base 10).

I = intensità del suono  in Watt/m^2;

Io = minima intensità udibile = 10^-12 Watt/m^2;

beta = 10 * Log ( 10^-12/10^-12) = 10 * Log(1) = 0 dB

 

Intensità massima:

I max = 10^0 Watt/m^2 =  1 Watt/m^2;

beta = 10 * Log( 10^0 / 10^-12) = 10 * (0 + 12) = 120 dB; (soglia del dolore).

 

 

Se uno strumento musicale a 10 m di distanza genera una sensazione sonora di 45 dB, a 50 m di distanza la sensazione sonora prodotta dallo strumento è di 31 dB ?

 

Verificare.

suggerimento: ricordare che per un’onda sferica I = P / 4 pigreco R^2 .

Se la distanza diminuisce di 5 volte, l’intensità sonora diminuisce di 5^2 = 25 volte. Il livello sonoro diminuirà di 10 Log 25 = 10 * 1,4 = 14    dB.

 

Nuovo livello  beta = 45 – 14 = 31 dB.

Nuova intensità = I / 25 = 10^4,5 * Io / 25;

beta = 10 * Log[(I/25)  / Io) ]= 10 * Log(10^4,5 /25) =10 * 4,5 – 10 Log25

beta = 45 – 10 * Log 25 = 45 – 14 = 31 dB

 

45 = 10 Log( I / 10^-12);

Log( I / 10^-12) = 45/10
I / 10^-12 = 10^4,5
I = 10^-12 * 10^4,5 = 10^(-12 + 4,5) = 10^-7,5 Watt/m^2

I = 3,162 * 10^-8 W/m^2.

P = I * Area sfera = I * 4 * 3,14 * R^2
La potenza diminuisce con il quadrato del raggio.
Se R da 10 m diventa 50 m la potenza diminuisce di 5^2 = 25 volte volte e quindi l’intensità I.
I’ = 10^-7,5 / 25 =  3,162 * 10^-8 / 25 =
= 1,265 * 10^-9 W/m^2;
decibel:
beta = 10 Log(1,265 * 10^-9 / 10^-12);
beta = 10 * [Log1,265 – 9 + 12] ;
beta = 10 * (0,102 -9 + 12) =10 * 3,1 = 31 dB;
beta = 31 dB vero.
2)   Effetto Doppler:
Se un’autoambulanza ci sorpassa, quando siamo fermi ad un semaforo rosso, e il rapporto f1 / f2  tra le frequenze del suono della sirena che percepiamo prima e dopo il sorpasso è pari a 1,2
– qual è la velocità dell’autoambulanza?  ( risultato = 111 km/h).

 

f1 = f * 340 / (340 – v);

nuova frequenza percepita in avvicinamento, aumenta, il suono diventa più acuto.

f2 = f * 340 / (340 + v); in allontanamento la frequenza si abbassa.

v = velocità dell’ambulanza.

340 m/s = velocità del suono.

f1 > f2;

f1 / f2 = 1,2;

[f * 340 / (340 – v)] / [f * 340 / (340 + v)]

( 340 + v) / (340 – v) = 1,2;

340 + v = 1,2 * (340 – v)

1,2 v + v = 1,2 * 340 – 340;

2,2 * v = 68

v = 68/2,2 = 30,9 m/s

v = 30,9 * 3,6 = 111 km/h; (velocità dell’ambulanza).

 

b13ee-doppler2_1

 

 

 

Doppler con ascoltatore in movimento.

vo = v onda sonora;   va = v ascoltatore.

f’ = f * (vo +-va) / vo;

3)  La sirena di un impianto di allarme , installata all’ingresso di un edificio , emette un suono con frequenza f =  5000 Hz . Un motociclista prima si avvicina e poi si allontana dalla sirena alla velocità di 108 km/h . Assumendo come velocità di propagazione del suono nell’aria il valore di 340 m/s ,

di quanto varia la frequenza percepita dal motociclista al passaggio davanti alla sirena?

Di quanto varia, in percentuale , la frequenza del suono udito dal motociclista?

 

v = 108 000 / 3600 = 108 / 3,6 = 30 m /s.

f1 = f * (340 + 30) / 340;

in avvicinamento f1 > f; frequenza percepita in avvicinamento, aumenta, il suono diventa più acuto.

f1 = 5000 * 370 / 340 = 5441 Hz;

f2 = f * (340 – 30) / 340;

in allontanamento la frequenza si abbassa.

f2 = 5000 * 310 / 340 = 4559  Hz.

Al passaggio davanti alla sirena:

(delta f1)/f = + 441 / 5000 = 0,088 = 8,8%

Quando si allontana:

(delta f2) / f = – 441/5000 = – 0,088 = – 8,8%  Hz.

Variazione:  (Delta f) / f = 882/5000 = 0,176 = 17,6%.

 

 

 

 

4) Un’orchestra è formata da 100 strumenti ciascuno dei quali emette un suono avente un’intensità di 60 dB e da 20 coristi ognuno dei quali canta con un’intensità di 65 dB. Calcolare l’intensità totale del suono generato dall’orchestra.

Orchestra-e-Coro

Prima bisogna trovare l’intensità in Watt/m^2, poi sommare.

Io = 10^-12 W/m^2, è l’intensità minima che l’orecchio umano può percepire ed è il punto iniziale della scala in dB = 0 dB.

60 = 10 Log (I / 10^-12);
Log I – Log(10^-12) = 60/10;
Log I = 6 + Log(10^-12) Log I = 6 – 12 = – 6
I = 10^-6 Watt/m^2 (intensità di uno strumento) ;
10 strumenti danno una I = 100 * 10^-6 = 10^-4 W/m^2 ;
I (corista) = 65 dB ;  65 = 10 Log (I/10^-12);
Log I = 65/10 – 12;   Log I = – 5,5;
I (corista) = 10^(-5,5)W/m^2 ;

I(20 coristi) = 20 * 10^(-5,5) W/m^2;
Intensità totale = 10^-4 + 2 * 10^-4,5 = 1,632 *10^-4 W/m^2;
Livello sonoro in dB = 10 Log( (1,632 * 10^-4) /10^-12) = 10 * ( Log1,632 – 4 +12);

Livello sonoro orchestra = 10 * ( 0,213 – 4 + 12) = 10 x 8,21 = 82,1 dB.

 

5)  Esercizio sulla velocità del suono .

suono

 

Un uomo colpisce  con un martello l’estremità una lunga barra di alluminio.

Una donna, all’altra estremità con l’orecchio vicino alla barra, sente il suono del colpo due volte ( una attraverso l’aria e una attraverso la barra) con un intervallo tra i due di 0,12 s. Sapendo che la velocità del suono nella barra è 15 volte maggiore di quella in aria, quanto è lunga la barra? (La velocità del suono in aria è 343 m/s).

V1 = 343 m/s;  V2 = 343 * 15 = 5145 m/s .

S = 5145 * t ;

S = 343 * ( t + 0,12) ; in aria il tempo di percorrenza è maggiore di 0,12 s.

5145 * t = 343 * ( t + 0,12) ;
5145 * t – 343 * t = 41,16;
4802 t = 41,16;
t = 41,16/4802 = 0,0086 s ( tempo di percorrenza del suono nella sbarra).

S = 5145 * 0,0086 = 44 m ( lunghezza della sbarra).

 

 

Interazione fra correnti – Esercizi

 

correnti chesi attr

Esercizio 1)
Un tratto di filo rettilineo AB lungo 40 cm è posto a un’altezza di 0,8 cm sopra un secondo filo, in cui passa una corrente i2  di 30 A. Se questo filo ha una massa di 2,0 g, calcolare direzione e verso della corrente i1  lungo AB che permette di equilibrare il peso del tratto di filo in basso.

F peso = 0,0020 * 9,8 = 0,0196 N

Ci vuole una forza fra i fili attrattiva, verso l’alto che sia uguale in modulo alla forza peso.

Due fili si attraggono se la corrente che circola in essi ha lo stesso verso.

F = ko * i1 * i2 * L / d;     (Legge di Ampère).

μo = 1,26 ·10-6 N/A2 ; (permeabilità magnetica del vuoto)

ko = μo/(2pgreco) = 2 · 10^-7 N/A^2;

d = 0,8 cm = 0,008 m

L = 0,40 m;

i1 = F * d /(ko * i2 * L)

F = 0,0196 N

i1 = 0,0196 *0,008 / (2 * 10^-7* 30 * 0,40) ;

i1 = 65,3 N  nello stesso verso di i2.

 

2) Il primo di due lunghi fili, appoggiati su un piano liscio orizzontale, lunghi ciascuno 6,5 m e paralleli tra loro, trasporta una corrente di 45 A. Questi sono collegati, a metà lunghezza, meccanicamente ma non elettricamente, da una molla a riposo, lunga 5,0 cm con costante elastica k=16 N/m.Vogliamo comprimere la molla di 4,0 mm. Calcola l’intensità e il verso della corrente che dovrebbe scorrere nel secondo filo. Che verso hanno gli elettroni di conduzione nel secondo filo?

F = Ko * i1 * i2 * L / d;   forza fra due fili percorsi da corrente.

Due fili si attraggono se le correnti hanno stesso verso.

Forza di compressione della molla che si deve comprimere di 4,0 mm = 0,004 m:

F = K * x = 16 *0,004 = 0,064 N

Ko = 2 * 10^-7 N/A^2

d = 5 cm = 0,05 m; L = 6,5 m;

i2 = F * d / (Ko * i1 * L)

i2 = 0,064 * 0,05 / ( 2 * 10^-7 * 45 * 6,5) = 54,7 A

La corrente i2 deve avere lo stesso verso di i1, così i fili si avvicinano e comprimono la molla. Gli elettroni si muovono in verso contrario al verso che per convenzione diamo alle correnti. Gli elettroni vanno verso il polo positivo. Noi diciamo invece che la corrente va dal polo positivo + verso il polo negativo -. (Per convenzione).

correnti 2

Forza elettromotrice indotta: f.e.m. = – d Φ / d t

 

3) Due fili rettilinei paralleli, distanti 5,0 cm sono attraversati da due correnti di intensità rispettivamente i1 = 2,50 A e i2 = 5,20 A.

Calcola l’intensità della forza magnetica su un tratto di filo lungo 0,850 m.

F = Ko * i1 * i2 * L / d;   forza fra due fili percorsi da corrente.

ko = μo/(2pgreco) = 2 · 10^-7 N/A^2;
F = 2 * 10^-7 * 2,50 * 5,20 * 0,850 /0,05;
F = 2,21 * 10^-6 / 0,05 = 4,24 * 10^-5 N.

 

4) Un filo conduttore lungo 23,5 cm è posto in una regione occupata da un campo magnetico omogeno B ⃗, le cui linee di campo sono perpendicolari al filo. Nel filo passa una corrente di intensità 3,5 A e su di esso agisce una forza di modulo 2,2 * 10^-4 N

Determina il modulo di B ⃗.

 F = i B L;
B = F / ( i L) = 2,2 * 10^-4 /(3,5 * 0,235)= 2,67 * 10^-4 T =
= 267 microTesla.

 

Esercizi su Macchina di Atwood, tensioni

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  1. macchina di atwood
  • Calcolare anche la tensione T della fune (Ris.: 38 N).
  • Frisultante = m2 g – m1 g ;  (m2 traina il sistema, m2 scende, m1 sale, frena il sistema);

(la massa della carrucola è trascurabile).

Accelerazione:

a = F ris/(m2 + m1)

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

h = 1/2 a t^2; legge del moto accelerato.

Tempo di caduta da h:

t = radice(2 * h / a)

v = a * t ;

v = a * radice(2 * h / a);

Portiamo a sotto radice e semplifichiamo:

v = radice (2 * h * a^2 / a)

v = radice( 2 * h * a),

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

v = radicequadrata[2 * h  * (m2 – m1) * g /(m2 + m1)]

v = radicequadrata[ 2 * g * h * (m2 – m1) / (m2 + m1) ];

Con i dati:

v finale = radice quadrata[2 * 9,8 * 1,2 * (4,1 – 3,7) / 4,1 + 3,7)] =

= radice quadrata[23,52 * 0,4/7,8] = 1,1 m/s; (velocità finale).

L’accelerazione del sistema è:

a = (4,1 – 3,7) * 9,8 / (4,1 + 3,7) = 9,8 * 0,4/7,8 = 0,5 m/s^2

 

  • Se vogliamo trovare la tensione T della fune che collega le due masse occorre considerare separatamente le forze agenti su ciascuna massa.

Su m2 che scende:

+ T verso l’alto,  – m2 * g  verso il basso,  – m * a forza risultante verso il basso.

 

Su m1 che sale: + T verso l’alto,  – m1 * g verso il basso,  + m1 *a verso l’alto.

+ T – m2 * g = – m2 * a

T = m2 *g – m2 * a;
T = m2 * ( g – a) = 4,1 * ( 9,8 – 0,5) = 38 N (verso l’alto).

m2 pesa    m2 * g = 4,1 * 9,8 = 40,2 N > T; quindi m2 scende.

+ T – m1 * g = + m1 * a

T = m1 * (g + a) = 3,7 * (9,8 + 0,5) = 38 N ; la stessa che agisce su m2.

m1 pesa   m1 * g =  3,7 * 9,8  = 36,3 N < 38 N; quindi la tensione lo fa muovere verso l’alto.

 

 

macchina         macchina2

 

2) Consideriamo la macchina con una  carrucola con una sua massa non trascurabile MC che ruota, quindi  dobbiamo considerare il sistema in rotazione.

 

MA > MB.

atwood2

Dopo la rotazione MB è salita della quantità h, MA è scesa della stessa quantità h e la ruota si è mossa di moto rotatorio a velocità angolare ω. Trovare:

– Accelerazione del sistema

– Velocità di impatto di MA o velocità di MB,  (sono uguali dato che sono collegate)

– Tensioni della fune

– Velocità angolare massima.

 

La velocità  angolare della carrucola è legata alla velocità delle masse perché MC ruota mentre MB e MA salgono e scendono con la stessa accelerazione a.

Consideriamo una situazione intermedia, MA sta scendendo e MB sta salendo.

atwood3Per la massa Ma:

Ma  scende, la tensione + TA  è verso l’alto, il peso  – Ma * g  è verso il basso : 

+ TA – Ma * g  = – Ma * a

Per la massa Mb che sale:

+ TB – Mb * g =  + Mb * a

La rotazione  avviene grazie ai momenti delle due tensioni Ta e Tb,

( Momento della forza = braccio * Forza = r * F).

r * Tb positivo, provoca rotazione antioraria;    r * Ta negativo provoca rotazione oraria.

(alfa è l’accelerazione angolare).

α = accelerazione angolare della carrucola = (Delta ω) / Delta t;

 r * Tb – r Ta = – I * α; (rotazione oraria nel caso del disegno.)

α = accelerazione angolare alfa;

a = α * r ; accelerazione lineare.

α = a / r

I = 1/2  Mc * r^2 , (momento d’inerzia del disco pieno, carrucola).  r = raggio carrucola.

 r * Tb – r Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r ;

semplifichiamo per r:

Tb –  Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r^2 ;

Tb – Ta = – 1/2 Mc * a ;

cambiamo segno:

Ta – Tb = 1/2 Mc * a

Abbiamo tre equazioni: le forze verso l’alto, positive, quelle verso il basso negative;

La carrucola ruota in senso orario, r Ta > r Tb; le incognite sono Ta, Tb, a.

 

+ Ta – Ma * g = – Ma * a

+ Tb  – Mb * g = + Mb * a

 Ta – Tb = 1/2 Mc * a;

 

Ta = Ma * g – Ma * a

Tb = Mb * g + Mb * a

Ta = Ma * (g – a)

Tb =  Mb * (g + a);

Ta – Tb = Ma * (g – a) – Mb * (g + a);

1/2 Mc * a = Ma * g – Ma * a – Mb * g –  Mb * a;

1/2 Mc * a  + Ma * a + Mb * a = Ma * g – Mb * g

a = g * [ ( Ma – Mb) /(Ma + Mb + 1/2 Mc) ];

tempo di discesa da altezza h:

h = 1/2 a  t^2;

t = radice (2 * h / a);

velocità di impatto:

v = a * t.

velocità angolare ω = v /  r.

 

Esempio numerico, dati:   Ma = 4,0 kg;  Mb = 2,0 kg;  Mc = 0,6 kg;

raggio carrucola r = 10 cm = 0,1 m;  altezza di discesa h = 1,5 m.

a = (4,0 – 2,0) / (1/2 * 0,6 + 4,0 + 2,0) = 2,0 /6,3 = 0,32 m/s^2

alfa = a / r = 0,32 / 0,1 = 3,2 rad/s^2;

 

Ta = Ma * (9,8 – a) = 4,0 * (9,8 – 0,32) = 37,9 N;

Tb = Mb * ( 9,8 + 0,32) = 20,24 N;

h = 1,5 m;

1/2 a t^2 = h;

t = radicequadrata(2 * h / a) = radicequadrata(2 * 1,5/0,32) = 3,06 s

v = a * t = 0,32 * 3,06 = 0,98 m/s circa 1,0 m/s;  [ v = radice(2 * a * h) = 1,0 m/s].

ω = alfa * t 0 3,2 * 3,06 = 9,8 rad/s;

ω= v/r.

 

Risposta  multipla:

Una macchina di atwood ha appese al filo una massa di 9 kg e una massa di 11 kg. Quale è la loro accelerazione?

a) g/20

b) g/10

c) g/2

d) g/5

 

La massa m1 = 11 kg scenderà e la massa m2 = 9 kg salirà.

Le masse si muovono con la stessa accelerazione a.

Fpeso1 = 11 * g

Fpeso2 = 9 * g

Fris = (massa totale) * a

(massa totale) * a = 11 * g – 9 * g

massa totale = 11 + 9 = 20 kg

20 * a = g * (11 – 9) ;

a = g * 2/20 = 9,8 /10 = 0,98 m/s^2

risposta b) g/10.