Campo elettrico di distribuzione di cariche – Flusso del campo

ρ = Q / Volume; densità di carica

Volume V della ciambella:
V = 4/3 π (2R)^3 – 4/3 π R^3 ;

V = 4/3 π (8R^3 – R^3) = 4/3 π * 7 R^3;

V = 28/3 π R^3;

ρ = 3Q /(28 π R^3) ;

Campo E per r compreso tra R e 2R; 

R < r < 2R

Teorema di Gauss, flusso del campo E attraverso una superficie chiusa che contiene la carica Q interna alla superficie:

Φ(E) = Q interna / εo

Φ(E) =  E * 4π r^2;

E  * 4π r^2 =  Q interna / εo;

E = (Q interna) / ( 4π r^2 εo);   (1)

Q interna = ρ * (Volume interno) = ρ * [4/3 π r^3 – 4/3 π R^3] ;

Q interna = 3Q /(28 π R^3)  * [4/3 π * (r^3 – R^3)];

Q interna = Q * (r^3 – R^3) / (7 R^3);

La (1) diventa:

E (r) = Q * (r^3 – R^3) / (7 R^3 * 4π r^2 εo);

E(r) = Q * (r^3 – R^3) /(28 π εo R^3 r^2);

Differenza di Potenziale ∆V: integrale di E(r) dr,  calcolato tra R e 2R;

∆V = V (R) – V(2R) =  ∫ [E(r) dr;   calcolato tra R e 2R.

∆V  = [Q / (28 π εo R^3)] *  ∫ [(r^3 – R^3) / r^2] dr; calcolato tra R e 2R;

∆V  = [Q / (28 π εo R^3)] *  ∫[r – (R^3 / r^2)] dr =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [∫ r dr – ∫(R^3 / r^2)] dr] =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [(r^2/2) – (- R^3/r)]; calcolato tra R e 2R;

∆V = [Q / (28 π εo R^3)] * [(4R^2/2 – R^2/2) + (R^3 /2R – R^3 / R)] =

= [Q / (28 π εo R^3)] *  [3R^2 /2 + (R^2/2 – R^2)] =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [ [3R^2 /2 – R^2 /2] = 

= [Q / (28 π εo R^3)] * [ R^2 ]  = [Q R^2] / (28 π εo R^3);

∆V = Q / [28 π εo R] .

Forza gravitazionale attrattiva = Forza elettrostatica repulsiva.

La forza di attrazione gravitazionale tra masse così piccole è veramente debole.

Forza di Newton = Forza di Coulomb:

G m^2 / r^2 = K q^2 / r^2 ;  la distanza r si semplifica;

G m^2 = K q^2;

q^2 = G m^2 / K;

G e K sono le costanti; m = 8,5 * 10^-3 kg;

q = radicequadrata[6,67 * 10^-11 * (8,5 * 10^-3)^2 / (9 * 10^9)] =

= radice[6,67 * 10^-11 * 7,225 * 10^-5 / (9 * 10^9)];

q = radice(5,354 * 10^- 25) = 7,317 * 10^-13 C

carica dell’elettrone:  e = 1,602 * 10^-19 C;

numero di elettroni da rimuovere:

n = q / e;

n = 7,317 * 10^-13 / (1,602 * 10^-19) = 4,57 * 10^6 elettroni;

basta rimuovere pochi elettroni, (4,6 milioni) per ottenere una forza che si oppone alla gravità.

rapporto = 4,57 * 10^6 / 8,0 * 10^22 = 5,71 * 10^-17.

Strofinando con un panno di lana, si estraggono gli elettroni dalle sferette e le piccole masse si respingono.

La forza elettrostatica è molto più intensa della forza di gravità.

Effetto Doppler Esercizi

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Esercizi Doppler

• 

  Sorgente in movimento, ricevitore fermo.

Sorgente e osservatore in moto: f’ = fo * [(v  suono +- vA) / [(v suono) – +( v sorgente)].

Esercizio su effetto Doppler

Effetto Doppler Formule;

Con sorgente in movimento che si avvicina:  

1) f’  = fo  * [ (v suono) /[(v suono) – (v sorgente)] ;     

dove v suono è la velocità delle onde nel mezzo e vs   è la velocità della sorgente in avvicinamento. 

Se la sorgente si allontana, la frequenza percepita sarà minore:

2) f’  = fo  *[ (v suono) /[(v suono)  +  (v sorgente)] ; 

Con Ascoltatore in movimento  (nell’esercizio è il secondo treno) :   

Se  l’Ascoltatore si avvicina con velocità vA, la frequenza aumenta, diventa:

3) f’ = fo * [(v suono) + vA) / (v suono);   (sorgente ferma);  la frequenza aumenta.

se l’ascoltatore  si allontana:

4) f’ = fo * [(v suono)  – vA) / (v suono);       la frequenza diminuisce.

Mettendo le  quattro formule insieme avremo:

f’ = fo * [(v  suono +- vA) / [(v suono) – +( v sorgente)].

v suono = 340 m/s;  v sorgente = 36,8 m/s;

Nell’esercizio numero 71 in figura abbiamo la sorgente che si allontana con velocità v1 = 36,8 m/s; (primo treno che emette il fischio)

e abbiamo l’Ascoltatore (secondi treno) che viaggia nello stesso verso  e che si avvicina al primo treno con velocità vA incognita.

Sorgente si allontana, Ascoltatore che si avvicina;

fo = 124 Hz, frequenza emessa dal primo treno;

f’ = 135 Hz; frequenza percepita dal secondo treno, (Ascolatore);

f’ = fo * [(v  suono + vA) / [(v suono) +  ( v sorgente)].

135 = 124 * [(340 + vA) / [340 + 36,8];

135 / 124 = [ 340 + vA] / 376,8;

340 + vA = 1,089 * 376,8;

vA = 410,34 – 340;

vA = 70,3 m/s,; velocità del secondo treno che si avvicina al primo.

Esercizio:

Un’ambulanza che viaggia a velocita v sorgente = 18 m/s con sirena accesa, emette un suono di frequenza fo = 550 Hz. Un ciclista percorre la pista ciclabile a una velocità di vA = 7,2 m/s e si avvicina all’ambulanza.
Trova qual è la frequenza udita dal ciclista.

f’ = fo * [(v  suono +- vA) / [(v suono) – +( v sorgente)].

Ciclista e ambulanza si avvicinano;

Risoluzione: Poiché la sorgente e l’osservatore si stanno avvicinando, utilizziamo il segno più al numeratore e il segno meno al denominatore.

f’ = 550 * [340 + 7,2] /[340 – 18] = 550 * 347,2 / 322;

f’ = 550 * 1,078 = 593 Hz, frequenza percepita dal ciclista

Esercizi su moto parabolico

vD = 72 km/h = 72 000 m / 3600 s = 72 / 3,6 = 20 m/s;

la palla che viene lanciata verso l’alto , mantiene la stessa velocità orizzontale dell’automobile; avrà velocità vox = 20 m/s,

voy = 19,6 m/s; velocità verticale di lancio verso l’alto;

la palla, in assenza di attrito mantiene la velocità vx costante, sale e scende nel tempo di volo t che è il doppio del tempo di salita; la traiettoria è una parabola;

vy = – 9,8 * t + voy; nel punto più alto della parabola vy = 0 m/s;

– 9,8 * t + 19,6 = 0; troviamo il tempo di salita;

t = – 19,6 / (- 9,8) = 2,0 s;

tempo di volo = 2 * 2,0 = 4,0 s;

distanza orizzontale percorsa dalla palla:

x = vox * (t volo);

x = 20 * 4,0 = 80 m; (spazio percorso dalla palla);

L’auto invece si muove per t1 = 2,0 s con velocità v = 20 m/s,

poi decelera con accelerazione  a = -2,0 m/s^2,  per t2 = 4,0 – 2,0 = 2,0 s;

Spazio dell’auto: S = [vo * t1] + [1/2 *  a * t2^2 + vo * t2] ;

S = 20 * 2,0 + 1/2 * (- 2,0) * 2,0^2 + 20 *2,0;

S = 40 – 4 + 40 = 76 m;

L’auto si trova a 76 m, mentre la palla è a 80 m davanti all’auto;

Distanza palla auto:

x – S = 80 – 76 = 4 metri.

Se l’auto non decelerasse, la palla ricadrebbe dentro l’auto, (in assenza di attriti).

Punto c)

Dove si ferma l’auto? Prima percorre vo * 2,0 =  40 metri senza decelerare,

poi decelera e quando v = 0 m/s; si ferma.

v = a * t + vo;   (legge del moto per la velocità);

0 = – 2 * t + 20;

t = – 20 / (-2) = 10 s; l’auto decelerando si ferma in 10 secondi;

Spazio per fermarsi: S = [vo * 2,0] + 1/2 a * 10^2 + vo * 10

S = 20 * 2,0 + 1/2 * (-2) * 10^2 + 20 * 10 ;

S = 40 – 100 + 200 = 40 + 100 = 140 m.

Rappresentazione grafica di Gregorius @gregorius  (da sosmatematica).

Esercizio 2
Un proiettile viene sparato con velocità iniziale vo =  200 m/s e un angolo di lancio di 45 gradi.

a) qual è la sua gittata?
b) quanto tempo dura il suo volo?
c) quale altezza massima raggiunge?

x = vox * t (moto rettilineo uniforme in orizzontale) ;

y = 1/2 g t^2 + voy * t; (moto accelerato in verticale)

voy = Vo senα = 200 *sen45°= 141,4 m/s (velocità verticale iniziale)

vx (velocità orizzontale costante)

vx = vox = vo cosa = 200 *cos45° = 141,4 m/s

vy = g * t + vo sena

g = – 9,8 m/s^2

Tempo di salita: si pone vy = 0

– 9,8 t + 141,4 = 0

t(salita) = – 141,4 / -9,8 = 14,43 s;

tempo di volo: si pone y = 0.

1/2 * (-9,8) * t^2 + 141,4 * t = 0;

– 4,9 * t^2 + 141,4 * t = 0;

t * (- 4,9 * t + 141,4) = 0;

tvolo = 141,4 / 4,9 = 26,86 s; (è il doppio del tempo di salita).

t(volo) = 2 * (tempo salita) = 2 * 14,43 = 28,86 s;

gittata:

x = vox * (tempo di volo) = 141,4 * 28,86 = 4081 m;

h massima, con il tempo di salita:

y = 1/2 * (- 9,8) * 14,43^2 + 141,4 * 14,43 = 1020 m.

Formula veloce:

h max = – voy^2/ 2g = -141,4^2 /-19,6 = 1020 m.

Potenziale elettrico – Differenza di potenziale – Esercizi

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potenziale - differenza di potenziale-esercizi

Il potenziale V  in un punto P del campo elettrico E è l’energia potenziale in quel punto per unità di carica.  

U = energia potenziale di due cariche a distanza r; U = k Q q / r ;

V = U/q si misura in   J/C, l’unità di misura del potenziale  si chiama V (volt). 

La differenza di potenziale ΔV (o d.d.p., o tensione ) VA – VB  tra due punti del campo, è il  lavoro che la forza compie per unità di carica;

è in pratica il lavoro del campo elettrico E.  U e V sono scalari. (U si misura in Joule; V in J/C = Volt).

      V =  U/q = k Q q / (r * q);    (si semplifica q);        
   
allora    V = k Q /r        ;  

VA – VB  = ( UA – UB) /q;

Lavoro L = Forza * Spostamento;

F = E * q; E = F / q;

 

  L = (VA – VA) * q  ; VA – VB  = (F/q) *  S =  E * S   ;

la differenza di potenziale VA – VB  è il lavoro del campo E.

Esercizio su Differenza di Potenziale 1)

Soluzione:
V = Somma algebrica di (k q/r);

r1 = a = 3,0 m; distanza di q da A

r2 = distanza di Q da A, si trova con Pitagora.

r2 = radice(a^2 + b^2) = radice(3,0^2 + 4,0^2) = 5,0 m;

VA = k q/r1 + k Q/r2;

VA = k * (+2,0 * 10^-9) /3,0 + k * (-2,0 * 10^-9 /5,0);

VA = 9* 10^9 * 10^-9 * ( 2/3 – 2/5) = 9 * 0,267 = + 2,4 V.

q dista 5,0 m da B;  Q dista a = 2,0 m da B.

VB = k * (+2,0 * 10^-9) /5,0 + k * (-2,0 * 10^-9 /3,0);

VB = 9 * 10^9 * 10^-9 * (2/5 – 2/3) = 9 * (- 0,267) = – 2,4 V;

VA – VB = + 2,4 – (- 2,4) = + 4,8 V.

Esercizio 2)

Consideriamo un pianeta dove l’accelerazione gravitazionale è la stessa della Terra, ma c’è anche un campo elettrico uniforme e parallelo a quello gravitazionale. Una palla di 1,40 kg e di carica 2,00 C è lanciata verso l’alto da un punto A a una velocità di 120 m/s e raggiunge B, il punto più alto della sua traiettoria, dopo un tempo t = 3,70 s.

Calcolare la differenza di potenziale tra i due punti A e B.

La forza è frenante, verso il basso; la forza risultante ferma la  carica q  ad altezza h;

F peso = m * g = 1,40 * (- 9,8) = – 13,72 N;

a = (v – vo) / t;

accelerazione  a = (0 – 120)/3,70 = – 32,43 m/s^2;

Troviamo l’altezza massima raggiunta  h:

h = 1/2 * a * t^2 +vo * t;

h = 1/2 * (- 32,43) * 3,70^2 + 120 * 3,70;

h = – 222 + 444 = + 222 m; (altezza massima raggiunta).

F risultante = m * a = 1,40 * (- 32,43) = – 45,41 N;

F risultante = m * g + q * E;

Forza elettrostatica; Fe = q * E;

Fe = – 45,41 – (-13,72) = – 31,68 N,

Campo elettrico:

E = Fe / q = – 31,68 / 2,00 = – 15,84 N/C;

Va – Vb  = (Lavoro della Forza elettrostatica) / (carica) = (Lavoro del campo E) / q;

(Il lavoro del campo elettrico è dato da  – DeltaV = V iniziale – V finale).

Va – Vb = (q * E) * h / q = E * h; lavoro del campo elettrico.

L /q = – 15,84 * 222 = – 3516 V = – 3,52 *10^3 V; il campo E frena la carica fa lavoro resistente.

Differenza di potenziale:

Delta V = Vb – Va = + 3,52 * 10^3 Volt.

Le cariche elettriche positive si spostano da un punto a potenziale maggiore verso un punto a potenziale minore.

VA > VB.

Nella realtà le cariche che si trasferiscono sono gli elettroni. Le cariche negative si muovono da potenziale minore verso il potenziale maggiore, (vanno dal – al +).

Per convenzione però si considera la corrente elettrica come un movimento di cariche positive che vanno dal + al – .

Esercizi su gravitazione; Sputnik; stelle binarie; stazione orbitante ISS – Fionda gravitazionale – Problemi ambientali – Macchine – Satellite geostazionario – La cometa di Halley.

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Fionda gravitazionale, Problemi ambientali - macchine, Stazione orbitante - stelle binarie

Sputnik è il nome del primo satellite artificiale messo in orbita dall’ex Unione Sovietica nel 1957. La sua orbita era ellittica e il satellite impiegava 96,2 min a percorrerla. La distanza tra la Terra e il punto più vicino della sua orbita era ℎ min = 215 km.
– Calcola il semiasse maggiore della sua orbita.
– Calcola la distanza tra la Terra e il punto più lontano della sua orbita ℎ max.

G M  m / R^2 = m v^2 / R; legge di gravitazione; forza centripeta;

semplificando m ed R otteniamo:

G M / R =  v^2

R = distanza media dalla Terra :

(R max + R min)/2 = a ; semiasse maggiore dell’ellisse percorsa dal satellite;

v = 2 π R / T;   T = periodo; T = 96,2 minuti = 5772 s;

G M / R = 4 π^2 R^2 / T^2;    [da qui si ricava la terza legge di Keplero: R^3 / T^2 = costante];

G M / R^3 = 4 π^2 / T^2;

R^3 / T^2 = G M / (4 π^2);        R^3 = [G M / (4 π^2)] * T^2;

G * (M Terra) / 4 π^2 = costante;

6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24  / (4 * 3,14^2) = 1,0114 * 10^13; (costante per tutti i satelliti della Terra);

R^3 = 1,0114 * 10^13 * 5772^2;

R^3 = 3,37 * 10^20;

R = radicecubica(3,37 * 10^20) = 6,96 * 10^6 m ; ( R = a;  asse maggiore dell’ellisse);

a = 6,96 * 10^3 km = 6960 km; dal centro della Terra;

h minimo = 215 km dalla superficie terrestre ;

Raggio terrestre =6380 km; (circa)

R minimo = Raggio terrestre + 215 km = 6380 + 215 = 6595 km, distanza minima dal centro della terra,

(R max + R min)/2 = a;

R max = 2 * a – R minimo = 2 * 6960 – 6595 = 7325 km (distanza dal centro della Terra;

togliamo il raggio terrestre, troviamo h max: 

h max = 7325 – 6380 = 945 km; (distanza massima dalla superficie terrestre).

La legge di Keplero vale per il Sole e anche per la Terra che occupa il posto del Sole rispetto ai suoi satelliti; infatti ora ha moltissimi corpi che le girano intorno. Prima c’era solo la Luna, ora ci sono tutti i satelliti artificiali e la nostra spazzatura spaziale.

Esercizio:

Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare di raggio R attorno ad un pianeta di massa M.

Dimostra che la sua energia cinetica è K(R) = G M m / (2 R).

La forza di attrazione gravitazionale che agisce sul satellite è una forza centripeta;

accelerazione centripeta a = v^2 / R;

F = m v^2 /R; (forza centripeta);  (1)

Forza di gravitazione di Newton:

F = G M m / R^2;  (2)

Eguagliamo le due formule:

m v^2 / R  = G M m / R^2;

m v^2 = G M m / R;  se dividiamo per 2 otteniamo l’energia cinetica del satellite, infatti

l’energia cinetica si esprime come K = 1/2 m v^2;

1/2 m v^2  = G M m / (2 R);

l’energia cinetica dipende da R (distanza tra i due corpi), maggiore è la distanza R, minore è l’energia cinetica, il satellite si muove con velocità minore.

K(R) = G M m / (2 R).

Esercizio di cinematica su accelerazione di gravità:

Un astronauta lascia cadere una pallina metallica da un’altezza di 5,00 m. La pallina giunge al suolo con una velocità di 6,09 m/s.

• Calcola l’accelerazione di gravità g sul pianeta.

1/2 g t^2 = h;

g * t = v;

h = 5,00 m;  v = 6,09 m/s.

1/2 g t^2 = 5,00 ;  (1)

g * t = 6,09;  (2)

t = radicequadrata(2 * 5,00 / g);

g * radicequadrata(10,0 / g) = 6,09;

radicequadrata(g^2 * 10,0 /g) = 6,09;

radicequadrata(g * 10,0) = 6,09;  eleviamo al quadrato:

10,0 g = 6,09^2;

g = 37,09/ 10,0;

g = 3,71 m/s^2; accelerazione di gravità sul pianeta.

Stelle binarie : si muovono intorno al loro centro di massa.

Cygnus 61; moto intorno al centro di massa del sistema binario.

Soluzione proposta:

xCM = (MA xA + MB xB)/(MA +MB);

1 U A = 1,5 * 10^11 m; (distanza Terra Sole).

Poniamo xA = 0 UA;

xB = 84 UA;

xCM = 0,63  Ms * 84 / (0,63 + 0,70) = 39,79 UA; il centro di massa è più vicino ad A che é un po’ più massiccia della B.

xCM = 39,79 * (1,5 * 10^11 m) = 5,97 * 10^12 m; partendo da A;

RA = 5,97 * 10^12 m ; (distanza di A dal Centro di Massa CM);

RB = 84 UA – 39,79 UA = 44,21 UA = 6,63 * 10^12 m; (distanza di B dal CM).

La forza di attrazione fra le due stelle è la stessa; legge di gravitazione:

F = G * MA * MB / (R^2); 

R = 84 UA = 1,26 * 10^13 m; distanza fra le due stelle;

La forza è centripeta, verso il centro di massa;

Fcentripeta su A = MA * (omega)^2 * RA; (per la stella A, RA = 5,97 * 10^12 m);

Fcentripeta su B = MB* (omega)^2 * RB; (per la stella B);

Per la stella A:

G * MA * MB / (R^2) = MA * (omega)^2 * RA; (1);

MB = 0,63 * Msole = 0,63 *  2,0 * 10^30 = 1,26 * 10^30 kg;

ricaviamo omega^2; semplifichiamo MA

omega^2 = G MB /(R^2 * RA);

omega^2 = 6,67 * 10^-11 * (1,26 * 10^30) / [(1,26 * 10^13)^2 * 5,97 * 10^12 ];

omega^2 =  8,867 * 10^-20;

omega = radicequadrata( 8,867 * 10^-20) = 2,98 * 10^-10 rad/s;

omega = 2 pigreco / T;

T = 2 pigreco / omega = 6,28 / (2,98 * 10^-10 ) = 2,11 * 10^10 s;

T = periodo  in anni: 1 anno = 365 giorni * 24 h * 3600 s = 365 * 86400 s

T = 2,11 * 10^10 s  / (365 * 86400 s) = 669 anni circa. ( Periodo di rivoluzione intorno al centro di massa).

Esempio: Sirio A e Sirio B, un altro sistema binario:

Consideriamo il moto perfettamente circolare: Fcentripeta = m v^2 / R.

Moto circolare di Sirio A intorno al centro di massa:
mA = 2,14 masse solari = 2,14 * 2 * 10^30 = 4,28 *10^30 kg;
FA = mA * (a centripeta)  = mA * vA^2 / rA;  forza centripeta;
rA = 6,43 * 1,5 * 10^11 = 9,65 * 10^11 m;

(a centripeta) = vA^2 / rA = (3,85* 10^3)^2 / (6,43 * 1,5 * 10^11) = 1,537 * 10^-5 m/s^2
FA = m * a;
FA = 4,28 * 10^30  *  1,537 * 10^-5 = 6,58 * 10^25 N; Forza che Sirio B esercita su A;

Sirio A esercita la stessa forza su Sirio B;

FB = FA = F;
F = G * mA * mB / R^2; legge di gravitazione;

(rA + rB) = R distanza fra le due stelle;

mB = 1,03 masse solari = 1,03 * 2 * 10^30 = 2,06 * 10^30 kg;
Forza di attrazione fra le due stelle: (legge di Newton);

G * mA * mB / R^2 = 6,58 *10^25 N; legge di gravitazione;

G = 6,67 *10^-11 N * m^2 / kg^2;

R = radicequadrata[G * mA * mB/ (6,58 *10^25)]; 

R = radice(8,94 * 10^24) = 2,99 *10^12 m; distanza fra le due stelle A e B;

il centro di massa è più vicino a Sirio A che è più massiccia;

mA ed mB  girano intorno al centro di massa, mA a distanza rA, mB a distanza rB, più lontano dal centro di massa;

rA = 9,65 * 10^11 m;
rB = R – rA = 2,99 * 10^12 – 9,65 * 10^11;
rB = 2,03 * 10^12 m; (raggio dell’orbita di Sirio B);

mB * vB^2/rB = 6,58 * 10^25 N;

vB^2 = 6,58 * 10^25 * rB  / mB;
vB = radice quadrata[ 6,58 * 10^25 * 2,03 * 10^12 / (2,06 * 10^30)];

vB = radice(6,47 * 10^7) = 8044 m/s = 8,04 km/s; (velocità di SirioB).

2° esercizio:

Determinare il valore numerico della accelerazione di gravità g sulla
superficie della Terra e alla quota della stazione orbitante ISS. ( La stazione viaggia a una velocità media di 27600 km/h, completando 15,5 orbite al giorno e viene mantenuta in orbita ad una quota compresa tra 330 e 410 km. 

Legge di Gravitazione:

F = G * M terra * m / (Rterra)^2;

F = m * g = Forza peso.

g = G * M terra / (Rterra)^2; (sulla superficie terrestre, R = 6380 km =  6,38 * 10^6 m)

g = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,38 * 10^6)^2 = 9,799 m/s^2 = 9,8 m/s^2;

g è l’accelerazione di gravità.

h = 400 km circa dalla superficie, altezza della Stazione Internazionale.

R = 6,38 * 10^6 + 4 * 10^5 = 6,78 * 10^6 m;

g = G * M terra / R = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 / (6,78 * 10^6)^2;

g = 8,7 m/s^2; accelerazione di gravità sulla ISS.

Poiché la stazione gira intorno alla Terra questa accelerazione è centripeta, mantiene la stazione sull’orbita; chi è all’interno si trova in assenza di peso perché continuamente in caduta libera verso il centro della Terra. Si dice che in un sistema in rotazione esiste una forza centrifuga (forza inerziale, cioè apparente in un sistema in rotazione, sistema accelerato non inerziale) che annulla la forza centripeta.

Fionda gravitazionale di una sonda con il pianeta Giove, per aumentare la sua velocità ed energia cinetica.

Molte navicelle spaziali viaggiano nello spazio utilizzando l’effetto della “fionda gravitazionale”, secondo il quale, quando la navicella passa vicino a un pianeta, la sua gravità determina un significativo aumento del modulo e una variazione della direzione della velocità della navicella. In questo modo, la navicella può acquistare una velocità molto maggiore di quella che avrebbe usando solo i suoi razzi.
L’effetto fu sfruttato per la prima volta il 5 febbraio 1974, quando la sonda Mariner 10 – la prima sonda impiegata per l’esplorazione di Mercurio – transitò vicino a Venere mentre si avvicinava alla sua destinazione. Più recentemente, la sonda Cassini, lanciata il 15 ottobre 1997 con destinazione Saturno e giunta sul pianeta il 1° luglio 2004, ha sfruttato l’effetto fionda transitando due volte sopra Venere, dopo un avvicinamento alla Terra e uno a Giove.

 I pianeti non stanno fermi, ma si muovono nelle loro orbite attorno al Sole; succede che la velocità non cambia se misurata in riferimento a essi, mentre è differente se la si misura rispetto al Sole. Il guadagno di energia cinetica è spiegato dal fatto che è il pianeta a perdere parte della propria, rallentando il suo moto di rivoluzione e stringendo la sua orbita anche se in maniera del tutto impercettibile. Questo perché il trasferimento di energia dal pianeta al veicolo è inversamente proporzionale alle masse: il pianeta perde così una quantità irrisoria di energia, lasciando praticamente invariata la propria orbita. In base alla traiettoria, l’astronave può guadagnare fino a due volte la velocità orbitale del pianeta.

Urto elastico:  m = massa sonda; v1 = velocità della sonda prima dell’interazione; v2 dopo l’interazione con Giove;

M = massa Giove; V1 = velocità di Giove rispetto al Sole, V2 dopo l’interazione;

m * (- v1) + M *  V1 = m * v2 + M * V2;  (1)

– v1 + v2 = V1 + V2;  (2)

conservazione dell’energia cinetica, vale questa relazione tra le velocità, prima e dopo l’urto, la somma resta costante.

dalla  (2) ricaviamo la velocità V2 di Giove dopo l’interazione

V2 = v2 – v1 – V1;  (2)

Vogliamo ricavare v2, velocità della sonda dopo l’interazione gravitazionale, (urto) con Giove in moto.

dalla  (1)

m * v2 + m * v1 = M V1 – M V2;

m * v2 + m * v1 = M * (V1 – v2 + v1 + V1);

m * v2 + M * v2 = M * (2 V1 + v1) – m * v1;

v2 * (m + M) =  M * (2 V1 + v1) – m * v1;

v2 = [M * (2 V1 + v1) – m * v1] / (m + M); velocità della sonda dopo l’urto;

M >> m; dividiamo per M:

v2 = [(2V1 + v1) – (m/M) * v1] / (m/M + 1);

m/M tende a 0;

v2 = (2V1 + v1 ) / 1;

la velocità della sonda dopo l’interazione con Giove diventa v1 + 2V1;

invece la velocità di Giove cambia di una quantità infinitesimale, infatti:

V2 = v2 – v1 – V1;  (2)

V2 = (2 V1 + v1) – v1 – V1 = V1; (la velocità di Giove non cambia, resta pressoché uguale).

3) Un satellite artificiale in orbita geostazionaria ruota intorno alla Terra restando sempre sopra lo stesso punto della superficie terreste. Sapendo che il raggio medio della terra è Rt=6,37 * 10^6 m e che il satellite si trova una quota di 36000 km sopra la superficie terrestre, trovare:

a. Quanto tempo impiega il satellite a compiere uno spostamento angolare di 60°;
b. La velocità e l’accelerazione centripeta del satellite;

Satellite geostazionario.

Un satellite geostazionario ha un periodo di 24 h (1 giorno), come il periodo di rotazione terrestre, in modo da rimanere sempre sullo stesso punto della superficie terrestre.

T = 24 h = 24 * 3600 s = 86400 s;

Rt=6,37 * 10^6 m;

h = 36 000 km = 36 000 000 m = 3,6 * 10^7 m;

Distanza dal centro della Terra, raggio dell’orbita:

R = Rt + h = 6,37 * 10^6 + 3,6 * 10^7 m = 4,24 * 10^7 m; ((circa 42 400 km).

omega = 2 pigreco / T = 6,28 / 86400 = 7,27 * 10^-5 rad/s; (velocità angolare);

alfa = omega * t;

alfa = 60° = pigreco/3 rad = 1,047 rad;;

t = alfa/ omega;

t = 1,047 /(7,27 * 10^-5) = 14404 s;

in ore:

t = 14404 / 3600 = 4 h; (1/6 del periodo);

essendo 60° =  1/6 dell’angolo giro, il satellite impiegherà 1/6 di 24 h.

v = omega * R = 7,27 * 10^-5 * 4,24 * 10^7;

v = 3082 m/s = 3,1 km/s (circa);

v = 3082 * 3,6 = 11100 km/h.

a centripeta = omega^2 * R ;

a = (7,27 * 10^-5)^2 * 4,24 * 10^7 = 0,22 m/s^2;

0,22 m/s^2 è il valore dell’accelerazione di gravità g se ci troviamo quella distanza R dalla Terra.

4) La cometa di Halley

Distanza media dal Sole: semiasse maggiore dell’ellisse.

r1 = distanza in afelio;  r2 = distanza in perielio;

r1 > r2

r medio:

r = (r1 + r2) / 2 = a  semiasse maggiore dell’ellisse

m v^2 / r = G M *m / r^2;

v^2 = G M / r;

v = 2 pigreco * r / T;

4 pigreco^2 *r^2 / T^2 = G M / r;

r^3 /T^2 = G M /(4 pigreco^2); 3a legge di Keplero;

r = radicecubica(G M T^2 / 39,478);

T = 75,8 anni = 75,8 * 365 giorni * 86400 s = 2,39 * 10^9 s;

r = radicecubica[6,67 * 10^-11 * 1,99 * 10^30 * (2,39 * 10^9)^2 / 39,478];

r = radicecubica[1,92 * 10^37] = 2,68 * 10^12 m;

(r = a = 2,68 * 10^12 m ;  semiasse maggiore dell’ellisse).

In UA: a = 2,68 * 10^12 / 1,5 * 10^11 = 17,9 UA.

in perielio:

r2 = 0,596 UA; r2 = 0,596 * 1,5 * 10^11 = 8,94 * 10^10 m;

v2 = 54,5 km/s = 54500 m/s; velocità in perielio.

r1 + r2 = 2 a;

r1 = 2a – r2 = 2 * 2,68 * 10^12 – 8,94 * 10^10;

r1 = 5,27 * 10^12 m; (distanza della cometa in afelio);

r1 = 5,27 * 10^12 / 1,5 * 10^11 = 35,1 UA; in afelio.

Si conserva il momento angolare; il momento della quantità di moto è costante perché il momento della forza M = r * F * sen(angolo), è nullo in quanto è una forza centrale che agisce lungo r e l’angolo fra  F ed r è 0.

r1 * m * v1 = r2 * m * v2;

velocità v1  in afelio:

v1 = r2 * v2 / r1 = 8,94 * 10^10 * 54,5 /(5,27 * 10^12);

v1 =  0,924 km/s = 924 m/s.

Quando la cometa è in afelio la sua velocità diminuisce, diventa minima, in perielio è massima.

Lavoro su automobili, mobilità, ambiente, qualità della vita, messaggi ingannevoli su libertà, natura, pressione delle auto sul pianeta di Teodoro Forcellini.

https://drive.google.com/file/d/1CVUL3yrr07fWD4IXhlEmvqLODuOsar_G/view

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Il dirigibile Hindenburg – Spinta di Archimede

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dirigibile Spinta di Archimede

Il dirigibile Hindenburg, fabbricato in Germania nel 1936, è stato uno degli aeromobili più grandi mai costruiti.

Aveva un volume di 211 890 m^3 e una massa di 118 000 kg ed era riempito di idrogeno, che ha la densità di 9 * 10^-2 kg/m^3.

La densità dell’aria è 1,29 kg/m^3. 

Quale spinta ascensionale faceva volare l’Hindenburg?

F Archimede = (densità fluido ) * g * (Volume immerso);

FA = d aria * V * g;

FA = 1,29 * 211 890 * 9,81 = 2,681 * 10^6 N;

M = 118 000 kg; (massa dirigibile).

m idrogeno = V * (d idrogeno) = 211 890 * (9 * 10^-2) = 19 070 Kg ; (massa di H)

Fp = (M + m idrogeno) * g = (118 000  + 19 070) * 9,81 = 137 070 * 9,81 =  kg = 1,345 * 10^6 N;

F risultante = FA – Fp; (spinta ascensionale verso l’alto).

Frisultante = 2,681 * 10^6 – 1,345 * 10^6 = 1,336 * 10^6 N = 1,34 * 10^6 N (circa).

LZ 129 Hindenburg era il nome di un dirigibile Zeppelin tedesco. Chiamato così in onore del secondo presidente della Repubblica di Weimar, Paul Von Hindenburg, è stato il più grande oggetto volante mai costruito.

Il 6 maggio 1937 alle 19:25, l’Hindenburg prese fuoco e venne completamente distrutto, nel giro di circa mezzo minuto, mentre cercava di attraccare al pilone di ormeggio della Stazione Aeronavale di Lakehurst (New Jersey).

2) Un tecnico ha massa m = 75 kg e deve salire su un dirigibile con la sua attrezzatura per effettuare misurazioni ad alta quota. Il dirigibile è riempito di elio e ha un volume di 650 m^3. La densità dell’atmosfera è pari a 1,21 kg/m^3 e quella del gas elio è di 0.179 kg/m^3.

– Quanto vale la spinta di Archimede sul dirigibile (trascurare la massa del dirigibile)?

– Determinare per quale valore della massa M dell’attrezzatura la forza peso totale del dirigibile ha la stessa intensità della spinta di Archimede.

F Archimede = d g V = 1,21 * 9,81 * 650 = 7142 N,

Massa Elio = (d elio) * V = 0,179 * 650 = 116,35 kg;

F peso Elio = 116,35 * 9,81 = 1141,4 N; (Peso Gas Elio);

F peso tecnico = 75 * 9,8 = 736 N; (peso uomo);

F peso attrezzatura = M * 9,81;

F peso totale = F Archimede;

1141,4 + 736 + M * 9,81 = 7142;

M * 9,81 = 7142 – 1141,4 – 736;

M = 5264,6 / 9,81 = 537 kg; (massa dell’attrezzatura massima che si può caricare sul dirigibile).

Esercizi di relatività ristretta

1. Un elettrone inizialmente in quiete è sottoposto a una differenza di potenziale Delta V = 5 * 10^5 V : calcolare la sua velocità, utilizzando per l’energia cinetica l’espressione classica e quella relativistica.
   
   

Energia cinetica finale classica:

1/2 m v^2 = e * (DeltaV);

v = radicequadrata( 2 * e * DeltaV/m);

v = radice[(2 * 1,602 * 10^-19 * 5 * 10^5 ) /(9,11 * 10^-31)];

v = radice[1,76 * 10^17] = 4,19 * 10^8 m/s >> c; impossibile.

l’elettrone non può superare la velocità della luce; v < c, sempre,

per il secondo principio della relatività ristretta di Einstein.

Energia finale relativistica:

Ec = [moc^2 / radice(1 – v^2/c^2) ] – moc^2;

mo c^2 = energia a riposo.

e * DeltaV = Ec;

1,602 * 10^-19 * 5 * 10^5 = 8,01 * 10^-14 J; (Lavoro = energia cinetica finale)

moc^2 = (9,11 * 10^-31) * (3 * 10^8)^2 = 8,199 * 10^-14 J; (energia a riposo).

Ec + moc^2 = moc^2 / radice(1 – v^2/c^2);

radice(1 – v^2/c^2) = moc^2 / (Ec + moc^2);

1 – v^2/c^2) =[moc^2 / (Ec + moc^2)]^2;

v^2/c^2 = 1 – [moc^2 / (Ec + moc^2)]^2;

v^2/c^2 = 1 – [8,199 * 10^-14 /( 8,01 * 10^-14 + 8,199 * 10^-14)]^2 ;

v^2 / c^2 = 1 – [8,199 *10^-14 /1,621 * 10^-13]^2;

v^/c^2 = 1 – [0,5058]^2 = 1 – 0,2559;

v^2 = (1 – 0,2559) * c^2;

v = c * radicequadrata(0,744) = c * 0,863;

v = (3 * 10^8) * 0,863;

v = 2,59 * 10^8 m/s; (v elettone; v < c).

Moto di un elettrone in un campo elettrico. In questa situazione l’elettrone viene frenato dal campo in quanto l’elettrone è una particella negativa. Le linee di forza del campo vanno verso il polo negativo, l’elettrone si fermerà e verrà respinto dalle cariche negative.

Esercizio 2

Un collisore è un particolare acceleratore di particelle in cui le particelle accelerate in versi opposti lungo traiettorie circolari vengono fatte collidere frontalmente con velocità uguali e opposte. Supponiamo di considerare un elettrone con velocità 𝑣=𝑥𝑐 (𝑐 indica la velocità della luce nel vuoto) nel sistema di riferimento del laboratorio, che collide frontalmente con un positrone (particella che ha la stessa massa dell’elettrone, ma carica opposta) che ha velocità uguale e opposta a quella dell’elettrone.

Scrivere la funzione che esprime l’energia cinetica relativistica degli elettroni nel sistema di riferimento del laboratorio. Scrivere l’equazione della fisica classica che permette di esprimere la velocità dell’elettrone misurata dal sistema di riferimento del positrone.
Nella teoria della relatività ristretta le trasformazioni di Galileo sono sostituite dalle trasformazioni di Lorentz.

Energia cinetica relativistica:

K = moc^2/[radice(1 – v^2/c^2)] – moc^2;

mo = massa a riposo;

Y = 1 /[radice(1 – v^2/c^2)]  = fattore gamma. 

K = moc^2 *(Y – 1)

Energia cinetica classica = 1/2 mo v^2;

Composizione velocità galileiana:

u’ = u – v;

u’ = u – (-u) = 2u; (velocità dell’elettrone vista dal sistema del positrone).

u’ = xc + xc = 2xc; se x = 0,5 o maggiore di 0,5, allora u’ raggiunge o supera la velocità della luce c; non è possibile.

Composizione relativistica:

u’ = (u – v) /[1 – uv/c^2];

u = xc, (velocità elettrone visto dal laboratorio);

v = – xc; (velocità positrone visto dal laboratorio);

u’ = (velocità elettrone visto dal sistema del positrone).

u’ = (xc + xc) / [1 + x^2c^2/c^2];

u'(x) = 2c x / (1 + x^2); x < 1; (f(x).

se x = 1 abbiamo due particelle a velocità c e questo non è mai verificato per particelle con massa.

Esercizi di calorimetria – Termodinamica – macchine.

Tag

Esercizi di calorimetria e termodinamica, Problemi ambientali - macchine

Lavoro su automobili, mobilità, ambiente, qualità della vita, messaggi ingannevoli su libertà, natura, pressione delle auto sul pianeta di Teodoro Forcellini. Interessante da vedere.

https://drive.google.com/file/d/1CVUL3yrr07fWD4IXhlEmvqLODu

Libertà di viaggiare?

Pubblicità ingannevole?

1. Un blocco di 0,500 kg di grafite si trova alla temperatura di 35,0 °C e riceve energia con una potenza di 10,0 W per 2,00 minuti. Il calore specifico della grafite è 709 J/(kg · K).
   – Calcola la temperatura finale in K del blocco di grafite supponendo che tutta l’energia ricevuta si trasformi in calore.

Energia termica = Q;

Q = c * m * (T – To); (equazione fondamentale della calorimetria).
c = calore specifico; m = massa in kg; T – To = variazione di temperatura.

tempo t = 120 secondi.

Q = P * t = 10,0 * 120 = 1200 J.

T – To = Q / (c * m);

T – To = 1200 / (709 * 0,500) = 3,4°C ( (o Kelvin).

Le differenze di temperatura DeltaT non cambiano se sono in °C o Kelvin.

Temperatura finale:

T = To + 3,4° = 35,0° + 3,4° = 38,4°C .

T in kelvin:

T = 38,4° + 273 = 311,4 K.

2) Un tubo di acciaio con una lunghezza iniziale di 10 m viene riscaldato da 15 °C a 300 °C.
Calcolare l’allungamento del tubo.

L = Lo + Lo * α * ( T – To); legge di dilatazione lineare.

L – Lo = ΔL = Lo * α * ΔT .

Coefficiente di dilatazione termica lineare α dell’acciaio = 12*10^-6 °C^-1;

ΔL = Lo * α * ΔT = 10 * 12 * 10^-6 * 285 = 0,034 m = 34 mm.

3) Un cubo di rame ha lo spigolo di 10 cm, si trova a temperatura di 20°C.

A quale temperatura bisogna portarlo perché il suo volume sia 1012 cm^3 ?

Qual è l’aumento percentuale di volume? (coefficiente di dilatazione lineare del rame α = 1,6 * 10^−5°C^−1).

 

Delta V = Vo * (3 * α) * (DeltaT)

α= 1,6 * 10^−5°C^−1 ,

Vo = 10^3 = 1000 cm^3;

DeltaV = 1012 – 1000 = 12 cm^3;

DeltaT = Delta V / [ Vo * (3 α)];

Delta T = 12 / (1000 * 4,8 * 10^-5) = 250°C;

T – To = 250°

T = 250° + 20° = 270°C;

(DeltaV) / V = 12/1000 = 0,012;

Aumento percentuale = 1,2 %;

12 : 1000 = x : 100;

x = 100 * 12/1000 = 1,2; (aumento %).

4) Ciclo termodinamico.

In un cilindro, dotato di pistone scorrevole, si trova una certa quantità di gas perfetto. Il gas occupa inizialmente un volume di 36 dm3, una pressione di 10^5 Pa e si trova alla temperatura TA =  300 K (stato A). Bloccando il pistone si scalda il gas fino a una temperatura TB =  650 K (stato B). In seguito si lascia espandere il gas mantenendo la temperatura costante fino a che raggiunge un determinato volume (stato C).

Si blocca nuovamente il pistone e si raffredda il gas raggiungendo la pressione iniziale (stato D) alla temperatura TD = 500 K. Si lascia infine libero il pistone e mantenendo costante la pressione lo si riporta allo stato iniziale A.

a. Disegna il grafico p-V del ciclo descritto.

b. Quanto vale la variazione di energia interna del ciclo termodinamico?

Ciclo termodinamico: A —-> B —-> C —-> D —-> A: isocora, isoterma, isocora, isobara.

Stato A: (PA; VA; TA) = (10^5 Pa; 36 dm^3; 300 K).

Da A a B: isovolumica o isocora; VB = VA.

PB / VB = PA / VA; Pb = PA * 650 / 300 = 2,17 * 10^6 Pa

Stato B: (PB; VB; TB) = (2,17 * 10^5 Pa; 36 dm^3; 650 K);

da B a C: isoterma, T costante; TC = TB.

Legge delle isoterme:

PB * VB = PC * VC;

VC = VD; (vedi grafico).

manca VD; lo troviamo con l’ultima isobara da D ad A.

Da D ad A: isobara, P costante.  PD = PA; (si chiude il ciclo).

VD / TD = VA / TA;

VD = 36 * TD / TA = 36 * 500 /300 = 60 dm^3;

Stato D:

(PD; VD; TD) = (10^5 Pa; 60 dm^3; 500 K).

da B a C: isoterma; TC = 650 K

PB * VB = PC * VC;

VC = VD = 60 dm^3;

PC = PB * VB / VC = 2,17 * 10^5 * 36 /60 = 1,3 * 10^5 Pa;

il volume aumenta, la pressione diminuisce.

DeltaU = UA – UA = 0 J; 

L’energia interna è una funzione di stato, dipende dalla temperatura.

La variazione di energia interna dipende dalla variazione di temperatura, se si ritorna in A, T non cambia,

DeltaU = 0 J.

5) Una piscina ha dimensioni: 25 m * 12 m * 1,8 m .

• Calcolare il calore necessario per riscaldarla di 5°C.

• Quanto calore riceve ogni litro d’acqua?

1 litro = 1 dm^3; densità dell’acqua = 1 kg /dm^3 = 1000 kg/m^3.

c = calore specifico = 4186 J/kg°C. (c = 1 kcal/kgK);

Massa totale di acqua: M = densità * Volume.

M = 1000 * (25 * 12 * 1,8) = (1000 kg/m^3) * 540 m^3 = 5,4 * 10^5 kg.

Q = c * M * (Delta t)= 4186 * 5,4 * 10^5 * 5° = 1,13 * 10^10 J.

Q1 = 4186 * 1 * 5° = 20930 J = 2,1 * 10^4 J.

6) A 0.0500 kg ice cube starts at To = -18.5°C.
How much heat does it take to melt it completely?

Q = c * m * (0° – (- 18.5°) + Q fusion.

Qfusion =  3,335 * 10^5 * mass. (Heat of fusion of ice).

Q = 2220 * 0.0500 * (+18.5°) + 3,335 * 10^5 * 0,0500;

Q = 2053.5 + 16675 = 18728.5 J = 1.9 * 10^4 J.

7) Quanti grammi di acqua, a 100 °C, diventano vapore con la stessa quantità di energia che occorre per portare la massa di 1 kg di acqua da To = 0°C fino all’ebollizione pari a T = 100°C?

Q = c * m * (DeltaT);

m = 1 kg; calore specifico dell’acqua c = 4186 J/kg°C;

Delta T = T – To = 100° – 0°.

Q = 4186 * 1 * 100° = 418600 = 4,186 * 10^5 J;

calore di vaporizzazione dell’acqua: cv = 2,260 * 10^6 J/kg;

Q v = cv * m;
m = Q / Cv;

m = 4,186 * 10^5  / 2,260 * 10^6  = 0,2 kg = 200 grammi.

Esercizi su urti. Impulso e quantità di moto.

1) Un carrello avente massa 0,75 kg con misuratore di impulso montato davanti è lanciato con velocità vo = 2 m/s lungo un binario morto, alla fine del quale urta contro un respingente.
Il rilevatore di impulso dopo l’urto segna I = 2,90 Ns

1. qual è la percentuale di energia cinetica persa nell’urto? 

I = m * v – m * vo;

il carrello arriva con velocità vo = + 2 m/s; viene respinto con velocità v di verso contrario.

L’impulso che riceve è in verso contrario:

– 2,9  = 0,75 * v – 0,75 * 2;

0,75 * v = – 2,9 + 1,5;

v = – 1,4 / 0,75 = – 1,87 m/s

E1 = 1/2 m vo^2 = 1/2 * 0,75 * 2^2 = 1,5 J;

E2 = 1/2 m v^2 = 1/2 * 0,75 * (- 1,87)^2 = 1,3 J;

Delta E = 1,3 – 1,5 = – 0,2 J (energia persa).

Impulso di un forza: è il prodotto della forza agente per la durata  Delta t della forza.
I = F * Delta t;

Si chiama quantità di moto di un corpo di massa m,  il prodotto massa * velocità

Q = m * v.

F = m * a;     2° principio della dinamica di Newton.

F = m * (v – vo) / ( Delta t);

F * (Delta t)  = m * v – m * vo.

Teorema dell’impulso:

L’impulso di una forza I che agisce su un corpo di massa m,  è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo stesso.

m * v = Q;   si chiama quantità di moto: massa * velocità.

I = (Forza) * (Delta t); si chiama impulso I.

F * (Delta t) = mv2 – m v1;

L’impulso si misura in N s o kg m/s

Pendoli di Newton

2) Una palla di massa, M = 133 g, viene lasciata cadere da un’altezza di 22 m con velocità nulla. Urta il suolo e risale sino all’altezza di 7 m. Se l’urto dura 2 ms; qual è il modulo della forza media esercitata dal suolo sulla palla?

v1 è la velocità con cui arriva a terra, negativa perché verso il basso:
v1 = radquad( 2 * 9,8 * 22) = – 20,77 m/s
v2 è la velocità con cui riparte, positiva, verso l’alto, sarà minore perché arriva a 7 m di altezza:
v2 = radquad(2 * 9,8 * 7) = + 11,71 m/s

Delta t = 2 * 10^-3 s;
F * 2 * 10^-3 = 0,133 * 11,71 – 0,133 * (- 20,77)
F * 2 * 10^-3 = 4,32 Ns
F = 4,32 / (2 * 10^-3 ) = 2160 N circa

3) Una biglia di acciaio di 80 g colpisce con velocità vo =  7,8 m/s un pavimento e rimbalza con una velocità v di modulo 7,8 m/s.

 Calcolare  intensità, direzione e verso dell’impulso che il pavimento ha esercitato sulla biglia.

Impulso I = m * v – m * vo,
L’impulso della forza (I = F * Delta t), è uguale alla variazione della quantità di moto (m v – m vo).
m = 0,080 kg;

vo = – 7,8 m/s; velocità iniziale, la bilia arriva a terra con velocità verso il basso, quindi negativa.

v = + 7,8 m/s; velocità finale, la bilia rimbalza verso l’alto, la velocità cambia verso, quindi diventa positiva.

I = 0,080 * (+ 7,8 ) – 0,080 * (- 7,8) ;

I = 0,080 * ( 7,8 + 7,8) = + 1,25 Ns.

Il pavimento esercita sulla pallina una forza impulsiva verso l’alto; l’impulso I ha direzione verticale, verso l’alto.

Esercizi – Spinta di Archimede in acqua di mare. Pressione. Spinta in atmosfera

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Spinta di Archimede

L’aria è più densa del gas all’interno dei palloncini (Elio He), quindi la Spinta di Archimede che
produce è maggiore della forza peso.

La spinta di Archimede deve  essere almeno uguale al peso dell’anfora in acqua.

F peso fuori dall’acqua = m * g = 95 * 9,8 = 931 N;
Spinta che l’anfora riceve per l’acqua che sposta con il suo volume senza pallone.
Volume in m^3 = 0,038 m^3;

F Archimede = d g V = 1030 * 9,8 * 0,038 = 384 N; (verso l’alto).
F risultante= 931 – 384 = 547 N ( Forza risultante in acqua, peso apparente dell’anfora).
Ci vuole una spinta verso l’alto di 547 N.
F spinta = d g (V pallone):
V pallone = 547 / (1030 * 9,8) = 0,054 m^3 ;
Volume pallone = 54 dm^3 (circa).

2) Un pallone sferico del diametro di 3 m è riempito di elio ( d= 0,00018 g/cm3 = 0,18 kg/m^3). Quanto vale la spinta di Archimede che riceve nell’aria ( d= 0,00129 g/cm^3 = 1,29 kg/m^3) ?

Farchimede = (densità aria) * g * (Volumepallone)

Volume pallone = 4/3 * 3,14 * raggio^3 = 4/3 * 3,14 * 1,5^3 = 14,14 m^3

densità aria = 1,29 kg/m^3

F archimede = 1,29 * 9,8 * 14,14 = 178,7 N

La densità dell’elio non serve per la forza di Archimede. Serve se si vuole trovare la massa del pallone e il suo peso. Se pesa meno dell’aria spostata, il pallone salirà verso l’alto.

Se il pallone deve sollevare una massa di 10 kg (gomma dell’involucro e attrezzatura appesa), riuscirà a sollevarsi?
Massa Elio = d * volume = 0,18 * 14,4 = 2,59 kg;
Massa totale = 10 + 2,59 = 12,59 kg;

Fpeso = 12,59 * 9,8 = 123,4 N; (verso il basso)

F risultante = 178,7 – 123,4 = 55,3 N (verso l’alto).

3) Una sfera cava, con il diametro esterno di 7,2 cm galleggia nell’acqua restando immersa per una frazione pari a 0,8 del suo volume.
Sia ρ sfera= 4,4 g/cm^3 la densità della sfera. Il raggio r della cavità in centimetri misura?

Volume sfera = 4/3 pigreco r^3;

r = 7,2/2 = 3,6 cm; raggio esterno.

Volume sfera = 4/3 * (3,14159) * 3,6^3 = 195,432 cm^3;

V immerso = 0,8 * (V sfera);

V immerso = 0,8 * 195,432 = 156,35 cm^3;

F Archimede = (ρ acqua) * g * V immerso.

La sfera galleggia quindi la Forza di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso verso il basso.

F peso = m * g;

ρ acqua = 1 g / cm^3

(ρ acqua) * g * (V immerso) = m * g;          semplifichiamo g = 9,8 m/s^2,  rimane:

(ρ acqua) *  V immerso  = m; (massa della lamina che forma la sfera cava).

ρ del materiale della sfera = 4,4 g/cm^3; (se non fosse cava, non galleggerebbe in acqua).

m = (1g/cm^3)* 156,35 cm^3 = 156,35 g;

Volume materiale sfera  = m /(ρ sfera) = 156,35 /4,4 = 35,53 cm^3;

(Volume sfera) – (Volume materiale) = Volume cavità interna;

195,432 – 35,53 = 159,9 cm^3;

Volume cavità:

 4/3 * (3,14159) * (r cavità)^3 = 159,9 cm^3;

r cavità = radicecubica[159,9 * 3 / (4 * 3,14159];

r cavità = [38,173] = 3,37 cm ; (circa 3,4 cm); raggio interno della cavità.

Quindi il materiale della sfera è una lamina sottile di spessore:

s = 3,6 – 3,4 =  0,2 cm = 2 mm. 

4) Calcolare il raggio di una sfera di massa m = 700 g in equilibrio in acqua dolce.

Sfera in equilibrio, vuol dire che la spinta di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso verso il basso. (La sfera se è in equilibrio indifferente in acqua, avrà la stessa densità dell’acqua).

(d acqua) * g * Volume immerso = (m sfera)* g;

g = 9,8 m/s^2 si semplifica.

Se usiamo i grammi come unità di massa, possiamo usare la densità dell’acqua in g/cm^3, otterremo il volume della sfera in cm^3.

d acqua = 1000 kg/m^3 = 1 g/cm^3;

1 * Volume immerso = m sfera;

Volume immerso = 700 grammi / 1 g/cm^3 = 700 cm^3;

Volume immerso = volume acqua spostata = volume sfera.

V = 4/3  pigreco * r^3;

r = radicecubica[(V * 3/4) /pigreco];

r = radicecubica[700 * 3/ 3,14 * 4] = radicecubica(167,11);

r = 5,5 cm; raggio della sfera.

5) Un lingotto è composto da una lega di oro (d=1,93*10^4 kg/m^3) e argento (d=1,05*10^4 kg/m^3) e ha la massa di 0,802 kg. Se si immerge il lingotto in acqua distillata, appeso a un dinamometro, il suo peso risulta 7,19 N.

– Quale volume di oro e quale di argento sono contenuti nel lingotto?

F peso = m * g = 0,802 * 9,8 = 7,86 N; (peso del lingotto in aria).

F peso in acqua = 7,19 N;

F Archimede = 7,86 – 7,19 = 0,67 N; (forza di spinta verso l’alto che fa diminuire il peso).

F Archimede = (d acqua) * g * (Volume immerso);

usiamo le densità in kg/dm^3, è più semplice fare i calcoli.

d acqua = 1 kg / dm^3.

Volume = F Archimede/ (d * g) = 0,67 / (1 * 9,8) = 0,0684 dm^3. (Volume lingotto).

V = 68,4 cm^3. (Volume in cm^3)

d oro = 19,3 kg/dm^3 = 19,3 g/cm^3;

d argento = 10,5 kg/dm^3 = 10,5 g/cm^3.

(m argento) + (m oro) = m totale;

m argento = (V Ag) * (d Ag). 

m oro = (V Au) * (d Au);

m totale = 802 grammi.

V Ag + V Au = 68,4 cm^3.

10,5 * (V Ag) + 19,3 * (V Au) = 802;

10,5 * (68,4  – V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;

718,2 – 10,5 * (V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;

8,8 * (V Au) = 802 – 718,2;

V Au = 83,8 ( 8,8) = 9,52 cm^3; (Volume oro).

V Ag = 68,4 – 9,52 = 58,9 cm^3; (Volume argento).

Noto problema della corona di Gerone, risolto da Archimede.

La corona di Gerone

La storia completa è questa.  Gerone II, tiranno di Siracusa, fece costruire da un valente orafo una corona d’oro, a forma di rami intrecciati, del tipo di quella riprodotta, per porla a decoro di una statua rappresentante un dio o una dea. Tuttavia quando ricevette la bellissima corona ebbe il sospetto che l’orafo potesse aver sostituito, all’interno della corona, l’oro con l’argento. Per questo il Tiranno chiese ad Archimede di determinare se la corona fosse d’oro massiccio oppure se contenesse all’interno il meno pregiato argento. Ma poiché la corona, di pregevole fattura, doveva ornare il capo di una divinità, era essa stessa un oggetto sacro. Quindi il Tiranno pose ad Archimede la condizione che la corona doveva restare integra.

6) Pressione in Newton/m^2.

In un laghetto circolare di 20 m di diametro si è formata una lastra di ghiaccio che riesce a reggere senza rompersi una massa del valore massimo di 205 kg distribuita su una superficie di 1 m^2. Hai una slitta di massa 110 kg.

1) Su quale superficie minima deve poggiare questa slitta per non rompere la lastra di ghiaccio?

2) Quanto vale la massa massima che si potrebbe distribuire in modo uniforme sull’intera superficie del laghetto senza rompere la lastra di ghiaccio?

Risultati: 0,54m^2;   6,4 * 10^4 kg

Pressione P = F / Area = 205 * 9,8 / 1 m^2 = 2009 Pa; pressione che può sostenere la lastra di ghiaccio.

1. Area = F / P = 110 * 9,8 / 2009 = 0,54 m^2 (Superficie minima su cui deve poggiare la slitta).

2. raggio = diametro / 2 = 10 metri.

Area laghetto = 3,14 * r^2 = 3,14 * 10^2 = 314 m^2;

F peso massima = P * Area = 2009 * 314 = 6,31 * 10^5 N;

Massa = F / g = 6,31 * 10^5 / 9,8 = 6,4 * 10^4 kg; ( massa che può sostenere distribuita su tutta la superficie del laghetto).

7) Una sfera rigida di volume V=785 litri e densità 759 kg/m^3 è ancorata al fondo del mare tramite una molla di costante elastica k. La molla è deformata di deltax =22,9 cm rispetto alla posizione di riposo. Si calcoli la costante elastica della molla.

La sfera è soggetta alla forza peso verso il basso e alla spinta di Archimede che la spinge verso l’alto.

La forza della molla F = k * x verso il basso tiene ferma la sfera sul fondo.

F peso = m * g;

massa m = d * V;

1 litro = 1 dm^3.

Volume: V = 785 dm^3 = 0,785 m^3

m = 759 * 0,785 = 595,8 kg;

F peso = 595,8 * 9,8 = 5839 N;

F Archimede = (d acqua mare) * V * g = 1030 * 0,785 * 9,8 = 7924 N;

d acqua di mare = 1030 kg/m^3 (circa, dipende dalla quantità di sale).

La forza di Archimede è maggiore della forza peso, quindi la sfera salirebbe verso l’alto se non fosse ancorata.

F Archimede – F peso: F  = 7924 – 5839 = 2085 N. (Forza verso l’alto).

La molla deve esercitare una forza uguale e contraria ad F per tenere ferma la sfera.

delta x = 22,9 cm = 0,229 m.

F = k * (delta x);

k = F / (delta x) = 2085 / 0,229 = 9105 N / m; (costante elastica della molla).

k = 9105 N/m in acqua di mare salata.

k = 8100 N/m (circa se fosse in acqua non salata con densità 1000 kg/m^3; la spinta di Archimede verso l’alto sarebbe minore F Archimede = 1000 * 9,8 * V immerso = 7693 N ).

7) Un bicchiere a forma cilindrica con il diametro interno lungo 4 cm contiene acqua. Per raffreddarla sono stati aggiunti 5 cubetti di ghiaccio uguali e il livello dell’acqua si è alzato di 3 cm.

Quanto misurava lo spigolo di ogni cubetto di ghiaccio?

Volume cubetti = Volume acqua spostata nel bicchiere.

Volume immerso dei cubetti = Area base * h = r^2 *3,14 * h;

raggio = 2 cm. h = 3 cm.

I cubetti galleggiano in acqua con la parte immersa che è il 92% del totale perché il ghiaccio ha densità 0,92 g/cm^3.

Forza peso = F Archimede;

V totale * (d ghiaccio) * g = V immerso * (d acqua) * g;

Volume totale = (d acqua / d ghiaccio )* V immerso;

Volume immerso dei cubetti = 2^2 * 3,14 * 3= 12,57 * 3 = 37,7 cm^3;

Volume immerso di 1 cubetto = 37,7/5 = 7,54 cm^3.

densità ghiaccio = 0,92 g/cm^3;

densità acqua = 1 g/cm^3.

Volume totale di 1 cubetto = (d acqua / d ghiaccio )* V immerso ;

Volume totale = 1 / 0,92 * 7,54 = 8,2 cm^3

Spigolo = radicecubica(8,2) = 2,02 cm.