Esercizi su urti. Impulso e quantità di moto.

1) Un carrello avente massa 0,75 kg con misuratore di impulso montato davanti è lanciato con velocità vo = 2 m/s lungo un binario morto, alla fine del quale urta contro un respingente.
Il rilevatore di impulso dopo l’urto segna I = 2,90 Ns

  1. qual è la percentuale di energia cinetica persa nell’urto? 

I = m * v – m * vo;

il carrello arriva con velocità vo = + 2 m/s; viene respinto con velocità v di verso contrario.

L’impulso che riceve è in verso contrario:

– 2,9  = 0,75 * v – 0,75 * 2;

0,75 * v = – 2,9 + 1,5;

v = – 1,4 / 0,75 = – 1,87 m/s

E1 = 1/2 m vo^2 = 1/2 * 0,75 * 2^2 = 1,5 J;

E2 = 1/2 m v^2 = 1/2 * 0,75 * (- 1,87)^2 = 1,3 J;

Delta E = 1,3 – 1,5 = – 0,2 J (energia persa).

Impulso di un forza: è il prodotto della forza agente per la durata  Delta t della forza.
I = F * Delta t;

Si chiama quantità di moto di un corpo di massa m,  il prodotto massa * velocità

Q = m * v.

F = m * a;     2° principio della dinamica di Newton.

F = m * (v – vo) / ( Delta t);

F * (Delta t)  = m * v – m * vo.

Teorema dell’impulso:

L’impulso di una forza I che agisce su un corpo di massa m,  è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo stesso.

m * v = Q;   si chiama quantità di moto: massa * velocità.

I = (Forza) * (Delta t); si chiama impulso I.

F * (Delta t) = mv2 – m v1;

L’impulso si misura in N s o kg m/s

pendoli
Pendoli di Newton

2) Una palla di massa, M = 133 g, viene lasciata cadere da un’altezza di 22 m con velocità nulla. Urta il suolo e risale sino all’altezza di 7 m. Se l’urto dura 2 ms; qual è il modulo della forza media esercitata dal suolo sulla palla?

energiapotenziale

v1 è la velocità con cui arriva a terra, negativa perché verso il basso:
v1 = radquad( 2 * 9,8 * 22) = – 20,77 m/s
v2 è la velocità con cui riparte, positiva, verso l’alto, sarà minore perché arriva a 7 m di altezza:
v2 = radquad(2 * 9,8 * 7) = + 11,71 m/s

Delta t = 2 * 10^-3 s;
F * 2 * 10^-3 = 0,133 * 11,71 – 0,133 * (- 20,77)
F * 2 * 10^-3 = 4,32 Ns
F = 4,32 / (2 * 10^-3 ) = 2160 N circa

3) Una biglia di acciaio di 80 g colpisce con velocità vo =  7,8 m/s un pavimento e rimbalza con una velocità v di modulo 7,8 m/s.

 Calcolare  intensità, direzione e verso dell’impulso che il pavimento ha esercitato sulla biglia.

Impulso I = m * v – m * vo,
L’impulso della forza (I = F * Delta t), è uguale alla variazione della quantità di moto (m v – m vo).
m = 0,080 kg;

vo = – 7,8 m/s; velocità iniziale, la bilia arriva a terra con velocità verso il basso, quindi negativa.

v = + 7,8 m/s; velocità finale, la bilia rimbalza verso l’alto, la velocità cambia verso, quindi diventa positiva.

I = 0,080 * (+ 7,8 ) – 0,080 * (- 7,8) ;

I = 0,080 * ( 7,8 + 7,8) = + 1,25 Ns.

Il pavimento esercita sulla pallina una forza impulsiva verso l’alto; l’impulso I ha direzione verticale, verso l’alto.

Spinta di Archimede in acqua di mare. Pressione.

La spinta di Archimede deve  essere almeno uguale al peso dell’anfora in acqua.

F peso fuori dall’acqua = m * g = 95 * 9,8 = 931 N;
Spinta che l’anfora riceve per l’acqua che sposta con il suo volume senza pallone.
Volume in m^3 = 0,038 m^3;


F Archimede = d g V = 1030 * 9,8 * 0,038 = 384 N; (verso l’alto).
F risultante= 931 – 384 = 547 N ( Forza risultante in acqua, peso apparente dell’anfora).
Ci vuole una spinta verso l’alto di 547 N.
F spinta = d g (V pallone):
V pallone = 547 / (1030 * 9,8) = 0,054 m^3 ;
Volume pallone = 54 dm^3 (circa).

Pressione in Newton/m^2.

In un laghetto circolare di 20 m di diametro si è formata una lastra di ghiaccio che riesce a reggere senza rompersi una massa del valore massimo di 205 kg distribuita su una superficie di 1 m^2. Hai una slitta di massa 110 kg.

1) Su quale superficie minima deve poggiare questa slitta per non rompere la lastra di ghiaccio?

2) Quanto vale la massa massima che si potrebbe distribuire in modo uniforme sull’intera superficie del laghetto senza rompere la lastra di ghiaccio?

Risultati: 0,54m^2;   6,4 * 10^4 kg

Pressione P = F / Area = 205 * 9,8 / 1 m^2 = 2009 Pa; pressione che può sostenere la lastra di ghiaccio.

  1. Area = F / P = 110 * 9,8 / 2009 = 0,54 m^2 (Superficie minima su cui deve poggiare la slitta).

2. raggio = diametro / 2 = 10 metri.

Area laghetto = 3,14 * r^2 = 3,14 * 10^2 = 314 m^2;

F peso massima = P * Area = 2009 * 314 = 6,31 * 10^5 N;

Massa = F / g = 6,31 * 10^5 / 9,8 = 6,4 * 10^4 kg; ( massa che può sostenere distribuita su tutta la superficie del laghetto).

Campo magnetico di un solenoide.

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  1. Un solenoide è lungo L = 20,0 cm e ha un diametro di 50,0 mm. Il filo di rame per realizzare le spire dell’avvolgimento ha una sezione di diametro di 0,50 mm. Le spire sono affiancate senza spazi fra esse.
    Ai capi del solenoide è applicata una differenza di potenziale V affinché il campo magnetico B al centro del solenoide abbia un’intensità
    B = 1,26 * 10^-3 T.
    La resistività del rame rCu = 1,7 * 10^-8 Ohm m.
    – Calcolare il valore della differenza di potenziale V.

B = mo * N * i / L;

N = numero di spire;

L = 20,0 cm = 200 mm.

diametro filo di rame = 0,50 mm;

le spire sono tutte affiancate, senza spazio fra esse.

N = L / diametro filo = 200 / 0,50 = 400 spire;

mo = 4 pigreco *10^-7 N/A^2 = 1,26 * 10^-6 N/A^2. (Permeabilità magnetica).

B = 1,26 * 10^-3 T;

L = 0,200 m;

i = B * L / (mo * N);

i  = 1,26 * 10^-3 * 0,200 /(1,26 * 10^-6 * 400);

i = 0,5 A (intensità di corrente).

V = R * i;

R = r * (lunghezza filo) / (Area filo); (Resistenza filo di rame).

Diametro spira = 50 mm = 5 cm = 0,05 m.

Lunghezza di una spira = 2 * 3,14 * raggio =

= diametro * 3,14;

Lunghezza di una spira = 0,05  * 3,14 = 0,157 m

Lunghezza filo di rame = N * 0,157;

Lunghezza filo di rame= 400 * 0,157 = 62,8 m;

diametro filo = 0,5 mm = 0,5 * 10^-3 m; 

raggio = 0,25 * 10^-3 m

Area sezione filo di rame = 3,14 * r^2;

Area = 3,14 * (0,25 * 10^-3)^2 = 1,96 * 10^-7 m^2;

Resistenza filo di rame: 

R = r * (lunghezza filo) / (Area filo); 2a legge di Ohm.

R = 1,7 * 10^-8 * 62,8 / (1,96 * 10^-7) = 5,44 Ohm.

V = R * i = 5,44 * 0,5 = 2,7 V.

Esercizi di termodinamica- cicli. Legge di Mayer

  1. Un gas biatomico compie un ciclo termodinamico costituito da tre trasformazioni reversibili:

AB isoterma ,

BC isocora,

CA adiabatica . (vedi figura).

Sapendo che VB = 3 VA, sapendo che il calore specifico di un gas biatomico è : cv = 5/2 R; cp = 7/2 R

calcolare il rendimento η del ciclo termodinamico.

Vb = 3 Va;

Lavoro isoterma: (Ta costante),

LAB = n R Ta ln(3 Va / Va) = n R Ta ln(3).

Gas biatomico cv = 5/2 R; cp = 7/2 R;

gamma = cp/cv = 7/5.



Adiabatica Pc * Vc^gamma = Pa * Va^gamma.

Vc = Vb = 3 Va;

Pb = 1/3 Pa;

Pc = Pa * (Va/Vc)^gamma;

Pc = Pa * (1/3)^(7/5);

Pc = Pa * 0,215

isocora:

Pb/Tb = Pc/Tc;

Tb = Ta;

Tc = Pc * Ta / Pb ;

Tc = 0,215 * Pa * Ta / (1/3 Pa) = 0,215 * 3 = 0,645 * Ta.

Lavoro adiabatica = – cv n (Ta – Tc) = 

= – 5/2 R n (Ta – 0,645 Ta) = – 5/2 R n Ta * 0,355;

rendimento η = L / Qassorbito.

Q assorbito solo nell’isoterma da A a B.

η = [n R Ta ln(3) – 5/2 R n Ta * 0,355] / n R Ta ln(3) ;

n R Ta si semplifica, resta:

η = [ln(3) – 5/2 * 0,355] / ln(3) = (1,1 – 0,89) / 1,1;

η = 0,21 / 1,1 = 0,19 = 19%.

Trasformazioni termodinamiche:

Trasformazione isoterma: P1 V1 = P2 V2; Q = L = n R T ln(V2/V1)
Adiabatica: Q = 0 J. P1 * V1^gamma = P2 * V2^gamma; L = – DeltaU = – cv n DeltaT.
Isocora: L = 0 J ; P1/T1 = P2/T2. L = DeltaU = cv n DeltaT.

ISOBARA – Legge di Mayer

Isobara: P = costate. Q = L + DeltaU = P * DeltaV + cv n DeltaT.

Lavoro nell’isobara per un gas monoatomico cv = 3/2 R J/Kmol:

P * DeltaV = n R DeltaT; per la legge dei gas perfetti.

Q = L + DeltaU = n R DeltaT + cv n DeltaT;
Q = n R DeltaT + 3/2 R n DeltaT;

R + 3/2 R = 5/2 R = cp calore specifico a pressione costante.

cp = cv + R; Legge di Mayer.

Q = cp * n * DeltaT.

2) Una macchina termica ha un rendimento che vale 8,4 %, pari al 72 % di quello di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature, la cui differenza è di 35°C.

> calcolare le temperature delle due sorgenti ;

> calcolare il coefficiente di prestazione di un frigorifero che operi invertendo il ciclo della macchina termica ideale di Carnot.

0,72 * (r Carnot) = 0,084;

r Carnot = 0,084 / 0,72 = 0,12 (rendimento macchina di Carnot).

T2 – T1 = 35°C; una differenza di 35°C rimane 35 K anche in Kelvin perché le due scale sono centigrade.

(T2 – T1) / T2 = 0,12

35 / T2 = 0,12;

T2 = 35 / 0,12 = 292 K; (circa = 2,9 * 10^2 K)

T2 – T1 = 35;

T1 = 292 – 35 = 257 K; ( circa = 2,6 * 10^2 K).

Il coefficiente di prestazione è l’inverso del rendimento.

cop = T1 / (T2 – T1) = 257 / 35 = 7,3.

Ciclo di Carnot: due isoterme + due adiabatiche; massimo rendimento che dipende dalle due temperature in gioco: rendimento = (T2 – T1) / T2

3) Un recipiente cilindrico contiene 11 * 10^23 atomi di neon.
Il gas si espande isotermicamente alla temperatura di 350 K fino a raggiungere un volume pari al doppio di quello iniziale. Successivamente viene riscaldato di 20°C mantenendo la pressione costante di 1,1 atm.

– Calcolare il lavoro svolto durante tutta la trasformazione.

– Calcolare la variazione di energia interna totale.

– Calcolare il calore totale assorbito o ceduto.

Isoterma AB + isobara BC.

gas neon, è un gas raro.

  MM = 20,18 grammi (ha 10 protoni  e 10 neutroni, totale 20 particelle pesanti).

N = 11* 10^23 atomi;

numero di moli: 

n = N / (N avogadro) = 11 * 10^23 / 6,022 * 10^23;

n = 1,83 moli di gas neon, il gas è monoatomico.

R = 8,31 J/molK;

cv = 3/2 * R J/molK; cp = 5/2 * R J/molK;

Isoterma AB:  Q = L = n R T ln(V2/V1);

V2 = 2 V1;  V2 / V1 = 2;

L AB = 1,83 * 8,31 * 350 * ln(2) = 3689 J = 3,7 kJ.

P = 1,1 atm = 1,1 * 1,013 * 10^5 Pa = 1,114 * 10^5 Pa;

TB = 350 K

L’aumento di DeltaT = 20°C è lo stesso anche in Kelvin.

TC = 350 K +DeltaT = 370 K;

Q isobara = L + DeltaU = P * DeltaV + cv n DeltaT;

P * DeltaV = n R DeltaT 

Lavoro isobara = n R (Tfin – To) =1,83 * 8,31 * (370 – 350);

L isobara = 304,15 J = 0,304 kJ;

Lavoro = 3,7 + 0,304 = 4,0 kJ; (lavoro totale).

DeltaU isoterma = 0 J perché non aumenta la temperatura.

DeltaU Isobara = cv n DeltaT = 3/2 * 8,31 * 20 = 249 J;

Q isobara = L + DeltaU = 304 + 249 = 553 J;

Q isoterma = L = 3689 J;

Q assorbito = Q isoterma + Q isobara,

Q ass = 3689 + 553 = 4242 J = 4,24 kJ. 

Esercizi sul moto rettilineo, moto di un grave lanciato verso l’alto.

Legge del moto rettilineo uniforme: v = costante.

S = v * (t – to) * So.

Legge del moto uniformemente accelerato:

v = a * (t – to) + vo;   (legge della velocità).

a = (v – vo) / (t – to);  (accelerazione).

S = 1/2 a t^2 + vo * t * So;   (legge dello spazio percorso).

Esempio: Esercizio moto uniforme e moto accelerato.

auto

Un’auto da corsa effettua un pit stop per rifornirsi di carburante. Dopo essersi rifornita, parte da ferma e lascia l’area del pit stop con un’accelerazione di 6,0 m/s^2, impiegando 6,0 s per entrare nel circuito. Nello stesso istante di entrata nel circuito, una seconda auto la affianca a una velocità di 60 m/s e la supera. La prima auto mantiene la stessa accelerazione.

  • Dopo quanto tempo la prima auto raggiunge la seconda?   

Velocità raggiunta in 6,0 s:

v = a * t;
v = 6,0 * 6,0 = 36 m/s; (velocità con cui entra nel circuito).
Continua ad accelerare:
S = 1/2 a t^2 + vo t;
S = 1/2 * 6,0 * t^2 + 36 * t; legge sel moto.
Seconda auto: viaggia a velocità costante.
S = 60 * t;
Mettiamo a sistema le due leggi del moto.
S = 3,0 t^2 + 36 t;    (1).
S = 60 t;  (2).
Eguagliamo S = S; troviamo il tempo in cui la prima auto raggiunge la seconda.
 3,0 t^2 + 36 t = 60 t;
3,0 t^2 – 24 t = 0;
t * (3,0 t – 24) = 0;
t1 = 0; situazione iniziale.
t2 = 24 / 3,0 = 8 s;
la prima auto raggiunge la seconda in 8 secondi.

Esempio 2:

L’auto B parte con un vantaggio di 200 m e 35,0 s prima dell’auto A.
A si muove alla velocità di 30,0 m/s e B alla velocità 25,0 m/s.

1) qual è il vantaggio di B nell’istante in cui parte A?

2) Dopo quanti secondi dalla sua partenza A raggiunge B?

3) Quale velocità avrebbe dovuto avere A per raggiungere B in soli 200 s dall’istante della sua partenza?

Legge del moto:
S = v * t + So
Sa = 30,0 * t;
L’auto A parte a t = 0 s, quando l’auto B è già partita 35 secondi prima.

Sb = 25 * (t + 35,0) + 200;

Sb = 25,0 * t + 875 + 200;
Sb = 25,0 * t + 1075;
1)  So = 1075 m; vantaggio di B su A.
2)  Sa = Sb;  A raggiunge B;
30,0 * t = 25,0 * t + 1075;
5,0 t = 1075

t = 1075 / 5 = 215 s;  A raggiuge B in 215 s.
3) t = 200 s; velocità di A:
va * 200 = 25,0 * 200 + 1075
va * 200 = 6075;
va = 6075 / 200 = 30,375 m/s;   va = circa 30,4 m/s.

Berlino, oro e record del mondo nei 100 m per Usain Bolt: 9″58.

Il precedente primato Bolt lo aveva ottenuto alle Olimpiadi di Pechino del 2008 correndo in 9,69 s. Argento per l’americano Tyson Gay in 9,71 s, bronzo per l’altro giamaicano Asafa Powell in 9,84 s

finale dei 100 m a Berlino – 16 agosto 2009.

L’accelerazione è la variazione di velocità nell’unità di tempo:

a = (v-vo) / (t – to)     si misura in m/s^2.

Il 16 agosto 2009 a Berlino, Bolt ha corso i 100 m in un tempo t = 9,58 s, record del mondo.

1) Calcolare la velocità media in m/s e in km/h. 

v media = s/t = 100 / 9,58 = 10,44 m/s.

  ( Ris :  10,44 m/s; 37,58 km/h).

Ma Bolt ha raggiunto una velocità finale molto maggiore.

Supponendo che Bolt abbia mantenuto un moto accelerato per un tempo t1 = 4 s e che  il suo moto sia stato uniforme per il rimanente tempo t2 = 5,58 s,

  • calcolare l’accelerazione a,
  • lo spazio S1 di accelerazione,
  • la velocità raggiunta alla fine della fase di accelerazione,
  • lo spazio S2 percorso con tale velocità.

Ris :  ( a =3,3 m/s^2; S1 =26,4 m; V = 13,2 m/s = 47,5 km/h: S2 = 73,7 m).

Impostare il seguente sistema: 

S1 = 1/2  a  t1^2   ;                S1 = 1/2 * a * 4^2 = 8 * a;

S2 = V * t2                               S2 = 5,58 * v

v = a * t1                                 V = 4 * a

S1 + S2 = 100                          

Soluzione:

S1 = 1/2 a t1^2; (moto accelerato).

S1 = 1/2 a * 4^2;

S1 = 1/2 * a * 16 ;S1 = 8 * a;

S2 = v * t2; (moto uniforme).

S2 = 5,58 * v ;

v = a * t1 ;

v = a *4, (velocità raggiunta nei primi 4 secondi).

S2 = 5,58 * a * 4 = 22,32 * a;

S1 + S2 = 100;

8 * a + 22,32 * a = 100;

30,32 * a = 100;

a = 100 / 30,32 = 3,3 m/s^2;

v = a * t1 = 3,3 * 4 = 13,2 m/s; (velocità raggiunta);

in km/h: v =  13,2 m/s = 13,2 * 3,6 = 47,52 km/h.

S1 = 8 * 3,3 = 26,4 m;

S2 = 100 – 26,4 = 73,6 m.

Esercizio 1

Attachment image

vo = 0 m/s;

v = 97,2 km/h = 97200 m / 3600 s = 97,2 / 3,6 = 27 m/s;

a = (v – vo) / t = 27/9,00 = 3 m/s^2; accelerazione.

v = 3 * t, con t da 0 s a 9,00 s.

S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 3 * 9^2 = 121,5 m; (Spazio percorso).

Poi moto uniforme, con v = 27 m/s:

S = v * t;

t = S / v = 297 /27 = 11,00 s. (Tempo di moto uniforme).

ultimo tratto decelera: a = – 1,5 m/s^2; v finale = 0.

v = a * t + vo;

v = – 1,5 * t + 27;

– 1,5 * t + 27 = 0;

t = 27/1,5 = 18,00 secondi; (tempo per fermarsi).

S = 1/2 * (- 1,5) * 18^2 + 27 * 18 = 243 m; (spazio di frenata).

Tempo totale = 9,00 + 11,00 + 18,00 = 38,00 s.

S totale = 121,5 + 297 + 243 = 661,5 m.

Grafico del moto: velocità – tempo.

Lo spazio percorso in metri è dato anche dall’area sotto il grafico, (area del trapezio):

S = (38 + 11) * 27 / 2 = 661,5 m.

moto

Esercizio 2

Scrivere la legge della velocità per il moto rappresentato dal grafico in figura.

– Calcolare la distanza percorsa nell’intervallo di tempo fra 1,0 s e 2,0 s.

Soluzione= 20 m

Attachment image

La velocità aumenta nel tempo, c’è accelerazione costante.

vo = 5 m/s;      v finale: v = 25 m/s.

a = (v – vo) / (t – to) = (25 – 5) / (2,0 – 0);

a = 20/2,0 = 10 m/s^2;

v = 10 * t  + 5;  legge del moto per la velocità.

Lo spazio lo si può calcolare come area sotto il grafico della velocità. E’ l’area di un trapezio: le basi sono le velocità, l’altezza è il tempo.

v1= 10 * 1 + 5 = 15 m/s;

v2 = 10 * 2 + 5 = 25 m/s; come si legge dal grafico.

S = (v1 + v2) * (t2 – t1) / 2 = (15 + 25) * 1,0 / 2 = 20 m.

Oppure con la legge del moto dello spazio:

S = 1/2 a (t- to)^2 + vo * (t – to).

vo  al tempo 1,0 s = 15 m/s;

S = 1/2 * 10 * (2,0 – 1,0)^2 + 15 * 1,0 = 5 * 1,0 + 15 = 20 m.

Esercizio 3

La legge oraria di una persona che si sta muovendo in bicicletta è:

x= 6,0 m + (4,5 m/s) * t.

a. Dove si trova la bicicletta al tempo  t = 2,0 s?

b. Per quale valore del tempo t, la bicicletta si trova in x = 24 m?

x = xo + v * t ; legge del moto.

a) t = 2,0 s:

x = 6,0 + 4,5 * 2,0 = 6,0 + 9,0 = 15 m; posizione della bici.

b) x = 24 m; trovare il tempo t.

6,0 + 4,5 * t = 24;

4,5 * t = 24 – 6,0;

4,5 * t = 18;

t = 18 / 4,5 = 4,0 secondi.  ( Dopo 4 secondi la bici ha percorso 18 metri, aggiungendo i 6,0 m della posizione iniziale, la bici si troverà a 24 m).

Esercizio 4

Quanto è lungo un treno (dalla motrice fino all’ultimo vagone) se attraversa completamente  un ponte lungo 200 m in 13,0 s, ad una velocità costante di 80,0 km/h?

v = 80 km/h = 80000/ 3600 = 80/3,6 = 22,22 m/s;

S =v * t;

In t = 13,0 s; il treno percorre tutto il ponte, + tutta la sua lunghezza L;

v * t = L + 200.

22,2 * 13,0 = L + 200;

288,6 = L + 200;

L = 288,6 – 200 = 88,6 m, lunghezza del treno.

ponte

Esercizio 5 – quattro semplici esempi a), b), c), d):

a) Un’auto accelera costantemente per 10 s con accelerazione a uguale a 4 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 6 m/s determinare la sua velocità finale.

v = a * t + vo;

v = 4 * 10 + 6 = 46 m/s.

b) Un’auto viaggia a una velocità di 144 km/h. Quanto tempo impiega a fermarsi se i freni forniscono una decelerazione costante di 5 m/s^2 . Quanto spazio percorre prima di fermarsi?

vo = 144 km/h = 144 000 m/3600 s = 40 m/s;

v = – 5 * t + 40;

v = 0 m/s; velocità finale.

– 5 * t + 40 = 0

t = – 40 / (-5) = 8 s; tempo per fermarsi.

Legge del moto:  S = 1/2 a * t^2 + vo t;

S = 1/2 * (-5) * 8^2 + 40 * 8 = 160 m.

c) Un’auto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione uguale a a = 5 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 10 m/s, qual è la sua velocità dopo 3 s ?

v = 5 * 3 + 10 = 25 m/s.

d) Un’automobile parte da ferma con accelerazione costante uguale a 5 m/s^2 .

a) Calcolare la velocità raggiunta dopo 4 s.

b) Calcolare quanto tempo è necessario per raggiungere la velocità di 108 km/h

c) Rappresentare con un diagramma velocità-tempo il moto dell’auto.

v = a * t = 5 * 4 = 20 m/s;

v finale = 108 km/h = 108 000 m / 3600 s = 108 / 3,6 = 30 m/s.

v = a * t;

t = v / a = 30 / 5 = 6 secondi.

5) vo = 288 km/h = 288 / 3,6 = 80 m/s;

v finale  = 0; t = 4 secondi.

a * t + 80 = 0;

a = – 80 / 4 = – 20 m/s^2.

vel-tem

Esercizio 6:

Una particella in moto lungo l’asse delle x si muove con accelerazione costante da x = 2,0 m a x = 8,0 m in un intervallo di 2,5 s.
La velocità della particella a x = 8,0 m è 2,8 m/s.

  • Qual è l’accelerazione durante l’intervallo considerato?
  • Qual è la velocità iniziale?

x = 1/2 a t^2 + vo * t + xo;  (legge del moto accelerato).

xo = 2,0 m;

v = a * t + vo;   (legge del moto accelerato per la velocità).

v = 2,8 m/s;

t = 2,5 s;

vo = v – a * t;

vo = 2,8 – a * t;

8,0 = 1/2 * a * 2,5^2 + (2,8 – a * 2,5) * 2,5 + 2,0;

8,0 – 2,0 = 3,125 * a + 7,0 – 6,25 * a;

6,0 – 7,0 = – 3,125 * a;

a = – 1 / (- 3,125) = 0,32 m/s^2; accelerazione).

vo = 2,8 – 0,32 * 2,5 = 2,0 m/s; (velocità iniziale).

Esercizio 7:

lancio

v = g * t + vo ;

g = – 9,8 m/s^2; (accelerazione di gravità rivolta verso il basso).

– Tempo di salita: è il tempo per raggiungere la quota massima; si pone v = 0 e si ricava t:


g t + vo  = 0

t(salita) = – vo  / g =  -15,00 / – 9,8 = 1,53 s;
altezza massima:
y = 1/2 g t^2 + v * t; (moto accelerato);
y max = 1/2 * (-9,8) * 1,53^2 + 15 * 1,53 = 11,5 m;
Tempi a 8 metri.
– 4,9 * t^2 + 15,00 * t = 8;
4,9 t^2 – 15,00*t  + 8 = 0;

t = [15 +- radice(15^2 – 4 * 4,9 * 8) ] /(2 * 4,9) ;t = [15 +-radice(68,2)]/9,8 = [15 +- 8,26]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (15 – 8,26) / 9,8 = 6,74/9,8 = 0,69 s; (in salita).

t2 = (15 + 8,26) / 9,8 = 23,26/9,8 = 2,37 s (in discesa).

Tempo di volo. Si pone  y = 0 m.

1/2 g t^2 + v * t = 0;

1/2 * (-9,8) * t^2 + 15,00 * t = 0;

4,9 t^2 – 15,00 t = 0

t * ( 4,9 t – 15,00) = 0

t1 = 0 s; (alla partenza).

t2 = 15,00 / 4,9 = 3,06 s; (al ritorno; t volo = 2 * t salita).

v finale = – 9,8 *  3,06 + 15,00 = – 30,00 + 15,00 = – 15,00 m/s.

Torna a terra con la stessa velocità di partenza cambiata di segno, cioè rivolta verso il basso.

Esercizio 8 :

Un oggetto viene lanciato verticalmente verso l’ alto con una velocità iniziale          vo = 90 km/h.

Determinare i due istanti in cui si trova ad un’altezza di 30 m dal suolo e qual è la velocità dell’oggetto in tali istanti. 

vo = 90 000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s; (velocità iniziale).

h = 30 m;

1/2 * (- 9,8) * t^2 + 25 * t = 30.

Troviamo il tempo t:

– 4,9 * t^2 + 25 * t – 30 = 0

4,9 t^2 – 25 t + 30 = 0

t = [25 +- radice(25^2 – 4 * 4,9 * 30) ] /(2 * 4,9) ;

t = [25 +-radice(37)]/9,8 = [25 +- 6,08]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (25 – 6,08) / 9,8 = 18,92/9,8 = 1,93 s;

(quando è in salita);

Ripassa a 30 m in discesa:

t2 = (25 + 6,08) / 9,8 = 3,17 s.

v1 = – 9,8 * 1,93 + 25 = + 6,1 m/s, (quando sale).

v2 = – 9,8 * 3,17 + 25 = – 6,1 m/s, (quando scende, stessa velocità però verso il basso).

Esercizio 9:

Un oggetto, lanciato verticalmente verso l’alto, ha una velocità di 18 m/s, quando raggiunge un quarto della sua massima altezza al di sopra del punto di lancio.

  • Qual è la velocità iniziale (di lancio) dell’oggetto?

    Applichiamo la conservazione dell’energia :

    m *g * hmax = 1/2 m vo^2;

    h max = vo^2/(2g);

    l’energia è la stessa in ogni punto.

    m * g * h max = m* g* (hmax/4) + 1/2 * m * 18^2

    la massa m si semplifica;

    g *  vo^2/(2g) = g * vo^2/(8g) + 1/2 18^2

    vo^2 / 2 – vo^2/8 = 162

    3/8 vo^2 = 162

    vo = radice(162*8/3) = radice(432) = 20,8 m/s.

Esercizio 10:

ponte

Ponte di Augusto e Tiberio a Rimini.

Sei su un ponte che si trova a 15 m sopra un fiume e lasci cadere una pietra. Quando ha percorso una distanza di 3,20 m lanci una seconda pietra. Che velocità deve avere la seconda pietra perché entrambe entrino in acqua nello stesso istante di tempo?

Tempo di caduta da 15 m:

h = 1/2 g t^2;
t = radice(2 h/g) = radice(2 * 15 / 9,8) = 1,75 s;
tempo per percorrere 3,30 m:
t1 = radice(2 * 3,20 /9,8) = 0,808 s;
Dopo 0,808 s lanci la seconda pietra con velocità vo.

La seconda pietra deve percorrere 15 metri e  arrivare al suolo in un tempo:
t2 = 1,75 – 0,808 = 0,94 s;
h = 1/2 g t^2 + vo t;
15 = 1/2 * 9,8 * 0,94^2 + vo * 0,94;
15 = 4,33 + vo * 0,94
vo = (15 – 4,33) / 0,94;
vo = 10,67 / 0,94 = 11,3 m/s.

Esercizio 11:

Una biglia di massa 0,5 Kg viene lasciata libera di cadere da una discesa di altezza incognita. Sapendo che la biglia alla fine della discesa raggiunge una velocità di 1,5 m/s, determinare l’altezza della discesa.

La biglia parte da ferma, poi accelera per l’accelerazione di gravità g = 9,8 m/s^2.

Con la conservazione dell’energia:

Energia potenziale iniziale = Energia cinetica finale.

m g h = 1/2 m v^2;

h = v^2/(2 * g) = 1,5^2 / (2 * 9,8) = 0,11 m = 11 cm.

m g h è l’energia potenziale.

1/2 m v^2 è l’energia cinetica.

Se non si conosce la conservazione, allora utilizziamo le leggi del moto accelerato:

v = g * t;

v = 9,8 * t;

t = v / 9,8 = 1,5/9,8 = 0,153 s ( tempo di caduta)

h = 1/2 * g * t^2; 

h = 1/2 * 9,8 * 0,153^2 = 0,11 m.

Flusso del campo magnetico – Forza elettromotrice indotta. Campo di una spira. Esercizi.

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La legge di Faraday descrive il manifestarsi di una  forza elettromotrice causata dal moto di una spira in un campo magnetico, e descrive la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.

L’intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire. E’ questa variazione che genera la f.e.m. indotta.

 Il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola come il flusso del campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

ΦB = B *A * cosα;
flusso supflussosup2

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A.

B = B * dA;
ΦB = d ΦB.

L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m2

Legge di Faraday-Neumann: la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

f.e.m. = – dΦ / dt.

Esempio 1:

Una barra di lunghezza L = 2 m si muove alla velocità v = 20 m/s chiudendo un circuito di resistenza complessiva pari a R = 5 Ω come in figura.

Nel piano dove si muove la barra è presente un campo magnetico ortogonale al piano, uniforme e diretto verso l’alto verso l’alto con intensità B = 0,5 T.

Calcolare

1) Modulo della forza magnetica sulla barra L.

2) Potenza dissipata sulla resistenza R.

Attachment image

f.e.m. indotta = – (Δ Φ)/Δ t; 

(legge dell’induzione di Faraday, terza legge di Maxwell).

[flusso del campo B] = B * Area.

L’area attraversata da B varia nel tempo, la barra percorre una distanza S = v *Δ t, che cresce nel tempo, quindi il flusso aumenta:

Area = L * S = L * v * Δ t:

Area = 2 * 20 * Δ t = 40 * Δ t

f.e.m. indotta ε = – B * 40 * Δ t / Δ t;

ε = – 0,5 * 40 = – 20 V; (segno – perché la forza elettromotrice si oppone alla variazione del flusso).

Prendiamo il valore assoluto:

i = V / R = 20 / 5 = 4 A;

F = i B L = 4 * 0,5 * 2 = 4 N; (verso l’alto del foglio).

Potenza:

P = i^2 * R = 4^2 * 5 = 80 Watt;

oppure P = V^2/R = 20^2/5 = 80 W.

Esempio 1 bis:

Un magnete viene avvicinato rapidamente ad una spira circolare di raggio 50 cm. Se l’intensità del campo magnetico attraverso la bobina passa da 500 mT a 100 mT in 0,25 s,  quanto vale la forza elettromotrice indotta?

f.e.m. = – delta(ΦB)/deltat

ΦB = B * S = B * pgrecoR^2

delta(ΦB) = (100 *10^-6 – 500 * 10^-6) * 3,14 * 0,5^2 = – 400 * 10^-6 * 0,785= -3,14 * 10^-4 Wb (Tesla * m^2)

f.e.m. = – ( – 3,14 * 10^-4) /0,25 = 1,26 * 10^-3 Volt.

Esempio 2:

Attachment image

f.e.m. (indotta) = – (Delta Φ) / (Delta t)

Il Flusso del campo B varia da Φo = 0 Tm^2 iniziale fino al valore finale quando tutta l’area è all’interno del campo:

area finale = 4 * 4 = 16 cm^2 = 16 * 10^-4 m^2.

Flusso finale  Φ = B * Area = 4,50 * 10^-4 * 16 * 10^-4 =

= 7,20 * 10^-7 Tm^2.

Delta Φ = 7,20 * 10^-7 Tm^2 – 0;

Delta t = S / v = 4,00 cm / (1,00 cm/s) =  4,00 secondi.

V = – 7,20 * 10^-7 / 4,00 = – 1,80 * 10^-7 Volt.

Esempio 2 bis:

Una bobina rettangolare è formata da 12 avvolgimenti. Le sue dimensioni sono 15 cm larga e 5 cm alta. La sua resistenza totale è di 2 ohm . Un campo magnetico di 2,50 T è diretto perpendicolarmente al piano della bobina.Il campo magnetico viene ridotto ad un valore di 1 T in 3 ms . Trovare la corrente indotta nella bobina.

forza elettromotrice indotta = f.e.m.

f.e.m. = – deltaΦ/delta t

Flusso: Φ = B * area * numero di avvolgimenti ;

area in m^2 Area = 15 * 5 = 75 cm^2 = 75 * 10^-4 m^2

deltaΦ = (B1 – Bo) * area * N = (1 – 2,50) * 75 * 10^-4 * 12 = – 0,135 Weber

f.e.m. = 0,135 / (3 * 10^-3) = 45 Volt

corrente indotta:

i = f.e.m. / R = 45/2 = 22,5 Ampère.

Esempio 3:

Attachment image

Area di una spira = 3,14 * (0,025)^2 = 1,96 * 10^-3 m^2

Flusso: Φ = B * Area.

f.e.m. = N * (DeltaFlusso)/ Deltat

Delta Φ / Delta t =

= (0,50 – 0,15) *(1,96 * 10^-3 /(3,2 * 10^-3 s) = 0,214 V;

Per N spire:

f.e.m. = N * 0,214 = 30 * 0,214 = 6,4 V.

i = f.e.m. / R = 6,4 / 10 = 0,64 A .

Campo al centro di una spira percorsa da corrente i :

B = μo * i / (2 R);

μo = 1,26 * 10^-6 T m/A =   permeabilità magnetica del vuoto.

spira2

campospira

Esempio 4):  Campo al centro di due  spire.

Due spire circolari, entrambe di raggio R = 10 cm, sono disposte perpendicolarmente fra loro e sono percorse da correnti di uguale intensità. Sapendo che l’induzione magnetica B risultante nel centro comune delle due spire è 4,4 * 10^−5 T,

  • calcolare l’intensità di corrente che percorre le due spire.

B = μo * i / (2R); campo al centro di una spira, perpendicolare alla spira.

μo = 1,26 * 10^-6 Tm/A.

Se le due spire sono perpendicolari anche i due campi B1 e B2 sono perpendicolari fra loro.

B1 = B2; se la corrente è la stessa.

La somma si ottiene con il teorema di Pitagora;

B ris = radice(B^2 + B^2) = B * radice(2) = 4,4 * 10^-5 T;

B = 4,4 * 10^-5 / radice(2) = 3,11 * 10^-5 T; (campo di una sola spira).

R = 0,1 m; raggio di una spira.

μo * i / (2R) = 3,11 * 10^-5;

i = 3,11 * 10^-5 * 2 R / μo =

= 3,11 * 10^-5 * 2 * 0,1/1,26 * 10^-6  = 4,94 A; (circa 5 A).

i = 5 A.

Esercizi semplici sulla rifrazione della luce. Angolo limite

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prismaPrisma – Spettro della luce bianca, rifrazione nel vetro.

rifrazione (1)

  1. In un materiale di composizione ignota la luce viaggia a 2,6 * 10^8 m/s. Un raggio di luce che viaggia nell’aria colpisce il materiale con un angolo di 45°.
    – Calcolare l’angolo di rifrazione del raggio.

sen i / senr = v1/v2;    (legge della rifrazione).

v1 = c = 3 * 10^8 m/s; velocità della luce in aria o nel vuoto.

v2 = 2,6*10^8 m/s; velocità della luce nel materiale.

sen45° / sen r = 3 * 10^8 / 2,6*10^8

sen45° / sen r = 3/2,6;

sen r = sen45° * 2,6/3 = 0,707 * 0,866 ;

sen r = 0,613;

r = sen^-1 (0,613) = 37,8° = 38°.

rifrazione (1)

2.  La velocità di propagazione di un raggio di luce in una soluzione è 1,95 * 10^8 m/s.

  • Qual è l’indice di rifrazione della soluzione?
  • Calcolare  il valore dell’angolo limite rispetto all’aria.

n21 = v1/v2;   indice di rifrazione della soluzione rispetto al primo mezzo(aria).

v1 = c;

n21 = 3 * 10^8 / 1,95 * 10^8 = 1,54.

Angolo limite L: il raggio parte dalla soluzione e non riesce a passare nell’aria, rifrange a 90°.

senL/ sen90° = 1 / 1,54;

1 è l’indice di rifrazione dell’aria, 1,54 è l’indice di rifrazione della soluzione.

sen L = 0,649,

L = sen^-1(0,649) = 40,5°.

riflessione-totale

 

3. Un raggio luminoso penetra in una soluzione biologica con un certo angolo e viene rifatto con un angolo di 45,0°. Sapendo che l’indice di rifrazione è 1,25,

  • determinare l’angolo di incidenza.
  • Qual è la velocità di propagazione della luce nella soluzione?

sen i / sen45° = n2 / n1 ; (legge della rifrazione).

sen i / sen45° = 1,25 / 1

sen i = 1,25 * sen45° = 0,884

i = sen^-1(0,884) = 62,1°

n = indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto all’aria: n  = v1/v2

n = c / v2 = 1,25

v2 = c / 1,25 = 3 * 10^8 / 1,25 = 2,4 * 10^8 m/s.

Elettroforo di Volta

elettroforo

L’elettroforo, detto anche elettroforo di Volta, è un generatore  elettrostatico in grado di accumulare una piccola quantità di  carica elettrica. Ideato da Alessandro Volta intorno al 1775  durante i suoi studi sull’elettricità  ha anche ora utilità didattica.

È costituito da un disco di materiale conduttore (chiamato scudo, di solito di alluminio) che si impugna attraverso un manico isolante e viene utilizzato in abbinamento ad una superficie in materiale isolante, per esempio ebanite  o anche materiale plastico e ad un panno di lana con cui si strofina energicamente il disco isolante.
Il disco isolante si carica  negativamente in quanto la lana gli cede elettroni. Sul disco isolante si pone il disco metallico.

Sul disco metallico posto sull’isolante si separano le cariche. L’isolante di solito si elettrizza negativamente quindi nel disco metallico posto sopra, gli elettroni si allontanano e vengono in superficie;

quando tocchiamo con un dito il disco metallico, gli elettroni migrano nel nostro corpo e il disco resta carico positivamente perché gli abbiamo portato via una certa quantità di elettroni.

Quando il disco è scarico, lo rimettiamo sul disco isolante e ripetiamo l’operazione, il disco metallico si carica  di nuovo.

elettrof1

 

 

 

Esercizi su intensità di corrente

  1. Un conduttore è percorso da una corrente i = 3,2 µA.
    Il numero di elettroni che attraversa una sezione trasversale qualsiasi del conduttore in 100 s è:

a) 5,1*10^-23

b) 5,1*10^15

c) 2,0*10^15

d) 2,0*10^-23.

(Indicare la risposta corretta e giustificarla).

i = 3,2 * 10^-6 A = 3,2 * 10^-6 C/s

e- = 1,602 * 10^-19 C (carica di un elettrone).

i / e = numero di elettroni /secondo;

3,2 * 10^-6 / 1,602 * 10^-19 = 2,0 * 10^13 elettroni/s;

N (in 100 secondi) = 2,0 * 10^13 * 100  = 2,0 * 10^15 elettroni ;

risposta c).

 

2.  Un filo elettrico è attraversato da 6,0 * 10^18 elettroni in un minuto.

  • Qual è l’intensità di corrente che attraversa il filo?
  • Quanta carica attraversa il filo elettrico in un giorno?

risultati:  16 mA ; 1,4 * 10^3 C;

i = Delta Q / Delta t

 
DeltaQ = n * e = 6,0 * 10^18 * 1,602 * 10^-19 Coulomb.
 
DeltaQ = 0,96 Coulomb
 
Deltat = 1 minuto * 60 s;
i = 0,96 / 60 = 0,016 A = 16 milliA;
 
 
Carica in un giorno:
DeltaQ = i * t
 
t = 24 h * 3600 s = 86400 s
 
Delta Q = 0,016 * 86400 = 1382 C = 1,4 * 10^3 C.
 

 

L’intensità di corrente nei conduttori solidi
L’intensità di corrente elettrica è uno spostamento ordinato di cariche elettriche che si ha in un conduttore quando ai suoi estremi viene applicata una d.d.p.

L’ intensità di corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo; 

      i = Δq/Δt

( E’  la derivata prima, rispetto al tempo della funzione q(t)) .

E’  una grandezza fisica, la sua unita’ di misura è l’ Ampere (A). (Nel sistema internazionale è una misura fondamentale, come il metro, il kg, il secondo). 1 A = 1 C/1sec. I portatori di carica in un metallo sono gli elettroni esterni degli atomi: questi elettroni, delocalizzati, sono liberi di muoversi da un atomo all’ altro. Invece gli ioni positivi occupano i nodi del reticolo cristallino e possono compiere piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio, per agitazione termica, ostacolano quindi il moto delle cariche e sono responsabili della resistenza elettrica  R che gli elettroni incontrano quando si muovono all’interno di un conduttore. Gli elettroni si muovono da punti a potenziale minore, verso punti a potenziale maggiore, in verso contrario al campo (dal – al +).  Per convenzione invece il verso della corrente è quello dal + al – , come se fossero cariche positive a spostarsi. Questo perchè, quando si cominciò a studiare le correnti, non si conosceva ancora l’ esistenza dell’ elettrone, scoperto da    Joseph John Thomson (1856-1940), intorno al 1897. Ebbe il premio Nobel nel 1906.

 

verso convenzionale della intensità di corrente.

 

 

circuitoelettrico1

3) Calcolare il valore dell’intensità di corrente i che scorre in un conduttore dove la velocità di deriva dei portatori di carica (elettroni) è:

vd =2 * 10^-4 m/s e la sezione circolare è S = 5 mm^ 2. [Si ipotizzi che la densità di portatori sia pari a n = 5 * 10^28 elettroni / m^3 ].

i = Q / t = Coulomb/s;

i = e * n * A * vd;

e = 1,602 * 10^-19 C.

e * n = Carica /m^3 = Q/m^3 = Coulomb/m^3

A * vd = Volume/secondo = m^3/s;

i = C / m^3 *  (m^3/s) = C / s = Ampére.

A = 5 mm^2 = 5 * 10^-6 m^2.

i = 1,602 * 10^-19 * 5 * 10^28 * (5 * 10^-6) * 2 * 10^-4;

i = 8,1 A.

Decadimento di una sostanza radioattiva.

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La radioattività, o decadimento radioattivo, è un insieme di processi fisico nucleari attraverso i quali alcuni  nuclei atomici instabili o radioattivi  decadono, in un tempo detto tempo di decadimento, in nuclei di energia inferiore raggiungendo uno stato di maggiore stabilità con emissione di radiazioni ionizzanti rispettando i principi di conservazione di massa ed energia e della quantità di moto. Il processo continua  nel tempo fino a quando gli elementi  prodotti, a loro volta radioattivi, non raggiungono uno stato finale stabile. 

Decadimenti radioattivi

decad

 

Legge del decadimento:

dN/dt = – λ  * t;

λ è la costante di decadimento tipica di ogni sostanza radioattiva. Soluzione dell’equazione differenziale:

N = No * e ^( – λ * t);

 

Oltre alla costante di decadimento λ il decadimento radioattivo è caratterizzato da un’altra costante chiamata vita media. Ogni atomo vive per un tempo preciso prima di decadere e la vita media rappresenta appunto la media aritmetica sui tempi di vita di tutti gli atomi della stessa specie. La vita media viene rappresentata dal simbolo τ, legato a λ dalla relazione:

τ = 1/ λ ;  (tempo di vita media).

Tempo di dimezzamento t(1/2) = τ;
il tempo di dimezzamento ci dice dopo quanto tempo saranno decaduti un numero di atomi pari alla metà del totale ed è legato alla vita media λ.
No/2 = No * e^(- λ * t);
ln(No/2) = ln(No) –  (λ * t)

ln(No) – ln(2) =  ln(No) –  (λ * t) ;

ln(2) = λ * t;
quindi:

 t(1/2) = ln(2) /λ;

λ = ln(2) / t(1/2).

Sostanze che vengono usate in radioterapia.

Lo iodio viene usato per le malattie della tiroide.

Per lo iodio 131:   tempo di dimezzamento = 8,1 giorni; 
λ = ln(2) / 8,1 = 0,693/8,1 = 0,08557
Dopo 1 giorno:
N / No = e^ (- 0,0857 *1) = 0,918 = 91,8%;
Dopo 15 giorni:
N / No = e^(-0,0857 * 15) = 0,277 = 27,7 %
Il samario 153 viene impiegato per trattare le metastasi ossee.
Per il samario 153:  tempo di dimezzamento= 1,95 gg.
λ = ln(2) /1,95 = 0,35546
Dopo 4 giorni:
N / No = e^(- λ * t) = e^(-0,35546 * 4) = 0,241 = 24,1%;
dopo 20 giorni:  N/No = e^(-0,35546 * 20) = 0,00082 = 0,082%.