Legge del moto rettilineo uniforme: v = costante.

S = v * (t – to) * So.

Legge del moto uniformemente accelerato:

v = a * (t – to) + vo;   (legge della velocità).

a = (v – vo) / (t – to);  (accelerazione).

S = 1/2 a t^2 + vo * t * So;   (legge dello spazio percorso).

Esempio: Esercizio moto uniforme e moto accelerato.

auto

Un’auto da corsa effettua un pit stop per rifornirsi di carburante. Dopo essersi rifornita, parte da ferma e lascia l’area del pit stop con un’accelerazione di 6,0 m/s^2, impiegando 6,0 s per entrare nel circuito. Nello stesso istante di entrata nel circuito, una seconda auto la affianca a una velocità di 60 m/s e la supera. La prima auto mantiene la stessa accelerazione.

  • Dopo quanto tempo la prima auto raggiunge la seconda?   

Velocità raggiunta in 6,0 s:

v = a * t;
v = 6,0 * 6,0 = 36 m/s; (velocità con cui entra nel circuito).
Continua ad accelerare:
S = 1/2 a t^2 + vo t;
S = 1/2 * 6,0 * t^2 + 36 * t; legge sel moto.
Seconda auto: viaggia a velocità costante.
S = 60 * t;
Mettiamo a sistema le due leggi del moto.
S = 3,0 t^2 + 36 t;    (1).
S = 60 t;  (2).
Eguagliamo S = S; troviamo il tempo in cui la prima auto raggiunge la seconda.
 3,0 t^2 + 36 t = 60 t;
3,0 t^2 – 24 t = 0;
t * (3,0 t – 24) = 0;
t1 = 0; situazione iniziale.
t2 = 24 / 3,0 = 8 s;
la prima auto raggiunge la seconda in 8 secondi.

Esempio 2:

L’auto B parte con un vantaggio di 200 m e 35,0 s prima dell’auto A.
A si muove alla velocità di 30,0 m/s e B alla velocità 25,0 m/s.

1) qual è il vantaggio di B nell’istante in cui parte A?

2) Dopo quanti secondi dalla sua partenza A raggiunge B?

3) Quale velocità avrebbe dovuto avere A per raggiungere B in soli 200 s dall’istante della sua partenza?

Legge del moto:
S = v * t + So
Sa = 30,0 * t;
L’auto A parte a t = 0 s, quando l’auto B è già partita 35 secondi prima.

Sb = 25 * (t + 35,0) + 200;

Sb = 25,0 * t + 875 + 200;
Sb = 25,0 * t + 1075;
1)  So = 1075 m; vantaggio di B su A.
2)  Sa = Sb;  A raggiunge B;
30,0 * t = 25,0 * t + 1075;
5,0 t = 1075

t = 1075 / 5 = 215 s;  A raggiuge B in 215 s.
3) t = 200 s; velocità di A:
va * 200 = 25,0 * 200 + 1075
va * 200 = 6075;
va = 6075 / 200 = 30,375 m/s;   va = circa 30,4 m/s.

Berlino, oro e record del mondo nei 100 m per Usain Bolt: 9″58.

Il precedente primato Bolt lo aveva ottenuto alle Olimpiadi di Pechino del 2008 correndo in 9,69 s. Argento per l’americano Tyson Gay in 9,71 s, bronzo per l’altro giamaicano Asafa Powell in 9,84 s

finale dei 100 m a Berlino – 16 agosto 2009.

L’accelerazione è la variazione di velocità nell’unità di tempo:

a = (v-vo) / (t – to)     si misura in m/s^2.

Il 16 agosto 2009 a Berlino, Bolt ha corso i 100 m in un tempo t = 9,58 s, record del mondo.

1) Calcolare la velocità media in m/s e in km/h. 

v media = s/t = 100 / 9,58 = 10,44 m/s.

  ( Ris :  10,44 m/s; 37,58 km/h).

Ma Bolt ha raggiunto una velocità finale molto maggiore.

Supponendo che Bolt abbia mantenuto un moto accelerato per un tempo t1 = 4 s e che  il suo moto sia stato uniforme per il rimanente tempo t2 = 5,58 s,

  • calcolare l’accelerazione a,
  • lo spazio S1 di accelerazione,
  • la velocità raggiunta alla fine della fase di accelerazione,
  • lo spazio S2 percorso con tale velocità.

Ris :  ( a =3,3 m/s^2; S1 =26,4 m; V = 13,2 m/s = 47,5 km/h: S2 = 73,7 m).

Impostare il seguente sistema: 

S1 = 1/2  a  t1^2   ;                S1 = 1/2 * a * 4^2 = 8 * a;

S2 = V * t2                               S2 = 5,58 * v

v = a * t1                                 V = 4 * a

S1 + S2 = 100                          

Soluzione:

S1 = 1/2 a t1^2; (moto accelerato).

S1 = 1/2 a * 4^2;

S1 = 1/2 * a * 16 ;S1 = 8 * a;

S2 = v * t2; (moto uniforme).

S2 = 5,58 * v ;

v = a * t1 ;

v = a *4, (velocità raggiunta nei primi 4 secondi).

S2 = 5,58 * a * 4 = 22,32 * a;

S1 + S2 = 100;

8 * a + 22,32 * a = 100;

30,32 * a = 100;

a = 100 / 30,32 = 3,3 m/s^2;

v = a * t1 = 3,3 * 4 = 13,2 m/s; (velocità raggiunta);

in km/h: v =  13,2 m/s = 13,2 * 3,6 = 47,52 km/h.

S1 = 8 * 3,3 = 26,4 m;

S2 = 100 – 26,4 = 73,6 m.

Esercizio 1

Attachment image

vo = 0 m/s;

v = 97,2 km/h = 97200 m / 3600 s = 97,2 / 3,6 = 27 m/s;

a = (v – vo) / t = 27/9,00 = 3 m/s^2; accelerazione.

v = 3 * t, con t da 0 s a 9,00 s.

S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 3 * 9^2 = 121,5 m; (Spazio percorso).

Poi moto uniforme, con v = 27 m/s:

S = v * t;

t = S / v = 297 /27 = 11,00 s. (Tempo di moto uniforme).

ultimo tratto decelera: a = – 1,5 m/s^2; v finale = 0.

v = a * t + vo;

v = – 1,5 * t + 27;

– 1,5 * t + 27 = 0;

t = 27/1,5 = 18,00 secondi; (tempo per fermarsi).

S = 1/2 * (- 1,5) * 18^2 + 27 * 18 = 243 m; (spazio di frenata).

Tempo totale = 9,00 + 11,00 + 18,00 = 38,00 s.

S totale = 121,5 + 297 + 243 = 661,5 m.

Grafico del moto: velocità – tempo.

Lo spazio percorso in metri è dato anche dall’area sotto il grafico, (area del trapezio):

S = (38 + 11) * 27 / 2 = 661,5 m.

moto

Esercizio 2

Scrivere la legge della velocità per il moto rappresentato dal grafico in figura.

– Calcolare la distanza percorsa nell’intervallo di tempo fra 1,0 s e 2,0 s.

Soluzione= 20 m

Attachment image

La velocità aumenta nel tempo, c’è accelerazione costante.

vo = 5 m/s;      v finale: v = 25 m/s.

a = (v – vo) / (t – to) = (25 – 5) / (2,0 – 0);

a = 20/2,0 = 10 m/s^2;

v = 10 * t  + 5;  legge del moto per la velocità.

Lo spazio lo si può calcolare come area sotto il grafico della velocità. E’ l’area di un trapezio: le basi sono le velocità, l’altezza è il tempo.

v1= 10 * 1 + 5 = 15 m/s;

v2 = 10 * 2 + 5 = 25 m/s; come si legge dal grafico.

S = (v1 + v2) * (t2 – t1) / 2 = (15 + 25) * 1,0 / 2 = 20 m.

Oppure con la legge del moto dello spazio:

S = 1/2 a (t- to)^2 + vo * (t – to).

vo  al tempo 1,0 s = 15 m/s;

S = 1/2 * 10 * (2,0 – 1,0)^2 + 15 * 1,0 = 5 * 1,0 + 15 = 20 m.

Esercizio 3

La legge oraria di una persona che si sta muovendo in bicicletta è:

x= 6,0 m + (4,5 m/s) * t.

a. Dove si trova la bicicletta al tempo  t = 2,0 s?

b. Per quale valore del tempo t, la bicicletta si trova in x = 24 m?

x = xo + v * t ; legge del moto.

a) t = 2,0 s:

x = 6,0 + 4,5 * 2,0 = 6,0 + 9,0 = 15 m; posizione della bici.

b) x = 24 m; trovare il tempo t.

6,0 + 4,5 * t = 24;

4,5 * t = 24 – 6,0;

4,5 * t = 18;

t = 18 / 4,5 = 4,0 secondi.  ( Dopo 4 secondi la bici ha percorso 18 metri, aggiungendo i 6,0 m della posizione iniziale, la bici si troverà a 24 m).

Esercizio 4

Quanto è lungo un treno (dalla motrice fino all’ultimo vagone) se attraversa completamente  un ponte lungo 200 m in 13,0 s, ad una velocità costante di 80,0 km/h?

v = 80 km/h = 80000/ 3600 = 80/3,6 = 22,22 m/s;

S =v * t;

In t = 13,0 s; il treno percorre tutto il ponte, + tutta la sua lunghezza L;

v * t = L + 200.

22,2 * 13,0 = L + 200;

288,6 = L + 200;

L = 288,6 – 200 = 88,6 m, lunghezza del treno.

ponte

Esercizio 5 – quattro semplici esempi a), b), c), d):

a) Un’auto accelera costantemente per 10 s con accelerazione a uguale a 4 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 6 m/s determinare la sua velocità finale.

v = a * t + vo;

v = 4 * 10 + 6 = 46 m/s.

b) Un’auto viaggia a una velocità di 144 km/h. Quanto tempo impiega a fermarsi se i freni forniscono una decelerazione costante di 5 m/s^2 . Quanto spazio percorre prima di fermarsi?

vo = 144 km/h = 144 000 m/3600 s = 40 m/s;

v = – 5 * t + 40;

v = 0 m/s; velocità finale.

– 5 * t + 40 = 0

t = – 40 / (-5) = 8 s; tempo per fermarsi.

Legge del moto:  S = 1/2 a * t^2 + vo t;

S = 1/2 * (-5) * 8^2 + 40 * 8 = 160 m.

c) Un’auto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione uguale a a = 5 m/s^2 . Sapendo che la sua velocità iniziale è vo = 10 m/s, qual è la sua velocità dopo 3 s ?

v = 5 * 3 + 10 = 25 m/s.

d) Un’automobile parte da ferma con accelerazione costante uguale a 5 m/s^2 .

a) Calcolare la velocità raggiunta dopo 4 s.

b) Calcolare quanto tempo è necessario per raggiungere la velocità di 108 km/h

c) Rappresentare con un diagramma velocità-tempo il moto dell’auto.

v = a * t = 5 * 4 = 20 m/s;

v finale = 108 km/h = 108 000 m / 3600 s = 108 / 3,6 = 30 m/s.

v = a * t;

t = v / a = 30 / 5 = 6 secondi.

5) vo = 288 km/h = 288 / 3,6 = 80 m/s;

v finale  = 0; t = 4 secondi.

a * t + 80 = 0;

a = – 80 / 4 = – 20 m/s^2.

vel-tem

Esercizio 6:

Una particella in moto lungo l’asse delle x si muove con accelerazione costante da x = 2,0 m a x = 8,0 m in un intervallo di 2,5 s.
La velocità della particella a x = 8,0 m è 2,8 m/s.

  • Qual è l’accelerazione durante l’intervallo considerato?
  • Qual è la velocità iniziale?

x = 1/2 a t^2 + vo * t + xo;  (legge del moto accelerato).

xo = 2,0 m;

v = a * t + vo;   (legge del moto accelerato per la velocità).

v = 2,8 m/s;

t = 2,5 s;

vo = v – a * t;

vo = 2,8 – a * t;

8,0 = 1/2 * a * 2,5^2 + (2,8 – a * 2,5) * 2,5 + 2,0;

8,0 – 2,0 = 3,125 * a + 7,0 – 6,25 * a;

6,0 – 7,0 = – 3,125 * a;

a = – 1 / (- 3,125) = 0,32 m/s^2; accelerazione).

vo = 2,8 – 0,32 * 2,5 = 2,0 m/s; (velocità iniziale).

Esercizio 7:

lancio

v = g * t + vo ;

g = – 9,8 m/s^2; (accelerazione di gravità rivolta verso il basso).

– Tempo di salita: è il tempo per raggiungere la quota massima; si pone v = 0 e si ricava t:


g t + vo  = 0

t(salita) = – vo  / g =  -15,00 / – 9,8 = 1,53 s;
altezza massima:
y = 1/2 g t^2 + v * t; (moto accelerato);
y max = 1/2 * (-9,8) * 1,53^2 + 15 * 1,53 = 11,5 m;
Tempi a 8 metri.
– 4,9 * t^2 + 15,00 * t = 8;
4,9 t^2 – 15,00*t  + 8 = 0;

t = [15 +- radice(15^2 – 4 * 4,9 * 8) ] /(2 * 4,9) ;t = [15 +-radice(68,2)]/9,8 = [15 +- 8,26]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (15 – 8,26) / 9,8 = 6,74/9,8 = 0,69 s; (in salita).

t2 = (15 + 8,26) / 9,8 = 23,26/9,8 = 2,37 s (in discesa).

Tempo di volo. Si pone  y = 0 m.

1/2 g t^2 + v * t = 0;

1/2 * (-9,8) * t^2 + 15,00 * t = 0;

4,9 t^2 – 15,00 t = 0

t * ( 4,9 t – 15,00) = 0

t1 = 0 s; (alla partenza).

t2 = 15,00 / 4,9 = 3,06 s; (al ritorno; t volo = 2 * t salita).

v finale = – 9,8 *  3,06 + 15,00 = – 30,00 + 15,00 = – 15,00 m/s.

Torna a terra con la stessa velocità di partenza cambiata di segno, cioè rivolta verso il basso.

Esercizio 8 :

Un oggetto viene lanciato verticalmente verso l’ alto con una velocità iniziale          vo = 90 km/h.

Determinare i due istanti in cui si trova ad un’altezza di 30 m dal suolo e qual è la velocità dell’oggetto in tali istanti. 

vo = 90 000 m / 3600 s = 90 / 3,6 = 25 m/s; (velocità iniziale).

h = 30 m;

1/2 * (- 9,8) * t^2 + 25 * t = 30.

Troviamo il tempo t:

– 4,9 * t^2 + 25 * t – 30 = 0

4,9 t^2 – 25 t + 30 = 0

t = [25 +- radice(25^2 – 4 * 4,9 * 30) ] /(2 * 4,9) ;

t = [25 +-radice(37)]/9,8 = [25 +- 6,08]/ 9,8;

Due soluzioni perché l’oggetto passa due volte all’altezza di 30 m, (in salita e in discesa).

t1 = (25 – 6,08) / 9,8 = 18,92/9,8 = 1,93 s;

(quando è in salita);

Ripassa a 30 m in discesa:

t2 = (25 + 6,08) / 9,8 = 3,17 s.

v1 = – 9,8 * 1,93 + 25 = + 6,1 m/s, (quando sale).

v2 = – 9,8 * 3,17 + 25 = – 6,1 m/s, (quando scende, stessa velocità però verso il basso).

Esercizio 9:

Un oggetto, lanciato verticalmente verso l’alto, ha una velocità di 18 m/s, quando raggiunge un quarto della sua massima altezza al di sopra del punto di lancio.

  • Qual è la velocità iniziale (di lancio) dell’oggetto?

    Applichiamo la conservazione dell’energia :

    m *g * hmax = 1/2 m vo^2;

    h max = vo^2/(2g);

    l’energia è la stessa in ogni punto.

    m * g * h max = m* g* (hmax/4) + 1/2 * m * 18^2

    la massa m si semplifica;

    g *  vo^2/(2g) = g * vo^2/(8g) + 1/2 18^2

    vo^2 / 2 – vo^2/8 = 162

    3/8 vo^2 = 162

    vo = radice(162*8/3) = radice(432) = 20,8 m/s.

Esercizio 10:

ponte

Ponte di Augusto e Tiberio a Rimini.

Sei su un ponte che si trova a 15 m sopra un fiume e lasci cadere una pietra. Quando ha percorso una distanza di 3,20 m lanci una seconda pietra. Che velocità deve avere la seconda pietra perché entrambe entrino in acqua nello stesso istante di tempo?

Tempo di caduta da 15 m:

h = 1/2 g t^2;
t = radice(2 h/g) = radice(2 * 15 / 9,8) = 1,75 s;
tempo per percorrere 3,30 m:
t1 = radice(2 * 3,20 /9,8) = 0,808 s;
Dopo 0,808 s lanci la seconda pietra con velocità vo.

La seconda pietra deve percorrere 15 metri e  arrivare al suolo in un tempo:
t2 = 1,75 – 0,808 = 0,94 s;
h = 1/2 g t^2 + vo t;
15 = 1/2 * 9,8 * 0,94^2 + vo * 0,94;
15 = 4,33 + vo * 0,94
vo = (15 – 4,33) / 0,94;
vo = 10,67 / 0,94 = 11,3 m/s.

Esercizio 11:

Una biglia di massa 0,5 Kg viene lasciata libera di cadere da una discesa di altezza incognita. Sapendo che la biglia alla fine della discesa raggiunge una velocità di 1,5 m/s, determinare l’altezza della discesa.

La biglia parte da ferma, poi accelera per l’accelerazione di gravità g = 9,8 m/s^2.

Con la conservazione dell’energia:

Energia potenziale iniziale = Energia cinetica finale.

m g h = 1/2 m v^2;

h = v^2/(2 * g) = 1,5^2 / (2 * 9,8) = 0,11 m = 11 cm.

m g h è l’energia potenziale.

1/2 m v^2 è l’energia cinetica.

Se non si conosce la conservazione, allora utilizziamo le leggi del moto accelerato:

v = g * t;

v = 9,8 * t;

t = v / 9,8 = 1,5/9,8 = 0,153 s ( tempo di caduta)

h = 1/2 * g * t^2; 

h = 1/2 * 9,8 * 0,153^2 = 0,11 m.