- Un gas biatomico compie un ciclo termodinamico costituito da tre trasformazioni reversibili:
AB isoterma ,
BC isocora,
CA adiabatica . (vedi figura).
Sapendo che VB = 3 VA, sapendo che il calore specifico di un gas biatomico è : cv = 5/2 R; cp = 7/2 R
calcolare il rendimento η del ciclo termodinamico.
Vb = 3 Va;
Lavoro isoterma: (Ta costante),
LAB = n R Ta ln(3 Va / Va) = n R Ta ln(3).
Gas biatomico cv = 5/2 R; cp = 7/2 R;
gamma = cp/cv = 7/5.
Adiabatica Pc * Vc^gamma = Pa * Va^gamma.
Vc = Vb = 3 Va;
Pb = 1/3 Pa;
Pc = Pa * (Va/Vc)^gamma;
Pc = Pa * (1/3)^(7/5);
Pc = Pa * 0,215
isocora:
Pb/Tb = Pc/Tc;
Tb = Ta;
Tc = Pc * Ta / Pb ;
Tc = 0,215 * Pa * Ta / (1/3 Pa) = 0,215 * 3 = 0,645 * Ta.
Lavoro adiabatica = – cv n (Ta – Tc) =
= – 5/2 R n (Ta – 0,645 Ta) = – 5/2 R n Ta * 0,355;
rendimento η = L / Qassorbito.
Q assorbito solo nell’isoterma da A a B.
η = [n R Ta ln(3) – 5/2 R n Ta * 0,355] / n R Ta ln(3) ;
n R Ta si semplifica, resta:
η = [ln(3) – 5/2 * 0,355] / ln(3) = (1,1 – 0,89) / 1,1;
η = 0,21 / 1,1 = 0,19 = 19%.
Trasformazioni termodinamiche:
ISOBARA – Legge di Mayer
Lavoro nell’isobara per un gas monoatomico cv = 3/2 R J/Kmol:
P * DeltaV = n R DeltaT; per la legge dei gas perfetti.
Q = L + DeltaU = n R DeltaT + cv n DeltaT;
Q = n R DeltaT + 3/2 R n DeltaT;
R + 3/2 R = 5/2 R = cp calore specifico a pressione costante.
cp = cv + R; Legge di Mayer.
Q = cp * n * DeltaT.
2) Una macchina termica ha un rendimento che vale 8,4 %, pari al 72 % di quello di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature, la cui differenza è di 35°C.
> calcolare le temperature delle due sorgenti ;
> calcolare il coefficiente di prestazione di un frigorifero che operi invertendo il ciclo della macchina termica ideale di Carnot.
0,72 * (r Carnot) = 0,084;
r Carnot = 0,084 / 0,72 = 0,12 (rendimento macchina di Carnot).
T2 – T1 = 35°C; una differenza di 35°C rimane 35 K anche in Kelvin perché le due scale sono centigrade.
(T2 – T1) / T2 = 0,12
35 / T2 = 0,12;
T2 = 35 / 0,12 = 292 K; (circa = 2,9 * 10^2 K)
T2 – T1 = 35;
T1 = 292 – 35 = 257 K; ( circa = 2,6 * 10^2 K).
Il coefficiente di prestazione è l’inverso del rendimento.
cop = T1 / (T2 – T1) = 257 / 35 = 7,3.
3) Un recipiente cilindrico contiene 11 * 10^23 atomi di neon.
Il gas si espande isotermicamente alla temperatura di 350 K fino a raggiungere un volume pari al doppio di quello iniziale. Successivamente viene riscaldato di 20°C mantenendo la pressione costante di 1,1 atm.
– Calcolare il lavoro svolto durante tutta la trasformazione.
– Calcolare la variazione di energia interna totale.
– Calcolare il calore totale assorbito o ceduto.
Isoterma AB + isobara BC.
gas neon, è un gas raro.
MM = 20,18 grammi (ha 10 protoni e 10 neutroni, totale 20 particelle pesanti).
N = 11* 10^23 atomi;
numero di moli:
n = N / (N avogadro) = 11 * 10^23 / 6,022 * 10^23;
n = 1,83 moli di gas neon, il gas è monoatomico.
R = 8,31 J/molK;
cv = 3/2 * R J/molK; cp = 5/2 * R J/molK;
Isoterma AB: Q = L = n R T ln(V2/V1);
V2 = 2 V1; V2 / V1 = 2;
L AB = 1,83 * 8,31 * 350 * ln(2) = 3689 J = 3,7 kJ.
P = 1,1 atm = 1,1 * 1,013 * 10^5 Pa = 1,114 * 10^5 Pa;
TB = 350 K
L’aumento di DeltaT = 20°C è lo stesso anche in Kelvin.
TC = 350 K +DeltaT = 370 K;
Q isobara = L + DeltaU = P * DeltaV + cv n DeltaT;
P * DeltaV = n R DeltaT
Lavoro isobara = n R (Tfin – To) =1,83 * 8,31 * (370 – 350);
L isobara = 304,15 J = 0,304 kJ;
Lavoro = 3,7 + 0,304 = 4,0 kJ; (lavoro totale).
DeltaU isoterma = 0 J perché non aumenta la temperatura.
DeltaU Isobara = cv n DeltaT = 3/2 * 8,31 * 20 = 249 J;
Q isobara = L + DeltaU = 304 + 249 = 553 J;
Q isoterma = L = 3689 J;
Q assorbito = Q isoterma + Q isobara,
Q ass = 3689 + 553 = 4242 J = 4,24 kJ.
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