Flusso del campo magnetico – Forza elettromotrice indotta. Campo di una spira. Esercizi.

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campo al centro di una spira, flusso del campo B

La legge di Faraday descrive il manifestarsi di una  forza elettromotrice causata dal moto di una spira in un campo magnetico, e descrive la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.

L’intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire. E’ questa variazione che genera la f.e.m. indotta.

 Il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola come il flusso del campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico Φ_B è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

Φ_B = B *A * cosα;

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico Φ_B è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A.

dΦ_B = B * dA;

Φ_B = ∫ d Φ_B.

L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m²

Legge di Faraday-Neumann: la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

f.e.m. = – dΦ / dt.

Esempio 1:

Una barra di lunghezza L = 2 m si muove alla velocità v = 20 m/s chiudendo un circuito di resistenza complessiva pari a R = 5 Ω come in figura.

Nel piano dove si muove la barra è presente un campo magnetico ortogonale al piano, uniforme e diretto verso l’alto verso l’alto con intensità B = 0,5 T.

Calcolare

1) Modulo della forza magnetica sulla barra L.

2) Potenza dissipata sulla resistenza R.

f.e.m. indotta = – (Δ Φ)/Δ t; 

(legge dell’induzione di Faraday, terza legge di Maxwell).

[flusso del campo B] = B * Area.

L’area attraversata da B varia nel tempo, la barra percorre una distanza S = v *Δ t, che cresce nel tempo, quindi il flusso aumenta:

Area = L * S = L * v * Δ t:

Area = 2 * 20 * Δ t = 40 * Δ t

f.e.m. indotta ε = – B * 40 * Δ t / Δ t;

ε = – 0,5 * 40 = – 20 V; (segno – perché la forza elettromotrice si oppone alla variazione del flusso).

Prendiamo il valore assoluto:

i = V / R = 20 / 5 = 4 A;

F = i B L = 4 * 0,5 * 2 = 4 N; (verso l’alto del foglio).

Potenza:

P = i^2 * R = 4^2 * 5 = 80 Watt;

oppure P = V^2/R = 20^2/5 = 80 W.

Esempio 1 bis:

Un magnete viene avvicinato rapidamente ad una spira circolare di raggio 50 cm. Se l’intensità del campo magnetico attraverso la bobina passa da 500 mT a 100 mT in 0,25 s,  quanto vale la forza elettromotrice indotta?

f.e.m. = – delta(Φ_B)/deltat

Φ_B = B * S = B * pgrecoR^2

delta(Φ_B) = (100 *10^-6 – 500 * 10^-6) * 3,14 * 0,5^2 = – 400 * 10^-6 * 0,785= -3,14 * 10^-4 Wb (Tesla * m^2)

f.e.m. = – ( – 3,14 * 10^-4) /0,25 = 1,26 * 10^-3 Volt.

Esempio 2:

f.e.m. (indotta) = – (Delta Φ) / (Delta t)

Il Flusso del campo B varia da Φo = 0 Tm^2 iniziale fino al valore finale quando tutta l’area è all’interno del campo:

area finale = 4 * 4 = 16 cm^2 = 16 * 10^-4 m^2.

Flusso finale  Φ = B * Area = 4,50 * 10^-4 * 16 * 10^-4 =

= 7,20 * 10^-7 Tm^2.

Delta Φ = 7,20 * 10^-7 Tm^2 – 0;

Delta t = S / v = 4,00 cm / (1,00 cm/s) =  4,00 secondi.

V = – 7,20 * 10^-7 / 4,00 = – 1,80 * 10^-7 Volt.

Esempio 2 bis:

Una bobina rettangolare è formata da 12 avvolgimenti. Le sue dimensioni sono 15 cm larga e 5 cm alta. La sua resistenza totale è di 2 ohm . Un campo magnetico di 2,50 T è diretto perpendicolarmente al piano della bobina.Il campo magnetico viene ridotto ad un valore di 1 T in 3 ms . Trovare la corrente indotta nella bobina.

forza elettromotrice indotta = f.e.m.

f.e.m. = – deltaΦ/delta t

Flusso: Φ = B * area * numero di avvolgimenti ;

area in m^2 Area = 15 * 5 = 75 cm^2 = 75 * 10^-4 m^2

deltaΦ = (B1 – Bo) * area * N = (1 – 2,50) * 75 * 10^-4 * 12 = – 0,135 Weber

f.e.m. = 0,135 / (3 * 10^-3) = 45 Volt

corrente indotta:

i = f.e.m. / R = 45/2 = 22,5 Ampère.

Esempio 3:

Area di una spira = 3,14 * (0,025)^2 = 1,96 * 10^-3 m^2

Flusso: Φ = B * Area.

f.e.m. = N * (DeltaFlusso)/ Deltat

Delta Φ / Delta t =

= (0,50 – 0,15) *(1,96 * 10^-3 /(3,2 * 10^-3 s) = 0,214 V;

Per N spire:

f.e.m. = N * 0,214 = 30 * 0,214 = 6,4 V.

i = f.e.m. / R = 6,4 / 10 = 0,64 A .

Campo al centro di una spira percorsa da corrente i :

B = μo * i / (2 R);

μo = 1,26 * 10^-6 T m/A =   permeabilità magnetica del vuoto.

Esempio 4):  Campo al centro di due  spire.

Due spire circolari, entrambe di raggio R = 10 cm, sono disposte perpendicolarmente fra loro e sono percorse da correnti di uguale intensità. Sapendo che l’induzione magnetica B risultante nel centro comune delle due spire è 4,4 * 10^−5 T,

• calcolare l’intensità di corrente che percorre le due spire.

B = μo * i / (2R); campo al centro di una spira, perpendicolare alla spira.

μo = 1,26 * 10^-6 Tm/A.

Se le due spire sono perpendicolari anche i due campi B1 e B2 sono perpendicolari fra loro.

B1 = B2; se la corrente è la stessa.

La somma si ottiene con il teorema di Pitagora;

B ris = radice(B^2 + B^2) = B * radice(2) = 4,4 * 10^-5 T;

B = 4,4 * 10^-5 / radice(2) = 3,11 * 10^-5 T; (campo di una sola spira).

R = 0,1 m; raggio di una spira.

μo * i / (2R) = 3,11 * 10^-5;

i = 3,11 * 10^-5 * 2 R / μo =

= 3,11 * 10^-5 * 2 * 0,1/1,26 * 10^-6  = 4,94 A; (circa 5 A).

i = 5 A.

Esercizi semplici sulla rifrazione della luce. Angolo limite

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rifrazione

Prisma – Spettro della luce bianca, rifrazione nel vetro.

1. In un materiale di composizione ignota la luce viaggia a 2,6 * 10^8 m/s. Un raggio di luce che viaggia nell’aria colpisce il materiale con un angolo di 45°.
   – Calcolare l’angolo di rifrazione del raggio.

sen i / senr = v1/v2;    (legge della rifrazione).

v1 = c = 3 * 10^8 m/s; velocità della luce in aria o nel vuoto.

v2 = 2,6*10^8 m/s; velocità della luce nel materiale.

sen45° / sen r = 3 * 10^8 / 2,6*10^8

sen45° / sen r = 3/2,6;

sen r = sen45° * 2,6/3 = 0,707 * 0,866 ;

sen r = 0,613;

r = sen^-1 (0,613) = 37,8° = 38°.

2.  La velocità di propagazione di un raggio di luce in una soluzione è 1,95 * 10^8 m/s.

• Qual è l’indice di rifrazione della soluzione?
• Calcolare  il valore dell’angolo limite rispetto all’aria.

n21 = v1/v2;   indice di rifrazione della soluzione rispetto al primo mezzo(aria).

v1 = c;

n21 = 3 * 10^8 / 1,95 * 10^8 = 1,54.

Angolo limite L: il raggio parte dalla soluzione e non riesce a passare nell’aria, rifrange a 90°.

senL/ sen90° = 1 / 1,54;

1 è l’indice di rifrazione dell’aria, 1,54 è l’indice di rifrazione della soluzione.

sen L = 0,649,

L = sen^-1(0,649) = 40,5°.

 

3. Un raggio luminoso penetra in una soluzione biologica con un certo angolo e viene rifatto con un angolo di 45,0°. Sapendo che l’indice di rifrazione è 1,25,

• determinare l’angolo di incidenza.
• Qual è la velocità di propagazione della luce nella soluzione?

sen i / sen45° = n2 / n1 ; (legge della rifrazione).

sen i / sen45° = 1,25 / 1

sen i = 1,25 * sen45° = 0,884

i = sen^-1(0,884) = 62,1°

n = indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto all’aria: n  = v1/v2

n = c / v2 = 1,25

v2 = c / 1,25 = 3 * 10^8 / 1,25 = 2,4 * 10^8 m/s.

Elettroforo di Volta

L’elettroforo, detto anche elettroforo di Volta, è un generatore  elettrostatico in grado di accumulare una piccola quantità di  carica elettrica. Ideato da Alessandro Volta intorno al 1775  durante i suoi studi sull’elettricità  ha anche ora utilità didattica.

È costituito da un disco di materiale conduttore (chiamato scudo, di solito di alluminio) che si impugna attraverso un manico isolante e viene utilizzato in abbinamento ad una superficie in materiale isolante, per esempio ebanite  o anche materiale plastico e ad un panno di lana con cui si strofina energicamente il disco isolante.
Il disco isolante si carica  negativamente in quanto la lana gli cede elettroni. Sul disco isolante si pone il disco metallico.

Sul disco metallico posto sull’isolante si separano le cariche. L’isolante di solito si elettrizza negativamente quindi nel disco metallico posto sopra, gli elettroni si allontanano e vengono in superficie;

quando tocchiamo con un dito il disco metallico, gli elettroni migrano nel nostro corpo e il disco resta carico positivamente perché gli abbiamo portato via una certa quantità di elettroni.

Quando il disco è scarico, lo rimettiamo sul disco isolante e ripetiamo l’operazione, il disco metallico si carica  di nuovo.

 

 

 

Esercizi su intensità di corrente

1. Un conduttore è percorso da una corrente i = 3,2 µA.
   Il numero di elettroni che attraversa una sezione trasversale qualsiasi del conduttore in 100 s è:

a) 5,1*10^-23

b) 5,1*10^15

c) 2,0*10^15

d) 2,0*10^-23.

(Indicare la risposta corretta e giustificarla).

i = 3,2 * 10^-6 A = 3,2 * 10^-6 C/s

e- = 1,602 * 10^-19 C (carica di un elettrone).

i / e = numero di elettroni /secondo;

3,2 * 10^-6 / 1,602 * 10^-19 = 2,0 * 10^13 elettroni/s;

N (in 100 secondi) = 2,0 * 10^13 * 100  = 2,0 * 10^15 elettroni ;

risposta c).

 

2.  Un filo elettrico è attraversato da 6,0 * 10^18 elettroni in un minuto.

• Qual è l’intensità di corrente che attraversa il filo?
• Quanta carica attraversa il filo elettrico in un giorno?

risultati:  16 mA ; 1,4 * 10^3 C;

i = Delta Q / Delta t

 

DeltaQ = n * e = 6,0 * 10^18 * 1,602 * 10^-19 Coulomb.

 

DeltaQ = 0,96 Coulomb

 

Deltat = 1 minuto * 60 s;

i = 0,96 / 60 = 0,016 A = 16 milliA;

 

 

Carica in un giorno:

DeltaQ = i * t

 

t = 24 h * 3600 s = 86400 s

 

Delta Q = 0,016 * 86400 = 1382 C = 1,4 * 10^3 C.

 

 

L’intensità di corrente nei conduttori solidi
L’intensità di corrente elettrica è uno spostamento ordinato di cariche elettriche che si ha in un conduttore quando ai suoi estremi viene applicata una d.d.p.

L’ intensità di corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo; 

      i = Δq/Δt

( E’  la derivata prima, rispetto al tempo della funzione q(t)) .

E’  una grandezza fisica, la sua unita’ di misura è l’ Ampere (A). (Nel sistema internazionale è una misura fondamentale, come il metro, il kg, il secondo). 1 A = 1 C/1sec. I portatori di carica in un metallo sono gli elettroni esterni degli atomi: questi elettroni, delocalizzati, sono liberi di muoversi da un atomo all’ altro. Invece gli ioni positivi occupano i nodi del reticolo cristallino e possono compiere piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio, per agitazione termica, ostacolano quindi il moto delle cariche e sono responsabili della resistenza elettrica  R che gli elettroni incontrano quando si muovono all’interno di un conduttore. Gli elettroni si muovono da punti a potenziale minore, verso punti a potenziale maggiore, in verso contrario al campo (dal – al +).  Per convenzione invece il verso della corrente è quello dal + al – , come se fossero cariche positive a spostarsi. Questo perchè, quando si cominciò a studiare le correnti, non si conosceva ancora l’ esistenza dell’ elettrone, scoperto da    Joseph John Thomson (1856-1940), intorno al 1897. Ebbe il premio Nobel nel 1906.

 

verso convenzionale della intensità di corrente.

 

 

3) Calcolare il valore dell’intensità di corrente i che scorre in un conduttore dove la velocità di deriva dei portatori di carica (elettroni) è:

vd =2 * 10^-4 m/s e la sezione circolare è S = 5 mm^ 2. [Si ipotizzi che la densità di portatori sia pari a n = 5 * 10^28 elettroni / m^3 ].

i = Q / t = Coulomb/s;

i = e * n * A * vd;

e = 1,602 * 10^-19 C.

e * n = Carica /m^3 = Q/m^3 = Coulomb/m^3

A * vd = Volume/secondo = m^3/s;

i = C / m^3 *  (m^3/s) = C / s = Ampére.

A = 5 mm^2 = 5 * 10^-6 m^2.

i = 1,602 * 10^-19 * 5 * 10^28 * (5 * 10^-6) * 2 * 10^-4;

i = 8,1 A.

Decadimento di una sostanza radioattiva.

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radioattività

La radioattività, o decadimento radioattivo, è un insieme di processi fisico nucleari attraverso i quali alcuni  nuclei atomici instabili o radioattivi  decadono, in un tempo detto tempo di decadimento, in nuclei di energia inferiore raggiungendo uno stato di maggiore stabilità con emissione di radiazioni ionizzanti rispettando i principi di conservazione di massa ed energia e della quantità di moto. Il processo continua  nel tempo fino a quando gli elementi  prodotti, a loro volta radioattivi, non raggiungono uno stato finale stabile. 

 

Legge del decadimento:

dN/dt = – λ  * t;

λ è la costante di decadimento tipica di ogni sostanza radioattiva. Soluzione dell’equazione differenziale:

N = No * e ^( – λ * t);

 

Oltre alla costante di decadimento λ il decadimento radioattivo è caratterizzato da un’altra costante chiamata vita media. Ogni atomo vive per un tempo preciso prima di decadere e la vita media rappresenta appunto la media aritmetica sui tempi di vita di tutti gli atomi della stessa specie. La vita media viene rappresentata dal simbolo τ, legato a λ dalla relazione:

τ = 1/ λ ;  (tempo di vita media).

Tempo di dimezzamento t(1/2) = τ;

il tempo di dimezzamento ci dice dopo quanto tempo saranno decaduti un numero di atomi pari alla metà del totale ed è legato alla vita media λ.

No/2 = No * e^(- λ * t);

ln(No/2) = ln(No) –  (λ * t)

ln(No) – ln(2) =  ln(No) –  (λ * t) ;

ln(2) = λ * t;

quindi:

 t(1/2) = ln(2) /λ;

λ = ln(2) / t(1/2).

Sostanze che vengono usate in radioterapia.

Lo iodio viene usato per le malattie della tiroide.

Per lo iodio 131:   tempo di dimezzamento = 8,1 giorni; 

λ = ln(2) / 8,1 = 0,693/8,1 = 0,08557

Dopo 1 giorno:

N / No = e^ (- 0,0857 *1) = 0,918 = 91,8%;

Dopo 15 giorni:

N / No = e^(-0,0857 * 15) = 0,277 = 27,7 %

Il samario 153 viene impiegato per trattare le metastasi ossee.

Per il samario 153:  tempo di dimezzamento= 1,95 gg.

λ = ln(2) /1,95 = 0,35546

Dopo 4 giorni:

N / No = e^(- λ * t) = e^(-0,35546 * 4) = 0,241 = 24,1%;

dopo 20 giorni:  N/No = e^(-0,35546 * 20) = 0,00082 = 0,082%.

Il suono (scala dei decibel) – Effetto Doppler esercizi

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decibel, Esercizi sul suono.

 

1 )   Livello sonoro  beta = 10 * Log (I / Io); 

(il Logaritmo è in base 10).

I = intensità del suono  in Watt/m^2;

Io = minima intensità udibile = 10^-12 Watt/m^2;

beta = 10 * Log ( 10^-12/10^-12) = 10 * Log(1) = 0 dB

 

Intensità massima:

I max = 10^0 Watt/m^2 =  1 Watt/m^2;

beta = 10 * Log( 10^0 / 10^-12) = 10 * (0 + 12) = 120 dB; (soglia del dolore).

 

 

Se uno strumento musicale a 10 m di distanza genera una sensazione sonora di 45 dB, a 50 m di distanza la sensazione sonora prodotta dallo strumento è di 31 dB ?

 

Verificare.

suggerimento: ricordare che per un’onda sferica I = P / 4 pigreco R^2 .

Se la distanza diminuisce di 5 volte, l’intensità sonora diminuisce di 5^2 = 25 volte. Il livello sonoro diminuirà di 10 Log 25 = 10 * 1,4 = 14    dB.

 

Nuovo livello  beta = 45 – 14 = 31 dB.

Nuova intensità = I / 25 = 10^4,5 * Io / 25;

beta = 10 * Log[(I/25)  / Io) ]= 10 * Log(10^4,5 /25) =10 * 4,5 – 10 Log25

beta = 45 – 10 * Log 25 = 45 – 14 = 31 dB

 

45 = 10 Log( I / 10^-12);

Log( I / 10^-12) = 45/10

I / 10^-12 = 10^4,5

I = 10^-12 * 10^4,5 = 10^(-12 + 4,5) = 10^-7,5 Watt/m^2

I = 3,162 * 10^-8 W/m^2.

P = I * Area sfera = I * 4 * 3,14 * R^2

La potenza diminuisce con il quadrato del raggio.

Se R da 10 m diventa 50 m la potenza diminuisce di 5^2 = 25 volte volte e quindi l’intensità I.

I’ = 10^-7,5 / 25 =  3,162 * 10^-8 / 25 =

= 1,265 * 10^-9 W/m^2;

decibel:

beta = 10 Log(1,265 * 10^-9 / 10^-12);

beta = 10 * [Log1,265 – 9 + 12] ;

beta = 10 * (0,102 -9 + 12) =10 * 3,1 = 31 dB;

beta = 31 dB vero.

2)   Effetto Doppler:

Se un’autoambulanza ci sorpassa, quando siamo fermi ad un semaforo rosso, e il rapporto f1 / f2  tra le frequenze del suono della sirena che percepiamo prima e dopo il sorpasso è pari a 1,2

– qual è la velocità dell’autoambulanza?  ( risultato = 111 km/h).

 

f1 = f * 340 / (340 – v);

nuova frequenza percepita in avvicinamento, aumenta, il suono diventa più acuto.

f2 = f * 340 / (340 + v); in allontanamento la frequenza si abbassa.

v = velocità dell’ambulanza.

340 m/s = velocità del suono.

f1 > f2;

f1 / f2 = 1,2;

[f * 340 / (340 – v)] / [f * 340 / (340 + v)]

( 340 + v) / (340 – v) = 1,2;

340 + v = 1,2 * (340 – v)

1,2 v + v = 1,2 * 340 – 340;

2,2 * v = 68

v = 68/2,2 = 30,9 m/s

v = 30,9 * 3,6 = 111 km/h; (velocità dell’ambulanza).

 

 

 

 

Doppler con ascoltatore in movimento.

vo = v onda sonora;   va = v ascoltatore.

f’ = f * (vo +-va) / vo;

3)  La sirena di un impianto di allarme , installata all’ingresso di un edificio , emette un suono con frequenza f =  5000 Hz . Un motociclista prima si avvicina e poi si allontana dalla sirena alla velocità di 108 km/h . Assumendo come velocità di propagazione del suono nell’aria il valore di 340 m/s ,

di quanto varia la frequenza percepita dal motociclista al passaggio davanti alla sirena?

Di quanto varia, in percentuale , la frequenza del suono udito dal motociclista?

 

v = 108 000 / 3600 = 108 / 3,6 = 30 m /s.

f1 = f * (340 + 30) / 340;

in avvicinamento f1 > f; frequenza percepita in avvicinamento, aumenta, il suono diventa più acuto.

f1 = 5000 * 370 / 340 = 5441 Hz;

f2 = f * (340 – 30) / 340;

in allontanamento la frequenza si abbassa.

f2 = 5000 * 310 / 340 = 4559  Hz.

Al passaggio davanti alla sirena:

(delta f1)/f = + 441 / 5000 = 0,088 = 8,8%

Quando si allontana:

(delta f2) / f = – 441/5000 = – 0,088 = – 8,8%  Hz.

Variazione:  (Delta f) / f = 882/5000 = 0,176 = 17,6%.

 

 

 

 

4) Un’orchestra è formata da 100 strumenti ciascuno dei quali emette un suono avente un’intensità di 60 dB e da 20 coristi ognuno dei quali canta con un’intensità di 65 dB. Calcolare l’intensità totale del suono generato dall’orchestra.

Prima bisogna trovare l’intensità in Watt/m^2, poi sommare.

Io = 10^-12 W/m^2, è l’intensità minima che l’orecchio umano può percepire ed è il punto iniziale della scala in dB = 0 dB.

60 = 10 Log (I / 10^-12);
Log I – Log(10^-12) = 60/10;
Log I = 6 + Log(10^-12) Log I = 6 – 12 = – 6
I = 10^-6 Watt/m^2 (intensità di uno strumento) ;
10 strumenti danno una I = 100 * 10^-6 = 10^-4 W/m^2 ;
I (corista) = 65 dB ;  65 = 10 Log (I/10^-12);
Log I = 65/10 – 12;   Log I = – 5,5;
I (corista) = 10^(-5,5)W/m^2 ;

I(20 coristi) = 20 * 10^(-5,5) W/m^2;
Intensità totale = 10^-4 + 2 * 10^-4,5 = 1,632 *10^-4 W/m^2;
Livello sonoro in dB = 10 Log( (1,632 * 10^-4) /10^-12) = 10 * ( Log1,632 – 4 +12);

Livello sonoro orchestra = 10 * ( 0,213 – 4 + 12) = 10 x 8,21 = 82,1 dB.

 

5)  Esercizio sulla velocità del suono .

 

Un uomo colpisce  con un martello l’estremità una lunga barra di alluminio.

Una donna, all’altra estremità con l’orecchio vicino alla barra, sente il suono del colpo due volte ( una attraverso l’aria e una attraverso la barra) con un intervallo tra i due di 0,12 s. Sapendo che la velocità del suono nella barra è 15 volte maggiore di quella in aria, quanto è lunga la barra? (La velocità del suono in aria è 343 m/s).

V1 = 343 m/s;  V2 = 343 * 15 = 5145 m/s .

S = 5145 * t ;

S = 343 * ( t + 0,12) ; in aria il tempo di percorrenza è maggiore di 0,12 s.

5145 * t = 343 * ( t + 0,12) ;
5145 * t – 343 * t = 41,16;
4802 t = 41,16;
t = 41,16/4802 = 0,0086 s ( tempo di percorrenza del suono nella sbarra).

S = 5145 * 0,0086 = 44 m ( lunghezza della sbarra).

 

 

Interazione fra correnti – Esercizi

 

Esercizio 1)
Un tratto di filo rettilineo AB lungo 40 cm è posto a un’altezza di 0,8 cm sopra un secondo filo, in cui passa una corrente i2  di 30 A. Se questo filo ha una massa di 2,0 g, calcolare direzione e verso della corrente i1  lungo AB che permette di equilibrare il peso del tratto di filo in basso.

F peso = 0,0020 * 9,8 = 0,0196 N

Ci vuole una forza fra i fili attrattiva, verso l’alto che sia uguale in modulo alla forza peso.

Due fili si attraggono se la corrente che circola in essi ha lo stesso verso.

F = ko * i1 * i2 * L / d;     (Legge di Ampère).

μo = 1,26 ·10-6 N/A2 ; (permeabilità magnetica del vuoto)

ko = μo/(2pgreco) = 2 · 10^-7 N/A^2;

d = 0,8 cm = 0,008 m

L = 0,40 m;

i1 = F * d /(ko * i2 * L)

F = 0,0196 N

i1 = 0,0196 *0,008 / (2 * 10^-7* 30 * 0,40) ;

i1 = 65,3 N  nello stesso verso di i2.

 

2) Il primo di due lunghi fili, appoggiati su un piano liscio orizzontale, lunghi ciascuno 6,5 m e paralleli tra loro, trasporta una corrente di 45 A. Questi sono collegati, a metà lunghezza, meccanicamente ma non elettricamente, da una molla a riposo, lunga 5,0 cm con costante elastica k=16 N/m.Vogliamo comprimere la molla di 4,0 mm. Calcola l’intensità e il verso della corrente che dovrebbe scorrere nel secondo filo. Che verso hanno gli elettroni di conduzione nel secondo filo?

F = Ko * i1 * i2 * L / d;   forza fra due fili percorsi da corrente.

Due fili si attraggono se le correnti hanno stesso verso.

Forza di compressione della molla che si deve comprimere di 4,0 mm = 0,004 m:

F = K * x = 16 *0,004 = 0,064 N

Ko = 2 * 10^-7 N/A^2

d = 5 cm = 0,05 m; L = 6,5 m;

i2 = F * d / (Ko * i1 * L)

i2 = 0,064 * 0,05 / ( 2 * 10^-7 * 45 * 6,5) = 54,7 A

La corrente i2 deve avere lo stesso verso di i1, così i fili si avvicinano e comprimono la molla. Gli elettroni si muovono in verso contrario al verso che per convenzione diamo alle correnti. Gli elettroni vanno verso il polo positivo. Noi diciamo invece che la corrente va dal polo positivo + verso il polo negativo -. (Per convenzione).

Forza elettromotrice indotta: f.e.m. = – d Φ / d t

 

3) Due fili rettilinei paralleli, distanti 5,0 cm sono attraversati da due correnti di intensità rispettivamente i1 = 2,50 A e i2 = 5,20 A.

Calcola l’intensità della forza magnetica su un tratto di filo lungo 0,850 m.

F = Ko * i1 * i2 * L / d;   forza fra due fili percorsi da corrente.

ko = μo/(2pgreco) = 2 · 10^-7 N/A^2;

F = 2 * 10^-7 * 2,50 * 5,20 * 0,850 /0,05;

F = 2,21 * 10^-6 / 0,05 = 4,24 * 10^-5 N.

 

4) Un filo conduttore lungo 23,5 cm è posto in una regione occupata da un campo magnetico omogeno B ⃗, le cui linee di campo sono perpendicolari al filo. Nel filo passa una corrente di intensità 3,5 A e su di esso agisce una forza di modulo 2,2 * 10^-4 N

Determina il modulo di B ⃗.

 F = i B L;

B = F / ( i L) = 2,2 * 10^-4 /(3,5 * 0,235)= 2,67 * 10^-4 T =

= 267 microTesla.

 

Esercizi su Macchina di Atwood, tensioni

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Carrucola, Esercizi su macchina di Atwood, macchina di Atwood

Due masse m1 ed m2 sono collegate mediante una fune che passa nella gola di una piccola carrucola di massa trascurabile, con attrito trascurabile. m2 > m1. m2 si muove verso il basso ed m1 verso l’alto.

Macchina di Atwood

m1 sale, m2 scende.

T è la tensione della fune.

Poniamo negative le forze verso l’alto; positive le forze verso il basso;

sarà positivo andare verso il basso. 

-T + m1 g = – m1 a; (1)

+ m2 g – T = + m2 a; (2)

Ricaviamo T dalla (1) e sostituiamo nella (2);

T = m1 a + m1 g; (1)

m2 g – m1 a – m1 g = + m2 a; (2)

m1 a + m2 a = m2 g – m1 g;

a = (m2 g – m1 g) / ( m1 + m2);

a = g * (m2 – m1) / ( m1 + m2).

Esercizio

1. 

• Calcolare anche la tensione T della fune (Ris.: 38 N).
• Frisultante = m2 g – m1 g ;  (m2 traina il sistema, m2 scende, m1 sale, frena il sistema);

(la massa della carrucola è trascurabile).

Accelerazione:

a = F ris/(m2 + m1)

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

h = 1/2 a t^2; legge del moto accelerato.

Tempo di caduta da h:

t = radice(2 * h / a)

v = a * t ;

v = a * radice(2 * h / a);

Portiamo a sotto radice e semplifichiamo:

v = radice (2 * h * a^2 / a)

v = radice( 2 * h * a),

a = (m2 – m1) * g /(m2 + m1);

v = radicequadrata[2 * h  * (m2 – m1) * g /(m2 + m1)]

v = radicequadrata[ 2 * g * h * (m2 – m1) / (m2 + m1) ];

Con i dati:

v finale = radice quadrata[2 * 9,8 * 1,2 * (4,1 – 3,7) / 4,1 + 3,7)] =

= radice quadrata[23,52 * 0,4/7,8] = 1,1 m/s; (velocità finale).

L’accelerazione del sistema è:

a = (4,1 – 3,7) * 9,8 / (4,1 + 3,7) = 9,8 * 0,4/7,8 = 0,5 m/s^2

• Se vogliamo trovare la tensione T della fune che collega le due masse occorre considerare separatamente le forze agenti su ciascuna massa.

Su m2 che scende:

+ T verso l’alto,  – m2 * g  verso il basso,  – m * a forza risultante verso il basso.

Su m1 che sale: + T verso l’alto,  – m1 * g verso il basso,  + m1 *a verso l’alto.

+ T – m2 * g = – m2 * a

T = m2 *g – m2 * a;
T = m2 * ( g – a) = 4,1 * ( 9,8 – 0,5) = 38 N (verso l’alto).

m2 pesa    m2 * g = 4,1 * 9,8 = 40,2 N > T; quindi m2 scende.

+ T – m1 * g = + m1 * a

T = m1 * (g + a) = 3,7 * (9,8 + 0,5) = 38 N ; la stessa che agisce su m2.

m1 pesa   m1 * g =  3,7 * 9,8  = 36,3 N < 38 N; quindi la tensione lo fa muovere verso l’alto.

        

2) Consideriamo la macchina con una  carrucola con una sua massa non trascurabile M_C che ruota, quindi  dobbiamo considerare il sistema in rotazione.

MA > MB.

Dopo la rotazione M_B è salita della quantità h, M_A è scesa della stessa quantità h e la ruota si è mossa di moto rotatorio a velocità angolare ω. Trovare:

– Accelerazione del sistema

– Velocità di impatto di M_A o velocità di M_B,  (sono uguali dato che sono collegate)

– Tensioni della fune

– Velocità angolare massima.

La velocità  angolare della carrucola è legata alla velocità delle masse perché M_C ruota mentre M_B e M_A salgono e scendono con la stessa accelerazione a.

Consideriamo una situazione intermedia, M_A sta scendendo e M_B sta salendo.

Per la massa Ma:

Ma  scende, la tensione + TA  è verso l’alto, il peso  – Ma * g  è verso il basso : 

+ TA – Ma * g  = – Ma * a

Per la massa Mb che sale:

+ T_B – Mb * g =  + Mb * a

La rotazione  avviene grazie ai momenti delle due tensioni Ta e Tb,

( Momento della forza = braccio * Forza = r * F).

r * Tb positivo, provoca rotazione antioraria;    r * Ta negativo provoca rotazione oraria.

(alfa è l’accelerazione angolare).

α = accelerazione angolare della carrucola = (Delta ω) / Delta t;

 r * Tb – r Ta = – I * α; (rotazione oraria nel caso del disegno.)

α = accelerazione angolare alfa;

a = α * r ; accelerazione lineare.

α = a / r

I = 1/2  Mc * r^2 , (momento d’inerzia del disco pieno, carrucola).  r = raggio carrucola.

 r * Tb – r Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r ;

semplifichiamo per r:

Tb –  Ta = – 1/2 Mc r^2  * a/r^2 ;

Tb – Ta = – 1/2 Mc * a ;

cambiamo segno:

Ta – Tb = 1/2 Mc * a

Abbiamo tre equazioni: le forze verso l’alto, positive, quelle verso il basso negative;

La carrucola ruota in senso orario, r Ta > r Tb; le incognite sono Ta, Tb, a.

+ Ta – Ma * g = – Ma * a

+ Tb  – Mb * g = + Mb * a

 Ta – Tb = 1/2 Mc * a;

Ta = Ma * g – Ma * a

Tb = Mb * g + Mb * a

Ta = Ma * (g – a)

Tb =  Mb * (g + a);

Ta – Tb = Ma * (g – a) – Mb * (g + a);

1/2 Mc * a = Ma * g – Ma * a – Mb * g –  Mb * a;

1/2 Mc * a  + Ma * a + Mb * a = Ma * g – Mb * g

a = g * [ ( Ma – Mb) /(Ma + Mb + 1/2 Mc) ];

tempo di discesa da altezza h:

h = 1/2 a  t^2;

t = radice (2 * h / a);

velocità di impatto:

v = a * t.

velocità angolare ω = v /  r.

Esempio numerico, dati:   Ma = 4,0 kg;  Mb = 2,0 kg;  Mc = 0,6 kg;

raggio carrucola r = 10 cm = 0,1 m;  altezza di discesa h = 1,5 m.

a = (4,0 – 2,0) / (1/2 * 0,6 + 4,0 + 2,0) = 2,0 /6,3 = 0,32 m/s^2

alfa = a / r = 0,32 / 0,1 = 3,2 rad/s^2;

Ta = Ma * (9,8 – a) = 4,0 * (9,8 – 0,32) = 37,9 N;

Tb = Mb * ( 9,8 + 0,32) = 20,24 N;

h = 1,5 m;

1/2 a t^2 = h;

t = radicequadrata(2 * h / a) = radicequadrata(2 * 1,5/0,32) = 3,06 s

v = a * t = 0,32 * 3,06 = 0,98 m/s circa 1,0 m/s;  [ v = radice(2 * a * h) = 1,0 m/s].

ω = alfa * t 0 3,2 * 3,06 = 9,8 rad/s;

ω= v/r.

Risposta  multipla:

Una macchina di atwood ha appese al filo una massa di 9 kg e una massa di 11 kg. Quale è la loro accelerazione?

a) g/20

b) g/10

c) g/2

d) g/5

La massa m1 = 11 kg scenderà e la massa m2 = 9 kg salirà.

Le masse si muovono con la stessa accelerazione a.

Fpeso1 = 11 * g

Fpeso2 = 9 * g

Fris = (massa totale) * a

(massa totale) * a = 11 * g – 9 * g

massa totale = 11 + 9 = 20 kg

20 * a = g * (11 – 9) ;

a = g * 2/20 = 9,8 /10 = 0,98 m/s^2

risposta b) g/10.

Esercizi sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

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Esercizi sul moto rettilineo

                                 

Esercizio 1

Un motorino viaggia a velocità costante e percorre 150 m in 7,5 s.

Un’auto accelera costantemente con a= 4 m/s^2, partendo da ferma quando la affianca il motorino.

• Calcolare il tempo che impiega l’auto a raggiungere la velocità del motorino.
• Calcolare  lo spazio percorso in tale tempo.

v = S / t = 150 / 7,5  = 20 m/s (velocità motorino).

Leggi del moto:

S = 20 * t; (moto uniforme del motorino).

grafico del moto uniforme, ( cioè a velocità costante).

Moto uniformemente accelerato: l’accelerazione è costante.

S = 1/2 * 4 * t^2; (moto uniformemente accelerato dell’auto).

Eguagliamo le due equazioni:  S = S;

20 * t = 1/2 * 4 * t^2

20 * t = 2 * t^2

20 = 2 * t

t = 20 / 2 = 10 s ( tempo che l’auto impiega per raggiungere il motorino).

S = 20 * 10 = 200 m

S = 1/2 * 4 * 10^2 = 200 m; (Spazio percorso dall’auto e dal motorino).

grafico Spazio – tempo del moto accelerato.

ESERCIZIO 2

Un corpo possiede una velocità di 2 m/s e in 4 s la quadruplica.

• Calcolare la velocità e lo spazio percorso dopo: 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, 6 s.
• Rappresentare nel  piano cartesiano.

vo = 2 m/s

v1 = 4 * 2 = 8 m/s;

t = 4 s;

moto accelerato:

a = (v1 – vo) / t = (8 – 2) / 4 = 6/4 = 1,5 m/s^2;

S = 1/2 a t^2;

S1 = 1/2 * 1,5 * 1^2 = 0,75 m

S2 = 1/2 * 1,5 * 2^2 = 3 m

S3 = 1/2 * 1,5 * 3^2 = 6,75 m

S4 = 1/2 * 1,5 * 4^2 = 12 m

S5 = 1/2 * 1,5 * 5^2 =   18,75 m

S6 = 1/2 * 1,5 * 6^2 = 27 m.

Graficamente si ottiene una parabola.

v = a * t;

v1 = 1,5 * 1 = 1,5 m/s;

v2 = 1,5 * 2 = 3 m/s;

v3 = 1,5 * 3 = 4,5 m/s

v4 = 1,5 * 4 = 6 m/s

v5 = 1,5 * 5 = 7,5 m/s

v6 = 1,5 * 6 = 9 m/s.

Graficamente si ottiene una retta. Tempo t in ascissa, velocità v in ordinata.

grafico Velocità –  tempo nel moto uniformemente accelerato.

3) Se la velocità è massima,  l’accelerazione è nulla?

L’accelerazione nel grafico è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico. Quindi in t2, dove v è massima la tangente è orizzontale, ha coefficiente 0, la velocità in quel punto non varia,  a = DeltaV / Deltat, quindi a = 0.

L’accelerazione è  massima in t1 dove V cresce e in t3 dove V decresce e arriva a 0, l’accelerazione è negativa, il treno decelera.

Atomo di Bohr. Esercizi.

 

 

 

Raggio dell’atomo di idrogeno :  r = 5,29 * 10^-11 m =  0,53 Ångström.

1. Nell’atomo di idrogeno l’elettrone gira intorno al proprio nucleo secondo un’orbita che si può considerare circolare.

 

• Quale distanza percorre l’elettrone in un intervallo di tempo di 0,1 s?

 

Se immaginiamo che l’elettrone si muova su un’orbita circolare  intorno al protone la forza di Coulomb va considerata come  una forza centripeta.

Fc = m v^2/r;

m v^2 / r = K e * e  / r^2

r = 5,29 * 10^-11 m;  m = 9,11 * 10^-31 kg;

e = carica dell’elettrone = 1,602 * 10^-19 C;

Ricaviamo la velocità dell’elettrone:

v = radicequadrata(K e^2 / r m)=

= radicequadrata[9 * 10^9 * (1,602 * 10^-19)^2 / (5,29*10^-11* 9,11 * 10^-31 ) ] =

= radicequadrata(4,793 * 10^-12) = 2,189 * 10^6 m/s;

in t = 0,1 s, percorre:

S =  v * t = 2,189 * 10^6 * 0,1 = 2,19 * 10^5 m; (219 km).

 

2)  L’elettrone di un atomo di idrogeno, descritto con il modello di Bohr, si muove  su un’orbita lunga C = 5,31 * 10^-9 m.

– Calcola l’accelerazione centripeta dell’elettrone per l’orbita percorsa.
– Quanto vale l’accelerazione centripeta per lo stato fondamentale?

m v^2/r = K * e^2 / r^2
r = C / (2pgreco) =5,31 * 10^-9 /6,28 = 8,46 * 10^-10 m
v = radqquad( K *q^2 / (m r) )
v = radquad( 9 * 10^9 * (1,6 * 10^-19)^2 / (9,11 * 10^-31 * 8,46 * 10^-10 ) ) =
v = 5,47 * 10^5 m/s
a = v^2/r = (5,47 * 10^5) ^2 / 8,46 * 10^-10 = 3,53 * 10^20 m/s^2.

Per lo stato fondamentale dell’atomo di Bohr, porre il raggio ro = 5,29 * 10^-11 m
e rifare i calcoli:

v^2 = K *q^2/(m * ro) = 4,78 * 10^12;       (v = 2,19 * 10^6 m/s).

a = v^2/ro

v^2 = K *q^2/(m * ro)

a = [K *q^2/(m * ro) ]/ ro = Kq^2/(m * ro^2) = 9,04 * 10^22 m/s^2

 

3) Perché gli elettroni non cadono sul nucleo? La loro carica è opposta a quella dei protoni.
Mentre nella meccanica classica l’energia è un continuo, la meccanica quantistica prevede la possibilità che ci siano solo certi valori (livelli) dell’energia accessibili al sistema. (L’energia è quantizzata).

Atomo semiclassico di Bohr
Per l’elettrone esistono stati permessi (o stazionari) e stati proibiti; sulle orbite stazionarie l’elettrone ha energia stazionaria e quindi non irradia, in contrasto con le previsioni della fisica classica.
L’elettrone emette (o assorbe) energia solo se scende (o sale) da un’orbita permessa ad un’altra permessa. La transizione avviene emettendo o assorbendo un fotone di frequenza f proporzionale alla differenza di energia ΔE tra i due stati stazionari. La relazione che lega la frequenza del fotone al salto energetico è la relazione quantistica ΔE = h * f

La teoria ondulatoria di De Broglie fornirà al modello atomico di Bohr una convincente ragione teorica, associando all’elettrone una lunghezza d’onda di dimensioni atomiche.

Se si abbandona l’idea di una particella classica che ruota su un’orbita per sostituirla con quella di un’onda stazionaria che si chiude perfettamente su tale orbita, si deve accettare che sono possibili solo le orbite con circonferenza multipla della lunghezza d’onda associata.