produce è maggiore della forza peso.
La spinta di Archimede deve essere almeno uguale al peso dell’anfora in acqua.
F peso fuori dall’acqua = m * g = 95 * 9,8 = 931 N;
Spinta che l’anfora riceve per l’acqua che sposta con il suo volume senza pallone.
Volume in m^3 = 0,038 m^3;
F Archimede = d g V = 1030 * 9,8 * 0,038 = 384 N; (verso l’alto).
F risultante= 931 – 384 = 547 N ( Forza risultante in acqua, peso apparente dell’anfora).
Ci vuole una spinta verso l’alto di 547 N.
F spinta = d g (V pallone):
V pallone = 547 / (1030 * 9,8) = 0,054 m^3 ;
Volume pallone = 54 dm^3 (circa).
2) Un pallone sferico del diametro di 3 m è riempito di elio ( d= 0,00018 g/cm3 = 0,18 kg/m^3). Quanto vale la spinta di Archimede che riceve nell’aria ( d= 0,00129 g/cm^3 = 1,29 kg/m^3) ?
Farchimede = (densità aria) * g * (Volumepallone)
Volume pallone = 4/3 * 3,14 * raggio^3 = 4/3 * 3,14 * 1,5^3 = 14,14 m^3
densità aria = 1,29 kg/m^3
F archimede = 1,29 * 9,8 * 14,14 = 178,7 N
La densità dell’elio non serve per la forza di Archimede. Serve se si vuole trovare la massa del pallone e il suo peso. Se pesa meno dell’aria spostata, il pallone salirà verso l’alto.
Se il pallone deve sollevare una massa di 10 kg (gomma dell’involucro e attrezzatura appesa), riuscirà a sollevarsi?
Massa Elio = d * volume = 0,18 * 14,4 = 2,59 kg;
Massa totale = 10 + 2,59 = 12,59 kg;
Fpeso = 12,59 * 9,8 = 123,4 N; (verso il basso)
F risultante = 178,7 – 123,4 = 55,3 N (verso l’alto).
3) Una sfera cava, con il diametro esterno di 7,2 cm galleggia nell’acqua restando immersa per una frazione pari a 0,8 del suo volume.
Sia ρ sfera= 4,4 g/cm^3 la densità della sfera. Il raggio r della cavità in centimetri misura?
Volume sfera = 4/3 pigreco r^3;
r = 7,2/2 = 3,6 cm; raggio esterno.
Volume sfera = 4/3 * (3,14159) * 3,6^3 = 195,432 cm^3;
V immerso = 0,8 * (V sfera);
V immerso = 0,8 * 195,432 = 156,35 cm^3;
F Archimede = (ρ acqua) * g * V immerso.
La sfera galleggia quindi la Forza di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso verso il basso.
F peso = m * g;
ρ acqua = 1 g / cm^3
(ρ acqua) * g * (V immerso) = m * g; semplifichiamo g = 9,8 m/s^2, rimane:
(ρ acqua) * V immerso = m; (massa della lamina che forma la sfera cava).
ρ del materiale della sfera = 4,4 g/cm^3; (se non fosse cava, non galleggerebbe in acqua).
m = (1g/cm^3)* 156,35 cm^3 = 156,35 g;
Volume materiale sfera = m /(ρ sfera) = 156,35 /4,4 = 35,53 cm^3;
(Volume sfera) – (Volume materiale) = Volume cavità interna;
195,432 – 35,53 = 159,9 cm^3;
Volume cavità:
4/3 * (3,14159) * (r cavità)^3 = 159,9 cm^3;
r cavità = radicecubica[159,9 * 3 / (4 * 3,14159];
r cavità = [38,173] = 3,37 cm ; (circa 3,4 cm); raggio interno della cavità.
Quindi il materiale della sfera è una lamina sottile di spessore:
s = 3,6 – 3,4 = 0,2 cm = 2 mm.
4) Calcolare il raggio di una sfera di massa m = 700 g in equilibrio in acqua dolce.
Sfera in equilibrio, vuol dire che la spinta di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso verso il basso. (La sfera se è in equilibrio indifferente in acqua, avrà la stessa densità dell’acqua).
(d acqua) * g * Volume immerso = (m sfera)* g;
g = 9,8 m/s^2 si semplifica.
Se usiamo i grammi come unità di massa, possiamo usare la densità dell’acqua in g/cm^3, otterremo il volume della sfera in cm^3.
d acqua = 1000 kg/m^3 = 1 g/cm^3;
1 * Volume immerso = m sfera;
Volume immerso = 700 grammi / 1 g/cm^3 = 700 cm^3;
Volume immerso = volume acqua spostata = volume sfera.
V = 4/3 pigreco * r^3;
r = radicecubica[(V * 3/4) /pigreco];
r = radicecubica[700 * 3/ 3,14 * 4] = radicecubica(167,11);
r = 5,5 cm; raggio della sfera.
5) Un lingotto è composto da una lega di oro (d=1,93*10^4 kg/m^3) e argento (d=1,05*10^4 kg/m^3) e ha la massa di 0,802 kg. Se si immerge il lingotto in acqua distillata, appeso a un dinamometro, il suo peso risulta 7,19 N.
– Quale volume di oro e quale di argento sono contenuti nel lingotto?
F peso = m * g = 0,802 * 9,8 = 7,86 N; (peso del lingotto in aria).
F peso in acqua = 7,19 N;
F Archimede = 7,86 – 7,19 = 0,67 N; (forza di spinta verso l’alto che fa diminuire il peso).
F Archimede = (d acqua) * g * (Volume immerso);
usiamo le densità in kg/dm^3, è più semplice fare i calcoli.
d acqua = 1 kg / dm^3.
Volume = F Archimede/ (d * g) = 0,67 / (1 * 9,8) = 0,0684 dm^3. (Volume lingotto).
V = 68,4 cm^3. (Volume in cm^3)
d oro = 19,3 kg/dm^3 = 19,3 g/cm^3;
d argento = 10,5 kg/dm^3 = 10,5 g/cm^3.
(m argento) + (m oro) = m totale;
m argento = (V Ag) * (d Ag).
m oro = (V Au) * (d Au);
m totale = 802 grammi.
V Ag + V Au = 68,4 cm^3.
10,5 * (V Ag) + 19,3 * (V Au) = 802;
10,5 * (68,4 – V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;
718,2 – 10,5 * (V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;
8,8 * (V Au) = 802 – 718,2;
V Au = 83,8 ( 8,8) = 9,52 cm^3; (Volume oro).
V Ag = 68,4 – 9,52 = 58,9 cm^3; (Volume argento).
Noto problema della corona di Gerone, risolto da Archimede.
La corona di Gerone
La storia completa è questa. Gerone II, tiranno di Siracusa, fece costruire da un valente orafo una corona d’oro, a forma di rami intrecciati, del tipo di quella riprodotta, per porla a decoro di una statua rappresentante un dio o una dea. Tuttavia quando ricevette la bellissima corona ebbe il sospetto che l’orafo potesse aver sostituito, all’interno della corona, l’oro con l’argento. Per questo il Tiranno chiese ad Archimede di determinare se la corona fosse d’oro massiccio oppure se contenesse all’interno il meno pregiato argento. Ma poiché la corona, di pregevole fattura, doveva ornare il capo di una divinità, era essa stessa un oggetto sacro. Quindi il Tiranno pose ad Archimede la condizione che la corona doveva restare integra.
6) Pressione in Newton/m^2.
In un laghetto circolare di 20 m di diametro si è formata una lastra di ghiaccio che riesce a reggere senza rompersi una massa del valore massimo di 205 kg distribuita su una superficie di 1 m^2. Hai una slitta di massa 110 kg.
1) Su quale superficie minima deve poggiare questa slitta per non rompere la lastra di ghiaccio?
2) Quanto vale la massa massima che si potrebbe distribuire in modo uniforme sull’intera superficie del laghetto senza rompere la lastra di ghiaccio?
Risultati: 0,54m^2; 6,4 * 10^4 kg
Pressione P = F / Area = 205 * 9,8 / 1 m^2 = 2009 Pa; pressione che può sostenere la lastra di ghiaccio.
- Area = F / P = 110 * 9,8 / 2009 = 0,54 m^2 (Superficie minima su cui deve poggiare la slitta).
2. raggio = diametro / 2 = 10 metri.
Area laghetto = 3,14 * r^2 = 3,14 * 10^2 = 314 m^2;
F peso massima = P * Area = 2009 * 314 = 6,31 * 10^5 N;
Massa = F / g = 6,31 * 10^5 / 9,8 = 6,4 * 10^4 kg; ( massa che può sostenere distribuita su tutta la superficie del laghetto).
7) Una sfera rigida di volume V=785 litri e densità 759 kg/m^3 è ancorata al fondo del mare tramite una molla di costante elastica k. La molla è deformata di deltax =22,9 cm rispetto alla posizione di riposo. Si calcoli la costante elastica della molla.
La sfera è soggetta alla forza peso verso il basso e alla spinta di Archimede che la spinge verso l’alto.
La forza della molla F = k * x verso il basso tiene ferma la sfera sul fondo.
F peso = m * g;
massa m = d * V;
1 litro = 1 dm^3.
Volume: V = 785 dm^3 = 0,785 m^3
m = 759 * 0,785 = 595,8 kg;
F peso = 595,8 * 9,8 = 5839 N;
F Archimede = (d acqua mare) * V * g = 1030 * 0,785 * 9,8 = 7924 N;
d acqua di mare = 1030 kg/m^3 (circa, dipende dalla quantità di sale).
La forza di Archimede è maggiore della forza peso, quindi la sfera salirebbe verso l’alto se non fosse ancorata.
F Archimede – F peso: F = 7924 – 5839 = 2085 N. (Forza verso l’alto).
La molla deve esercitare una forza uguale e contraria ad F per tenere ferma la sfera.
delta x = 22,9 cm = 0,229 m.
F = k * (delta x);
k = F / (delta x) = 2085 / 0,229 = 9105 N / m; (costante elastica della molla).
k = 9105 N/m in acqua di mare salata.
k = 8100 N/m (circa se fosse in acqua non salata con densità 1000 kg/m^3; la spinta di Archimede verso l’alto sarebbe minore F Archimede = 1000 * 9,8 * V immerso = 7693 N ).
7) Un bicchiere a forma cilindrica con il diametro interno lungo 4 cm contiene acqua. Per raffreddarla sono stati aggiunti 5 cubetti di ghiaccio uguali e il livello dell’acqua si è alzato di 3 cm.
Quanto misurava lo spigolo di ogni cubetto di ghiaccio?
Volume cubetti = Volume acqua spostata nel bicchiere.
Volume immerso dei cubetti = Area base * h = r^2 *3,14 * h;
raggio = 2 cm. h = 3 cm.
I cubetti galleggiano in acqua con la parte immersa che è il 92% del totale perché il ghiaccio ha densità 0,92 g/cm^3.
Forza peso = F Archimede;
V totale * (d ghiaccio) * g = V immerso * (d acqua) * g;
Volume totale = (d acqua / d ghiaccio )* V immerso;
Volume immerso dei cubetti = 2^2 * 3,14 * 3= 12,57 * 3 = 37,7 cm^3;
Volume immerso di 1 cubetto = 37,7/5 = 7,54 cm^3.
densità ghiaccio = 0,92 g/cm^3;
densità acqua = 1 g/cm^3.
Volume totale di 1 cubetto = (d acqua / d ghiaccio )* V immerso ;
Volume totale = 1 / 0,92 * 7,54 = 8,2 cm^3
Spigolo = radicecubica(8,2) = 2,02 cm.
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