I Fluidi

I Fluidi    Apri file (powerpoint)

 Le leggi dei fluidi:   Legge di Archimede, Principio di Stevino, Principio di Pascal, Teorema di Bernoulli.
Misura della pressione atmosferica: Torricelli.

vasicomunicanti

Principio di Pascal

una pressione esercitata in un punto di un fluido incomprimibile si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità, perpendicolarmente alle superfici che incontra.

blaisepascal   pistone-idraulico

Torchio idraulico

Un interessante dispositivo basato sul principio di Pascal è il torchio idraulico. Il torchio idraulico è una macchina che consente di equilibrare una forza molto intensa applicandone una piccola.
In questo modo è possibile sollevare un’automobile con uno sforzo minimo.
2-torchio-idraulico

La pressione applicata mediante il pistone piccolo si trasmette con la stessa intensità su tutte le pareti. P = Fa /a ,  P è la stessa in ogni punto del fluido.
Sul pistone grande agisce una forza molto elevata grazie alla grande superficie
(Fb = P * Sb)

In una botte piena d’acqua immergiamo
attraverso il coperchio un tubo stretto e
molto alto. Versando acqua nel tubo la
pressione idrostatica aumenta, secondo
la legge di Stevino , proporzionalmente all’ altezza.
Per il principio di Pascal l’aumento di pressione
si trasmette a tutto il liquido contenuto nella
botte e di conseguenza aumenta anche la forza
esercitata dall’acqua contro le pareti interne della
botte,
essendo il prodotto di pressione per superficie.
Versando quindi acqua nel tubo si arriverà ad
un punto in cui la botte si rompe in quanto il
materiale che la costituisce non è in grado di
sopportare la forza esercitata dal liquido.
Ciò conferma l’indipendenza della pressione
in un certo punto interno ad un fluido dalla forma
del recipiente che lo contiene: un tubo alto ma
relativamente stretto può produrre pressioni
notevoli senza la necessità di impiego di
grossi volumi di liquido.botte

Botte di Pascal

Nel dimostrare il suo principio,Pascal mostrò in modo spettacolare come la forza possa essere aumentata dalla pressione di un fluido. Egli pose un lungo tubo sottile di raggio 0,30 cm verticalmente dentro una botte di raggio 20 cm. Egli trovò che quando la botte era piena di acqua e il tubo era pieno a un’altezza di 12 m, la botte esplodeva. Calcolare la massa del fluido nel tubo, e la forza risultante che agisce sul coperchio della botte…

Area del tubo = pgreco x r^2 = 3,14 x 0,30^2 = 0,283 cm^2 = 0,283 x 10^-4 m^2

Massa dentro il tubo = densità x volume = 1000 x (0,283 x 10^-4 x 12) =
= 1000 x 3,39 x 10^-4 =0,339 kg

Forza peso = m x g = 0,339 x 9,8 = 3,33 N ( il peso dell’acqua è pochissimo, ma la pressione è grande.

Con la legge di Stevino:

P = 1000 x 9,8 x 12 = 1,18 x 10^5 Pa

F = P x Area_botte = 1,18 x 10^5 x pgreco x 0,2^2 = 14821 N

Stevino.   P = Po + ρ g h

Esempio : una colonna d’acqua alta 22,4 cm inserita in un tubo a u è in equilibrio con il liquido non miscibile inserito nell’altro ramo del tubo e alto 28cm. di quale liquido si tratta?

P1 = P2; con la legge di Stevino : P = ρ g h

ρ1 x g x 28 = ρ2 x g x 22,4; g si semplifica

ρ2 = 1 g/cm^3 = 1000 kg/m^3 è la densità dell’acqua

ρ1 = 1 x 22,4/28 = 0,8 g/cm^3 = 800 kg/m^3 (può essere olio, petrolio..)

Principio di Archimede : 
Un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta  (dal basso verso l’alto) di intensità uguale al peso del  fluido spostato dalla parte immersa del corpo. Il punto di applicazione della forza di Archimede, detto centro di spinta, si trova sulla stessa linea della variazione della pressione su cui si trova  il centro di massa del fluido spostato dal corpo immerso.

Tale forza è detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica (anche se  non riguarda solo i corpi immersi in acqua, ma in qualunque altro fluido – liquido o gas).

Vedi la dimostrazione:

http://www.claudiocancelli.it/web_education/fisica/floating%20in%20water.swf

Un modo più semplice per formulare il principio è  questo:

 Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato 

                       Galleggiamento nel Mar Morto


iceberg

iceberg

Da dove nasce la forza di Archimede FA (Spinta) ?  La spinta di Archimede è dovuta al fatto che la pressione di un fluido cresce al crescere della profondità del fluido. Infatti, consideriamo un cilindro di altezza h completamente immerso in un liquido. La pressione P1, agendo sulla base superiore, genera la forza diretta verso il basso F1 = P1A. Analogamente, la pressione P2, agendo sulla base inferiore, genera la forza verso l’alto F2 = P2A. Le forze dirette verso destra sono equilibrate da forze uguali dirette verso sinistra, perché la pressione ad una data profondità è uguale in tutti i punti del fluido. Poiché la pressione cresce al crescere della profondità, la forza verso l’alto è maggiore della forza verso il basso e, di conseguenza, il liquido applica al cilindro una forza risultante FA (spinta)orientata verso l’alto, il cui modulo è, ponendo h = h1-h2:

 

 FA = P2 ∙ A – P1∙ A = ( P2 – P1) ∙ A = rghA   =>

FA = g V(immerso)

 

 

Teorema di Bernoulli


Po + 1/2 (ρ) Vo^2 + (ρ) g ho = P1 + 1/2 (ρ) V1^2 + (ρ) g h1

 

 

 

Esercizio sul galleggiamento del ghiaccio in acqua:

Un cubetto di ghiaccio di densità 930 kg/m^3 emerge in parte dalla superficie dell’acqua contenuta nella vaschetta.
Se la densità dell’acqua è 1000 kg/m^3,qual è la percentuale di ghiaccio immerso rispetto al volume totale del cubetto?

La forza di Archimede deve essere uguale alla forza peso mg.

Farchim = Fpeso

densitàH20 x (Volume_immerso) x g = densitàghiaccio x (Volume_totale) x g

g si semplifica.

(Volume_immerso) / (Volume_totale) = densitàghiaccio / densitàH20

Vimm / Vtot = 930/1000 = 0,93 = 93%

 

La corona di Gerone

La storia completa è questa.  Gerone II, tiranno di Siracusa, fece costruire da un valente orafo una corona d’oro,Corona simile a quella ordinata da Gerone II a forma di rami intrecciati, del tipo di quella riprodotta a lato, per porla a decoro di una statua rappresentante un dio o una dea. Tuttavia quando ricevette la bellissima corona ebbe il sospetto che l’orafo potesse aver sostituito, all’interno della corona, l’oro con l’argento. Per questo il Tiranno chiese ad Archimede di determinare se la corona fosse d’oro massiccio oppure se contenesse all’interno il meno pregiato argento. Ma poiché la corona, di pregevole fattura, doveva ornare il capo di una divinità, era essa stessa un oggetto sacro. Quindi il Tiranno pose ad Archimede la condizione che la corona doveva restare integra (oggi diremmo che Archimede doveva sottoporre la corona a un esame non distruttivo). Archimede trovò la soluzione mentre stava entrando nella vasca da bagno osservando che, nell’immergersi, l’acqua traboccava dalla vasca. Intuendo ciò che noi oggi chiamiamo densità (materiali differenti di egual massa occupano volumi differenti), egli capì come poter risolvere il quesito che il Re gli aveva posto.

Bastava porre in una vasca una quantità d’oro puro di peso pari a quello della corona e poi riempire la vasca fino all’orlo. Quindi bisognava togliere l’oro e immergervi la corona: se vi fosse stato argento, che a parità di massa occupa un volume maggiore di quello dell’oro, l’acqua sarebbe traboccata. Archimede fu così felice della sua scoperta che si alzò repentinamente dalla vasca e corse per Siracusa gridando, appunto,

Eùreka, perfetto del verbo eurisko, significa «ho trovato»

Come riferisce l’architetto romano Vitruvio nel primo secolo avanti Cristo, Archimede riuscì in questo modo a scoprire la frode che l’orafo commise nei confronti di Gerone II.
Esempio
Una corona d’ oro di 2 kg, ha un  un volume di 190 cm^3. La densità della corona risulta quindi di 10,52*10^3 kg/m^3 (non è oro puro). Supporre che la corona di cui si parla sia costituita da una miscela di ottone e oro: che percentuale della massa della corona è oro puro?

Dalla densità così bassa si capisce che è quasi tutto ottone. L’oro ha una densità molto più alta.
densità ottone = 8,4 kg/dm^3;   densità oro = 19,3 kg/dm^3

M = densità x Volume

M(Au) + M(ottone) = 2 kg

V(Au) + V(ottone) = 0,190 dm^3

8,4 x V(ottone) + 19,3 x V(Au) = 2

V(ottone) = 0,190 – V(Au)

8,4 x (0,190 – V(Au) ) + 19,3 x V(Au) = 2

1,596 – 8,4 x V(Au) + 19,3 x V(Au) = 2

10,9 x V(Au) = 2 – 1,596

V(Au) = 0,404/10,9 = 0,037 dm^3 = 37 cm^3
V(ottone) = 0,190 – 0,037 = 0,153 dm^3 = 153 cm^3
Massa ottone = 8,4 x 0,153 = 1,29 kg
in percentuale: 1,29 / 2 x 100 = 0,64 x 100 = 64%
Esercizi sul galleggiamento

1)  In un recipiente galleggia un cubo di legno con densità 0,6 gr/cm^3 e lato 10 cm.
Calcola quanto emerge il cubo dall’acqua ed il lavoro che deve essere fatto per immergere completamente il cubo in acqua.

FA = F peso  (condizione di galleggiamento)

(densità acqua) x g x Vimm = (densità legno) x g x V totale
Vimm/ V tot = (densità legno) / (densità acqua)

V imm = 0,6/1 x V tot
Abase x h(immersa) = 0,6 x Abase x h tot
h imm = 0,6 x 10 = 6 cm; quindi emerge per 4 cm.
Lavoro = forza risultante x spostamento.
Forza ris =FArchim – Forza peso
FArc = 1 x 9,8 x (1 dm)^3 = 9,8 N
F peso = 0,6 x 9,8 x 1 = 5,88 N
F ris = 3,92 N , verso l’alto, per cui il legno emerge di 4 cm
Per spingerlo giù, occorre una forza che parte da valore 0N fino al valore  massimo di 3,92 N; allora prendiamo la forza media F = 3,92 / 2 = 1,96 N
deve scendere di 0,04 m
L = 1,96 x 0,04 = 0,078 J

2) Il ghiaccio ha una densità assoluta di 920 kg/m^3 mentre l’acqua del mare ha una densità assoluta di circa 1030 kg/m^3. Sulla base di queste informazioni, stabilire quale frazione percentuale del volume totale di un iceberg emerge dall’acqua.

Vimm= V * Dghiac/Dacqua ;      V è il volume totale dell’ iceberg

Poichè viene chiesta la frazione percentuale, non serve V, basta fare:

Vimm/V = 920/1030
Vimm/V = 92/103 = 0,89 ( x 100= 89%)
Vimm = 89/100 Vtotale; cioè su 100 parti di volume, 89 stanno sotto e 11 parti stanno sopra)

Vemerso = 11/100 Vtotale = 11%

3) Un cubetto di ghiaccio (di lato L=2 cm) galleggia in un bicchiere riempito fino all’orlo con una miscela di acqua e zucchero (densità della miscela: 1,15 g/cmcubo). Si calcoli il volume V di liquido che fuoriesce dal bicchiere in seguito al completo scioglimento del cubetto di ghiaccio. La densità del ghiaccio è di 0,92 g/cmcubo.

Se il ghiaccio fatto di acqua, galleggiasse in acqua di densità 1 g/cm^3 non fuoriuscirebbe nessun volume di liquido, qui invece la densità dell’acqua zuccherata è diversa.
(Densità_acqua) x g x Vimm = densitàghiaccio x g x Vtotale
 Vimm = 0,92/1,15 x Vtotale = 0,8 x 2^3 = 6,4 cm^3
Quando il cubetto si scioglie diventa acqua di densità 1 g/cm^3.
Il cubetto ha massa M = 0,92 x 8 = 7,36 grammi che diventa acqua. Il volume occupato
dall’acqua, se è acqua dolce di densità 1 è V = M / 1 = 7,36 cm^3.
Quindi fuoriesce un volume V = 7,36 – 6,4 = 0,96 cm^3

 4)  Una sfera d’acciaio cava con il diametro esterno lungo 10 cm, galleggia nell’acqua restando immersa per 2/3  del suo volume. qual è la misura del raggio della cavita??
densità acciaio = 7,8 * 10^3 kg/m^3

  

La spinta di Archimede è uguale alla forza peso della sfera. Quindi possiamo trovare la massa dalla sfera.Farchim = densità acqua x g x Vimmerso; densità = 1 kg/dm^3; raggio = 5 cm = 0,5 dmVimm = 2/3 x 4/3 x pgreco x R^3 = 8/9 x 3,14 x 0,5^3 = 0,349 dm^3

FArchim = 1 x 9,8 x 0,349 = 3,42 N
Massa = 3,43/9,8 = 0,349 kg
Volume totale sfera = 4/3 pgreco R^3 = 0,524 dm^3
Volume = Massa/densità ( densità acciaio = 7,8 kg/dm^3 , meglio usare queste unità di misura visto che il volume non è grande, meglio i dm^3, basta togliere tre zeri alla densità in kg/m^3)

Volume dell’acciaio che costituisce la sfera = Massa / densità acciaio = 0,349 /7,8 = 0,045 dm^3

Volume della sfera con cavità = 0,524 dm^3, togliamo a questo volume, il volume dell’acciaio che costituisce la superficie e troviamo il volume della cavità.

Volume cavità = 0,524 – 0,045 = 0,479 dm^3

4/3 pgreco (Rinterno)^3 = 0,479

Rinterno = radcubica (3/4 x 0,479 /pgreco) =radcubica (0,114) = 0,485 dm = 4,85 cm

 5) Principio di Archimede
Un corpo di volume ignoto, appeso a un dinamometro, fa segnare   100 N. Se il corpo viene immerso completamente in acqua il dinamometro segna 75,5 N. Calcolate il volume V del corpo e la sua densità.

Forza peso = mg = 100 N

m = 100/9,8 = 10,2 kg

In acqua pesa meno perchè c’è la spinta di Archimede : è la differenza fra i due pesi.

FArc = 100 – 75,5 = 24,5 N

Farc = (densità acqua) x (Vimmerso) x g; densità acqua = 1 kg/dm^3

Vimmerso = 24,5/(1 x 9,8) = 2,5 dm^3 (è il volume del corpo)

densità corpo = m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3 (oppure x1000 = 4080 kg/m^3)

6)  Quanti palloncini di elio riuscirebbero a sollevare una persona di 80 kg?

L’elio ha una densità di 0,18 kg/m^3.L’aria ha una densità di 1,29 kg/m^3, quindi l’elio galleggia sull’aria.Per la spinta di Archimede:

(densità aria) x g x (Volume totale) = Forza peso da sollevare

Forza peso da sollevare = (massa_uomo x g) + (massa_palloni_elio x g) =

= 80 x g + (densità elio) x (Volume totale) x g

1,29 x (Volume totale) x g = 80 x g + 0,18 x (Volume totale) x g ; g = 9,8 m/s^2 si semplifica

Volume totale = 80 / (1,29 – 0,18)= 80 /1,11 = 72,1 m^3; ( non ho considerato la massa degli involucri dei palloni)

Se aggiungiamo10 kg di gomma

volume totale = (80 + 10) /1,11= 81,1 m^3 di elio

Se ogni palloncino ha un volume di 20 litri = 0,02 m^3

N x 0,02 = 81,1

N = 81,1/0,02 = 4055 palloncini

Non so se sia possibile!

7) Una sfera rigida piena ed omogenea, immersa in una soluzione acquosa di glicerina, galleggia mantenendo fuori dal fluido una porzione pari a 1/6 del suo volume. La densità del fluido è pari a 1,2 g/cm^3. Calcolare la densità del materiale di cui è composta la sfera.

Condizione di galleggiamento

Forza peso = forza Archimede; chiamiamo  “ro”  la densità.

ro(sfera) x g x V(sfera) = ro(glicer) x g x V(immerso);     g = 9,8 m/s^2, si semplifica

ro(sfera) x V(sfera) = ro(glicer) x V(immerso); V (immerso) = 5/6 V(sfera)

ro(sfera) x V(sfera) = 1,2 x 5/6 x V(sfera); V sfera si semplifica

ro(sfera) = 1,2 x 5/6 = 1 g/cm^3 ( galleggia perchè è meno densa del fluido).

mongolfiere

8)   Un pallone aerostatico,  riempito di gas elio è in equilibrio in aria ad una certa altezza dal suolo, sostenendo un carico complessivo di massa 300 Kg;  nel carico si includono l’involucro del pallone,  la navicella , gli strumenti le persone a bordo ecc….ma non si include il gas che va considerato a parte.  La densità dell’elio nel pallone è 0,170 g/l,  quella dell’aria circostante è 1,15g/l .  Tenendo conto della sola spinta aereostatica sul pallone determinare la massa di elio in esso contenuta.

FArchimede = Fpeso-totale.
V pallone = V immerso nell’aria che lo sostiene con la spinta di archimede.

(ro)aria x g x Vimmerso = (ro)He x g x Vimmerso + 300 x g;       g si semplifica.

ro deve essere in kg/m^3 ; 1,15 kg/m^3; 0,17 kg/m^3

Vimmerso x (ro aria – ro He ) = 300

Vimmerso = 300/ (1,15 – 0,17)

Vimmerso = 306,12 m^3    (Volume che deve avere il pallone)

Massa He =  V x (ro) = 306,12 x 0,17= 52,04 kg (massa dell’elio).

9) E’ noto che il cervello dell’uomo è immerso in un liquido protettivo. In tal modo il cervello grava con un forza Fp = 0,5 N sulla base cranica. Determinare la densità di detto liquido se il volume medio della massa cerebrale è  V = 1,2 litri e la sua massa m = 1400 g.

Il cervello pesa: mg = 1,4 x 9,8 = 13,72 N, ma è come se pesasse solo 0,5 N.

Viene sostenuto dal liquido con la forza di Archimede FA =13,72 – 0,5 = 13,22 N.

FArchimede = (densità liquido) x (Volume immerso) x g

densità liquido = 13,22/(1,2 x 9,8) = 1,12 kg/litro = 1,12 kg/dm^3

oppure 1120 kg/m^3 ( nel sistema di misura S.I.).

10) Un oggetto che in aria pesa 30N se posto in acqua ne pesa 24N. Determinare la densità assoluta dell’oggetto.

In acqua c’è la spinta di Archimede
Fa = 30 – 24 = 6 N
Fa = (densità acqua) x g x Volume; densità acqua = 1 kg/dm^3
Volume = 6/(1 x 9,8) = 0,612 dm^3
Fpeso = mg = 30 N
m = 30/ 9,8 = 3,061 kg

densità corpo = M/V = 3,061/0,612 = 5 kg/dm^3 = 5000 kg/m^3

11) Una fusione difettosa in ghisa pesa in aria 4450 N e in acqua 3870 N. Calcolare il volume delle cavità nella ghisa,  sapendo che la densità del ferro è 7870 kg/m^3.

Farchim = 4450 – 3870 = 580 N
Fa = (densità acqua) x g x Volume;
Volume = 580/(1 x 9,8) = 59,2 dm^3 = 0,0592 m^3 ( con cavità interne)
Massa = 4450/9,8 = 454,1 kg
Volume (senza cavità) = massa / densità = 454,1 / 7870 = 0,0577 m^3
Volume delle cavità = 0,0592 – 0,0577 = 0,0015 m^3 = 1,5 dm^3

12) Un blocco di alluminio (densità 2,65 g/cm^3) di massa 1 kg è sospeso ad un filo con il quale viene immerso completamente in un contenitore pieno di acqua.
Calcolare la tensione del filo quando il blocco è  totalmente immerso.
Fris = TensioneFris = Fpeso – F(Archimede)

Fpeso = mg; F(Archimede) = densità H2O x g x Volume corpo

Volume = 1 kg/ 2,65kg/dm^3 = 0,377 dm^3
Densità H2O = 1 kg/dm^3
Fris = 1 x 9,8 – 1 x 9,8 x 0,377 = 9,8 – 3,69;
Fris = 6,1 N ; la tensione del filo deve essere uguale a 6,1 N verso l’alto.

13) Un corpo solido di V = 100 cm3 cade all’interno di un recipiente pieno d’acqua, partendo fermo dalla superficie. Si osserva che dopo t = 2 s il corpo è arrivato ad una profondità S =  5 m. Calcolare la densità del corpo senza considerare la forza di attrito.

Cade con una accelerazione “a” che occorre  trovare.

S = 1/2 a t^2 (legge del moto accelerato, S = 5 m; t = 2 s)

a = 2 x S/t^2 = 2 x 5/4 = 2,5 m/s^2

Le forze che agiscono sul corpo sono la Forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede frenante, verso l’alto che dipende dal Volume immerso:
Vimmerso = 0,1 dm^3.

mg – Farchimede = ma

Farchimede = densità H2O x g x Vimmerso = 1 x 9,8 x 0,1 = 0,98 N

mg – ma = Farchimede
m x ( 9,8 – 2,5) = 0,98

m = 0,98/ 7,3 = 0,134 kg
densità corpo = m/V = 0,134 / 0,1 = 1,34 kg/dm^3

14) Un cubo di spigolo d = 10 cm posto in acqua precipita verso il fondo con una accelerazione a=0,4 m/s2. Calcolare la densità di questo corpo.Lo spigolo è il lato = 1 dm.Trova il volume

V = 1 x 1 x 1 = 1 dm^3; sposta 1 dm^3 di acqua, densità acqua = 1 kg/dm^3

Forza di Archimede = densità x g x Vimmerso = 1 x 9,8 x 1 = 9,8 N (verso l’alto)

Forza risultante = Forza peso – Forza Archimede

Forza risultante = m x a

m x 0,4 = m x g – 9,8

m x g – m x 0,4 = 9,8

m x (9,8 – 0,4) = 9,8

m x ( 9,4) = 9,8

m = 9,8 / 9,4 = 1,043 kg

densità = massa / volume = 1,043/1 = 1,043 kg/dm^3

15) Il pallone di un aerostato riempito di elio è sospeso in aria. Il pallone si innalza sotto l’effetto di una forza risultante pari a 3500 N che lo spinge in alto. Calcolare il volume del pallone sapendo che la densità dell’aria è 1,2 kg/m^3 e quella dell’elio è 0,17 (trascura la massa del pallone rispetto alla massa dell’elio all’interno).

Frisultante = FArchimede – Fpeso
3500 = (densità aria) x V x g – (densità elio) x V x g
3500 = V x g x (densità aria – densità elio)
3500 = V x 9,8 x ( 1,2 – 0,17)
3500 = V x 10,094
V = 3500/10,094 = 347 m^3

16) Un corpo di rame (d=8900 kg/m^3) ha una cavità. In acqua pesa 4,1N, in aria 9,0 N.  Calcolare  il volume della cavità.

Fpeso in aria = m x g = 9,0 N
massa = 9 / 9,8 = 0,918 kg
Volume del rame (senza cavità) = Massa / densità
V = 0,918/8900 = 1,03 x 10^-4 m^3 = 0,103 dm^3
Farchimede = 9,0 – 4,1 = 4,9 N; Farchimede = (densitàH2O) x g x Vimmerso
Volume reale immerso in acqua Vi = 4,9/(1030 x 9,8) = 4,85 x 10^-4 m^3
Vi = 0,485 dm^3
Volume cavità = 0,485 – 0,103 = 0,382 dm^3

17)  Sul fondo di una barca si è prodotto un foro circolare di sezione 5,0 cm^2. Per chiudere il foro è necessario applicare una forza di 53 N.
A quale profondità si trova il fondo della barca ? (densità acqua marina : 1030 kg/m^3)

F = P x Area
P = F/Area = 53/(5 x 10^-4) = 106 000 Pa
P = Po + densità x g x h; Legge di Stevino; Po è la pressione atmosferica
h = (P – Po) / (densità x g)
h = (106000 – 101300) / (1030 x 9,8) = 4700 /10094) = 0,47 m

18) Una sfera di densità p= 0,7 g/cm3 è trattenuta da un filo in un recipiente pieno d acqua ad una profondità d= 0,5m dalla superficie libera. Trascurando la resistenza dell acqua e le forze di tensione superficiale, si determini la massima altezza h raggiunta dalla sfera sopra il livello dell acqua una volta che sia lasciata libera di muoversi tagliando il filo che la trattiene. 

FArchimede = (densitàacqua) x g x (Volumesfera)

Fpeso = 0,7 x (Volumesfera) x g
Frisultante = 1 x g x (Volumesfera) – 0,7 x (Volumesfera) x g
divido per la massa della sfera m = 0,7 x (Volumesfera) e trovo l’accelerazione a con cui sale:

a = Fris/ m = 1 x g/0,7 – g

a = 9,8 / 0,7 – 9,8 = 14 – 9,8 = 4,2 m/s^2

La sfera sale per 0,5 metri con questa accelerazione e raggiunge velocità Vo con cui esce dall’acqua.

0,5 = 1/2 x 4,2 x t^2; t = radicequadr(2 x 0,5 /4,2) = 0,49 s
Vo = 4,2 x t
Vo = 4,2 x 0,49 = 2 m/s
Fuori dall’acqua, agisce solo la forza peso, non c’è più la forza di Archimede, l’energia cinetica iniziale diventa energia potenziale. Si ferma nel punto più alto h. (Vfinale = 0)

mgh = 1/2 m Vo^2

h = Vo^2/2g = 2^2/19,6 = 0,2 m = 20 cm

Teorema di Bernoulli


Po + 1/2 (ρ) Vo^2 + (ρ) g ho = P1 + 1/2 (ρ) V1^2 + (ρ) g h1

A1 x V1 = A2 x V2

9)  Si consideri una condotta in cui fluisce una portata d’acqua pari a 0,8 m^3/s, individuata da due sezioni con una differenza di quota di 40 m. Nella sezione di ingresso,quella superiore,l’acqua ha una velocità di 2,5 m/s e si trova ad una pressione uguale a quella atmosferica.Determinare:
1) la pressione nella sezione di uscita, in assenza di perdite, se la velocità è la stessa della sezione di ingresso;
2) la velocità nella sezione di uscita, sempre in assenza di perdite, se la pressione è la stessa della sezione di ingresso;
3) la potenza complessivamente perduta nella condotta, se la velocità e la pressione nella sezione di uscita sono le stesse della sezione di ingresso.

1) Per il teorema di Bernoulli:
chiamo (ro) la densità dell’acqua = 1000 kg/m^3

Po + 1/2 (ro) Vo^2 + (ro) g ho = P1 + 1/2 (ro) V1^2 + (ro) g h1

V1 = Vo ; h1 = 0 m; diventa:

Po + (ro) g ho = P1

P1 = 1,013 x 10^5 + 1000 x 9,8 x 40 = 4,93 x 10^5 Pa (circa 5 atmosfere)

2) Se P1 = Po;
Po + 1/2 (ro) Vo^2 + (ro) g ho = P1 + 1/2 (ro) V1^2 + (ro) g h1; diventa

1/2 (ro) Vo^2 + (ro) g ho = 1/2 (ro) V1^2

V1 = radquad( 2 g ho + Vo^2)

V1 = radquad( 2 x 9,8 x 40 + 2,5^2) = radquad(790,25) = 28,11 m/s

3) se pressione e velocità non cambiano, si perde l’energia mgho dovuta al dislivello

Potenza = Energia/tempo

massa al secondo = Portata x densità = 0,8 x1000 = 800 kg/s

Potenza persa = 800 x 9,8 x 40 = 3,136 x 10^5 Watt = 313,6 kW

10)  Flusso d’acqua che esce dal rubinetto
File:Acqua e bernoulli.jpg
Il flusso d’acqua che esce da un rubinetto si restringe mentre cade. L’area di sezione A1 è di 2,0 cm2, e A2 è 0,8 cm2. I due livelli sono separati da una distanza verticale h = 20 cm.
a) Quale è il flusso dell’acqua che esce dal rubinetto?
b) quanto tempo ci vuole per riempire una tanica di 10 lt?
La portata è Q = area x velocità, e rimane costante. Bisogna trovare la velocità.A1 x V1 = A2 x V2
A1 / A2 = V2/V1
2/0,8 = V2 / V1
V2 / V1 = 2,5 —–> V2 = 2,5 x V1

mgh = 1/2 m V2^2 – 1/2 m V1^2 (Teor. energia cinetica; cadendo, la velocità aumenta)

V2^2 – V1^2 = radquad (2gh) =radquad( 2 x 9,8 x 0,2) = 1,98

(2,5 x V1)^2 – V1^2 = 1,98;

6,25 x V1^2 – V1^2 = 1,98

5,25 V1^2 = 1,98

V1 = radquad(1,98/5,25) = 0,614 m/s

V2 = 2,5 x V1 = 1,54 m/s ; L’area in m^2: A1 = 2 cm^2 = 2 x 10^-4 m^2

Portata ( m^3 /s) : Q = A1 x V1 = 2 x 10^-4 x 0,614 = 1,23 x 10^-4 m^3/s = 0,123 litri/s

Volume = Portata x tempo

tempo = Volume/portata

t = 10litri/ 0,123 = 81 secondi

Esercizio 11)

Una piccola imbarcazione che sta navigando ai bordi di un lago urta uno scoglio sommerso che apre una falla di 30 cm^2 nello scafo.
La falla è a 1,5 metri sotto la linea di galleggiamento. L’ imbarcazione può imbarcare 15 m^3 di acqua prima che questa raggiunga la merce imbarcata danneggiandola.
Trascurando gli attriti e considerando costante la profondità della falla rispetto alla linea di galleggiamento, quanto tempo avranno a disposizione i marinai per tappare la falla ?

Area x velocità = Portata –> ci dà la quantità di acqua che entra ogni secondo

Dal teorema di torricelli:

Velocità = radicequadrata(2 x g x h) = radicequadr(2 x 9,8 x 1,5) = 5,42 m/s

Area = 30 x 10^-4 m^2
Portata = 30 x 10^-4 x 5,42 = 0,016 m^3/s ( = 16 litri/s)
Portata = Volume/tempo
tempo = Volume/portata

t = 15 m^3/ 0,016 = 922 secondi
t = 922/60 = 15,4 minuti

12) La massa di un mezzo dollaro è 11,50 g. La moneta è fatta da una lega di argento e rame e immersa in acqua pesa 0,1011 nt.Si determini ka percentuale di rame nella moneta.

Forza peso in aria = 11,50 x 10^-3 x 9,8= 0,1127 N
in acqua pesa meno per la spinta di Archimede.

Forza di Archimede = densità acqua x 9,8 x Volume immerso = 0,1127 – 0,1011 = 0,0116 N
densità acqua = 1kg/dm^3

Volume moneta = 0,0116/(1 x 9,8) = 1,184 x 10^-3 dm^3 = 1,184 cm^3

densità x volume = Massa

dCu x VCu + dAg x VAg = 11,50 grammi

VCu + VAg = 1,184 cm^3 (volume della moneta)

VAg = 1,184 – VCu

dCu = 8,92 g/cm^3, dAg = 10,49 g/cm^3

8,92 x VCu + 10,49 x ( 1,184 – VCu) = 11,50 grammi

8,92 x VCu – 10,49 x VCu = 11,50 – 12,42

-1,57 x VCu = – 1,32

VCu = 1,32/1,57 = 0,84 cm^3

Percentuale = (0,84/1,184) = 0,71 = 71/100 = 71% di rame

13)   In un vaso sanguigno orizzontale a sezione circolare scorre del sangue con una portata di 10 cm^3/s; a causa di una condizione patologica il raggio del vaso si allarga da r1=0,3 cm a r2 = 0,6 cm. Sia inoltre P1=4 mmHg la pressione nel punto 1. Siano trascurabili le perdite per attrito e si assuma la densità del sangue pari a quella dell’acqua.

a) Trovare le velocità v1 e v2 di scorrimento del sangue nei punti 1 e 2.
b) Trovare la pressione P2 nel punto 2.

P1 + 1/2 d v1^2 = P2 + 1/2 d v2^2A1 v1 = A2 v2 (portata costante)pgreco x r1^2 x v1 = 10 cm^3/sv1 = 10/(3,14x 0,3^2) = 35 cm/s = 0,35 m/sv2 = 10/ (3,14x 0,6^2) = 8,8 cm/s = 0,088 m/s (se il raggio raddoppia, l’area quadruplica e la velocità diventa 1/4 di 35 cm/s)P1 + 1/2 d v1^2 = P2 + 1/2 d v2^2P2 = P1 + 1/2 d v1^2 – 1/2 d v2^2P1 = 4 mmHg = densità x g x h = 13600 x 9,8 x 0,004metri = 533 PaP2 = 533 + 1/2 x 1000 x 0,35^2 – 1/2 x 1000 x 0,088^2P2 = 533 + 61,25 – 3,87 = 590,5 Pa

590,5 / (13600 x 9,8) = 0,0044 metriHg = 4,4 mmHg

14) Bernoulli e Torricelli: Velocità con cui un fluido esce da un foro di un serbatoio di sezione grande rispetto al foro. 

Si trovi il volume d’acqua che in un minuto esce da un’enorme serbatoio attraverso un foro di 1 cm di diametro posto 3 m sotto la superficie libera dell’acqua.

Ci vuole Bernoulli e si ricava il teorema di Torricelli.

P1 + 1/2 d V1^2 + d g h1 = Po + 1/2 d Vo^2 + d g ho

In alto nel punto zero Vo = 0 m/s circa ; ho = h1 + 3 metri; Po = P1 = pressione atmosferica, si semplifica nell’equazione. Perciò rimane:

1/2 d V1^2 + d g h1 = + d g (h1 + 3); anche d si semplifica

V1 = radicequadrata(2 x g x 3) = radice quadrata(58,8) = 7,67 m/s

( V = radicequadrata(2g(ho-h1) ) è la formula che si usa subito)

Volume = portata x tempo

Area = pigreco x R^2; R = 0,5 cm= 0,5 x 10^-2 m

portata = Area x velocità = pigreco x (0,5 x 10^-2)^2 x 7,67 = 6,024 x 10^-4 m^3/s

Volume = 6,024 x 10^-4 x 60 s = 0,036 m^3 = 36 dm^3 = 36 litri

1 dm^3 = 1 litro

 Portanza dell’ala di un aereo

1)  L’ala di un aeroplano è costruita in modo che la velocità dell’aria rispetto ad essa sia maggiore sulla superficie superiore rispetto alla superficie inferiore. Assumendo che la velocità dell’aria sulla superficie superiore sia 160 m/s e quella della superficie inferiore sia 120 m/s, si trovi la differenza di pressione DeltaP tra le due superfici dell’ala. Sapendo che l’ala ha un area di 20 m^2, si ricavi la forza risultante (portanza) agente su essa.

Per il teorema di Bernoulli, dove la velocità dell’aria è maggiore, la pressione è minore.
Quindi sotto l’ala la pressione è maggiore e determina la portanza.Delta P = 1/2 (densità) (V^2 – Vo^2)Delta P = 1/2 x 1,3 x (160^2 – 120^2) = 7280 Pa

F = delta P x area

F = 7280 x 20 = 145600 N (può sostenere circa 145600/9,8 = 14850 kg).

2)  Un aereo ha una superficie alare di 16,0 metri quadrati. quando vola in direzione orizzontale, la velocità dell’aria è 62 m/s sopra la superficie superiore dell’ala e 54 m/s sotto quella inferiore. Calcolare il peso dell’areo.

DeltaP = 1/2 densità(V2^2 – V1^2)

DeltaP = 1/2 x 1,29 x ( 62^2 – 54^2) = 599 Pa

Portanza = DeltaP x Area = 589 x 16 = 9584 N ( la portanza è la forza che sostiene l’aereo, uguale al peso)

3)  Il tetto di una casa, orizzontal e con la forma di un rettangolo con i lati di 5 e 6,3 metri, è stato progettato in modo da poter resistere ad una spinta massima verso l’esterno di modulo 22000 N. La densità dell’aria è 1,29 kg/metro^3. Qual è la massima velocità con cui il vento puo soffiare sul tetto senza che questo sia divelto della casa?
Area = 5 x 6,3 = 31,5 m^2

DeltaP x Area = 22 000 N

DeltaP = 22000/31,5 = 698,4 Pa ( massima differena di pressione fra dentro e fuori)

dentro la velocità dell’aria è 0 m/s

1/2 densità x V^2 = 698,4

V = radquad(698,4 x 2/1,29) = 33 m/s = 118 km/h

Portanza

La portanza (spesso abbreviata con la lettera L, dalla lingua inglese lift)

4)    Un aeroplano di massa 1,5*10^6 kg e superficie alare di 1100 m^2 viaggia a velocità costante. Considerando che l’aria scorre sotto l’ala alla velocità di 90 m/s, si determini la velocità dell’aria sulla superficie superiore dell’ala.
(densità dell’aria = 1,29 kg/m^3).

La portanza F deve essere uguale alla forza peso mg.

Fpeso = 1,5 x 10^6 x 9,8 = 1,47 x 10^7 N; F = DeltaP x Area

La portanza è data dalla differenza di pressione P1 – P2 sotto e sopra l’ala moltiplicata per l’area.

P1 – P2 = F / Area = 1,47 x 10^7 / 1100 = 1,34 x 10^4 Pa

Per il teorema di Bernoulli

P1 + 1/2 d( V1)^2 = P2 + 1/2 d (V2)^2

P1 – P2 + 1/2 d (V1)^2 = 1/2 d (V2)^2

1,34 x 10^4 + 1/2 x 1,29 x 90^2 = 1/2 x 1,29 x (V2)^2

1,86 x 10^4 = 0,645 x (V2)^2

V2 = radquad(1,86 x 10^4 / 0,645) = 169,8 m/s

Sopra l’ala, l’aria scorre più velocemente e la pressione è più bassa.

 

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