Esercizi di statica dei fluidi. Archimede

Galleggiamento nel Mar Morto.

Archimede di Siracusa (Ἀρχιμήδης), –  (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.).

Principio di Archimede : 
Un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta  (dal basso verso l’alto) di intensità uguale al peso del  fluido spostato dalla parte immersa del corpo. Il punto di applicazione della forza di Archimede, detto centro di spinta, si trova sulla stessa linea della variazione della pressione su cui si trova  il centro di massa del fluido spostato dal corpo immerso.

Tale forza è detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica (anche se  non riguarda solo i corpi immersi in acqua, ma in qualunque altro fluido – liquido o gas).

 Iceberg: galleggia in acqua perché la forza di Archimede verso l’alto è uguale alla forza peso del corpo:   F Archimede = F peso

                                                   

 

Da dove nasce la forza di Archimede FA (Spinta verso l’alto) ?  La spinta di Archimede è dovuta al fatto che la pressione di un fluido cresce al crescere della profondità del fluido. La pressione per la legge di Stevino è P = ρ g h, dipende dalla profondità h.
Consideriamo un cilindro di altezza h completamente immerso                                                 in un liquido di densità ρ.

 

 

La pressione P1, agendo sulla base superiore S, genera la forza diretta verso il basso                  F1 = P1*S.

Analogamente, la pressione P2, agendo sulla base inferiore S, genera la forza verso l’alto          F2 = P2*S.
Le forze dirette verso destra sono equilibrate da forze uguali dirette verso sinistra, perché la pressione ad una data profondità è uguale in tutti i punti del fluido. Poiché la pressione cresce al crescere della profondità, la forza verso l’alto è maggiore della forza verso il basso e, di conseguenza, il liquido applica al cilindro una forza risultante
F Arc (cioè la spinta di Archimede) orientata verso l’alto:

 F Arc = P2 * S – P1*  S = ( P2 – P1) * S = (ρ *g * h2 –  ρ * g * h1) * S ;

ponendo h = h2 – h1:

F Arc = ρ * g * h * S  => ponendo h * S = Volume immerso

FArc = ρ * g * V(immerso);

F Archimede = (densità fluido) * g * (Volume del corpo immerso).

ESERCIZI

1) Un corpo di volume ignoto, appeso a un dinamometro, fa segnare   100 N.

Se il  corpo viene immerso completamente in acqua il dinamometro segna 75,5 N.

Calcolare il volume V del corpo e la sua densità ρ.

 

 

 

Forza peso = m*g = 100 N

m = (Forza peso) / g;

m = 100/9,8 = 10,2 kg

In acqua pesa meno perché c’è la spinta di Archimede : è la differenza fra i due pesi.

FArc = 100 – 75,5 = 24,5 N

Farc = (densità acqua) * (Vimmerso) * g;   (densità acqua = 1 kg/dm^3);

Vimmerso = 24,5 / (1 * 9,8) = 2,5 dm^3 (è il volume del corpo)

densità corpo ρ = Massa / Volume ; ρ = m / V

Forza peso = m * g = 100 N

m = (Forza peso) / g = 100/9,8 = 10,2 kg

densità corpo = m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3 (oppure x1000 = 4080 kg/m^3)

= m / V = 10,2/2,5 = 4,08 kg/dm^3 ;

oppure moltiplicando per 1000:   ρ = 4080 kg/m^3);

 

2)  In un recipiente galleggia in acqua un cubo di legno con densità 0,6 g/cm^3 e lato 10 cm.
Calcolare di  quanto emerge il cubo dall’ acqua ed il lavoro che deve essere fatto per immergere completamente il cubo in acqua.

FArc = F peso  (condizione di galleggiamento)

(densità acqua) * g * Vimm = (densità legno) * g * (V totale)
Vimm/ V tot = (densità legno) / (densità acqua)

V imm = (0,6/1) * V tot
Abase * h(immersa) = 0,6 * Abase * (h tot)
h imm = 0,6 * 10 = 6 cm;     quindi emerge di 10 – 6 = 4 cm.
Lavoro = forza risultante * Spostamento.

Forza ris = FArchim – Forza peso
FArc = 1 * 9,8 * (1 dm)^3 = 9,8 N
F peso = 0,6 * 9,8 * 1 = 5,88 N

F ris = 9,8 – 5,88 = 3,92 N , verso l’alto, per cui il legno emerge di 4 cm

Per spingerlo giù, occorre una forza che parte da valore 0 N fino al valore  massimo di 3,92 N; allora prendiamo la forza media F = 3,92 / 2 = 1,96 N
deve scendere di 0,04 m
L = 1,96 * 0,04 = 0,078 J

3)  Un blocco di alluminio (densità 2,65 g/cm^3) di massa 1 kg è sospeso ad un filo con il quale viene immerso completamente in un contenitore pieno di acqua.
Calcolare la tensione del filo quando il blocco è  totalmente immerso.

 

Frisultante = Tensione

Fris = Fpeso – F(Archimede)

Fpeso = m * g;
F(Archimede) = (densità H2O) * g * Volume corpo

Volume = 1 kg/ (2,65 kg/dm^3) = 0,377 dm^3
Densità H2O = 1 kg/dm^3
Fris = 1 * 9,8 – 1 * 9,8 * 0,377 = 9,8 – 3,69 = 6,1 N ( verso il basso);
La tensione del filo sarà uguale e contraria alla forza risultante
Tensione filo = F ris;

Tensione = 6,1 N ; la tensione del filo deve essere uguale a 6,1 N ; (verso l’alto).

 

4) Una sfera cava di raggio esterno R=10,0 cm galleggia per metà in un recipiente pieno di acqua (densità acqua=1 g/cm^3) . È fatta di un sottile strato di ferro
(densità ferro =7,9 g/cm^3) e di spessore x . Calcolare la massa della sfera e lo spessore x dello strato.

Volume sfera = 4/3 * 3,14 * 10^3 = 4187 cm^3

Se galleggia per metà il volume immerso è

Vimm = 4187/2 = 2094 cm^3

Forza archimede = forza peso;

d acqua * g * Vimm = m * g; (g si semplifica).

1 g/cm^3 * 2094 cm^3 = m

m sfera = 2094 grammi

Volume strato di ferro = m / densità = 2094 / 7,9 = 265 cm^3

Volume cavità sfera = 4187 – 265 = 3922 cm^3

Raggio cavità = radicecubica(3922 * 3 / (4 * 3,14) ) = radicecubica(936,3) = 9,78 cm

Spessore x = 10 – 9,78 = 0,22 cm

 

5) Una sfera di densità ρ= 0,7 g/cm^3 è trattenuta da un filo in un recipiente pieno di acqua ad una profondità d = 0,5 m dalla superficie libera.
Trascurando la resistenza dell’ acqua e le forze di tensione superficiale, si determini la massima altezza h raggiunta dalla sfera sopra il livello dell’ acqua una volta che sia lasciata libera di muoversi tagliando il filo che la trattiene. 

FArchimede = (densitàacqua) * g * (Volumesfera)

Fpeso = 0,7 * (Volumesfera) * g

Frisultante =  F Archimede – F peso:

F risultante = 1 * g * (Volumesfera) – 0,7 * (Volumesfera) * g

divido per la massa della sfera  :  m = 0,7 * (Volumesfera)

così si trova l’accelerazione a con cui sale:

a = Fris/ m = ( (1/0,7)  * g  ) – g

a = 9,8 / 0,7 –  9,8 = 14 – 9,8 = 4,2 m/s^2

La sfera sale per 0,5 metri con questa accelerazione e raggiunge velocità Vo con cui esce dall’acqua.

0,5 = 1/2 * 4,2 * t^2;   t = radicequadr(2 * 0,5 /4,2) = 0,49 s
Vo = 4,2 * t
Vo = 4,2 * 0,49 = 2 m/s;

Fuori dall’acqua, agisce solo la forza peso, non c’è più la forza di Archimede, l’energia cinetica iniziale diventa energia potenziale. Si ferma nel punto più alto h. (Vfinale = 0)

m g h = 1/2 m Vo^2

h = Vo^2 / (2g) = 2^2 / 19,6 = 0,2 m = 20 cm.

 

6) La corona di Gerone II                            

                                           

Una corona d’ oro di 2 kg, ha un  un volume di 190 cm^3. La densità della corona risulta quindi di 10,52*10^3 kg/m^3 (non è oro puro). Supporre che la corona di cui si parla sia costituita da una miscela di ottone e oro:

– che percentuale della massa della corona è oro puro?

Dalla densità così bassa si capisce che è quasi tutto ottone. L’oro ha una densità molto più alta.
densità ottone = 8,4 kg/dm^3;   densità oro = 19,3 kg/dm^3

M = densità * Volume

M(Au) + M(ottone) = 2 kg

V(Au) + V(ottone) = 0,190 dm^3

8,4 * V(ottone) + 19,3 * V(Au) = 2

V(ottone) = 0,190 – V(Au)

8,4 * (0,190 – V(Au) ) + 19,3 * V(Au) = 2

1,596 – 8,4 * V(Au) + 19,3 * V(Au) = 2

10,9 * V(Au) = 2 – 1,596

V(Au) = 0,404/10,9 = 0,037 dm^3 = 37 cm^3
V(ottone) = 0,190 – 0,037 = 0,153 dm^3 = 153 cm^3
Massa ottone = 8,4 * 0,153 = 1,29 kg

in percentuale: (1,29 / 2 )* 100 = 0,64 * 100 = 64% (di ottone)

 

Percentuale oro = 1 – 0,64 = 0,36;

massa oro = 36%

 

7) Due ragazzi costruiscono una zattera con tronchi di legno (d = 550 kg/m^3), di diametro pari a 38 cm. La zattera ha dimensioni 1,8 m e 2,6 m. I ragazzi hanno massa complessiva di 90 kg. 

• La zattera riuscirà a galleggiare in acqua. Quale sarà la parte di volume che emergerà dall’acqua?

Volume zattera = Area base * h

h è il diametro dei tronchi = 0,38 m

Volume zattera = 2,6 * 1,8 * 0,38 = 1,778 m^3

Condizione di galleggiamento:

Forza peso totale zattera = Forza di Archimede

massa zattera = d * Volume = 550 * 1,778 = 978 kg;

Forza peso zattera  = 978 * g Newton;

(g è l’accelerazione di gravità).

Aggiungiamo la massa dei ragazzi.

Forza peso totale = (978 + 90) * g = 1068 * g;

F Archimede = massa di acqua spostata * g =

= (densità acqua) *Volume immerso * g

densità acqua = 1000 kg/m^3;

1000 * Vimmerso * g = 1068 * g;

g viene semplificata.

1000 * Vimmerso  = 1068 ;

Vimmerso = 1068 /1000 = 1,068 m^3;

Volume esterno = 1,778 – 1,068 = 0,71 m^3 (restano fuori dall’acqua).

altezza esterna= 0,71 / Area base = 0,71 /(1,8 * 2,6)

h esterna = 0,71 / 4,68 = 0,15 m = 15 cm

Galleggia, ma fuori dall’acqua resta poca altezza.