Relatività – Albert Einstein

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Doppler relativistico

Postulati della Relatività speciale   (1905)  

	“Se non riesci a spiegare una teoria di fisica con parole semplici vuol dire che non l’hai capita” “Vi dirò che anche i miei studenti di fisica non capiscono queste cose. E non le capiscono perché non le capisco nemmeno io. Il fatto è che non le capisce nessuno” Richard Feynman (1918-1988), fisico teorico, premio Nobel

   

Albert Einstein

C = velocità della luce. Dal latino: velocità = “Celeritas – celeritatis” (terza declinazione)

Gli scienziati che hanno cambiato la scienza e la storia del XX secolo.

I più grandi scienziati del XX secolo. Notare l’unica donna in prima fila, la signora Marie Skłodowska Curie. (Solvay conference, 1927).

Solvay conference, 1924. Fourth Solvay Conference, Bruxelles , 1924, the theme was the electrical conductivity of metals.

Albert Einstein (1879-1955), partiva da due postulati:

• Primo postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
• Secondo postulato (invarianza della velocità della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Il primo postulato è un’estensione di quello di Galilei. Il secondo postulato generalizza l’osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche (onde acustiche, onde sull’acqua, onde su una corda) si propagano con una velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell’eccitazione si muove rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio, rimosso l’etere inutile, è omogeneo e isotropo. Quindi non c’è bisogno di misurare la velocità della luce rispetto all’etere e non esiste un sistema assoluto.

 

A) Nulla può viaggiare a velocità superiori a quella della luce.    Due raggi di luce, emessi nello stesso istante di          tempo dal Sole e dall’astronave Enterprise che si        muove nello spazio a una certa velocità viaggiano alla velocità della luce (C=300.000 km/s). La velocità dell’astronave Entreprise e quella del fascio di luce non si sommano

Le velocità sono relative al sistema di riferimento in cui ci si trova. 1) Nell’immagine superiore Einstein è fermo e colpisce la palla da baseball che acquista una data velocità. 2)  Sotto invece Einstein si muove su uno skateboard e colpisce la palla da baseball che acquista una velocità data dalla somma della velocità della mazza da baseball e dello skateboard. Le velocità si sommano.

 

C = velocità della luce. Dal latino: velocità = “Celeritas – celeritatis” (terza declinazione)

Limite galileiano               

Per velocità  Vo  molto piccole rispetto a quella della luce, le trasformazioni di Lorentz si riconducono a quelle di Galileo:  le quali si ricavano facendo il limite delle trasformazioni di Lorentz per

                 c → ∞ ,         Vo / c→0.

Quindi per velocità  piccole non si osservano più fenomeni come la perdita della contemporaneità, la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze, il che spiega perché nella vita quotidiana noi non osserviamo nessuno di questi fenomeni.

Nell’ ambito della Relatività Galileiana tali trasformazioni sono molto semplici (derivano da ovvie considerazioni basate  sul  “buon senso”) e sono chiamate trasformazioni di Galileo. Esse valgono : 

 x’ = x – vot

 y’ = y

 z’  = z

 t’ = t  (tempo assoluto)

 u’ = u – vo ;     u = u’ + vo  

  vo   e’  la velocità del sistema di riferimento inerziale.

Le velocità si sommano, viste dal sistema di riferimento fisso.

 Nell’ambito della Relatività Ristretta, invece, le trasformazioni da un Sistema di Riferimento Inerziale all’altro non sono di immediata deduzione. 
Questo dipende dal fatto che nella Relatività Ristretta vale il principio (verificato dalle osservazioni sperimentali) che la velocità  della luce è la stessa (c nel vuoto) in ogni Sistema di Riferimento Inerziale.          

  

Hendrik Antoon Lorentz,  Nobel per la fisica 1902

Hendrik Antoon Lorentz  1853-1928 –   fisico olandese

                              Trasformazioni di Lorentz

      

x’ = (x – v t)/ √(1─ v^2/c^2)

y’ = y

z’ = z

t’ = [(t – ( v x /c^2)] / √(1─ v^2/c^2) .

le inverse diventano:

x = (x’ + v t’)/ √(1─ v ²/c²)

y = y’

z = z’                                        

t = [(t’ + ( v x’ /c^2)] / √(1─ v²/c²) .

Conseguenze dei principi della relatività

Contrazione delle lunghezze di oggetti  se visti in movimento da un sistema ritenuto fisso:

ΔL = ΔLo ·√(1─v²/c²) ;

DLo è la lunghezza propria misurata nello stesso tempo dall’osservatore solidale al sistema in cui si trova

Dilatazione dei tempi:

Δt =Δto/ √(1─v²/c²)  ;

Δto è il tempo proprio nel sistema dove gli eventi avvengono nello stesso posto.

 

Esempio di applicazione:

Un razzo viaggia alla velocità di 0,6 c e passa accanto a una stazione spaziale nella quale un dispositivo elettronico rileva il suo passaggio. Appena la coda del razzo passa di fianco al dispositivo, questo emette un lampo di luce. La lunghezza del razzo, nel sistema di riferimento a esso solidale è Lo = 150 m.

– Dopo quanto tempo la luce raggiunge la prua del razzo, secondo un osservatore posto sul razzo?
– Dopo quanto tempo la luce raggiunge la prua del razzo, secondo un osservatore posto sulla stazione?
– A che distanza dalla stazione il raggio luminoso raggiunge la prua del razzo, nel sistema di riferimento della stazione?

Lunghezza propria misurata da chi è solidale al razzo:

Lo = 150 m;

velocità della luce c = 3 * 10^8 m/s.

• Delta to = 150 / c = 150 / (3 * 10^8) = 5 * 10^-7 s;

Per l’osservatore sulla stazione il razzo risulta contratto:

L = Lo * radice(1 – v^2/c^2)

L = 150 * radice[1 – (0,6c)^2/c^2 ] = 150 * radice(1 – 0,36);

L = 150 * radice(0,64) = 150 * 0,8 = 120 m;

radice(1 – v^2/c^2) = 1/gamma = 0,8.

trasformazioni di Lorentz:

t = (t’ + v * x’/c^2) / radice(1 – v^2/c^2)

Tempo misurato dalla stazione:

Delta t = [Delta to + v *  Delta x’/c^2] / radice(1 – v^2/c^2);

Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * c * 150 /c^2] / 0,8;

Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * 150 / 3 * 10^8] / 0,8;

• Delta t = 8 * 10^-7 / 0,8 = 1 * 10^-6 s, (1 microsecondo).

Distanza dalla stazione della coda del razzo dopo t = 1 * 10^-6 s:

x = 0,6 * 3 * 10^8 * 1 * 10^-6 = 180 m;

La prua si trova a distanza x1 dalla stazione:

• x1 = x + L = 180 + 120 = 300 m = 3 * 10^2 m.

Composizione delle velocità :
   In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva, ma in un sistema di riferimento in moto, sembra non conservarsi. La legge di composizione relativistica delle velocità non è quella galileiana:

u’ = u – vo

u = u’ + vo

( vo = velocità del sistema di riferimento in moto,
u = velocità vista dal sistema fisso,
u’ = velocità vista dal sistema in moto).

Relativisticamente la legge di composizione è:

u = (u’+ vo) /(1 + u’ * vo/c²) ;

la formula inversa è :

u’ = (u –  vo) /(1 – u * vo/c²) 

con questa formula la velocità della luce non si somma con altre velocità e non viene mai superata. Esempio: se u’ = c e vo = c, allora u  vista dal sistema fisso, rimane c.

u = (c + c)/ (1+c²/c²)  = 2c/2 =  c

     Esempio:

Tre fasci di particelle viaggiano uno dietro l’altro all’interno di un acceleratore di particelle. Il primo fascio ha velocità v1 = c/2 rispetto al secondo fascio, il quale ha velocità v2 = c/2 rispetto al terzo fascio; il terzo fascio ha velocità v3 = c/2 rispetto al sistema fisso del laboratorio.

Calcolare la velocità del primo fascio di particelle rispetto al laboratorio.

Secondo la composizione classica:

v = v’ + vo.

Il terzo fascio ha velocità v3 = c/2 rispetto al sistema  fisso, quindi è la velocità vo;

il secondo fascio avrebbe velocità: v2 = c/2 + c/2 = c (impossibile).

il primo fascio avrebbe velocità: v1 = c/2 + c = 3/2 c (impossibile).

Bisogna fare la composizione relativistica di Einstein:

v = (v’ + vo) / (1 + v’ vo/c^2);

Per il secondo fascio:

v2 = (c/2 + c/2) / ( 1 + c^2/4  / c^2) = c / (1 + 1/4);

v2 = c / (5/4) = 4/5 * c; (velocità rispetto al laboratorio).

Per il primo fascio:

v1 = (v3 + v2) / (1 + v3 * v2) /c^2 );

v1 = (c/2 + (4/5 c) / ( 1 + c/2 * 4/5 c/c^2);

v1 = (13/10 * c) / (1 + 4/10 ) = 13/10 * c / 14/10;

v1 = 13/10 * 10/14 * c = 13 /14 * c; (velocità del primo fascio rispetto al laboratorio).

Le velocità sono sempre inferiori a c.

v1= 13/14 *c;

v2 = 4/5  * c;

v3 = 1/2 * c.

       

Orologio a luce

Due osservatori, uno nella stazione S e l’altro su un treno superveloce S’ che si muove a velocità v rispetto alle rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cioè la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento.

Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d; un raggio luminoso che si muove lungo l’asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi ed il tempo occorrente per l’andata ed il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell’orologio.

Il periodo dell’orologio (misurato da un osservatore in quiete rispetto all’orologio) è

  T₀ = 2 d / c

L’intervallo di tempo T₀ rappresenta la separazione temporale tra due eventi: l’evento partenza e l’evento arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore.
Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla.

La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio.

Poiché sia nel riferimento S, sia nel riferimento S’ ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento.

Ma cosa avviene se l’osservatore nella stazione S prova a fare una misura di tempo mediante l’orologio a luce che si trova nel treno S’?

Per l’osservatore in S, l’orologio si muove con velocità v lungo le rotaie, quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d. Poiché la luce ha sempre velocità c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T’ dell’orologio in moto è allora (per S):

T = 2 L / c > T₀

Il periodo T dell’orologio in moto è maggiore del tempo proprio T₀: l’orologio in moto batte quindi un tempo più lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ciò non è affatto vero per il passeggero sul treno che anzi può, per la stessa ragione, affermare che è l’orologio nella stazione a essere più lento!

In questa affermazione che può sembrare paradossale c’è tutto il significato del principio di relatività: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l’orologio in moto rallenta.

AH = v Δt;   AB = C Δt   ;   BH = C Δto

BH^2 = AB^2 – AH^2

(C Δto)^2 = (C Δt)^2 – ( v Δt)^2

C^2 (Δto)^2 = C^2 (Δt)^2 – v^2 (Δt)^2

C^2 (Δto)^2 = C^2 (Δt)^2( 1 – v^2 /C^2)

(Δto)^2 = (Δt)^2 ( 1 – v^2 /C^2)

(Δt) = (Δto)  / ( 1 – v^2 /C^2)

Δto è il tempo proprio all’interno del sistema con separazione spaziale nulla, dove gli eventi avvengono nello stesso luogo, mentre sono in moto rispetto ad un altro sistema ritenuto fisso e quindi avvengono in luoghi diversi. In questo sistema il tempo è Δt e risulta dilatato rispetto al tempo proprio Δto.

(Δt) > (Δto)

Le conseguenze fisiche di queste trasformazioni sono enormi e rivoluzionarie.  Notiamo che spazio e tempo appaiono in un qualche modo “mescolati” all’interno delle formule  che sono le trasformazioni di Lorentz. 

    

Contrazione delle lunghezze:

DL = DLo ·√(1─v²/c²)

    

ΔL  è la distanza vista in movimento  (contratta);

DLo è la misura propria fatta nel sistema fisso rispetto all’oggetto che si sta misurando.

Dilatazione dei tempi:

Δt =Δto/ √(1─v²/c²)  ;

Δto è il tempo proprio nel sistema dove gli eventi avvengono nello stesso posto.

 Se la velocità v  del sistema di riferimento  è  molto elevata il tempo si dilata (rallenta)   e le distanze si contraggono per un osservatore esterno, fisso rispetto al sistema in moto con velocità v.

 V =  DLo / Δt  ;  ( dal sistema terrestre, lunghezza propria, intervallo di tempo dilatato);

V =  DL / Δto ;  (dal sistema in moto, lunghezza vista in moto, contratta, tempo proprio, più breve)

la velocità V è la stessa.  

Esempio:

A quale velocità deve essere portata una sbarra perché la sua lunghezza diventi la metà della sua lunghezza misurata a riposo?

L = Lo * √(1 – v^2/c^2)     ;

Lo/2 = Lo * √(1- v^2/c^2)   ;

√(1- v^2/c^2) = 1/2

1 – v^2/c^2 = 1/4  ;

v^2/c^2 = 1 – 1/4

v^2/c^2 = 3/4

v^2 = 3/4* c^2;

v = radicequadrata(3/4 c^2)  = 0,866 * c.

 

Il paradosso dei gemelli

L’esperimento ideale è questo. Ci sono due gemelli, A rimane “fermo” sulla Terra. L’altro, B, sale su una navicella che viaggia con una velocità prossima a quella della luce. Dopo un po’ di tempo B inverte la rotta e torna dal gemello A sulla Terra. La teoria di Einstein prevede che A sia più vecchio di B.
Questo è quello che la gente comune pensa sia il “paradosso dei gemelli”. Ma il paradosso non è questo. Il paradosso segue dal fatto che uno dei postulati della relatività ristretta di Einstein (così come nella relatività Galileiana) afferma che tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti. Dunque il ragionamento fatto da A (B si muove poi ritorna) potrebbe essere fatto da B (A si muove e poi ritorna). In questo caso B sarebbe più vecchio di A: ecco il paradosso!
La soluzione del paradosso consiste nell’osservare che A e B non sono equivalenti perché B quando parte, quando inverte il moto e quando ritorna sulla Terra compie dei moti accelerati che A non compie. I conti provano che, per questo, B sarà più giovane di A e non viceversa.

Spiegazione intuitiva del rallentamento del tempo:

se sei di fronte a un orologio e questo si allontana da te, un raggio di luce proveniente dall’orologio arriverà a te più tardi.
Quindi se l’orologio si allontana con velocità prossime a quelle della luce, vedi l’orologio scorrere molto lentamente, e se si allontana esattamente alla velocità della luce vedi l’orologio fermo, perchè nessun raggio ti raggiungerà mai.

                                                                                                    
 Esempio 1 : a quale velocità V devi viaggiare per raggiungere una stella che dista 50 anni luce dalla Terra, se quando la raggiungi sei più vecchio di 40 anni?

La distanza S è 50C;  Dt è l’intervallo di tempo che scorre nel sistema fisso. Dto è l’intervallo di tempo proprio che scorre all’interno dell’astronave che viaggia verso la stella, pari a 40 anni.
Nel sistema fisso della Terra   Dt = S /V  = 50C / V

Dt  = Dto / √(1─V²/C²) ;   allora 

50C / V =  40 / √(1─V²/C²) ; 

50C = 40V /√(1─V²/C²) ;
(50C/40)² =  V² / √(1─V²/C²)  ;
25/16 C²(1─V²/C²)  =  V²
25/16 C² – 25/16 V² = V²
25C² = 16 V² + 25 V²
25 C² = 41 V²

V = C√(25/41) = √(0,609) C  = 0,78C
Esempio 2:
Una nave spaziale entra nel sistema solare muovendosi verso il sole a velocitàcostante rispetto ad esso. Secondo il suo orologio di bordo, il tempo trascorso tra l’istante in cui attraversa l’orbita di Giove e l’istante in cui attraversa quella di Marte è di 45 minuti.  A quale velocità viaggia l’astronave verso il sole?  Il raggio dell’orbita di Giove è 778 x 10^9 m e quello dell’orbita di Marte è 228 x 10^9 m.

S =(778 – 228) x 10^9 m = 550 x 10^9 m;   Dto = 45 x 60 = 2700 s (tempo proprio)
 Dt  = Dto / √(1─V²/C²) : allora     Dt = S / V  ;

         550 x 10^9 / V     =    2700 / √(1─V²/C²) 
550 x 10^9 x √(1─V²/C²)  = 2700 x V
3,025 x 10^18 x ( 1 – V²/C²) = (2700 x V )^2
3,025 x 10^23 x C²  – 3,025 x 10^23 xV²  = 7,29 x 10^6 x C²V²
3,025 x 10^23 xV²  + 7,29 x 10^6 x C²V²  = 3,025 x 10^23 x C²
V²  = 3,025 x 10^23 x  C²   /9,586 x 10^23 = 0,3155 C²                                       
V = 0,56 C

Esercizio 3 : Un astronauta si propone di raggiungere una stella distante 5 anni-luce.
Calcolare:
– la velocità della navicella spaziale rispetto alla Terra in modo che la durata del viaggio, misurata dall’orologio dell’astronauta, sia di un anno;
-la durata del viaggio secondo un osservatore terrestre.
t = to / radquad(1 -V^2/C^2)

to = 1 anno; t = Spazio / Velocità(astronauta) ; Spazio = 5(anni luce) x C

t = 5C/ V

5C/V = 1 / radquad(1 -V^2/C^2)
V / 5C = radquad(1 – V^2/C^2)
V^2 / 25C^2 = 1 – V^2/C^2

V^2 /25C^2 + V^2/C^2 =1
V^2 + 25 V^2 = 25 C^2
V^2 (1 + 25) = 25 C^2
V^2 = 25 C^2/ (1 + 25)
V = 5 C / (radquad( 1 + 25) = 5C/5,099 = 0,98 C

t = S / V = 5 x C / 0,98 C = 5,102 anni.

Effetto Doppler Relativistico

z = redshift;  la frequenza dell’onda elettromagnetica (f emessa) diminuisce se la sorgente  si allontana con velocità v. L’osservatore percepisce una frequenza minore.

f’ = frequenza percepita;   f = frequenza emessa dalla sorgente.

f percepita < f emessa;  f percepita risulta spostata verso il rosso.

z = f / f’ – 1; (redshift); 

z = [f emessa / f percepita] – 1;

se [f emessa / f percepita] = 1; allora z = 0; sorgente ferma.

[f emessa / f percepita] = z + 1;

(f percepita) = (f emessa) * radicequadrata[(1 – β) / (1 + β)];

β = v / c;

(f emessa) / (f percepita) = radicequadrata[(1 + β) / (1 – β)];

z + 1 = radicequadrata[(1 + β) / (1 – β)];

Esempio:

Tre oggetti celesti hanno redshift z pari a 1, 2 e 3 .
– Calcolare la velocità di allontanamento degli oggetti in funzione della velocità della luce.

1)  z = 1;  z + 1 = 2;
2^2 = (1 + β) / (1 – β);
4 * (1 – β) = (1 +  β);
4 – 4β = 1 + β;
3 = 5 β;
β = 3/5;
v/c = 3/5;
v = 3c/5;

2)
z = 2; 2 +1 = 3;
3^2 = (1 + β) / (1 – β);
9 * (1 – β) = (1 + β);
9 – 9β = 1 + β;
8 = 10β;
β = 8/10;
v/c = 8/10 = 4/5;
v = 4c/5;

3) z = 3; z +1 = 4;
4^2 = (1 + β) / (1 – β);
16 * (1 – β) = (1 + β);
16 – 16β = 1 + β;
β = 15/17;
v/c = 15/17;
v = 15c/17.

Spazio di Minkowski : cono luce

 X² = C²t²       (intervallo luce)

                    

Nello spazio-tempo galileiano, la distanza fra due oggetti nello spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta, che non dipende dal sistema di riferimento inerziale in cui è posto l’osservatore. Nella relatività ristretta, entrambe queste quantità diventano invece relative. I cambiamenti di coordinate fra sistemi di riferimento sono infatti più complicati, descritti dalle trasformazioni di Lorentz. Vi è comunque una “distanza” che non dipende dal riferimento (cioè che non viene modificata da una trasformazione di Lorentz).

L’intervallo spazio-temporale  d² = X² – C²t²

 assume il medesimo valore qualunque sia il sistema di riferimento nel quale esso viene calcolato:  è un invariante relativistico spazio-temporale.

 (DX’)² – C²(Dt’)²  = (DX)² – C²(Dt)²

Il punto rosso nell’origine O sul piano è il presente.Tutto ciò che è fuori dal cono è il presente di O e non può essere influenzato da O, nè può influenzare O
Il doppio cono rappresenta il passato e il futuro del nostro presente.

x = ct ; x = – ct,  sono  le rette che separano il cono dal resto dello spazio di Minkowski. 

(Ponendo c = 1, x = t , x = -t, sono le bisettrici del piano).

Per cono ci luce intendiamo il possibile passato e futuro di un dato evento. Per rappresentarlo su un foglio bidimensionale dobbiamo immaginare che lo spazio sia l’asse delle ascisse (una sola dimensione invece di tre) e che il tempo sia l’asse delle ordinate che può scorrere solo in un senso, verso l’alto, ossia verso il futuro. Il cono di luce è l’insieme di tutte le possibili posizioni che un certo evento (o se preferite, un certo oggetto) potrà assumere nel suo futuro e che avrebbe potuto assumere nel suo passato. Il vertice del cono rappresenta l’evento al tempo presente e nella posizione attuale. Ovviamente la sezione del cono con il piano del foglio dà luogo a due rette che si incrociano nel vertice e che si protendono verso l’infinito futuro e quello passato (attenzione: questo è uno dei punti limitativi del suddetto cono, la non quantificazione grafica dell’infinito).

I bordi del cono (ossia le due rette della figura) sono inclinate di 45° e rappresentano il limite invalicabile per un corpo in movimento, ossia le traiettorie descritte dalla luce. In altre parole, qualsiasi posizione futura (o passata) di un oggetto o di un evento non potrà andare al di là di tali linee, perché per poterlo fare dovrebbe superare la velocità della luce. Tutto ciò è rappresentato in Fig. 1.

   Lo spazio euclideo tridimensionale è lo spazio della nostra esperienza quotidiana. Il suo nome deriva da Euclide che, attorno al  300 a.C., per primo ne studiò a fondo proprietà e caratteristiche e le tramandò
ai posteri in un trattato che costituisce il primo esempio conosciuto di teoria matematica impostata su basi logico-assiomatico-deduttive. 

Nello spazio tridimensionale si possono “disegnare” figure a due dimensioni, ad una dimensione e a zero dimensioni.

Le figure a zero dimensioni sono i punti, quelle ad una dimensione sono le linee e quelle a due dimensioni
sono le superficie.

Le figure dello spazio euclideo soddisfano numerose proprietà che caratterizzano lo spazio stesso. Ne riportiamo
solo alcune di particolare importanza :

– 1 – da un punto esterno ad una retta data passa una ed una sola retta parallela ad essa

– 2 – per i triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora, ovvero il quadrato costruito sull’ipotenusa eguaglia
la somma dei quadrati costruiti sui cateti

– 3 – la somma degli angoli interni di un triangolo eguaglia un angolo piatto (180°)

Nello spazio euclideo tridimensionale possiamo costruire un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel  modo abituale ed assegnare così ad ogni punto  P  dello spazio una terna ordinata di numeri, le sue coordinate
(x , y, z) :

  V =  DLo / Δt  ;  ( dal sistema terrestre, lunghezza propria, intervallo di tempo dilatato);

V =  DL / Δto ;  (dal sistema in moto, lunghezza vista in moto, contratta, tempo proprio)

Esempio 2:  Un mesone si forma a dieci chilometri di quota in atmosfera. Viaggiando a velocità v = 0,99C arriva a terra e viene registrato.

• Quanto è lunga la traiettoria nel sistema di riferimento in cui il mesone è fermo, se questa traiettoria lunga 10 km rispetto alla Terra ( sistema solidale con la traiettoria), viene “vista”  in movimento dal mesone?
  ( DLo è la lunghezza propria misurata in quiete rispetto al sistema terrestre = 10 000 m)
  DL = DLo ·√(1─v²/c²)     

     DL = 10·√(1─(0,99 c)²/c²)   allora
 DL = 10 * 0,141 =  1,41 km ( 7 volte più corta) Il mesone “vede” la traiettoria lunga solo 1,41 km

• Quanto vale il tempo di vita  del mesone che arriva a terra?   Dt = S / V =  10000 / 0,99 C = 3,367 ·10^-5 s ( visto dal sistema terrestre, tempo dilatato).

• Quanto vale il tempo proprio Dt’ del mesone nel suo sistema di riferimento?( la sua traiettoria qui è lunga 1,41 km, quindi Dt’ = S / V = 1410/0,99C= 0,4747 ·10^-5 s  )
    Dt  = Dt’ / √(1─V²/C²) ; allora  verifichiamo:   Dt  =  4,747 ·10^-6 / √(1─(0,99 C)²/C²) =

 = 4,747 ·10^-6/ √(1─0,98) = 3,367 ·10^-5 s (visto in moto, dalla terra, vive 7 volte di più).

Composizione delle velocità     In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva, ma in un sistema di riferimento in moto, sembra non conservarsi. La legge di composizione relativistica delle velocità non è quella galileiana

u’ = u – Vo

u = u’ + Vo

( Vo = velocità del sistema di riferimento in moto,
u = velocità vista dal sistema fisso,
u’ = velocità vista dal sistema in moto).

Relativisticamente la legge di composizione è:
  
u = (u’+ Vo) /(1 + u’Vo/c²) 

u’ = (u –  Vo) /(1 – uVo/c²) 

con questa formula la velocità della luce non si somma con altre velocità e non viene mai superata. Esempio: se u’ = c e Vo = c, allora u  vista dal sistema fisso, rimane c.

                   u = (c + c)/ (1+c²/c²)  = 2c/2 =  c

Affinchè si conservi la quantità di moto P e non si superi mai la velocità c, occorre cambiare la concezione di  massa costante in qualsiasi sistema, e introdurre il concetto che la massa dipende dal suo stato di moto,  non è una costante, ma dipende dal sistema in cui viene eseguita la misura. Così la massa  diventa:

                              m = mo / √(1- v²/c²)

questa espressione si può sviluppare in serie di potenze se v²/c² <1, e si può esprimere così:

m = mo · (1 + 1/2 v²/c²).               Moltiplicando per c² otteniamo

mc² =  moc² + 1/2 mov².      

E tot = mc²      energia totale di un corpo di massa mo (a riposo). 

E tot = E (riposo) + E (cinetica).

La massa di un corpo in moto è maggiore della sua massa a riposo perchè aumenta l’energia cinetica e l’energia “pesa”. L’energia cinetica relativistica si calcola così:

E cin = mc² ─ moc² .

 Ecin = mo x C^2 / radquad(1 – V^2/C^2)  – mo x C^2

 Ecin = mo x C^2 x ( 1/ radquad(1 – V^2/C^2)  – 1)

Energia  E e quantità di moto P diventano:

                      E = moc² / √(1- v²/c²)

 

                    P = mov /√(1- v²/c²)

Relatività generale

La deviazione dei raggi luminosi da parte del Sole, confermata sperimentalmente durante l’eclisse totale del 29 maggio 1919, contribuì in maniera decisiva all’affermarsi della Teoria della relatività generale.

 La stella Aldebaran del Toro non doveva vedersi perchè nascosta dal disco solare. Invece apparve in cielo quando la Luna oscurò il Sole. Fu la prova che lo spazio intorno al Sole è curvo a causa della massa che deforma lo spazio. Anche i raggi di luce seguono la curvatura dello spazio.

Una stella vicina al disco solare appare, per la deflessione gravitazionale della luce, in una posizione leggermente più esterna.

La mattina del 7 novembre 1919 Albert Einstein si svegliò a Berlino, dove aveva preso sonno la sera prima come lo sconosciuto direttore quarantenne dell’Istituto di Fisica Kaiser Wilhelm, senza immaginare che da lì a poco sarebbe diventato un personaggio popolare. Il nome dello scienziato tedesco era circolato sino a quel momento tra gli addetti ai lavori nel campo della fisica teorica, soprattutto per le bizzarre conseguenze astrofisiche derivanti dalle sue teorie, ma era completamente sconosciuto al grande pubblico e totalmente ignorato dai mezzi d’informazione.

L’annuncio dato il giorno prima a Londra, nel corso della riunione congiunta di Royal Society e Royal Astronomical Society, riguardante la conferma sperimentale dell’effetto esercitato dal campo gravitazionale sulla direzione di propagazione della luce, fu amplificato dai giornali pubblicati sulle rive opposte dell’Oceano Atlantico che in tal modo consegnarono Einstein alla fama mondiale. Quella stessa mattina, infatti, il quotidiano The London Times intitolava “Rivoluzione nella scienza – Nuova teoria dell’universo” un articolo dedicato al convegno londinese e qualche giorno dopo il New York Times pubblicò sull’argomento uno scritto dal melodrammatico titolo “Luci distorte nel cielo”.

La grande e geniale idea di Einstein è quella di “sostituire” la forza di gravità con la geometria dello spaziotempo.

Una massa deforma lo spazio circostante e ne determina una curvatura. La curvatura dello spaziotempo determina quindi la traiettoria delle masse che passano nelle vicinanze della deformazione dello spazio.

 

 

La griglia rappresenta il “tessuto” spaziotemporale dove si muovono le masse. Al centro, la gravità del Sole determina una deformazione della geometria dello spazio attorno al quale possono esistere tre possibili traiettorie: “e” sta per traiettoria ellittica, “c” sta per traiettoria circolare ed “a” sta per traiettoria aperta.

Curvatura dei raggi di luce

Un raggio di luce proveniente dalla stella A viene curvato passando nelle vicinanze del campo gravitazionale del Sole. La stella viene osservata nella posizione apparente B data dalla proiezione del raggio di luce che arriva a Terra. I raggi di luce vengono curvati passando nelle vicinanze di un campo gravitazionale causato dalla presenza di una massa.

Spostamento del perielio di Mercurio

Uno degli effetti previsti dalla R.G. è lo spostamento del perielio di Mercurio, ossia del punto più vicino dell’orbita, nel campo gravitazionale del Sole. Nel caso di Mercurio, per il quale l’effetto è maggiore essendo il pianeta più vicino al Sole, l’effetto dell’avanzamento del perielio è di circa 43″ per secolo. Nel caso della Terra è di circa 4″ per secolo.

La Teoria della Relatività generale si fonda essenzialmente su due principi:

1) Le leggi della fisica devono essere formulate in modo da non dover dipendere dal luogo in cui vengono applicate e dal moto dell’osservatore. Ciò significa che i  requisiti della relatività generale sono più ampi rispetto a quelli della Teoria ristretta, per la quale le leggi devono essere valide per osservatori che si spostano di moto rettilineo uniforme.

I corollari della Teoria speciale non valgono quando ci si avvicina a un forte campo gravitazionale, se si cambia la direzione del moto, oppure quando se ne modifica la velocità. In questi casi i risultati della Teoria speciale devono essere sostituiti da quelli della Teoria generale.

2)  Principio di equivalenza: gravità e accelerazione  sono equivalenti.
Ognuno di noi può verificarlo empiricamente: quando un ascensore inizia a salire avvertiamo un leggero aumento del nostro peso e un senso di vuoto allo stomaco; quando l’ascensore si ferma, la sensazione è di leggerezza. Ciò significa che un’accelerazione verso l’alto è in grado di aumentare la forza di gravità esercitata sui nostri corpi, mentre un’accelerazione verso il basso ne provoca la diminuzione.

Sono forze di tipo gravitazionale anche quelle che avvertiamo a bordo di un’automobile in rapida accelerazione: in questo caso la forza risultante ci schiaccia contro il sedile. Ne sanno qualcosa gli astronauti quando i loro veicoli spaziali sono in fase di accelerazione, e per imparare a sopportare questo tipo di forze vengono sottoposti a periodi di preparazione all’interno di una centrifuga atta a simulare proprio gli effetti della gravità.

Questi due principi fondamentali portano a svariate conclusioni di notevole importanza, la prima delle quali riguarda il moto delle particelle. Secondo la prima legge di Newton, una particella permane nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non le venga applicata una forza tendente a modificare uno di questi due stati iniziali. Ciò significa che la quiete o il moto rettilineo uniforme sono le condizioni normali delle particelle e che, se si trovano nell’uno o nell’altro stato, su di esse non agisce alcuna forza. Per ognuno dei due possibili stati la linea d’universo di una particella nello spazio-tempo sarebbe una retta.

In matematica la linea retta viene definita come la distanza più breve tra due punti. Ciò è vero se uniamo due punti su una superficie piana o nel consueto spazio tridimensionale. ma non è più vero se siamo obbligati a spostarci su una superficie curva o all’interno di una regione limitata dello spazio che presenta una curvatura.

Le barche e le navi che attraversano la superficie marina, una superficie curva, devono tener conto di tale conformazione al momento di stabilire la rotta. Un velivolo è obbligato a spostarsi nell’atmosfera terrestre, il cui spessore è minimo rispetto al raggio della Terra, quindi anche in questo caso per i tragitti particolarmente lunghi bisogna tener conto della curvatura dell’atmosfera. I piloti e gli ufficiali di rotta lo sanno molto bene; i marinai, quando devono viaggiare da un porto a un altro che dista migliaia di miglia, sanno di doversi spostare lungo quelli che sono chiamati archi dei cerchi massimi (un cerchio massimo divide la superficie della Terra esattamente a metà). Questo cerchio costituisce un caso particolare di una classe di linee matematiche chiamate geodetiche, che rappresentano il «cammino più breve» che unisce fra loro due punti su una superficie curva o in uno spazio «curvo».

Questo concetto può essere utile per discutere una delle conseguenze della Teoria generale. La Teoria generale considera «normale» il moto in presenza di gravità, il che implica che non bisogna cercare altre forze a meno che un corpo si muova in modo diverso dal suo «moto normale». Però la sua linea d’universo attraverso lo spazio e il tempo sarà retta solo se si trova lontana da qualsiasi oggetto dotato di massa.

Secondo questa teoria la «forma» dello spazio-tempo vicino a oggetti dotati di massa non è piatta ma curva, e pertanto, nella situazione di uno spazio-tempo «curvo», le particelle seguono speciali geodetiche curvilinee. La «curvatura» dello spazio-tempo è determinata dalla presenza e dalla distribuzione della materia e dalla distribuzione dell’energia.

Un raggio luminoso, lungo il quale l’informazione viaggia alla velocità della luce, sarà una geodetica speciale, denominata « geodetica di lunghezza nulla». Lontana da qualsiasi corpo provvisto di massa, questa geodetica di lunghezza nulla sarà una linea retta. Quindi, per le enormi distanze tra le stelle, possiamo trattare la luce come se si muovesse in linea retta, con un elevato grado di approssimazione. Ma questo non è più vero nelle vicinanze di corpi dotati di massa.

Accanto alla Terra, la cui massa è inferiore a quella del Sole, la curvatura di un raggio di luce è minima. E invece possibile rilevare questo effetto su un raggio di luce che sfiora la superficie del Sole, in determinate circostanze, come per esempio durante un’eclissi totale di Sole. Immaginiamo che in un determinato momento dell’anno una stella si trovi esattamente dietro il Sole, e che alcuni dei suoi raggi ne sfiorino la superficie per poi raggiungere la Terra. In questo caso saremmo in grado di vedere dietro al Sole. In una situazione normale la luminosità del Sole ci impedirebbe di osservare la stella ma, durante un’eclissi totale di Sole, la Luna si frappone tra noi e il Sole celandone i raggi e consentendoci di vedere la stella. La massa della Luna è notevolmente inferiore a quella del Sole, quindi il suo effetto è trascurabile. Questo esperimento è stato condotto per la prima volta nel 1919: le fotografie scattate durante l’eclissi fornirono una conferma convincente delle previsioni della Teoria della Relatività generale e, da un giorno all’altro, Albert Einstein divenne uno scienziato famoso in tutto il mondo.

 Per la teoria della relatività generale un ascensore in caduta libera nel campo gravitazionale si comporta come un sistema di riferimento inerziale.

Poichè non esiste un sistema di riferimento assoluto, non è possibile distinguere chi sta accelerando rispetto a cosa. Gli effetti della gravità possono essere compensati da quelli prodotti dall’accelerazione.

Immaginiamo, a sinistra, Einstein all’interno di un ascensore in quiete. Qui è la forza di gravità che determina l’attrazione per cui non succede niente. Ma che succede invece se si spezza il cavo? L’ascensore va in caduta libera, Einstein si “sente” sollevato dal pavimento dell’ascensore e si ritrova come se galleggiasse nell’aria. Ad un certo istante, Einstein e l’ascensore subiscono la stessa accelerazione, mantenendo la stessa velocità. E’ come se fossero fermi l’uno rispetto all’altro. Gli effetti della gravità si sono sostituiti con quelli dell’accelerazione, essi sono della stessa natura perciò sono equivalenti.

Nella foto seguente: i più grandi scienziati del XX secolo. Notare l’unica donna in prima fila, la signora Marie Skłodowska Curie.

Bruxelles-1927 Solvay Conference on Quantum Mechanics
Terza fila : A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin,
Seconda fila : P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr,
Prima fila : I. Langmuir, M. Planck, M. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson

Einstein e la meccanica quantistica

Einstein non accettava che esistesse un’indeterminazione sulle misure
quantistiche, ovvero che i risultati non fossero pienamente determinabili in anticipo: ciò, secondo Einstein, introduceva nella fisica l’influenza del “caso cieco”, per lui assolutamente inaccettabile. A questo proposito è rimasta
celebre la sua frase: “Dio non gioca a dadi con il mondo”. Meno famosa è la risposta di Bohr: “Non è compito degli scienziati dire a Dio come funziona il mondo, ma solo scoprirlo”.

Inoltre Einstein non credeva alla possibilità di caratteristiche fisiche “non-oggettive”, ma riteneva che i valori delle osservabili esistessero oggettivamente anche prima della misura, indipendentemente dal fatto che venissero misurati o meno. Insomma, secondo Einstein (come probabilmente secondo il lettore o qualsiasi persona che non abbia ancora accettato il nuovo messaggio implicito nella meccanica quantistica) l’universo deve esistere oggettivamente, sia che noi l’osserviamo o meno! Per questo egli considerava la meccanica quantistica “incompatibile con ogni concezione ragionevole e realistica dell’universo”.

L’elettrodinamica dei corpi in movimento

Zur Elektrodynamik bewegter Korper, Annalen der Physik 17, 891-921 (1905).
A. Einstein (1905)

E’ noto che l’elettrodinamica di Maxwell – come la si interpreta attualmente –
nella sua applicazione ai corpi in movimento porta a delle asimmetrie, che non
paiono essere inerenti ai fenomeni. Si pensi per esempio all’interazione elettromagnetica tra un magnete e un conduttore. I fenomeni osservabili in questo caso dipendono soltanto dal moto relativo del conduttore e del magnete, mentre secondo l’interpretazione consueta i due casi, a seconda che l’uno o l’altro di questi corpi sia quello in moto, vanno tenuti rigorosamente distinti. Se infatti il magnete `e in moto e il conduttore `e a riposo, nei dintorni del magnete esiste un campo elettrico con un certo valore dell’energia, che genera una corrente nei posti dove si trovano parti del conduttore. Ma se il magnete `e in quiete e si muove il conduttore, nei dintorni del magnete non esiste alcun campo elettrico, e si ha invece nel conduttore una forza elettromotrice, alla quale non corrisponde nessuna energia, ma che – a parità di moto relativo nei due casi considerati – dà luogo a correnti elettriche della stessa intensità e dello stesso andamento di quelle alle quali dà luogo nel primo caso la forza elettrica. Esempi di tipo analogo, come pure i tentativi andati a vuoto
di constatare un moto della terra relativamente al “mezzo luminoso” portano alla
supposizione che il concetto di quiete assoluta non solo in meccanica, ma anche in
elettrodinamica non corrisponda ad alcuna proprietà dell’esperienza, e che inoltre
per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni meccaniche debbano valere anche le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche, come già è dimostrato
per le quantità del prim’ordine.  Assumeremo questa congettura (il contenuto della
quale nel seguito sarà chiamato “principio di relatività”) come postulato, e oltre
a questo introdurremo il postulato con questo solo apparentemente incompatibile,
che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità determinata V ,
indipendente dallo stato di moto dei corpi emittenti. Questi due postulati bastano
a pervenire ad un’elettrodinamica dei corpi in movimento semplice ed esente da
contraddizioni, costruita sulla base della teoria di Maxwell per i corpi in quiete.
L’introduzione di un “etere luminoso” si dimostra fin qui come superflua, in quanto
secondo l’interpretazione sviluppata non si introduce uno “spazio assoluto in quiete” dotato di proprietà speciali, nè si associa un vettore velocità ad un punto dello spazio vuoto nel quale abbiano luogo processi elettromagnetici. La teoria da svilupparsi si fonda – come ogni altra elettrodinamica – sulla cinematica dei corpi rigidi, poiché le affermazioni di una tale teoria riguardano relazioni tra corpi rigidi (sistemi di coordinate), orologi e processi elettromagnetici. La non sufficiente considerazione di queste circostanze è la radice delle difficoltà, con le quali l’elettrodinamica dei corpi in movimento attualmente deve lottare.

http://fisicavolta.unipv.it/antoci/re/Einstein05.pdf

Dal sito:  http://www.oilproject.org/lezione/spiegazione-teoria-della-relativit%C3%A0-einstein-meccanica-quantistica-4302.html

La Teoria della Relatività è un colossale edificio concettuale sorto in Germania all’inizio del ‘900. Questo straordinario modello della realtà è diventato imprescindibile per lo sviluppo della fisica teorica e ha introdotto nella scienza, e in parte nel comune sentire, concetti apparentemente assurdi, del tutto contrari all’intuizione e persino alla logica.

Secondo Einstein, l’ideatore della Teoria della Relatività, lo spazio ed il tempo si deformano in prossimità di corpi molto massicci (stelle, pianeti, etc.) oppure quando un corpo si muove a una velocità tanto elevata da essere comparabile a quella della luce. In tali situazioni lo spazio si “accorcia” ed il tempo “rallenta”. Questi singolari fenomeni di deformazione dello spazio e del tempo sono tanto più pronunciati quanto più è forte l’attrazione gravitazionale o elevata la velocità. Siccome le distorsioni di spazio e tempo  sono legate tra loro, si preferisce considerare le due entità come un’unica realtà chiamata spaziotempo che possiamo dunque considerare come qualcosa di “elastico”. E’ importante sottolineare come ad accorgersi della deformazione dello spaziotempo non è l’osservatore che si trova nei pressi di un corpo massiccio o che si muove a forte velocità, ma soltanto chi osserva dall’esterno. Se viaggiassimo su un’astronave proiettata a velocità prossima a quella della luce, percepiremmo le dimensioni nostre e della navicella così come l’avanzare dei nostri orologi come assolutamente normali, ma chi ci osservasse dall’esterno vedrebbe la navicella accorciarsi e noi che la occupiamo muoversi al rallentatore. Il discorso è analogo per la gravità.

Per quale ragione gravità e velocità estreme hanno questo effetto? Lo spaziotempo si comporta come un telo elastico modificando la propria forma nei pressi di corpi molto massicci. Se la massa di un corpo supera una certa soglia, lo spaziotempo finisce col “chiudersi su se stesso”, diventando una trappola da cui neppure la luce può fuggire una volta che ci è caduta dentro: un buco nero. Gli effetti della relatività legati alla velocità di spostamento stabiliscono inoltre una specie di limite naturale di velocità. Più acceleriamo e più l’universo “ci rema contro” rallentando sempre più il nostro ritmo interno, fino a che, raggiunta la velocità della luce, il tempo si arresta completamente. Ciò rende quella velocità la massima raggiungibile in assoluto. Avvicinandoci a tale limite assisteremmo anche ad un altro strano fenomeno: la massa della navicella aumenterebbe sino a diventare infinita in corrispondenza della velocità della luce. Anche tale circostanza suggerisce che la velocità della luce sia un limite che non si può superare.

C’è un altro fatto rilevante riguardo la velocità della luce. Quando due paracadutisti si buttano insieme, ciascuno vede l’altro quasi fermo. Invece, per chi li sta guardando da terra, essi stanno cadendo a folle velocità. Insomma: un oggetto si muove a diverse velocità in base al punto di osservazione dal quale scelgo di guardarlo. Si tratta di un fatto ovvio, tutti ne abbiamo fatto esperienza e vale qualunque sia l’oggetto osservato. Ma non per la luce! Se, per raggiungere un raggio di luce e vederlo un po’ “rallentato”, provassimo a muoverci a una frazione della sua velocità, magari a bordo di una potente navicella spaziale, non otterremmo un bel niente. Come detto prima la natura “ci rema contro” compensando perfettamente la nostra velocità. In breve: più rapidamente corriamo e più intensamente gli effetti effetti relativistici (massa che cresce, tempo che rallenta, spazio che si contrae) ci fanno da zavorra. La luce si muove sempre alla stessa velocità a prescindere da quanto spedita sia la nostra andatura! Ecco perché si dice che  con la Relatività di Einstein la velocità della luce viene elevata a costante universale: perché è la stessa per qualsiasi osservatore. Allo stesso tempo lo spazio ed il tempo sono state “declassate”, da entità assolute e immutabili a qualcosa di relativo. Dunque con la Relatività, la luce non è soltanto una semplice comparsa nell’immenso film dell’Universo, ma interpreta un ruolo unico e speciale.

Il ruolo eccezionale riservato alla velocità della luce emerge anche in un altro contesto: dicendo che, a grandi velocità, la massa aumenta non si intende certo dire che viene creata dal nulla. Ma allora da cosa è originata? Ad essere convertita in massa è semplicemente parte dell’enorme energia spesa dalla navicella spaziale per l’accelerazione. Einstein nella sua titanica opera di riformulazione dei concetti fondamentali della fisica scopre che massa ed energia, fino ad allora considerate del tutto indipendenti, sono in realtà convertibili una nell’altra (come accade per esempio nelle esplosioni nucleari) secondo la celebre legge  E=mc². In questa formula E è l’energia, m è la massa mentre c elevato al quadrato è il fattore di conversione tra le due. Ebbene c rappresenta esattamente la velocità della luce, che diventa cosi il “ponte” che mette in comunicazione massa ed energia.

Lente gravitazionale

Costellazione di Orione – Betelgeuse (la spalla del gigante) – dstanza: 600 a. l.