Esercizi sulla forza centripeta e moto circolare -Giro della morte- curva con pendenza – Rotazione di un braccio umano.

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forza centripeta, giro della morte

1. Un ragazzino fa ruotare un sasso legato a una cordicella lunga 1,5 m su una circonferenza orizzontale ad altezza di 2,0 m dal suolo. La cordicella si rompe e il sasso fila via orizzontalmente andando a cadere a 10 m di distanza orizzontale. Qual era l’accelerazione centripeta del sasso in moto circolare?

   

   Moto verticale di caduta;

   y = 1/2 g t^2; (1)  ; y = 2,0 m;

   moto orizzontale:

   x = vx * t;    (2)    x = 10 m; il tempo t è lo stesso;

   ricaviamo il tempo t dalla (1);

   t = radicequadrata(2 * y / g) = radice( 2 * 2,0 /9,8) = 0,64 s;

   x = 10 m;

   v = x / t = 10 / 0,64 = 15,6 m/s; (velocità tangenziale con cui parte);

   accelerazione centripeta nel moto circolare, ( lungo la corda  R = 1,5 m):

   a = v^2 / R = 15,6^2 / 1,5 = 162 m/s^2; (circa).

2. La terra ( raggio Rt = 6380 km) compie una rotazione completa in 24 h. Considera un oggetto di massa 50 kg posto all’equatore.
   Calcola la forza centripeta che subisce l’oggetto e calcolane il rapporto con la forza di gravità a cui è soggetto.

   accelerazione centripeta ac = v^2/R

   v = 2 * π * R / T; T = 24 h * 3600 s = 86400 s; R = 6380 000 m = 6,38 * 10^6 m

   v = 2 * π * 6,38 * 10^6 / 86400 = 464 m/s

   ac = 464^2 / (6,38 * 10^6) = 0,034 m/s^2

   Fc = m * ac = 50 * 0,034 = 1,7 N

   Fpeso = m * g = 50 * 9,8 =490 N

   rapporto Fp / Fc = 288

   La forza peso è 288 volte maggiore della forza centripeta, quindi non ci accorgiamo di essere su un sistema in rotazione, però il nostro peso è leggermente minore a causa della forza centripeta.

    

3. Una forza centripeta di modulo F mantiene un modello di aereo su una traiettoria circolare di raggio R con velocità V. Per dimezzare il raggio della traiettoria mantenendo la stessa velocità bisogna applicare una forza centripeta di modulo:

   a) 4F ;     b) 2F  ;       c) F  ;      d) F/2

    F = m * V^2/R

   m V^2 = F * R

   Se R dimezza e vogliamo che V resti la stessa la forza F’ deve aumentare

   m V^2 = F’ * R/2

   F’ * R/2 = F * R; (R si semplifica) :

   F’ * 1/2 = F

   F’ = 2 F

   Bisogna raddoppiare la forza centripeta; risposta b)

   
4. Una stazione spaziale a forma di ruota, di diametro di 120 m, ruota intorno al proprio asse per produrre una “gravità artificiale” di valore 3 m/s^2 sugli astronauti che lavorano sulla parete interna del bordo della stazione. Si determini la velocità di rotazione (in giri al minuto) che genera questo effetto. ω^2 * r = 3;  (accelerazione centripeta).ω = radicequadrata(3 / 60) = 0,224 rad/s

   ω = 2 * pgreco * f ;

   f = frequenza = giri/secondo ;

   f  = ω/ (2 * 3,14) = 0,224 / 6,28 = 0,036 Hz;

   giri al minuto = 0,036 * 60 = 2,14 giri / minuto

5. Su un treno è posto un pendolo, di lunghezza L = 0,4 m e massa m=0,5 kg, appeso al soffitto. A un certo istante, il treno inizia a curvare, percorrendo la curva, di raggio R=100 m, con velocità costante pari a V = 54 km/h.
   a. In che direzione si dispone il pendolo (in condizione statiche, cioè supponendo che non oscilli) rispetto al treno durante la curva?
   b. Quanto vale la tensione del filo, nelle condizioni del punto (a)?
   c. Se il pendolo può sopportare una tensione massima pari a Tmax=15 N, quale sarebbe il massimo angolo che formerà il pendolo rispetto alla verticale affinché il pendolo non si rompa? E la massima velocità del treno?
   d. Come cambierebbe la tensione del filo se il treno, all’inizio della curva, stesse anche accelerando con accelerazione tangenziale costante pari ad at=3 m/s^2 ?

V = 54 km/h = 54 / 3,6 = 15 m/s;
R = 100 m

accelerazione centripeta del treno in curva:
a = V^2/R = 15^2 / 100 = 2,25 m/s^2

Il pendolo si inclina verso l’esterno della curva come se ci fosse una accelerazione centrifuga verso l’esterno, in realtà si inclina per poter fare aumentare la tensione del filo che lo deve mantenere in curva. La forza centripeta infatti è la somma vettoriale di tensione T lungo il filo obliquo e del peso mg verticale, guarda la figura: disegna la forza centripeta sul raggio verso il centro della curva. Si forma un triangolo rettangolo, T è l’ipotenusa.

F centripeta = 0,5 * 2,25 = 1,125 N (verso l’interno della curva)
Fpeso = 0,5 * 9,8 = 4,9 N (verso il basso)

T è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la Forza peso e la Forza centripeta.

T = √(4,9^2 + 1,125^2) = 5,03 N

angolo:

tan(angolo) = Fc / Fp = 1,125 /4,9 = 0,230

angolo = tan^-1(0,230) = 13° rispetto alla verticale.

Massima tensione:
T max = 15 N
Se T aumenta vuol dire che il treno va più veloce e aumenta la forza centripeta e l’accelerazione centripeta.

Fc = √( 15^2 – 4,9^2) = 14,18 N

Fc / Tmax = sen(angolo max)

sen(angolo max) = 14,18 / 15 = 0,945

angolo max = sen^-1(0,945) = 71° (rispetto alla verticale).
Fc = m * a; Fc = m * V^2/R

V^2 / R = Fc / m = 14,18 / 0,5 = 28,36 m/s^2 (accelerazione centripeta).
V^2 / 100 = 28,36
V = √(28,36 * 100) = 53,3 m/s = 53 ,3 * 3,6 = 192 km/h (massima velocità del treno).

5. Una puleggia ha diametro d = 0,4 m e raggiunge il regime di 400 giri al minuto in 20 secondi. Quindi viene frenata e si ferma dopo aver fatto 60 giri dal momento in cui inizia la fase di decelerazione.
Calcolare le accelerazioni tangenziale e angolare nelle due fasi di accelerazione e decelerazione.

 a = ( V – Vo) / t ( accelerazione tangenziale)
V = velocità tangenziale
V = ω * R
Le misure tangenziali si ricavano da quelle angolari, moltiplicandole per il raggio R = 0,2 m.
ωo = 0 rad/s ( velocità angolare iniziale)
(ω fin) = 2 * π * f; ( f è la frequenza)
f = 400giri/min = 400 / 60 s = 6,67 Hzω fin = 2 * 3,14 * 6,67 = 41,9 rad/s (velocità angolare finale).

α (alfa), in fase di accelerazione.
accelerazione angolare α:

α = (ω fin – ωo) / t = (41,9 – 0) / 20 = 2,09 rad/s^2; (accelerazione angolare);

accelerazione tangenziale a:

a = α * R = 2,09* 0,2 = 0,42 m/s^2.

Quando frena:
si ferma dopo 60 giri; sono 60 angoli giri; 1 angolo giro = (2 π) radianti;

60 giri ;

angolo di spostamento:

θ = 60 * 2 * (3,14) = 377 rad.

Moto decelerato:

ωo = 41,9 rad/s; ω fin = 0 rad/s

Abbiamo due equazioni del moto per l’angolo θ  e per l’accelerazione α :

θ = 1/2 α t^2 + ωo t;

α = (ω fin – ωo) / t = – ωo) / t = – 41,9 / t;

377 = 1/2 * ( – ωo / t ) * t^2 + ωo * t377 = 1/2 * ( – 41,9) * t + 41,9 *t377 = – 20,95 * t + 41,9 * t377 = 20,95 * t

t = 377 / 20,95 = 18 s (si ferma in 18 secondi)

α = – 41,9 / 18 = – 2,3 rad/s^2 ( decelerazione angolare)

a = α * R = – 2,3 * 0,2 = – 0,47 m/s^2 (decelerazione tangenziale)

6.  Un pilota vuole far compiere al suo aereo, del peso complessivo di 19600 N, il giro della morte ad una velocità di 300 Km/h.
(a) Determinare il massimo raggio possibile della traiettoria circolare. (b) Calcolare la spinta verticale che in tali condizioni devono esercitare i motori dell’aereo nel punto più basso. (c) Se la velocità raddoppia, che valore assume il raggio massimo?

Il giro della morte è possibile se nel punto più alto

m V^2 / R = mg; la forza centripeta deve essere uguale o maggiore alla forza peso.

V^2 / R = g

R = V^2 / g

V = 300 km/h = 300 / 3,6 = 83,33 m/s

R = 83,33^2 / 9,8 = 708,6 m

m = 19600 / 9,8 = 2000 kg; (massa aereo)
Spinta verticale nel punto più basso: somma delle due forze, centripeta e peso.

F spinta = m V^2/R + mg = 2000 x 83,33^2/708,6 + 19600 = 19600 + 19600 = 39200 N

con V doppia:

R = (2 V)^2 / g = 166,67^2/9,8 = 2834 m (quadruplica).

7. Un punto materiale si muove con un accelerazione angolare costante α su una circonferenza di raggio R =  0,5 m. Dopo aver percorso un angolo θ = 0,6 rad a
partire dalla quiete (ωo = 0 rad/s),  ha raggiunto la velocità angolare di ω = 10 rad/s. Determinare l’accelerazione angolare e l’accelerazione periferica in quell’istante.

Accelerazione angolare α; il moto è accelerato.
ωfinale:  ω = 10 rad/s
α = (ω – ωo) /tα = 10/t1/2 α t^2 + (ωo) t = (angolo percorso)1/2 * 10/t * t^2 = 0,65 * t = 0,6t = 0,6 / 5 = 0,12 sα = 10 / 0,12 = 83,3 rad/s^2 (accelerazione angolare).a = α * R = 83,3 * 0,5 = 41,6 m/s^2 (accelerazione periferica, tangenziale)

7 bis. Una ruota di raggio R = 75 cm ruota con accelerazione angolare costante
α =  0,2 rad/s^2. All’istante iniziale la ruota è ferma (ωo = 0 rad/s) . Determinare la velocità angolare ω, la velocità tangenziale e il numero di giri percorsi dopo 12 secondi.

angolo percorso θ, il moto è accelerato.

θ = 1/2 α t^2

θ = 1/2 * 0,2 * 12^2 = 14,4 radianti (rad)

ω = α * t = 0,2 * 12 = 2,4 rad/s (velocità angolare);

V = ω * R = 2,4 * 0,75 = 1,8 m/s

Numero di giri: un giro completo è 2 * π rad = 6,28 rad

N = 14,4 / 6,28 = 2,3 giri;  (fatti in 12 secondi).

Moto circolare e armonico:

8) Perché la forza centripeta nel punto più alto del giro della morte deve essere come minimo uguale al peso? Perché la reazione vincolare deve essere maggiore uguale a 0?

Nel moto circolare verticale esiste la forza centripeta Fc che è data dalla somma della forza peso Fp e della reazione vincolare Fr che può essere la tensione di una corda o la spinta di una pista.

Nel punto più basso della traiettoria:

Fc = Fr – Fp; quindi la reazione vincolare Fr = Fc + Fp; nel punto più basso la reazione è molto alta e il corpo sembra pesare di più.

Nel punto più alto le forze sono tutte verso il basso:

Fc = Fr + Fp; quindi la reazione vincolare è Fr = Fc – Fp

Freazione diventa 0 quando Fcentripeta = Fpeso; se Fpeso > Fcentripeta allora il corpo cade.

m V^2/R > = mg

V > =√(g R); R è il raggio; g è l’accelerazione 9,8 m/s^2

Una punto materiale scende lungo una guida senza attrito, che termina con una circonferenza di raggio R.

 –  determinare la minima altezza h dalla quale lasciar scendere il punto materiale perché non si stacchi mai dalla guida circolare.

m g h  = m g (2R) + 1/2   m v^2

mg = m v^2/R (nel punto di uscita);

v = radice(g R);

g h = g * 2R + 1/2 g R;

h = 2 R + 1/2 R = 5/2 R = 2,5 R.

Rotolamento.

Se invece di un punto materiale abbiamo una sferetta di raggio r che rotola lungo la guida, senza strisciare, quale dovrà essere  la minima altezza di partenza h,  affinché la sferetta non si stacchi mai dalla guida circolare e riesca a completare il giro?

La sferetta  rotola, quindi bisogna considerare l’energia cinetica di rotazione della sfera.

I = momento d’inerzia della sfera = 2/5 m r^2;

ω = velocità angolare = v/r.

Energia di rotazione  = 1/2 * I * ω ^2.

Er = 1/2 * (2/5 m r^2) * (v/r)^2 = 1/5 m v^2;

m g h = m g (2R) + 1/2 m v^2 + 1/5 m v^2;

g h = 2 g R + 7/10 v^2;

Nel punto più alto  F centripeta = F peso: 

 m v^2/R = m g;

v^2 = g R;

g h = 2 g R + 7/10 g R;    g si semplifica:

h =  (2 + 7/10)  R = 2,7 * R.

9)  All’interno di un parco di divertimenti si vuole costruire una nuova attrazione. Gli ingegneri vogliono capire quanto potrà essere grande la circonferenza del giro della morte affinché le vetture non cadano giù sapendo che la velocità con cui esse inizieranno a percorrere il giro sarà 14 m/s. In assenza di attrito, determinare il raggio massimo che può avere un giro della morte.

Nel punto più alto della circonferenza, per poter completare il giro, deve essere: Forza centripeta maggiore o uguale alla forza peso.

m V^2 / R ≥ mg

V = √(g R)

Nel punto in basso c’è solo energia cinetica:

1/2 m Vo^2.
(Vo = 14 m/s).

Nel punto più alto h = 2 R, c’è anche energia potenziale m g h = m g (2 R):

1/2 m V^2 + mg (2 R) = 1/2 m Vo^2
V^2 = g R

1/2 ( g R) + g (2R) = 1/2 *14^2

1/2 g R + 2 g R = 98

5/2 g R = 98

R = 2/5 * 98 / g = 196 / ( 5 * 9,8 ) = 4 m; (raggio massimo, se non c’è attrito).

10)   Si deve progettare una curva inclinata in modo tale che un’automobile possa percorrerla alla velocità di 10 m/s senza fare affidamento sull’attrito tra le gomme e l’asfalto. Per via dei vincoli urbanistici, il raggio della curva deve essere di 24 m. Di quale angolo dovrà essere inclinata la curva che devono progettare?

N * cos(β) = Forza peso;
N * cos(β) = m g

N = m g / cos(β)

N * sen(β) = Forza centripeta
N * sen(β) = m * v^2/R

(m g /cosβ ) * sen(β) = m * v^2/R

sen(β) / cos(β) = tan(β)

m * g * tan(β) = m * v^2/R;

m si semplifica.

tan(β) = v^2/(g * R ) = 10^2 /(9,8 * 24) = 0,425

β = tan^-1(0,425) = 23°

11)   Qual è l’accelerazione centripeta di una moneta posta a 130 mm all’asse di rotazione di un giradischi se il disco ruota a 33 giri/minuto?

Accelerazione centripeta:  a = v^2/ r ;

v = ω * r;

a = ω^2 * r:

r = 0,130 m

frequenza f = 33 / (60 s) = 0,55 Hz

omega = 2 * pigreco * f = 6,28 * 0,55;

omega = 3,456 rad/s

accelerazione centripeta:

a = 3,456^2 * 0,130 = 1,55 m/s^2.

12) Rotazione del braccio e  accelerazione della mano.

Una persona mantiene il suo braccio disteso , fermo in posizione orizzontale . La massa del braccio è m e la sua lunghezza è 0,740 m. Quando la persona lascia andare il braccio, facendolo cadere liberamente , questo inizia a ruotare attorno all’articolazione della spalla. Determinare :

• L’accelerazione angolare iniziale del braccio.
• L’accelerazione tangenziale iniziale della mano.

Momento della forza = b * m*g;

b = braccio della forza peso agente a metà L ;

b = L/2 = 0,740/2 = 0,370 m;

M = I * alfa;

alfa = accelerazione angolare.

I = momento d’inerzia del braccio rispetto all’estremo:

I = 1/3 m * L^2; (come un’asta).

L = lunghezza del braccio = 0,740 m;

L/2 * (m * g) = (1/3 m L^2) * alfa;

m si semplifica.

0,370 * g = 1/3 * (0,740^2) * alfa;

alfa =0,370 * 9,8 * 3 /(0,740)^2 ;

alfa = 10,878 / 0,548 = 19,86 rad/s^2;

accelerazione tangenziale = alfa * L;

a = 19,86 * 0,74 = 14,7 m/s^2.

Da notare che l’accelerazione della mano è maggiore dell’accelerazione di gravità. Questo permette alla mano di fare una rotazione verso il basso con velocità maggiore di quella di un corpo che cade e quindi di afferrarlo prima che arrivi a terra.